一、引言

小学数学课程中的概念教学是教学的重点，亦是难点。新课改中提出的十大核心概念，也彰显了概念教学的重要性。抽象的数学概念是数学知识构建的前提。20世纪80年代，针对概念教学，美国学者杜宾斯基(E.Dubinsky)提出了APOS理论，即操作（Actions）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Scheme），是学生进行概念学习的四阶段。APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，它的核心是引导学生通过心理建构，掌握数学概念。

本文通过解读新课标，了解“轴对称图形”知识点在课标中相应的学段目标、内容标准，从宏观把握《轴对称图形》一课的教学任务；对比分析不同版本教材中《轴对称图形》的教学设计，梳理本课的教学重点与难点，进一步明确一堂完整的课程所需要的环节设置。本文采用视频分析法，通过研究两位名师的视频课，提炼其教学思路，基于APOS理论分析各环节设置，并提出有关数学概念教学的反思。

二、《轴对称图形》不同版本教材分析

2011版数学课程标准中第一学段的学段目标中明确指出“感受平移、旋转、轴对称现象”。《轴对称图形》是一节概念课教学，其教学重点在于使学生初步认识轴对称图形，了解轴对称图形基本特征；难点在于教会学生掌握判别轴对称图形的方法，教学回归生活，让学生学会欣赏美。关于“轴对称”的知识点，不同版本的教材编排方式不同。主要体现在章节分布与课后习题数的设置（见表1）。

煤矿的产煤处会有大量的裂缝和空隙出现，因为地质原因，这样会使煤层之间的空隙发生变化，严重影响煤层之间的透气性。而采用水力压裂技术可改变这种情况。利用含有沙子的高压水流或者其他的一些液体进行水力压裂，高压水通过煤层之间的空隙逐渐渗透，随着高压水的水压不断增强，煤层与煤层之间就会产生高压，使煤层的弱面进行延伸和扩展，同时，高压水中的沙子会填充新出现的空隙，这样，煤层与煤层之间的缝隙就会形成空隙网络，提高煤层之间的透气性，进而使煤层产生的瓦斯可以轻松转移消散，这样，有利于大面积瓦斯的抽采。合理利用水力压裂技术能够有效地增加煤层通气性，提高瓦斯抽取效率。

表1 八个版本教材中“轴对称图形”章节分布与习题设置

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各版本除了在年级、章节上设置略有不同，教学内容编排上也存在差异。（如表2所示）2011版数学课程标准的“内容标准”中明确提出，第一学段做到：（1）结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象；（2）通过观察、操作，初步认识轴对称图形；第二学段做到：（1）通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形；（2）能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。[1]

表2 八个版本教材中“轴对称图形”教学内容编排

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根据上表的比对，我们可以归纳出以下三点：

1.八个版本的教材中除了沪教版都安排了判断轴对称图形的相关环节，让学生直观感受轴对称图形；

（3）递归生成模型，该模型中每个词的左子结点和右子结点分别由各自的马尔柯夫模型顺次产生：左子结点的产生方向是自右向左，右子结点的产生方向是自左向右的。每一个子结点的生成建立在支配词和它前一个子结点上，是自顶向下的递归生成式模型。

2.在感知层面的折剪轴对称图形中，八个版本的教材都设置了相关内容；

3.沪教版、浙教版和冀教版设置了画对称轴的教学内容，且沪教版和浙教版还设置了在网格中画出轴对称图形的另一半的相关内容。

综上所述，沪教版和浙教版在内容编排上更全面，从感知到动手实践层层推进，让学生感知轴对称图形的独特魅力。其余版本教材更注重轴对称图形的判断和折剪，在画对称轴以及轴对称图形另一半方面而言相对缺乏，需要进一步改进。

结合新课标，整合八个版本的教材编排，可以看出，较全面的教学设计需要兼顾感知与操作两个层面，帮助学生掌握教学重点与难点。由于小学生思维特点是以具体性和形象性为主，所以在开展教学时可借助直观展示，让学生直观感受，加深理解。APOS理论指出，概念教学强调学生的主动构建，因此，教师在进行《轴对称图形》教学设计时，不仅要关注感知层面的设计，更要注重操作层面的设计。

