0 引言

微小卫星具有研制周期短、质量小、发射方式灵活、成本低等优点[1]，是未来卫星技术发展的趋势之一[2]。满足微小卫星指向与定位精度的推力通常在微牛至毫牛量级[3]，精确测量微小推力是星载推进器进入工程应用的前提[4]。目前，国内外较通用的测量方法多是基于力的动力效应，将推力转化为推力测量台架的力学行为，如振动幅值或转动位移，间接地测量推力[5]，测量精度通常在1～10 μN量级，有的甚至达到10 nN量级[6]。

在已有的测量结构中，扭摆结构可消除星载推进器重力的影响，承重能力强、精度高，是普遍采用的测量系统[7-8]。测量时，推力通过扭摆系统横梁的稳态位移(转角)与力(或力矩)和位移(转角)的函数关系来计算。作为测量系统最关键的直接输出量，位移的测量误差直接影响到推力的测量误差。电容式位移传感器具有结构简单、灵敏度高、信噪比大、响应快、非接触等优点，同时精度可达到纳米水平，是常用的位移传感器之一[9]。电容式位移传感器依据理想化平板式变极距电容原理设计，工作时探头作为一个电极，被测导电对象作为另一个相对电极[10]。测量时由于横梁的转动，横梁与探头之间存在一定的夹角，由此会产生极板不平行位移测量误差，进而导致推力测量误差。为提高推力测量的精度，需要对极板不平行误差进行分析研究。目前已有的文献主要研究电容位移传感器的线性度、重复性、分辨率等参数的标定方法[11-12]，缺少对极板不平行误差分析及标定方法的相关研究。

本文针对以上问题，首先基于电容位移传感器的工作原理，从理论上分析了不同极板间距及夹角下传感器的输出特性。然后分析了横梁转动时极板不平行误差随扭转角变化的规律，确定了标定原理。最后进行了标定实验，对极板不平行误差标定结果与推力测量误差的关系进行了分析。

1 扭摆系统推力测量原理

典型扭摆系统结构如图1所示[13]。图1中，横梁为执行部件，通过挠性枢轴(用于提供回复力)与支撑梁相连。当推力作用于横梁上时，横梁在水平面由初始平衡位置开始转动，推力转化为横梁的位移(转角)，随着位移(转角)的增大，推力与横梁力逐渐趋于平衡。因此，通过测量稳态位移(转角)，由力(或力矩)与位移(转角)的函数关系来计算推力。

各组血硒含量见表1。两两比较，IS手术组和非手术组血硒含量均低于CS组和对照组，且IS手术组明显低于IS非手术组，差异均有统计学意义（P ＜ 0.05）；CS组和对照组血硒含量差异无统计学意义（P ＞ 0.05）。IS患者血硒含量与Cobb角呈负相关（r=-0.708，P ＜ 0.05，图1）。

图1 典型扭摆系统结构图 Fig.1 Simplified representation of torsion balance

在电容上施加一个频率为f的交流电压，通过稳压电路保持电流I恒定，电容上的电压U与d呈线性关系：

(1)

式中：k为枢轴的扭转刚度系数；l为推力的作用力臂。由于α的大小通常为微弧度至毫弧度量级，实际中通常以稳态线位移ΔD与位移测量臂长L的比值ΔD/L来间接计算α(由此产生的相对误差在10-13～10-7量级，大小可忽略不计)：

(2)

式中：ΔD=DⅡ-DⅠ，DⅠ、DⅡ分别为传感器在横梁初始平衡位置Ⅰ、稳态位置Ⅱ的输出值。由此可见，位移的测量误差大小直接影响推力的测量误差大小。

2 极板不平行误差产生及特性分析

测量位移时，传感器探头作为一个电极，横梁作为另一个电极。横梁在推力作用下产生角位移，引起传感器极板间距及水平夹角的变化，进而产生极板不平行误差。下面具体分析极板不平行误差的产生过程。

