0 引言

椭球的大地经纬度(B,L)、大地点的正反方位角(A12,A21)、大地线弧长S等,称为大地元素。用P1点的大地坐标(B1,L1)、以及起点方位角A12、大地线弧长S来解算其它大地元素,称为大地主题正算;用P1、P2点的大地坐标(B1,L1)、(B2,L2)来解算其它大地元素,称为大地主题反算:

大地主题正算:

为检验计算方法的准确性, 计算了空风洞Ma=0.4～0.9的流场, 表1给出了计算的附面层厚度. 其中, Re为Reynolds数, 特征长度c=0.24 m, Ma∞, Mal分别代表试验段远前方来流Mach数和附面层外缘Mach数, δ为附面层厚度, 定义为附面层速度恢复至0.99倍来流速度时与物面的距离. 可以看出, 计算的附面层厚度随Mach数增大而略增大, 规律与实验结果[27]一致, 附面层厚度在45～50 mm 之间. 计算结果附面层偏薄. 考虑到研究目的是对比加装涡流发生器前、 后的差量, 因此绝对值间的差异不会影响计算结果的分析.

大地主题反算:

青瓷一整天都把自己关在屋子里，她想起和李光北在一起的点点滴滴，那么老实的一个男人，把她捧在手心里，含在嘴里，从不让她受丁点委屈，饭他做，家务他打扫，赚的钱一分不少交到她手里，让她随便花，自己却穿着几年前的旧裤子也舍不得买新的。

根据解算距离,一般可分为短距离解算(<400 km)、中距离解算(400～1000 km)及长距离解算(>1000 km)[1]。

大地主题解算比较繁杂,许多学者提出了种类繁多的公式和方法,据称有70余种[1]。陈俊勇(1966,1979)导出了大地主题正算及反算的直接解[2-3];张学廉(1985,1987)导出了适用于袖珍计算机解算的大地主题嵌套系数法[4-5];张志新(1987)在南极科考时利用编程计算器解算大地主题[6];徐绍铨(1990)提出了弦线法解算大地主题的精密公式[7];施一民等(2003)等从大地微分公式出发导出了短距离的正反解的公式和算法[8];纪兵、边少锋等(2007)借助数学软件Mathematica导出了大地主题贝塞尔方法的非迭代解[9];何菊等(2006)讨论了大地主题解算嵌套系数法的改进问题[10];徐小晗等(2012)改进了嵌套系数法,减少了象限判断,对奇异问题进行了处理[11];丁士俊等(2013)针对高斯平均引数法、白塞尔方法及嵌套系数法提出了改进计算方法[12],朱宁宁等(2013)采用四阶Runge_Kutta方法解算大地主题正算[13];等等。根据解算方法,一般可分为:1)Bessel大地投影解算法,它将椭球上的大地线投影到Bessel圆球上,用球面三角方法解算;2)弦截线法,通过建立弦截线方程进行主题解算;3)微分方程积分法,它直接对大地微分方程进行积分,将被积函数的大地元素B、L、A等展开为自变量S(正算)或l(反算)的Taylor级数表达式,再积分得到大地主题解,该方法一般只适宜于短距离解算;4)常微分方程组数值方法,它根据大地主题的初值条件直接对常微分方程组进行数值求解。前3种方法,公式繁杂、沉长,解算复杂,有些公式只适用于中短距离的大地主题解算。

随着计算工具的发展,目前对大地主题使用第4种方法求解并不困难,可利用现成的数学工具进行求解。MathCAD是一款具有文本编辑的数学软件,其表达式与传统数学表达式十分接近,可读性好,兼具符号分析与数值计算功能,具有线性代数、微积分、非线性方程、常微分方程、线性规划、最优化求解、积分变换、数理统计、数据处理等工具,可满足一般的工程应用。本文以MathCAD为工具,利用常微分方程求解函数—自适应变步长四阶龙格—库塔函数Rkadapt()解算大地主题,正反算求解方法完全相同。方法简洁、通用,求解精度高,适用于长短距离解算。

深圳地区是一近东西向的带状区域,长约90 km,宽约44 km,即位于高斯投影6°带的边缘区域,也位于3°带的中心区域。选择深圳地区最西与最东的二等GPS控制点Ⅱ3及Ⅱ54,计算了大地线弧长及高斯投影6°带、3°带直角坐标系及深圳独立坐标系的直线距离,估算了深圳地区不同直角坐标系的投影变形值。