三、基于APOS 理论的《轴对称图形》名师课堂案例分析

本文以特级教师刘德武《轴对称图形》①教学视频和特级教师张齐华《轴对称图形》②教学视频为例，基于APOS理论进行数学概念教学的分析。

（一）操作（Actions）：创设情境，激发兴趣

APOS理论的“操作阶段”是通过一系列外显性的指令去改变数学对象的过程，它是获得数学概念的一个必要条件。[2]教师通过确定教学内容和目标，了解学生的已有知识结构，注重材料的典型性，启动学生的思考。提供的材料要适度，多了会浪费时间，也会让学生乏味；少了又会缺少有效性。刘德武老师《轴对称图形》这节课是按以下思路引入的：

生：它反了。

师：怎么了？

师：同学们，这是我们今天要学的内容，大家读一读。（PPT上出现课题）

师：其实，你一点都没错，中国银行在设计的时候，他的灵感就来自与中国的古钱币。

师生齐说“翻上去”并做动作，标题发生变化。

生齐读：轴对称图形。

张齐华老师在处理认识轴对称图形时，采用学生动手撕纸的方式。教师引导学生在对折的纸张上动手实践，撕出自己的作品，通过展示三位同学的作品，找出相同点和不同点，归纳出轴对称图形的特点，引导学生理解“完全重合”。

（二）过程（Process）：内化压缩，探究问题

APOS理论的“过程阶段”是学生在教师引导下主动探究问题，对知识进行进一步内化压缩，初步形成数学概念，通过一系列心理操作，抽象出概念的本质特征。在经历操作阶段后，学生只是简单的有一些感性认识，是表面的、浅层的，需要教师适时引导。以刘德武老师课堂为例：

师：什么样的图形是轴对称图形呢？刘老师在黑板上给大家画一个。（如图1）

图1

师：谁有好办法能得到一个特别规整的花瓶？

生1：按照另一个图形把它上面往里凹，下面往外凸。

生2：半边一样。

生3：对折。

在现阶段初中语文的教学过程中，大多数的教学途径仍旧是以课堂教学为主，在这个过程中，课堂不仅是教师和学生共同学习的主要环境，也是教师和学生进行有效交流的主要环境，在这个环境中，教师可以将自己掌握的知识有效的传授给学生，并在引导学生进行学习的过程中发现学生存在的问题，进而针对这些问题进行及时有效的解决。通过创建高效的语文课堂，可以帮助教师节省教学时间，使教师能够有充足的时间来完成自身的教学工作，提高了课堂的教学质量，并且学生在高效的课堂环境下也能够更好的进行学习，让学生能够得到更好的发展，高效的课堂环境也给学生提供了更多的学习时间，让学生在学习过程中可以更加从容，进而得到稳定的发展。

教师拿出一张彩纸，学生对折，老师剪裁花瓶。（将裁剪后的花瓶贴在黑板上，如图2）

图2

师：黑板上的两个图形哪个是轴对称图形？

动手操作：猜想，折纸验证。

（3）进行混凝土输送泵连接时，需要对输送泵的牢固性与稳定性进行严格检查，并将其设置在规定连接位置，以减少运输事故的发生。其次，需要对输送泵进行润滑剂的涂刷，使得输送泵中能够保持空气流通，防止出现混凝土与输送泵粘连的情况，进而最大程度上减少资源浪费。

师：什么样的图形称作轴对称图形？

⑥后期维护便利性。治理工程后期维护要方便简捷，工程不需要频繁维护，工程在遭到简单破坏后能完成自我修复。

生：两边一样。

师：用“完全重合”更好。

师：屏幕上的图形是轴对称图形吗？（图3）

其中，是UAV的三维速度分量在XY平面上的投影，即移动IoT设备分簇的对地移动速度.则t+1时刻K个UAV的移动节能策略可描述为：

图3

本片段中，刘老师首先提出问题“怎样得到一个规整的花瓶”，学生各抒己见。随后通过动手操作环节，让学生初步感知“轴对称图形”的概念。并通过判断一组生活中的图形，加深理解。在此环节后，学生进一步明确轴对称图形的概念，能够辨认轴对称图形，感悟概念“完全重合”。