2.1 极板不平行误差产生

(12)式表明，横梁转动α时，由于宽度余弦误差的存在，极板间距变化值较实际线位移L tan α要小w/2(1/cos α-1)。又因为极板不平行误差的存在，传感器测量值ΔD比实际极板间距变化值L tan α-w/2(1/cos α-1)又要小

图2 横梁从位置I转动到位置II示意图 Fig.2 Schematic diagram of pendulum rotating from Position I to Position II with angle α

图2中，a、b、c、e和n点都位于传感器的中轴线上，s点为过n点的直线与横梁的垂足为初始极板间距值，为位置Ⅱ对应极板间距，为极板间距变化值，为实际线位移，ΔD为测量得到的线位移。

根据图2，由于w的影响，并不等于两者关系为

色度作为柠檬果醋的外在因素，很大一部分影响着柠檬果醋的售卖。对表3进行数据处理，计算得出ΔE21=2.01，ΔE32=0.22。可知酿造2个月的柠檬果醋较1个月的柠檬果醋的色差严重，而酿造3个月的样品较2个月的样品的色差可忽略不计。由此可推断出酿造时间超过3个月后，柠檬果醋的色度将不再有大幅度改变。可得柠檬果醋的L值随发酵时间的增加有递增趋势且趋于平稳，即亮度值不断增加，产品更加鲜艳。

(3)

由于实际中w≠0，在横梁的整个振动过程中，无论α如何变化，均有称此误差为横梁宽度余弦误差，简称宽度余弦误差，其大小为w/2(1/cos α-1)。

根据(3)式，测量得到再加上宽度余弦误差，即可计算出的大小。然而，由于极板不平行误差的存在，无法直接测量得到，即这是因为：在位置Ⅰ时，极板平行，在位置II时，虽然传感器与横梁的轴向距离为但由于α的存在，

根据3.2节的标定原理，确定实验步骤如下：1)旋转探头调节α，根据ΔD的对称性调节极板平行；2)通过测量目标调节L，每调节一次L，旋转测量目标改变α，如图7(a)所示，当ΔD关于α对称分布，即D(α)=D(-α)时L=0 mm，如图7(b)所示；3)调节L=0 mm后，在0.5 mm、0.7 mm、0.9 mm共5个位置处调节α，记录传感器输出值D(α)，计算得到对比与计算相对偏差ε，利用ε对进行修正，得到连续区间上的值。

2.2 极板不平行误差特性分析

传感器探头中的电场屏蔽环电极保证了测量电场具有较高的均匀稳定性，计算时可忽略边缘效应的影响[11]。下面在分析电容位移传感器工作原理的基础上计算极板不平行误差的大小。

如图3所示，传感器探头的有效半径为R，轴向中心与目标的距离为d. 假设极板间电介质的介电常数为ε0，S为有效面积。

图3 测量对象与传感器探头位置关系示意图 Fig.3 Schematic diagram of position between measured object and sensor

首先，当探头与目标平行(见图3(a))时，极板间电容值Cd(0)为

(4)

扭摆系统是典型的2阶质量- 弹簧- 阻尼系统，稳态时推力与枢轴回复力实现力矩平衡，稳态扭转角均值α与平均推力F呈如下线性关系[5,14]：

(5)

式中：XC为电容容抗。测量得到U后，通过控制电路给U乘以一定的比例η，即可输出数字形式位移值D(0)=d：

(6)

(6)式中，ηI/(2πf)为固定值，因此传感器输出值D(0)与电容值Cd(0)为一一对应关系。

实际使用中，当测量目标与探头相对夹角α≠0°时，如图3(b)所示，此时极板间电容值Cd(α)可基于(4)式沿探头水平方向进行积分并作泰勒级数展开，省去高阶项求得：

(7)

令k(d,α)=1+R2tan 2α/(4d2)，(7)式可简化表示为

Cd(α)=k(d,α)Cd(0).