1 大地主题微分方程

1.1 大地线微分方程

则P2点的正算大地元素值为:

(1)

式中,M为子午圈曲率半径。

(2)

N为卯酉圈曲率半径。

（4）课后服务经费来源。很多国家已构建起政府拨款、企业援助和家庭有限支出三大板块为主体的经费支撑模式。法国和美国的经费来源主要是学生父母缴纳的学杂费、联邦政府和地方政府的公共资金和社会捐赠；澳大利亚主要由国家政府、州政府和区域行政部门承担，还为家庭经济困难者提供政府援助；欧盟国家的支付方式则根据各国的财政情况而定，具体有免费、低收费和高收费三种模式，如爱沙尼亚、立陶宛和希腊的课后服务不收费，而爱尔兰和英国课后服务被视为私人服务，收费较高。

(3)

按照水利部《关于开展全国重要饮用水水源地安全保障达标建设的通知》要求，结合山东省实际情况，先后开展了 2011、2012、2013 年重要饮用水水源地安全保障建设工作，定期对全省主要城市重点供水水源地水质进行监测并通报，完善饮用水水源地突发事件应急预案，提高突发水污染事件应急反应能力。

1.2 大地主题正算常微分方程组

由大地线微分方程(1)可以得到以大地线弧长S为自变量的一阶常微分正算方程组:

(4)

其常微分方程的初始条件为:

(5)

1.3 大地主题反算常微分方程组

由大地线微分方程(1),同样可导出以经差l=ΔL为自变量的一阶常微分反算方程组:

B为大地纬度,L为大地经度,A为大地方位角,S为大地线弧长,a为椭球长轴半径;e为椭圆第一偏心率。

(6)

其初始条件为:

(7)

在大地反算的初始条件中,起点方位角A1(即A12)是未知数,需先求出A1才能求解常微分方程组。起点方位角A1的求解精度决定了大地主题反算的求解精度。

2 常微分方程组求解

大地主题正反算,均为一阶常微分方程组,只要根据其初始条件,解算一阶常微分方程组就可完成大地主题解算。方法相同,简单直观,不论距离长短均适用,解算精度高。一阶常微分方程组的解算,目前的数学软件均可直接实现。本文使用MathCAD数学软件的常微分方程求解工具—自适应变步长四阶龙格—库塔函数Rkadapt()进行大地主题解算。

坐标转换矩阵在运动学中是用4×4矩阵来描述两个刚体的空间几何关系。基于几何变动在装配体中的传递方式，本文用坐标转换矩阵来表达零件间特征或要素间的几何关系。两个不同坐标系之间的平移和旋转关系可用转换矩阵T表示[5]：

z=Rkadapt(V0,x0,xn,n,D)

(8)

调用参数:V0为初始条件的初值列向量;x0为自变量的计算起点值;xn为自变量的计算终点值;n为自变量计算区间的节点数(可根据距离长短设定);D为因变量对自变量的一阶导数列向量;z为求解结果列向量。

2.1 大地主题正算常微分方程组求解

对于大地主题正算,Rkadapt()函数的调用参数为:

一般地，设X0∈＜a，b＞，X∈＜c，d＞，且X0∈X，则点x关于区间X0和X组成的区间套的位置规定为:

初始条件初值列向量:

计算起点大地线弧长(m):x0=S0=0

英军1916年索姆河战役首次使用了坦克并取得了战役的胜利。1918年8月8日在亚眠一役中，456辆坦克大破德军防线。从此，石油坦克的应用结束了军事防御为主的时代。1918年10月德军最高指挥部宣布胜利已无可能，首要的理由就是坦克的诞生。其二则是协约国的汽车和卡车压倒了德国的火车，那也是用石油作驱动的缘故。

Beseel投影图见图1,其投影的3个条件是:1)大地线投影到球面上为大圆弧,2)投影方位角角度不变,3)球面纬度为椭球上相应点的归化纬度。

xn=Sn=50000000

设定求解节点数:n=500000

信息化的时代之下，信息化教学成为教学领域发展的关键目标。电子白板作为与其他智能设备一样具备信息化性质的媒体设备，在教学领域体现着与众不同的适用性。特别是在幼儿教学领域的应用，有很大的优势，为此需要进一步分析。

大地纬度、经度及起点方位角对大地线弧长S的一阶导数列向量为:

