目标跟踪是一类典型的非线性滤波问题，贝叶斯估计理论为非线性滤波提供了严谨的解决框架。对于线性高斯系统，贝叶斯估计的最优解为卡尔曼滤波[1]。但对于非线性高斯系统，很难得到高斯加权积分的解析解，因此科研人员提出了许多次优非线性滤波方法。其中，扩展卡尔曼滤波(Extented Kalman Filter,EKF)[2]由于简单高效得到广泛应用,但EKF采用非线性函数的一阶泰勒展开近似非线性函数，对于强非线性系统会产生较大的近似误差，且其需要计算雅可比矩阵，这既增加了计算复杂度也要求非线性函数连续可微。

为了克服EKF的缺点，随机采样型滤波器和确定采样型滤波器分别被提出，其核心是用一组随机或确定加权采样点逼近状态的后验分布，以采样点的加权和近似“非线性函数×高斯函数”的积分。随机采样型滤波器的主要应用形式——粒子滤波(Particle Filter,PF)[3]，以蒙特卡罗随机采样得到的粒子近似状态后验分布，理论上适用于解决任意非线性滤波问题，但存在权值退化、粒子多样性匮乏、实时性差等严重缺陷。依据采样点选取策略的不同，确定采样型滤波器主要分为中心差分卡尔曼滤波(Central Difference Kalman Filter,CDKF)[4]、无迹卡尔曼滤波(Unscented Kal-man Filter,UKF)[5]和容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman Filter,CKF)[6]等。CDKF以多项式插值拟合逼近状态后验分布，计算简单但滤波精度较低且易受参数取值影响。UKF以UT(Unsented Transformation)变换逼近状态后验分布，能够以二阶泰勒精度逼近非线性状态而计算量与EKF同阶，但系统状态维数大于3时，中心采样点权值为负，从而引起协方差矩阵的非正定和滤波发散。CKF以三阶球面-径向容积准则逼近状态后验分布，其采样点权值始终为正，且有严格的数学证明，与UKF相比滤波精度更高而计算量相近，因此，近年来得到了广泛的应用。

为进一步提高CKF的精度，容积积分卡尔曼滤波(Cubature Quadrature Kalman Filter,CQKF)[7]以容积准则和高斯-拉盖尔积分准则近似高斯加权积分，滤波精度与切比雪夫-拉盖尔多项式的阶数m成正相关关系。CQKF是CKF的拓展形式，当m≥2时，其精度高于CKF。但CQKF要求系统模型和噪声精确已知，而现代战场复杂对抗环境使得系统模型具有很大的不确定性，系统状态突变，过程噪声及量测噪声未知时变，从而造成CQKF滤波精度下降甚至发散。为解决噪声统计特性未知情况下的滤波问题，贝叶斯法[8]、相关法[9-11]、协方差匹配法[12]和极大似然估计法[13]等多种噪声估计算法分别被提出。贝叶斯法涉及到多重积分，计算量大且未必能得到最优封闭解，多限于理论研究。相关法主要应用于线性系统，其在非线性系统中的拓展尚未无偏性证明[14]。协方差匹配法是一种有偏估计方法，存在稳态估计误差且估计精度相对较低。极大似然估计法由于能够直接构造含有待估计参数的概率密度函数，且计算量适中而得到广泛关注，其中以基于极大后验估计(Maximum A Posterior, MAP)准则提出的Sage-Husa时变噪声统计估值器[15]应用最为广泛。

基于上述考虑，本文提出了一种自适应强跟踪CQKF(AST-CQKF) 算法。AST-CQKF借鉴强跟踪滤波(Strong Tracking Filter, STF)的思想，引入时变渐消因子对预测协方差矩阵在线调整，同时利用Sage-Husa时变噪声统计估值器对噪声统计特性实时估计，并将估计结果引入滤波迭代过程中，从而增加了CQKF算法的鲁棒性和自适应性。通过仿真实验验证了本文算法的有效性和可行性。