(8)

(8)式中，k(d,α)>1，则Cd(α)>Cd(0)，结合(6)式可得D(α)<D(0)=d，表明极板间距不变时，相对于极板平行状态，极板不平行状态导致电容值增大，进而引起传感器输出值小于实际极板间距，极板夹角α对应的测量相对误差δ(d,α)为

(9)

(9)式中，由于k(d,α)>1且为偶函数，则δ(d,α)<0且为偶函数，表明传感器参数一定时，α引起的测量相对误差大小由d及α决定，且相对误差大小与α方向无关。

若以图3(b)中的α方向为正方向，当R=3.5 mm时，求得不同d下δ(d,α)随α(计算步长为1′)的变化规律如图4所示。

图4 不同d下δ(d,α)随α的变化 Fig.4 Relative deviation of sensor output as a function of plate angle at different distances from plate

由图4可见，当d不变时，δ(d,α)随|α|值的增大而逐步减小，且d越小，δ(d,α)减小的速度越快。表明极板间距越小，极板不平行误差对极板夹角变化越敏感。

3 极板不平行误差标定方法

标定前，首先根据标定要求确定待标定量。然后根据待标定量确定标定原理，设计标定实验装置。

3.1 待标定量

首先分析横梁转动中极板间距的变化规律。由图2，横梁转动中可表示为

(10)

式中：w/2(1/cos α-1)为宽度余弦误差。综合(9)式和(10)式，DII可表示为

(11)

由于假设位置Ⅰ处极板平行，有则ΔD与实际线位移L tan α的关系为

(12)

假设初始时刻宽为w的扭摆横梁在平衡位置Ⅰ与传感器探头平行，如图2所示，在推力作用下横梁转动到稳态位置Ⅱ，此时横梁与传感器中轴线的交点c转动到m点，规定横梁逆时针转角为正方向，则图中α>0°.

综合以上分析，位移测量误差大小为 其中，与传感器参数无关，可以通过计算得到与传感器参数有关，由于传感器实际特性与理论特性的偏离，具体数值需要通过标定得到，为实验待标定量。

空间数据促使世界的数字基础构架和物理基础设施相互结合，任何人或任何事物都能够低成本地实现数字联网，很容易把“传感器”嵌入到各种系统之中.对于本系统而言，大型公共建筑内人员的移动手机便是具有实时采集人员物理、生理和心理状况功能的“传感器”.因手机越来越智能化，其自带传感器很多，可开发相关APP收集这些数据，同时通过互联网嵌入到空调的控制系统之中.笔者对“传感器”采集来的数据，围绕时空数据挖掘方法对本系统如何从大数据中获得室内人员环境期望参数进行阐述.

本次新疆复赛区有19位选手经过初评角逐，进入决赛入围赛，现场进行两轮造型、妆容比拼，两场总得分前5位选手获得第九届中国摄影化妆造型十佳大赛总决赛入围资格。

3.2 标定原理

根据3.1节分析，在横梁及传感器尺寸确定以及位移测量臂长、测量环境不变的情况下，图2中α确定时，根据DI可计算出将与DII进行对比，依据(9)式即可求得的标定值

陈杭(1992-),男,研究生,研究方向:园艺植物资源与种质创新,email:chenhang9210@163.com;

(13)

依据(13)式进行标定实验的前提是给定精确的α值。微推力测量中α值在(5×10-2)°～(5×10-5)°之间，标定实验中难以给定精确到该量级的α值。本文通过在1°量级水平上标定得到与之间的相对偏差值(无量纲量)：

(14)

然后利用ε对的理论值进行修正，即可得到整个连续α区间上的

当时调节α过程中对应的传感器输出值D(α)随时间的变化如图10所示。由图10可见，随着|α|的增大，D(α)减小的幅度越来越大。减小值中包含了极板不平行误差及宽度余弦误差。减去宽度余弦误差，计算得到时不同α下的以及ε，如表1所示。由表1可见，ε的大小与α无关，|ε|max=13.59%.调节到不同位置，与的关系也与表1的规律一致，只是|ε|max 值不同，如表2所示。

