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洛必达法则的教学思考

更新时间:2016-07-05

洛必达法则主要用在未定式求极限,在使用时要验证是否为型或型未定式,或者是可以转换成型或型的∞-∞,0·∞,1,00,∞0未定式。若不能转换则不能使用洛必达法则;若能转换,先转换然后再用。

当然,案例教学也能够促进教师的进步。由于它是一种以问题为导向的新型教学模式,这需要教师不断地寻找并发现现实问题;使教师打破传统教学的束缚,激发自身创新思维,树立新的教育教学理念;案例教学法还能帮助教师改善知识结构,丰富实践经验,从单一的学科专业型向复合多元型转变,从单纯的理论学术型向实践应用型转变。

腹腔镜手术是近年来新起的一种微创手术,与传统手术方式相比,腹腔镜手术拥有创口小、出血少及恢复快等优势,也成了目前普外科、妇科及泌尿外科临床治疗中较为常用的手术方式,并且随着医疗技术的逐渐发展,腹腔镜手术治疗也将成为未来手术发展的必然趋势[1]。但为了进一步提高腹腔镜手术的恢复速度,减少术后并发症的发生,进行有效的护理干预也必不可少,本次我院就舒适护理在腹腔镜手术中的临床效果问题做专项研究。

1 洛必达法则的主要内容

1.1 型未定式定理[1]

若函数f(x),g(x)满足下列条件:

1.2 0·∞型未定式

1.3 ∞-∞型未定式

1.4 1,00,∞0型未定式

一般为幂指函数形式,即f(x)g(x)形式,通过取对数化为g(x)lnf(x)形式,即0·∞型,再依0·∞型未定式情形化为型或型,即可使用洛必达法则确定极限值。

2 求极限举例

2.1 判断条件进行分子分母求导求解

分析:分子与分母极限都是∞,是型未定式,若应用洛必达法则,则有,然而 不存在,即洛必达法则失效,应采用其它方法。

例1求

通过上述一系列动作,形成了展示茶乡村民生产、生活,满足游客茶文化体验之旅的茶主题文化旅游产品:品名茶,看茶艺,拜茶圣,读茶经,祭茶坛,赏奇石,体验农耕文化—走进农博馆内,犁、耙、擂子、水车、老式纺线车等农具应有尽有,加上八仙桌、架子床、碗柜、瓷碗、箱子等明清家具,成为农耕文化变迁的历史见证。

分析:分子分母极限为0,如果直接分子分母求导,则分母的导数越来越复杂,若用无穷小代换再求导,则运算量减少,进而更容易求解。

例2求

例3求

洛必达法则可以重复使用,但用到有限n次之后,其极限,否则就不能用洛必达法则,如,两次使用洛必达法则,就还原为原来的式子,不能用洛必达法则,但并不是说极限不存在,只是洛必达法则失效,应采用其它方法求解。另外,洛必达法则是在未定式分子和分母两个函数的导数之比的极限存在(或∞)的条件下使用的;当导数之比的极限不存在(也不为∞)时,不能使用,也不能得出极限不存在的结论,应采有其它方法求解。

例4[2](其中a1,a2,…,an为n个正数,n≥2)

解:

2.2 应用洛必达法则和其它方法配合求极限

分析:通过变形原式可化为,满足了洛必达法则条件,直接用洛必达法则求解,计算量大。若采用换元法,可以降低运算强度,且求极限换元法不需要回代,直接可得原式解。

天挨黑的时候,终于到了文城。荧火虫是黑暗中唯一的亮色,不多,三五只,稀稀拉拉的,在远处诡秘地闪着光。这一场大水,荧火虫怕是也要绝种了吧?以前,离老远就能看到它们在河坝上热热闹闹的景象。荧火虫明显少了,天上的星星却又亮又稠。奶奶说过,地上的人死了,天上就会多一颗星星。死了这么多人,天上得增加多少颗星星啊?奶奶说这话的时候杨小水还小,没听明白奶奶的意思。她问奶奶,赶明儿你要是死了,也会变成星星?奶奶肯定地回答,会。杨小水还是不明白,奶奶,我咋知道哪颗星星是你变的啊?奶奶说,到时候你自然就知道了。想到这儿,杨小水停下脚步,认真地抬头看了看天。天上没有哪颗星星像奶奶,像爹,像娘,像弟弟。