1 容积积分卡尔曼滤波

1.1 贝叶斯滤波框架

考虑如下非线性系统：

(1)

学校注重创客空间的引领，智能制造学院蓝岛创客空间以南京机电职业技术学院全院资源为依托，以“创新、实践、分享、成长”为宗旨，以科技创新活动为载体，聚集创客人才，成就创意灵感，分享创新成果，重点瞄准智能制造、3D打印等前沿技术，遵循整体性、开放性、职业性、实践性原则，探索创客教育与职业教育相互融合的人才培养新模式，培养创新型技术技能人才。空间现有5个创新工场、6个创新工作坊、10间创新工作室、开放会议室和开放教室若干间、创客图书馆和创客茶吧各1个，创客团队训练中心1个；开放设备有：数控加工中心、3D打印中心、线切割、电火花加工机床、激光切割机、刻绘机、PCB制版机、波峰焊、雕刻机等上百台设备。

假设k-1时刻的后验概率密度函数为高斯分布，即

（1）假定制造商、零售商、物流服务集成商以及物流服务提供商均为风险中性且完全理性，各决策主体之间信息对称，均以追求各自利润最大化为目标。

(2)

(3)

其中状态一步预测及协方差为

(4)

(5)

输出预测、自协方差及互协方差分别为

在《时间中的孩子》小说文本中，达克在繁华都市面临精神崩溃的边缘而不得不回归自然，《权威育儿手册》却是背离初衷变成了一本惩罚儿童的教科书，这两种文学镜像交映融合，共同尖锐地映衬着一幅真实的社会图景：伦敦成为了一个童年时光无足轻重、儿童的自然成长被完全忽视、儿童微弱的呼喊被成年人的权威永恒压制的精神荒原。至此，逃离都市，走入自然，在生机盎然的森林追寻充满了欢笑和乐趣、无拘无束的童年时光，就成为了在都市陷入精神迷茫的现代人的一种终极价值追求。

(6)

(7)

(8)

3) 更新CQ点随状态方程的转移：

(9)

式中：

(10)

其中：

因此，贝叶斯滤波的核心问题转化为计算形式如式(11)的积分表达式：

(11)

式中：f(x)为任意非线性函数;g(x)为高斯密度函数。通常式(11)难以得到解析表达式，主要采取一系列采样点ξj及其权值wj的加权和进行数值近似，即

(12)

1.2 容积积分准则

对于任意函数f(x)，X∈Rn，式(11)的一般形式为

(13)

可以在球面坐标系中表示为[7]

μ)ds(Z)]rn-1e-r2/2dr

(14)

式中：X=CrZ+μ，且X～N(μ,Σ)，μ为高斯分布的均值，C为协方差矩阵Σ的Cholesky分解，即Σ=CCT ；r和Z为积分变量；Un={Z∈RnZZT=1}为单位超球面；ds(·)为Un上的面积元素。

若μ=0且Σ为单位矩阵，则式(14)中的积分为

(15)

由三阶球面-径向容积准则可以近似为

于是有

(16)

式中：Γ(·)为伽马函数；[ui](i=1,2,…,2n)为位于单位超球面与坐标轴交点的容积点，即完全对称点集[1]的第i个列向量

根据气候条件，每年8～9月份是草莓的最佳定植时间。在定植前要整地，施加各种肥料，保证土地营养元素能最大程度地促进草莓生长。同时进行土壤消毒、深翻、耙平、起垄等。起垄，垄高25～30厘米，宽40～50厘米，每垄2行，行距20厘米，株距15厘米，通常情况下，每亩可定植8 000～10 000株。草莓在移栽前，应去除匍匐茎和病叶等，尽量选择日照较差的阴天。在移栽过程中，遵循浅不露根、深不埋心的标准。移栽之后要保证水分的充足，进入花芽分化期后，要施加肥料，促进花芽的分化生长。当温度降低到约7摄氏度时，应选择保温棚等措施，对草莓进行相应的保温处理，保温的时间不宜过早，否则影响腋花芽的分化。

[1]=

(17)