(12)式中，-w/2(1/cos α-1)是关于α的偶函数，为偶函数且 若L为0，则也为α的偶函数，此时为关于α的偶函数。由此可得，当L=0 mm时ΔD为α的偶函数，且ΔD<0：

(15)

即当L=0 mm时，保持极板间距不变，传感器测量值的减小量与旋转角方向无关，减小量的大小为宽度余弦误差与极板不平行误差之和；当L≠0 mm时，ΔD不是α的偶函数。

当时，综合(10)式与(15)式可得L、w变化时位移测量相对误差ΔD/DI的理论值随α变化的曲线如图5所示。

图和 L、w变化时ΔD/DI理论值随α变化的曲线 Fig.5 Curve of theoretical value of ΔD/DI as a function of α in the variation of L, w for

图5中，当L=0 mm、w=0 mm时，ΔD/DI对应图4中的δ(0.5 mm,α)曲线。当L=0 mm、w=20 mm时，由于宽度余弦误差与α的方向无关，ΔD/DI只是数值变小，仍关于α对称。而当L≠0 mm时，由于关于α不具有对称性，极板不平行误差关于α不具有对称性，因而ΔD/DI关于α不具有对称性。

基于以上特性，通过ΔD关于α的对称性可调节L到零位置，从而避免了L难以精确测量的问题，同时还可以据此将极板调节到平行状态，解决极板的初始平行问题。

3.3 实验装置及实验步骤

刘铁头不再拍桌子了，他忽然把脑袋向我凑过来，猛丁用力磕了一下我的脑袋，我眼前金星乱窜，疼得眼泪差点掉出来。刘铁头说，不准你日他闺女。刘铁头的脑袋格外硬，上小学时喜欢拿脑袋磕人，磕遍全校无敌手。二十几年后，他的脑袋变得更硬了，依然能把我磕得疼痛难忍。

图6 标定装置实物图 Fig.6 Calibration device

调节模块由光学调整元件组成，直线位移台(分辨力10 μm)用于极板间距及位移测量臂长的调节，旋转位移台(分辨力2′)用于极板夹角的调节，倾斜位移台(分辨力2′)用于初始俯仰角归零调节。测量目标(铝块，宽度w=20 mm)与探头通过光学连杆固定在位移台上。待标定传感器量程Dr=1 mm，动态分辨力30 nm，极板半径RS=5 mm(包括电场屏蔽环)，有效测量半径R=3.5 mm.

如果能确定极板不平行误差的大小，得到DII与的关系，便可得到ΔD与的关系，从而为传感器位移测量误差以及推力测量误差的分析提供依据。

图7 调节L=0 mm过程示意图(俯视图) Fig.7 Process of adjusting L to 0 mm (top view)

由于传感器本身具有一定的输出噪声，输出数值一直在变化，实验时无法找到D(α)与D(-α)完全相等的对称位置。可以通过同一位置多次顺时针、逆时针方向调节α，得到D(α)最大差值τ，当|D(α)-D(-α)|≤τ时，认为D(α)=D(-α)。实验中最小调节值为0.1 mm，该位置传感器输出值信噪比最小，确定的τ值能够较大程度地反映传感器输出随机误差、旋转台制造误差、手动调节误差及环境噪声对传感器测量值的影响，因而选择确定τ值。

4 标定实验结果及分析

由于α的调节步长越小，得到(α,D(α))数据点越多，标定精度越高，但调节步长过小，α调节精度受限且调节时间较长，综合考虑标定精度及α调节精度后，本文选择0.5°为调节步长。