在这个环节中，教师通过巧妙地设计课题表现形式，引导学生初步感知概念，启动学生思考。教师将“轴对称图形”五个字用镜面方式展现，特有的方式既清晰直观的体现轴对称图形的特点，又激发学生的学习兴趣，符合概念教学的操作模式要求。

人工智能程序的使用者，或者智能创作机器人的所有者，可以因其对人工智能程序的合法使用权或者对智能创作机器人的所有权，类比孳息的财产权权利归属于原物权利人的原则获得对人工智能生成数据的财产权，①参见袁真富2017年9月2日在“人工智能带来的版权挑战”主题沙龙上题为“人工智能生成内容的著作权五问”的发言。但并不能自动拥有对数据所体现独创性表达的知识产权，除非其也完成了对该独创性表达的挖掘。

（三）对象（Object）：变式训练，解决问题

APOS理论的“对象阶段”中，概念通过变式，进一步升华，将概念上升为一个完整个体，解决概念本质问题。教师在此环节中，指导学生深入挖掘概念，形成多角度认识，使概念“立体化”，进而解决问题。以张齐华老师课堂为例：

师：因为通过刚才的学习我们知道这三个（圆、正五边形、等腰梯形）都是轴对称图形，虽然这三个都是轴对称图形，但它们就没有什么不一样的地方吗？

生1：圆无论怎么折，都是轴对称图形。可是，正的五边形、梯形不和圆形一样。

师：我特别欣赏在讲圆的时候，他用到一个词，什么词？

生：无论。

师：无论。什么意思？不管怎么折，对不对。你是说这个图形无论怎么折，它都能重合，换句话来说，你认为图形应该有多少条对称轴？

生：无数条。

生：右边的。

师：关于另外两个图形，谁有话要说的？

生2：另外两个图形不像圆形一样有无数条对称轴，它们只有指定的几条。

1.2.1 样品的来源:样品均来源于2015—2017年疑似食物中毒的食品样品及食源性致病菌主动监测的食品样品。

生3：梯形只有一条对称轴。

生4：正五边形有五条对称轴。

图4

本环节的设计中，在已经掌握了轴对称图形以及对称轴的概念后，张老师设计了三个特殊图形，让学生深入学习。学生通过观察、讨论、动手实践，发现圆有无数条对称轴，等腰梯形有一条对称轴，正五边形有五条对称轴。在学生已知轴对称概念的基础上，进一步升华，让学生通过猜想、验证的动手实践方式，多角度理解知识，形成知识“个体”。

（四）图式（Scheme）：概念整合，构建知识

APOS理论的“图式阶段”，是指新的概念与已有概念建立新的实质性联系，整合构建，形成新的图式，并把这个图式纳入已有的认知结构。通过前三个环节，产生新的问题图式，完成更高层次的心理表征。以张齐华老师的课堂为例：

师：其实在我们一些常见的图形中都可以找到轴对称。在我们非常熟悉的一些标志、图案当中，我们同样能找到轴对称的图形。（图5）

图5

师：有人说这四个图形都是长方形，长方形都是轴对称图形，而我是想说国旗中的哪些图案是轴对称的？

生：我认为加拿大国旗是轴对称图形的。因为它对折后，所有图案对称后都能重合。

生：我认为俄罗斯国旗对折以后的两边都是相等的，它是轴对称图形。

生：中国国旗只有一个五角星是对称的，如果把5个五角星对折的话它就不是轴对称图形。

师：张老师最后带来的也是一些轴对称图形，我只给出了这对称轴的左边的一半，看同学们能不能根据轴对称图形的特征，想象它的另一半，然后猜一猜它是什么标志。（图6）

由表3可知，不同配方速溶油茶得率不同，配方1～7的茶叶均为春绿茶，得率在17.64%～19.62%；配方9为冰鲜乌龙茶（成熟叶片），CK为市场上油茶企业常用的原料（粗老茶），得率分别为8.13%和10.77%。因此，速溶油茶得率与原料嫩度呈正相关，原料越老，内含物越少，得率越低。另外，此次试验只浸提1次，下一步会增加浸提试验次数，研究最佳浸提次数，提高得率。