2) 计算CQ点：

λ(n/2-1)e-λdλ

(18)

根据高斯-拉盖尔积分准则，积分可以近似为

≃

(19)

式中：积分点λj(j=1,2,…,m)为m阶切比雪夫-拉盖尔多项式的m个根，即λj满足

(m+α)(m+α-1)λm-2-…=0

(20)

式中：α=n/2-1。

对应的权值Aj为

(21)

将式(19)～式(21)代入式(18)，则得到容积积分准则为

(22)

由式(22)可知，对于如式(1)所示的n维状态估计问题，需要计算满足

(23)

的2mn个采样点ξl(本文称其为CQ点)及对应权值wl，其计算方式如下：

i=1,2,…,2n；j=1,2,…,m；l=1,2,…,2mn

(24)

(25)

1.3 CQKF算法

步骤1 初始化。

1) 令

2) 根据式(24)和式(25)计算CQ点ξl及对应权值wl。

步骤2 预测更新。

1) 假设已知(由上一时刻估计得到)，分解协方差矩阵：

将式(16)代入式(14)，令λ=r2/2，则

非线性系统式(1)在最小方差估计准则下的最优高斯滤波器为[16]

4) 计算一步状态预测及预测误差协方差矩阵：

步骤3 量测更新。

1) 分解协方差矩阵:

2) 计算CQ点:

3) 更新CQ点随量测方程的转移:

Zl,kk-1=h(χl,kk-1)

4) 计算量测预测值：

5) 计算自协方差矩阵及互协方差矩阵：

此次活动中，西门子工业软件（上海）有限公司数字化制造技术顾问/西门子工业软件先进制造中心主任汪锐先生在“西门子数字化工厂之道”的专题演讲中表示，数字化工厂可以通过掌握产品全生命周期过程中的完整数字信息，将所有工程阶段衔接起来，并连接到可以理解这些信息并对其做出反应的智能设备上，从而构建出满足工业4.0需求的基础，并逐步发展到智能制造。汪锐先生就西门子安贝格电子工厂的实践案例与大家深入分享了相关技术细节和项目经验。

通过几年的努力，目前泉州已经建立实施最严格水资源管理制度的工作体系，水资源科学管理水平大幅度提高，用水效率、效益明显提升，水资源科技支撑不断增强，成功实现以全省8%的水资源量养育了全省22%的人口，支撑了全省24%的经济总量。

7) 估计状态：

8) 估计状态预测误差协方差矩阵：

随着城市化进程的推进，高楼的建设和道路的修建占用了越来越多的土地资源，改变了下垫面的性质，从而对城市气候造成影响。合理规划城市土地，适当增加绿地面积，可以助推打造生态宜居的沪宁杭城市群。

2 强跟踪滤波理论

为了提高EKF对于系统模型不确定性及状态突变的鲁棒性，周东华等[17]提出的STF利用衰减记忆滤波思想，在计算预测误差协方差矩阵时引入渐消因子，强迫残差序列正交，从而保证滤波器对系统实际状态的跟踪效果。

该类植物具有生长迅速、占地少、绿化面积大、种植管理容易的特点，在现代城市绿化尤其是垂直绿化中发挥着重要作用[15]。如白花油麻藤、天香藤(Albizia corniculata)、龙须藤(Bauhinia championii)、假鹰爪(Desmos chinensis)、金钱豹、香港双蝴蝶、南五味子(Kadsura longipedunculata)、钩藤(Uncaria rhynchophylla)等，观赏价值高、生长迅速、覆盖面积大是垂直绿化的优良植物材料。

非线性系统式(1)的STF方程为[18]

式中：xk∈Rn为k时刻的状态向量；zk∈Rp为k时刻的量测向量；f:Rn→Rn和h:Rn→Rp 为已知非线性函数；vk-1∈Rn 和ηk∈Rp 为不相关的高斯白噪声，且vk-1～N(0,Qk-1)，ηk～N(0,Rk);Qk-1和Rk为噪声协方差矩阵。

(26)