2.1 川木瓜醇提取物对3T3-L1前脂肪细胞活力的影响 与空白组比较,川木瓜醇提取物能显著降低3T3-L1前脂肪细胞的活力,且随着剂量的增加,作用更为明显,川木瓜醇提取物浓度为25.0 ng/L时,细胞活力为空白组的85.1%;200.0 ng/L时,细胞活力仅为空白组的41.8%,差异均有统计学意义(P<0.01),见表1。

分析:分子分母的极限都是0,满足洛必达法则条件,可直接分子分母分别求导求解。

实践是检验理论的唯一标准,提出“花儿”英译模式、策略与方法的目的也是为了指导其英译实践。鉴于多元合作模式与多模态呈现手段无法直接展示,本文仅运用异化策略和深度翻译方法进行简单的英译实践。

由于周围光的噪声影响,原始PPG信号的波形具有毛刺,特征点不易识别。令Sr(n)表示原始PPG序列,其中n=0,1,...,1999表示样本编号。本文对Sr(n)进行跨度为15的滑动均匀滤波,得到滤波后的脉搏波序列Ss(n),如公式(1)所示。滑动均匀滤波计算简单,在信号采集条件较为理想的情况下,能保持波形特征情况下消除毛刺。

分析:式子是幂指函数的形式,不能直接用洛必达法则,一般先采用对数运算转换成满足洛必达法则条件的式子,然后求出对数式子的极限,再通过返运算成指数的极限,进而求得原式极限值。

2.3 其它几种未定式可通过换元法转化求解

例5求

在使用洛必达法则过程中,如函数中的某个因式用无穷小等价代换,或者某些因式的极限已经确定,可将这些因式提出来,则可简化求极限的运算。

解:设,则当x→∞时,t→0

2.4 洛必达汉则在求极限时其它方面的应用

例6求

分析:因为Heine定理[3]的充分必要条件是:对于任意满足条件 且xn≠x0(n=1,2,…,3)的数列{xn},相应的函数值数列{f(xn)}成立:所以当数列的极限为未定式时,可先将n改为连续自变量x,然后使用洛必达法则,再根据海因定理求出数列的极限。

解:因为

所以由海因定理可得

例7[4]

分析:有些求极限题目中含有定积分的变上限函数,且整个函数的极限属于未定式,则可对变上限积分求导,然后再求其极限。

3 结论

在应用洛必达法则求极限,可以重复进行,但每进行一次要考虑是否是满足条件的未定式。虽然有些习题运用洛必达法则时不能求解或极限不存在,但不能说明这些极限不存在,只是说明洛必达法则不适合,还有其它方法以可求解。在使用洛必达法则之前和之中,要不断对函数进行化简,并配合两个重要极限、等价无穷小代换、变量代换有理分式函数时的次数比等求极限方法,使计算过程更为简捷。洛必达法则只是计算未定式极限一种较普遍的方法之一,它不是唯一的,也不一定是最简单的,所以在使用中要认真考虑。

参考文献

[1]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧(上)[M].武汉:华中科技大学出版社,2003:206.

[2]邱忠文,杨则燊.高等数学解题方法(上)[M].天津:天津大学出版社,2004:109.

[3]欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析(上册)[M].上海:复旦大学出版社,2002:75.

[4]曹绳武,王振中,于远许.高等数学重要习题集(第四版)[M].大连:大连理工大学出版社,2003.

杨雄
《保山学院学报》 2018年第2期
《保山学院学报》2018年第2期文献

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