设计的标定实验装置如图6所示，整个标定实验在光学平台上进行。该装置的原理为：通过调节模块改变测量目标与传感器探头之间的相对位置后，传感器探头与测量目标之间的电容值便发生变化。电容信号先经过前置放大器放大，再经过控制器处理形成数字位移信号输入计算机中，计算机接收、显示并存储位移数据。实验中计算机置于光学平台外，以减小操作计算机引入的干扰噪声。

就以观赏石的分类而论，古典观赏石的分类因受制于科学技术和生产力条件的约束，就只有灵壁石、太湖石、昆石、英石四大类型为正宗，延续了上千年。

4.1 实验结果

首先确定τ值。调节多次顺时针、逆时针方向调节α得到τ=0.24 μm，则|D(α)-D(-α)|≤0.24 μm时，认为D(α)=D(-α)，据此可进行L=0 mm的调节。

当(稳态均值)时调节α过程对应的传感器输出值D(α)随时间的变化如图8所示。图8中，|D(α1)-D(α2)|>0.24 μm，且D(α)随着α值的增大而逐步递大，与图5中L≠0 mm时位移测量误差曲线趋势相同，说明此时铝块与探头的相对位置关系正如图6(a)所示，探头位于目标旋转O点右侧，随着α的增大，极板间距越来越大。

图和L≠0 mm时不同α对应的传感器输出值 Fig.8 Sensor output as a function of α for

细调L，最终得到如图9所示具有对称性的传感器输出值，图中|D(α)-D(-α)|≤0.24 μm，可见D(α)=D(-α)，表明此时完成了L=0 mm的调节。

图和L=0 mm时不同α对应的传感器输出值 Fig.9 Sensor output as a function of α for and L=0 mm

在通过(13)式计算时存在两个问题：1)受测量对象转轴的制造加工误差影响，L难以精确到微米水平是在初始极板平行条件下成立的，需要有精度较高的极板平行调节方法。为解决这两个问题，进行以下分析。

图和L=0 mm时不同α值对应的传感器输出值 Fig.10 Sensor output as a function of time for different α,

由表2可知，随着的增大，相对偏移量的最大值并没有明显的变化趋势。由此可认为，极板不平行误差实际值与理论值的相对偏差大小与极板间距、极板夹角无关，大小在±17.4%以内。对于该传感器来说，在整个量程中进行极板不平行误差分析时，应取η(d,α)=(1±17.4%)δ(d,α)。上述结果表明：传感器线性度、重复性、分辨力等参数误差均在允许范围内，而极板不平行误差与理论值存在17.4%的相对偏差。这是因为：1)出厂标定时存在较小的极板不平行误差；2)标定实验本身的精度影响，如位移台调节精度、测量环境干扰等。

表时传感器极板不平行相对误差标定值与理论值比较 Tab.1 Comparison of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for

参数α/(°)-1 5-1 0-0 50 51 01 5ae/μm296 572298 477299 619299 619298 477296 572δ(ae，α)/%-2 28-1 03-0 26-0 26-1 03-2 28η(ae，α)/%-2 43-1 12-0 23-0 24-1 17-2 01ε/%6 588 74-11 54-7 6913 59-11 84

表2 不同下极板不平行误差标定值与理论值的相对偏差 Tab.2 Relative deviation of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for different

ab/μm100 045300 052500 012700 071900 052|ε|max/%15 713 716 917 412 7

标定得到η(d,α)后，即可进行极板不平行误差分析。

无钾处理区枣树叶缘焦枯，叶子皱缩，叶缘和叶尖失绿，呈棕黄色或棕褐色干枯，发病症状从枝梢中部叶片开始，随病势发展向上、下扩展。钾在树体内以无机酸盐、有机酸盐、钾离子等形式存在，在光合作用中占重要地位，对碳水化合物的运转、储存，特别是淀粉的形成有重要作用；对蛋白质的合成也有一定促进作用；钾还可作为某些酶和辅酶的活化剂。本试验钾肥50%作基肥施入，剩余50%于盛花期追施。

仿真结果如图5～图7所示，图5为高频扰动下扰动估计误差曲线；图6为高频扰动下摆角曲线；图7为高频扰动下控制信号.