式中：

In×n为n阶单位矩阵；λk为渐消因子，其计算式为

近年来，党和国家不断加大支农惠农的力度，全国各地农民的物质水平逐步提高、文化生活日益丰富，农村的生产生活方式发生了很大的变化。但是，由于长期以来受生活环境、思想观念、知识水平和生活方式的影响，农民在我国仍然是一个弱势群体，需要来自社会各界的关心和关注。“民有所呼，我有所应，民有所求，我有所办，”这是时代赋予农村广播工作者的历史责任。宣传党的政策、推广法律知识、为农民搭建农产品销售平台也是农村广播节目应尽的责任和职责[1]。

(27)

式中：

(28)

(29)

(30)

(31)

其中：tr(·)为矩阵求迹运算；β≥1为弱化因子；0<ρ≤1为遗忘因子,通常取ρ=0.95。由于STF是EKF的改进形式，在计算渐消因子时仍需要求解雅可比矩阵，因此不能直接将其引入CQKF，需要研究不利用Hk计算渐消因子的等价表述方式。文献[19]给出了Hk、Nk和Mk的等效表述形式，即

(32)

(33)

(34)

其中：和分别为未引入渐消因子的一步状态预测误差协方差阵、输出预测互协方差阵和输出预测自协方差阵。用式(33)和式(34)替换式(28)和式(29)，即得到强跟踪CQKF中渐消因子的计算方式，即

(35)

渐消因子的具体引入方式见第4节。

3 时变噪声统计估值器

考虑噪声的一般形式，即vk-1∈Rn和ηk∈Rp是带时变均值和协方差且线性无关的高斯白噪声，且vk-1～N(qk-1,Qk-1)，ηk～N(rk,Rk)。针对qk、Qk、rk和Rk等噪声参数的估计问题，文献[15]基于MAP准则得到了Sage-Husa噪声统计估值器，并给出了最优MAP估值器、次优MAP估值器、次优无偏MAP估值器和时变噪声统计估值器等多种形式。文献[20]和文献[21]分别将其拓展到UKF和CKF，给出了适用于UKF和CKF的递推算法。由于UKF、CKF和CQKF同属确定采样型滤波器，借鉴UKF和CKF的递推形式，得到如下适用于CQKF的次优无偏MAP常值噪声统计估计器：

6) 计算卡尔曼增益：

(36)

(37)

(38)

(39)

对于时变噪声统计而言，应当强调新近数据的作用，逐渐遗忘陈旧数据。选取加权系数{γi}，使之满足

(40)

≃

杨慎《胡唐论诗》概述永乐至弘治期间诗坛流变，其中“陈庄体”虽被称为山林诗的代表，但也表明时人颇视其为“旁门”，作为“赤帜”的对立面而存在。复古派领袖李梦阳针对“陈庄体”诗歌言理、用理语的倾向提出批评：“今人作性气诗，辄自贤于‘穿花蛱蝶’、‘点水蜻蜓’等句，此何异于痴人前说梦也？即以理言，则所谓‘深深’、‘款款’者何物耶？诗云：鸢飞戾天，鱼跃于渊，又何说也？”［28］卷五二《缶音序》

(41)

式中：b为遗忘因子。将次优无偏MAP常值噪声统计估计器中的加权和系数1/k替换为{γi}，即得到适用于CQKF的时变噪声统计估值器：

在新能源汽车领域，巴尔查斯同样展现出了非凡的技术实力，其涂层已经成功应用于某知名品牌的新能源汽车中的差速器，并将有可能逐步在中国实施量产。由于电动汽车的变速器和差速器的转速更快，其工况也更为复杂，因此就需要有寿命更长、表面质量更好的零件被使用。事实上，在电动机方面，巴尔查斯的高转速轴承涂层已经在进行测试了。除此之外，巴尔查斯的涂层技术也将在充放电、压缩机热管理及空调系统热管理的控制方面进行相应的技术创新，旨在减小新能源汽车的热损失及电损失，使能源的利用率 更高。

(42)

(43)

(44)