图6

小组讨论

生1：我选的是第4个，我认为第4个是奥运五环的标志。

生2：我选的是第2个，它是一个中国银行的标志。

师：第2个，中国银行的标志，有没有不同的意见。你说。

生3：我觉得第2个是中国古代的铜钱。

师：刘老师出个好主意。我喊一二三，大家说翻上去，把这个反的字翻上去，还得做个动作。（指导学生做翻转的手部动作）

生4：我选的是第1个，是中国联通的标志。

生5：第3个图形是奔驰汽车标志。

生6：我觉得第3个是大众汽车的标志。

师：瞧，男、女同学的差异一下子就出来了。认为是奔驰的举个手。（大多数同学举手）男同学的可信度比较高啊。你能想象出它的右半边是什么吗？

师：不仅是一样的

生：我认为右半边与左半边是一样的。

导向图纸审核工作是新线导向系统筹备的物质基础，导向图纸审核的质量直接关系到实地施工能否顺利进行以及日常运营中的良好应用。由于图纸设计部门对于总部导向标识系统规定熟悉程度不高，因此在新线导向系统建设过程中，应该要更加注意图纸审核模块，把错误杜绝在建设之前。而导向图纸的审核重点可以简单分为新线导向系统的完备性、连续性、准确性及实用性等方面。

生：而且两边对折后是完全重合。

师：你想象一下，假如我把右边呈现出来的话，整个画面出现一个东西像什么样子？你能说出来吗？

进行城市发展和建设工作的最终目的实际上是为了造福子孙后代，为他们留下更好的环境，不重视对环境的破坏，浪费、消耗资源，不仅仅会对人们的健康造成影响，还会使得城市的竞争力降低，在多年以后还可能面临无法生存的问题，所以，通过先进的技术手段节约资源、最大限度的保护环境，实现资源循环利用，建设生态城市，促进城市的可持续性发展，促进我国长期繁荣。

生：我觉得把图形倒过来就是Y字。

在本环节的设计中，学生在了解轴对称图形的概念、特点后，能够准确判别简单图形是否是轴对称图形。国旗上的图形叠加，增加了难度，学生不仅要从图形外部轮廓考虑问题，也要从图形内部图形叠加考虑。例如中国国旗：国旗图形本身是轴对称图形，但五个五角星对折后不对称，因此不属于轴对称图形。猜标志环节的设置，让学生在头脑中构建图形，形成完整概念。

同理，在刘德武老师的课堂中，通过两架飞机模型（一架机翼完全对称，一架机翼有缺损）现场试飞，学生发现机翼完全对称的飞机飞得更远。刘老师通过现实生活案例，进一步解读轴对称在现实生活中的应用，将课堂与生活联系起来。

四、基于APOS理论的小学数学概念教学反思

基于APOS理论分析名师课堂，可以看出小学数学概念教学的教学设计不仅要满足新课改下课程设计的基本要求，更要把握APOS理论中提出的四个阶段，开展教学。我们应注重数学概念教学中的情景引入、过程展示与分析、学生的积极参与和主动建构以及从现实应用的视角完善学生的概念图式。

（一）重视概念引入，密切联系生活

概念的引入，是进行概念教学的有效保障。在刘德武老师和张齐华老师的课堂中，二人都精心设计了概念引入环节，刘老师采用翻转课题、张老师采用游戏导入，既有效引出了教学内容，又吸引学生的注意力，紧紧掌控课堂。

结合生活实际引入数学概念符合小学生的心理特点和认知规律。奥苏伯尔的“先行组织者策略”中指出，为了将学生认知观念里的已有知识和新知识有效融合，需要借助“先行组织者”,更好的引起学生的关注，为新概念的学习做准备。构建主义学习理论也认为，学习的情境要有利于学生的学习。另一方面，儿童注意力的稳定性随年龄增长而提高，小学阶段为7-10岁，儿童的注意力在一堂课中可维持20分钟左右。因此，在课堂教学活动中，教师应紧紧抓住有效的20分钟，结合学生注意力的稳定性发展，在引入概念时做到创设有利情境，密切联系生活，结合学生已有认知水平和发展，从情境设疑，激发学生兴趣。