向量z为常微分方程组的求解结果的列向量,其n个节点的大地元素解算值为:

(9)

对于任意处Si(节点及非节点处)的大地元素值,可建立线性插值函数进行计算:

(10)

在椭球的大地坐标系中,其大地线微分方程为[1]:

(11)

P2点的反方位角A21按下式确定:

(12)

2.2 大地主题反算常微分方程组求解2.2.1 大地主题反算求解

对于大地主题反算,Rkadapt()函数的调用参数为:

初始条件初值列向量:

其中:

Without the interface states, the negative charge Qm on the metal surface must be equal to the positive charge Qd in the semiconductor. However, in real conditions, with interface states, the neutrality condition as:

计算终点经差(Rad):

设定求解节点数:n=500000

大地弧长、大地纬度、起点方位角对大地经差l的一阶导数列向量为:

向量z为常微分方程组的求解结果列向量,其n个节点的大地元素解算值为:

Rkadapt()函数的调用格式为[14]:

(13)

对于任意处Li(节点及非节点处)的大地元素值,可建立线性插值函数进行计算:

两组治疗有效率比较，实践组采取复方丹参滴丸与曲美他嗪联合应用治疗，实践组治疗有效率明显高于对照组，两组对比，差异有统计学意义（P＜0.05）。见表1。

(14-3)

因此,P2点的反算大地元素值为:

(15)

P2点的反方位角A21按下式确定:

2)建设拥有强大支撑能力的大数据能力开放平台。建成的平台将包含数据可视化分析应用的快速开发能力、数据挖掘建模的快速开发能力、以及强大的技术服务能力和数据分析能力，以支持数据中心在“信息定制”方面的服务需求。

A21=A2+π

(16)

2.2.2 起点方位角A1求解

在大地主题反算中,初始条件含未知的大地线起点方位角A1(即A12),需先求出A1才能求解常微分方程。起点方位角A1的求解精度决定了大地主题反算的求解精度。

大地线起点方位角A1,本文采用Bessel方法求解。Bessel方法是将椭球元素按照Bessel条件投影到辅助球面上,再在球面上用球面三角解算大地元素[1]。

设定计算终点大地线弧长(m):

图1 Bessel 投影图

解算Bessel圆球元素前,需先将椭球纬度B归化为Bessel圆球纬度u,再迭代解算其它元素:

(17)

赤道初始方位角A0,P1、P2点的方位角A1、A2,从赤道点起算的圆弧长σ1、σ2,圆球经度λ1、λ2均需进行迭代计算。取(20)～(28)式10次迭代解算结果,其精度足以满足要求:

Δσ(0)=0

(18)

Δλ(0)=ΔL

观察组患者手术时间较对照组显著缩短，术中出血量及术中引流量较对照组显著减少，差异有统计学意义(P＜0.05)，见表1。

(19)

(20)

(21)

(22)

(cos(u1)·sin(u2)-sin(u1)cos(u2)·

[sin(u1)sin(u2)+cos(u1)cos(u2)cos(Δλ(k))]

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

计算起点经差(Rad):x0=l0=0

(29-1)

(29-2)

(29-3)

上述迭代过程中,各元素的反三角函数常值,按表1确定。

3 大地主题正反解计算实例

本文实例,椭球为克拉索夫斯基椭球,高斯投影直角坐标系为北京54坐标系。

表1 反三角函数主值Ap与常值A关系表

反三角函数象限1234yB≥0≥0<0<0xL≥0<0<0≥0反三角函数主值值域AAAA反正弦asin(yB∗xL)[-π/2,π/2]|Ap|π-|Ap|π+|Ap|2π-|Ap|反正切atan(yB/xL)(-π/2,π/2)|Ap|π-|Ap|π+|Ap|2π-|Ap|反余弦acos(yB∗xL)[0,π]|Ap||Ap|2π-|Ap|2π-|Ap|反余切acot(yB/xL)(0,π)|Ap||Ap|π+|Ap|π+|Ap|

3.1 大地正算实例

大地正算的5个实例均选自教科书[1,15-17],Rkadapt()函数的节点数取n=500000,正算结果见表2。求解的大地线弧长S与经纬度(B,L)及方位角A的关系曲线见图2(实例3)。