(45)

4 自适应强跟踪CQKF

将时变渐消因子和时变噪声统计估值器嵌入标准CQKF，并将其拓展到噪声均值非零的情形，即可得到AST-CQKF算法，流程如图1所示。

算法具体流程如下：

步骤1 初始化。

1) 令

2) 根据式(24)和式(25)计算CQ点ξl及对应权值wl。

采集该养殖场病死鸡的病料组织，进行细菌学诊断，常规染色镜检没有发现致病菌存在。将病料粉碎处理接种到常见的几种培养基上，也没有出现致病菌生长。采集上述病死鸡5份法氏囊病变组织，将其粉碎后，充分研磨，向其中加入适量生理盐水，经过2 000国际单位的青霉素和链霉素处理后，离心处理15 min，取上层清液，作为待检抗原，与法氏囊标准阳性血清做琼脂扩散试验[2]，将制备好的平皿加盖放置于湿盒中37 ℃反应48 h，作用48 h后，在阴性对照组和阳性对照组合格的前提下，抗原孔和抗体孔前出现一条清晰的沉淀线。结合实验室诊断结果最终确诊为鸡传染性法氏囊病。

步骤2 预测更新。

1) 假设已知(由上一时刻估计得到)，分解协方差矩阵:

2) 计算CQ点:

3) 计算CQ点随状态方程的转移:

4) 计算一步状态预测及预测误差协方差矩阵：

糖尿病是常见内分科疾病，其主要因患者胰岛素分泌及作用出现障碍，造成代谢性紊乱，引起高血糖[1]。该疾病属于终身性疾病，一旦发病终身难以治愈，需长期用药，但由于许多患者对糖尿病知识了解甚少，随着病程延长，用药依从性逐渐下降[2]，给患者生活质量造成重大影响，因此，加强糖尿病患者健康教育尤为重要。该研究旨在分析糖尿病健康教育对患者护理依从性以及生活质量的改善作用，特收集该院2016年5月—2018年6月收治的90例糖尿病患者为研究对象，现报道如下。

步骤3 量测更新。

1) 分解协方差矩阵:

2) 计算CQ点:

3) 计算CQ点随量测方程的转移:

4) 计算量测预测值:

5) 计算自协方差矩阵和互协方差矩阵：

步骤4 一步状态预测协方差修正。

1) 根据式(35)计算渐消因子λk。

2) 利用λk修正一步状态预测协方差矩阵：

3) 分解修正后的协方差矩阵：

4) 计算CQ点：

5) 计算CQ点经量测方程的转移:

6) 计算量测预测值:

7) 计算自协方差矩阵和互协方差矩阵:

步骤5 状态更新。

1) 计算卡尔曼增益：

2) 估计状态:

3) 估计状态预测误差协方差矩阵：

步骤6 噪声估计。

根据式(42)～式(45)对噪声统计特性递推估计。

5 仿真验证

考虑一个典型的二维平面雷达跟踪问题[7]，目标以固定未知转弯速率Ω做圆周运动,其状态方程为

Xk-1+vk-1

(46)

式中：为目标状态向量，xk和yk为目标在笛卡儿坐标系中的位置，和分别为目标在x和y方向的速度；T为采样周期；过程噪声vk-1～N(0,Q)，Q=diag[q1Mq1M q2T]，q1和q2为与过程噪声强度成正比的比例系数，M表达式为

(47)

雷达固定于坐标原点，对目标的距离rk及方位角θk进行测量，则量测方程为

(48)

式中：为量测向量，rk为目标与原点的距离，θk为目标和原点的连线与x轴所成角度。量测噪声

仿真参数设置如下：

初始状态真实值为

对应的协方差矩阵为

P00= diag[100 m2 10 m2/s2 100 m2 10 m2/s2

100 m·rad2/s2]T

为保证仿真效果，采取200次独立的蒙特卡罗仿真，仿真步数为100。每次仿真开始前，初始状态的估计值从高斯分布N(X0,P00)中随机选取。选取位置、速度和转弯率的均方根误差(Root-Mean Square Error，RMSE)为比较不同算法性能的评估指标。以k时刻的RMSE为例，其定义分别为