4.2 极板不平行误差分析

w和L一定时，综合(9)式、(10)式和(12)式，宽度余弦误差与极板不平行误差引起的总位移相对误差可表示为及α的函数：

(16)

式中：w/(2L)tan(α/2)为宽度余弦相对误差，记为为极板不平行相对误差，记为γp，则有

测量中，横梁不能接触传感器探头，同时最大位移不能超出传感器量程，因此需满足约束条件 若则根据约束条件可计算得到|α|<0.094°. 设置α的计算区间为-0.094°～0.094°，根据(16)式，计算得到γw和γp的理论值如图11所示。由图11可得，γw(α)=-γw(-α)，原因为宽度余弦误差关于α对称。相比之下，γp(α)随α的增大而单调减小，原因为关于α不具有对称性。整个α范围内，|γw|<0.01%，而|γp|在α接近最小值(横梁接近负向最大转角)时快速增大到2.75%，在α接近最大值时逐步增大到0.04%，说明极板不平行误差主要受极板夹角影响。

在手表式血压计的基础上提供一种通过手机摄像头以及闪光灯测量心率的方式。该模块使用基于小波变换的带通滤波器及快速傅里叶变换(FFT)技术，通过手机自带摄像头以及闪光灯实现，在食指指腹轻贴摄像头时，通过捕捉毛细血管的搏动，对血液流变以及毛细血管蠕动的影像分析，获得其心率值(如图5所示)。

图时γw与γp的比较图 Fig.11 Comparison of relative width cosine error γw and relative non-parallelism error γp for initial plate distance of 0.5 mm

根据标定结果η(d,α)=(1±17.4%)δ(d,α)对图11进行修正。η(d,α)=(1+17.4%)δ(d,α)时，整个α范围内极板不平行误差最大，对应的γp值分布如图12所示。由图11可得，α<0时γp>0，α>0°时γp<0，表明极板不平行误差的存在使得位移测量值在扭转角为负向时偏大，而在扭转角为正向时偏小。对比图11可知：当α接近最小值时，γp的最大值增大到3.25%，但未超过4%；当α接近最大值时，|γp|值逐步增大到0.04%，与传感器的线性度误差达到相同量级[11]，表明极板不平行误差是电容位移传感器响应位移测量精度的主要因素之一。

图时极板不平行相对误差γp与扭转角关系 Fig.12 Relative non-parallelism error γp versus torsional angle for initial plate distance

根据标定结果得到极板不平行误差与扭转角的变化规律后，下面进一步分析极板不平行误差对推力测量精度的影响。

4.3 极板不平行误差对推力测量精度的影响

根据(2)式，位移测量误差EΔD对应的推力测量误差EF为

(17)

结合(2)式，可得极板不平行误差对应的推力测量相对误差γF为

(18)

(18)式表明，极板不平行相对误差与其对应的推力相对误差大小相等，减小极板不平行误差能够直接提高推力测量精度。根据图12的结果，γp在横梁接近正向最大转角时最小，因此在测量位移时应选择与图2相同的位移测量方向，使得横梁稳态转角在远离传感器探头以减小γp，在该测量方向，|γp|<0.04%，结合(18)式，对应有|γF|<0.04%.