3.2 大地反算实例

大地反算的5个实例与正算同源[1,13-15],Rkadapt()函数的节点数取n=500000,反算结果见表3。大地经差l与大地线弧长S、方位角A1及纬度B的关系曲线见图3(实例3)。

改革开放四十年来，我们党和国家不断进行着自我完善的实践活动。回顾改革开放的历史进程，没有思想的解放作为前提，没有观念的转变作为契机，就不可能拥有行动上的实际力量推动社会向着既定的目标不断发展。历史经验告诉我们，任何实践都需要在一定的目标取向中去完成，而这种目标取向从根本上来说就是人们对于历史以及未来的自我认知及合理预期。中国改革开放四十年始终坚持着在反思问题与变革现实、增长目标与实现预期有机统一的维度上进行着中国特色社会主义的建设与发展。

表2 大地主题正算结果表

实例大地主题正算源数据参数正算源数据大地主题正算结果参数原文献Bessel解算本文微分方程组数值法参考文献S44797.2826n500000B147°46′52.6470″B248°04′09.6384″48°04′09.6384″[1]1L135°49′36.3300″L236°14′45.0505″36°14′45.0504″《大地测量学基础》A144°12′13.6640″A244°30′53.5507″(第2版)p139A21224°30′53.5510″224°30′53.5507″S10000000.0000n500000B130°30′00″B2-37°43′44.1000″-37°43′44.1352″[1]2L1114°20′00″L2-51°16′32.5000″51°16′32.4977″《大地测量学基础》A1225°00′00″A250°21′22.4900″230°21′22.4895″(第2版)p150A2150°21′22.4895″S15000000.0000n∗原文解算结果有误500000B145°00′00″B2∗-33.0125-33°01′25.5466″[12]3L1∗102.4612°102°27′40.3200″L2∗225.3321225°14′49.4381″《椭球大地测量学》(熊介)A195°00′00″A2∗302.4702122°47′02.0971″p133A21302°47′02.09714216″S7999606.4000n500000B168°58′00″B237°44′59.9755″37°44′59.9767″[13]4L133°05′00″L2-122°26′00.0057″-122°26′00.0054″《椭球大地测量学》(陈健等)A1339°49′56.385″A29°01′07.8098″189°01′07.8099″p111A21189°01′07.8098″9°01′07.8099″S2000000.0000n500000B1∗40.0432°40°02′35.6780″B2∗23.0284°23°01′42.2400″23°01′42.3523″[14]5L1∗115.1667°115°10′00.0010″L2∗122.2120°122°12′43.2000″122°12′42.5879″《大地坐标系与大地基准》A1∗158.5215°158°31′17.6850″A2∗342.2510°342°15′03.6000″162°15′03.4236″p86A21342°15′03.4236″

图2 大地线弧长与经纬度及方位角关系图(实例3)

表3 大地主题反算算实例计算表[1,15-17]

实例大地主题反算源数据参数反算源数据大地主题反算结果参数原文献Bessel解算本文微分方程组数值法参考文献B147°46′52.6470″n500000L135°49′36.3300″S44797.282644797.2824[1]1B248°04′09.6384″A244°30′53.5508″《大地测量学基础》L236°14′45.0505″A1244°12′13.6680″44°12′13.6641″(第2版)p139A21224°30′53.5555″224°30′53.5508″B130°30'00″n500000L1114°20'00″S9999999.952010000000.0001[1]2B2-37°43'44.1000″A2230°21'22.4895″《大地测量学基础》L251°16'32.5000″A12224°59'59.9999″224°59'59.9999″(第2版)p151A2150°21'22.4881″50°21'22.4895″B145°00'00″n500000L1∗102.4612°102°27'40.3200″S15000000.0001[12]3B2-33°01'25.5467″A2122°47'2.0971″《椭球大地测量学》(熊介)L2225°14'49.4382″A1295°00'00.0000″以正算实例3结果数据作为反算源数据A21302°47'2.0971″B168°58'00″n500000L133°05'00″S7999606.38007999606.4047[13]4B237°44'59.9755″A2189°01'07.8099"189°01'07.8100″《椭球大地测量学》(陈健等)L2-122°26'00.0057″A12339°49'56.3849"339°49'56.3850″p113A219°01'07.8100″B1∗40.0432°40°02'35.6780″n500000L1∗115.1667°115°10'00.0010″S2000000.06722000000.0002[14]5B2∗23.02843°23°01'42.3520″A2162°15'03.4236″《大地坐标系与大地基准》L2∗122.2118°122°12'42.5880″A12158°31'17.6847″p90A21342°15'03.4236″