(49)

(50)

(51)

式中：和分别为第n次仿真中的位置真实值和估计值；和分别为第n次仿真中的速度真实值和估计值；和分别为第n次仿真中的转弯率真实值和估计值。

为验证算法在系统状态模型不准确及噪声统计特性不准确下的有效性，设置以下2种仿真情形。

5.1 系统量测噪声的统计特性不准确

假设系统过程噪声vk-1～N(0,Q)精确已知，而量测噪声的协方差矩阵与真实值不相符，选取其初始协方差矩阵为仿真过程中，量测真值由量测方程及协方差矩阵R得到，而滤波器使用矩阵进行状态估计，以此比较AST-CQKF与CQKF算法在已知噪声特性与实际噪声特性存在偏差时的滤波精度。经过200次独立的蒙特卡罗仿真，得到位置、速度和转弯率的RMSE结果分别如图2～图3所示(情形1)。

由图2可知，通过AST-CQKF算法得到的位置、速度均方根误差明显小于CQKF算法，而转弯率均方根误差基本相同，可见AST-CQKF算法能够有效减小噪声统计特性不准确带来的估计误差，提高估计精度。此外，噪声统计特性的改变对位置、速度、转弯率的影响程度不同，对位置影响最大，速度次之，转弯率几乎无影响。

5.2 系统状态模型不准确

为设置系统模型的不确定性，将式(46)变形得

Xk=

Xk-1+vk-1

(52)

式中：a和c为可调节的参数，模型正常时两者均为1，通过设置不同的系数以模拟系统状态模型的不确定性，本文设定a=1.1，c=1.2。仿真过程中，状态真值由精确的状态方程得到，而滤波器使用不精确的状态方程进行状态估计，以此比较AST-CQKF与CQKF算法在系统状态模型不准确时的滤波精度。经过200次独立的蒙特卡罗仿真，得到位置、速度、转弯率的RMSE结果分别如图3所示(情形2)。

由图3可知，系统状态模型不准确时，CQKF在仿真开始后迅速发散，无法对目标保持跟踪，而AST-CQKF算法虽然不能完全消除模型不确定性的影响，但能够防止滤波发散，保持滤波收敛性，对于模型不确定型具有鲁棒性。

设置不同的仿真步数与仿真次数，得到CQKF算法与AST-CQKF算法的仿真计算时间如表1所示。由表1可以看出，与前者相比，后者的仿真计算时间增加了一倍左右，尤其是仿真次数较多时，计算时间的增加更为明显，这是由于AST-CQKF算法步骤更多、复杂度更高引起的。但单次仿真时，2种算法的时间均小于0.1 s，因此与滤波精度的提高相比，AST-CQKF算法的时间增加处于可接受的范围内。

6 结 论

CQKF算法在复杂对抗环境下的目标跟踪主要存在2方面问题：①系统状态空间模型发生突变导致滤波发散；②噪声统计特性发生改变或不精确造成滤波精度下降。针对该问题，本文提出了一种新的自适应强跟踪CQKF(AST-CQKF)算法应用到目标跟踪：

1) 将强跟踪滤波器与CQKF相结合，给出了适用于CQKF的渐消因子计算方法，利用渐消因子修正一步状态预测协方差矩阵，进而用于状态估计，克服了模型不准确影响滤波精度和滤波稳定性的问题，改善了CQKF的跟踪性能。

2) 利用Sage-Husa时变噪声统计估值器对噪声实时估计，得到了AST-CQKF算法，增强了滤波器对于噪声统计特性变化的自适应能力，有效地提高了滤波精度。

3) 仿真结果表明，在系统量测噪声统计特性不准确或状态空间模型不准确的情况下，CQKF算法的滤波精度急剧下降甚至滤波发散， AST-CQKF算法则能够实现系统状态的快速准确跟踪，有效地克服了CQKF算法的局限性。

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