对于标定实验中的传感器，若推力作用力臂l=300 mm、枢轴刚度系数k=0.16 N/rad，则由(2)式及图12中的结果可得不同|γF|及对应的稳态转角α值，如表3所示(计算步长2′)。

苏长河带柳红到烂眼阿根家时，柳红一直在颤抖。烂眼阿根的老婆男人婆和儿媳妇白玉儿都在家，苏长河问老村长呢？她们都说不知道，男人婆还恶狠狠地骂了句，谁知道他死哪儿去了。苏长河告诉她们，老村长死在玉米地里，男人婆不信，问谁看见了？苏长河说柳红看见的，在他女儿家的玉米里，赶紧报警吧。男人婆说不报，要报你报。苏长河就叫白玉儿拨通了报警电话，他报了警。

广西助困资助经费的资助对象是高等学校中的全日制本专科生、研究生和预科生，不含成人教育学生。助困资助经费应优先资助家庭经济困难学生，尤其是农村建档立卡贫困家庭学生、农村低保家庭学生、农村特困救助供养学生、孤残学生、烈士子女、老少边山穷地区贫困家庭学生以及学生患重大疾病、家庭遭遇自然灾害或突发事件等特殊情况的学生。

表3 不同稳态扭转角下推力值及极板不平行相对误差 Tab.3 Relative errors of thrust and relative non-parallelism at different steady-state torsion angles

参数α/(°)0 0110 0320 0530 074F/μN103 3298 8494 3689 8|γF|/%0 010 020 030 04

表3只是传感器有效半径R=3.5 mm时α与|γF|的对应关系，实际中常会根据测量位移的大小选择不同R值的传感器。在扭摆参数不变时，同样测量689.8 μN对应的0.074°稳态转角，不同R值的传感器得到的|γF|理论值如表4所示。

首先对采样袋空白背景样品采集；然后将试验样板放入容量10 L的采样袋中，充入60%氮气，密闭后放入65℃烘箱中恒温2 h。使用采样泵和捕集管收集样品，采用气相色谱和液相色谱分别对挥发性有机组分和醛酮进行测定。通过数据处理获取常规VOC八项物质的浓度[3]。

由表4可知，传感器R越大，|γF|越大，且|γF|的增大倍数约为R增大倍数的2倍，表明在满足扭转角量程的前提下，应尽量选取R较小的传感器。根据(18)式可进一步推断出：对于689.8 μN大小的推力，若要推力测量精度达到微牛以下量级水平，要求|γF|<0.15%，R<7 mm.

表4 不同传感器有效半径下推力测量相对误差对比 Tab.4 Comparison of relative error of measured thrust for different active measuring radii

R/mm2 55 07 010 0|γF|/%0 020 040 150 31

以上分析均基于扭摆测量系统，对于其他测量系统，测量原理基本都是由测量装置中的弹性元件提供回复力与推力平衡，推力与弹性元件形变量也是线性关系，因此(18)式中的γF=γp仍然成立。对于部分由测量元件重力提供回复力的系统，如吊摆结构，测量原理[15]为

FLF=mgLmsin α，

(19)

式中：F、LF分别为推力及推力力臂；m、g、Lm分别为测量元件质量、重力加速度及重力力臂；α为扭转角。由于α取值为10-3 rad，sin α/α-1的数值为10-7量级，可认为sin α=α，进而有FLF=mgLmα，同样有γF=γp. 综上所述，本文关于基于扭摆系统的分析结果也适用于其他结构测量。

5 结论

1)极板不平行误差与极板夹角及极板的间距大小有关，夹角值越大，间距越小，误差越大。极板不平行误差实际值与理论值的相对偏差与极板间距及极板倾角无关。

2)当横梁转动到接近传感器最大角度时，极板不平行误差显著增大。在远离传感器的最大角度时，极板不平行的相对误差逐步增大，数值上比远离传感器最大角度位置的相对误差小2个数量级。因此测量时应使传感器与横梁的稳态位置位于初始位置的对称位置。

3)极板不平行相对误差与其对应的推力相对误差大小相等。推力相对误差的增大倍数是有效极板面积增大倍数的2倍。因此，在满足量程的前提下，应选择有效极板面积较小的传感器。

本文的研究结果为测量结构参数设计、传感器参数及位移测量位置的选择进而提高推力测量精度提供了一定的依据。提高标定精度并采用拟合等方法处理标定结果，是下一步需要改进的地方。

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