阿姆斯特丹原意堤坝，顾名思义，是一个建在堤坝上的城市。由于绝大部分地区都在海平面以下，因此也堪称“海底城市”。12世纪晚期，阿姆斯特丹还只是一个小渔村。17世纪，荷兰的商船从阿姆斯特丹开往波罗的海、北美洲和非洲以及今天的印度尼西亚、印度、斯里兰卡，由此构建了世界贸易网络的基础，一跃成为欧洲最大的贸易港。如今，阿姆斯特丹已经成为欧洲第四大航空港，也是世界著名的国际大都市。作为当前荷兰第一大城市，历经了从渔村到大都市的发展过程，走过辉煌，也经受世界大战的洗礼和被破坏，从一定程度上，它的历史也是荷兰历史的一个缩影。

（二）关注过程展示，引导学生分析

教学的目的在于引导学生掌握本课的重难点知识。刘德武老师在课堂中采用与学生互动的形式，动手画一个不对称的花瓶、折剪一个完全对称的花瓶，引导学生观察得出结论，理解何为轴对称图形，何为“完全重合”。而张齐华老师通过展示三位同学的折剪作品，引导学生对折、观察，得出“完全重合”的概念。在此环节的设计中，两位老师都注重过程展示，让学生在亲身经历后得出结论，在积极参与课堂的同时学会学习。

因此，在进行概念教学时，教师应该注重过程展示，即通过设计合理、高效的课堂环节，抽丝剥茧，引导学生分析、掌握教学内容。学生通过此环节的学习，对概念初步感知，为后期概念学习打下坚实的基础。

GSTP1（rs1695）：基因多态性与自体造血干细胞移植患者血液学毒性的关系研究 ………………………… 张关敏等（7）：980

（三）强调学生参与，积极主动构建

APOS理论是一种以建构主义为核心的理论，在过程阶段与对象阶段，也着重强调了学生的积极参与。构建主义强调：学生作为教学中的主体，应主动参与课堂，构建知识，才能保证知识的完整性和有效性。概念的学习是一个长期的过程，需要学生的主动参与，仅靠教师个人讲解，学生对于概念的把握一般会存在缺陷。学生对于概念知识只知死记硬背，而不能活学活用，失去了教学的初衷。

而张齐华老师在课堂教学中，在学生掌握轴对称图形的基础上，设计变式练习，让学生辨析、探索，进一步完善概念体系，最终得出圆、正五边形、等腰梯形虽同为轴对称图形，但对称轴存在差异的结论。学生在讨论交流中习得知识，更加牢固。因此，为了让学生在课堂中有效的掌握概念，可根据实际情况，采用同桌合作、小组合作、班级汇报交流、师生交流等形式，引导学生主动参与教学，积极构建知识。

（四）完善概念图式，回归现实应用

注重现实应用，关注学生概念图式的完善和核心素养的培养。回顾案例，两位老师在课堂的最终环节都设计了相应部分，通过辨认生活中常见的标志、对比飞机机翼差异对飞机飞行的影响力，完善图式、回归现实。

在概念教学中，学生要正真掌握概念，需要通过不断地巩固、练习。APOS理论指出，概念学习的最终目标就是要构建心理图式。教师不仅要关注学生课堂中的积极参与，引导学生主动构建知识体系，更要指导学生总结本课知识，将新学概念与已知概念整合，完善概念图式。学习来源于生活，应用于生活。教师在课堂教学中应引导学生进行深层次思考，使概念教学回归生活，才能使概念教学更加完整。

注 释：

①2016年秋“千课万人”核心素养下的小学数学“发展课堂”研讨观摩会。

②全国小学数学著名特级教师张齐华课堂实录集锦。

参考文献

[1] 教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京:北京师范大学出版社,2011.

[2] 吴 华，周 鸣.GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究——以导数概念为例[J].数学教育学报,2013,22(2):87-90.