表2、表3表明,大地主题正反算结果可以互相一致性验证,大地线弧长15000 km的计算精度可以达到0.0001 m;方位角计算精度可以达到0.0001″,足以满足大地主题长距离解算的精度要求。

4 高斯投影长度变形

在大地主题解算的基础上讨论高斯投影变形,即大地线弧长与高斯投影直角坐标系的直线长度变形。

图3 大地经差与大地线弧长及方位角、纬度关系图(实例3)

高斯投影的长度比m为[1]:

(30)

式中,Rm为平均曲率半径,可按下式计算:

(31)

由式(30)、(31)可知,长度变形与投影点在投影带的位置(B,L)或(x,y)有关,仅在中央子午线上m=1,投影长度不变;当y≠0,则m>1,即高斯投影后长度变长,离中央子午线越远,长度变形越大。

表4给出了2例大地坐标的(B,L)数据,实例1引自文献[1],实例2选自深圳最西与最东的二等GPS控制点Ⅱ3及Ⅱ54。根据2点(B,L)数据,由高斯投影转换其6°及3°投影带直角坐标,深圳实例再用3°带坐标转换为深圳独立坐标,转换结果见表4。其次,由大地主题解算得到2控制点的大地线弧长S及高斯投影直角坐标系的直线长度D,计算了高斯投影的实际变形,详见表4、表5。

上述2个实例即位于高斯投影6°带的边缘区域,也位于高斯投影3°带的中心区域。表4、表5表明,高斯投影的直线长度都大于大地线弧长;投影带边缘区域变形大,中心区域变形小。

5 结束语

表4 大地线长度与高斯投影直线长度计算表(单位/m)

实例1点号大地坐标BL33°子午线6°带坐标x6y636°子午线3°带坐标x3y3独立坐标xsys文献[1]147°46′52.6470″35°49′36.3300″5298074.3800711833.18105294217.4660487017.0170p139248°04′09.6384″36°14′45.0505″5331331.6290741888.02705326261.0280518322.1460线长44797.282644825.644244797.3321实例2点号大地坐标BL117°子午线6°带坐标x6y6114°子午线3°带坐标x3y3独立坐标xsys深圳1B1L1x61y61x31y31xs1xy12B2L2x62y62x32y32xs2xy2线长89249.921989343.757289250.925289251.7223

表5 大地线弧长S与高斯投影直线长度D变形对照表

实例坐标系线型高斯投影变形线长/m变形值/m相对变形/‰(B,L)大地线 S44797.28260.0000实例1(x6,y6)6°带投影直线 D644825.644228.36160.6331(x3,y3)3°带投影直线 D344797.33210.04950.0011(B,L)大地线 S89249.92190.0000实例2(x6,y6)6°带投影直线 D689343.757293.83531.0514(x3,y3)3°带投影直线 D389250.92521.00330.0112(xs,ys)深圳独立坐标直线 Ds89251.72231.80040.0202

正反算大地主题为一阶常微分方程组,用MathCAD数学软件的常微分方程求解工具可以直接对微分方程组进行数值求解,适用于长短距离主题解算。对大地主题求解,本文设定求解节点数取n=500000;计算终点,正算设定弧长S=50000km(大于椭球体周长),反算设定经差l=2π(绕球1圈)。该方法的最大优点是:可一次性求解n个节点的大地元素值;并可在此基础上建立线性插值函数计算任意点的大地元素值,这是其它方法所不具备的。方法简洁,精度高,用时短,在配置一般的联想y450笔记本上,计算时间也仅为20 s左右。解算精度,大地线弧长可达到0.0001 m/15000 km,方位角可达到0.0001″,足以满足长距离解算的精度要求。

高斯投影的两点直线距离,与其在高斯投影带中的位置有关。高斯投影带边缘区域长度变形大,中心区域长度变形小。深圳地区即位于6°投影带的边缘区域,也位于3°投影带的中心区域。据深圳最西与最东的二等GPS控制点Ⅱ3及Ⅱ54计算,深圳地区在6°投影带的投影变形可达1.05 m/km左右;在3°带的投影变形可达0.01 m/km左右;在深圳独立坐标系的投影变形可达0.02 m/km左右。

参考文献

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