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带Poisson跳的随机时滞神经网络模型的数值解

更新时间:2016-07-05

动态的神经网络理论已有近20年的发展历史[1-4].在许多神经网络模型中时滞是不可避免的,如电子神经网络中,放大器的有限开关速度.最近,许多专家研究了Hopfield时滞神经网络和时滞神经网络细胞的稳定性和周期振荡性[5-7],其性质可表现为一些复杂的混杂的行为[8-10].许多动力系统的结构往往因受重叠随机因素的扰动而发生变化,其中一类特殊的混杂系统模型是具有跳参数随机神经网络模型.由于时间延误和参数的不确定性,随机的神经网络模型的研究引起了人们极大的兴趣.由于带跳参数随机神经网络模型能描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃,而且物理、生态、经济等系统经常收到外界突然噪声的影响,例如,地震、气候对生态产生突然的影响,因此将Poisson跳引入随机微分方程更符合实际意义,它能更好地反映经济、金融、物理、生物、医药等领域的现象和特征.当不考虑Poisson跳时,一些研究结果已经被证明.例如,廖和毛[11]研究了一类均方指数稳定性和细胞神经网络的不稳定性.文献[12]讨论了一类几乎必然指数稳定和随机细胞与采用离散时滞神经网络的非负半鞅收敛定理.文献[13]研究了一类随机时滞Hopfield神经网络模型的稳定性.

通常情况下,带Poisson跳的随机时滞神经网络模型几乎没有解析解,因此数值方法成为求解的主要工具.本文根据Euler数值方法,利用鞅不等式和Itoˆ公式讨论了一类带Poisson跳的随机时滞神经网络模型的数值解.给出了在均方意义下数值解收敛于解析解的充分条件,并通过一个数值算例对本文所给的数值方法进行了验证.

1 预备

本文考虑如下形式的随机神经网络模型:

令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一个满足通常条件及滤波{Ft}t≥0 完备概率空间.W(t)=(w1(t),…,wm(t))T 是定义在i≤n}上的m维布朗运功,Nt是服从参数为λ的Poisson过程,x(t)=(x1(t),…,xn(t))T,x(t-τ)=(x1(t-τ1),…,xn(t-τn))T,σ:Rn×Rn×R+→Rn×m,σ(t,x(t),x(t-τ))=(σij)n×m.本文假设 g(y)和 σ(t,x,y)满足Lipschitz条件和线性增长条件.则方程(1)在t≥0有唯一的全局解,令其解为 x(t,ξ),其中 x(t,0)≡0.

把x(t)该写为随机积分形式如下:

对于方程(2),在 t∈{0,Δt,…,NΔt=T}上用 Euler法离散得

其中时间增量 0<Δ<1,满足 τ=mΔ,m∈N+,tn=nΔ,yn是 x(tn)的近似解,若 tn≤0,则 yn=ξ(tn).并且布朗运动增量 ΔWn=W(tn+1)-W(tn),Poisson 过程增量 ΔNn=N(tn+1)-N(tn),其中 Δ→0.

现定义如下两个阶梯函数

老师继续往上报。我目不转睛地盯着老师,心里期待着,老师已经报到99分,我的心脏快要从胸口蹦出来,激动得快要叫起来了,心里不停地念叨着:考一百,考一百,考一百……

IA表示集合A的示性函数.则Euler数值解表示为

其中

假设布尔函数具有n个输入变量{xi|1in}、m个输出变量{fo|1om},输入变量xi也被称为原始输入(Primary Input,PI)和PI信号,输出变量fo也被称为原始输出(Primary Output,PO)和PO信号.其关于PI的MPRM逻辑表达式如式(1)所示.

1)经典古诗文赏析课在实际授课中,通过经典篇章阅读、师生互动、师生共同赏析和课后作业使学生对经典古诗文赏析这门课程有较深刻的领悟与理解;同时通过对于这些经典篇章的写作背景、作家生平及主要作品的辅助讲解,使学生在潜移默化中提高文学修养和人文素质。

其中 C3和 C4是正的常数.将(13)和(14)代入(12)得

证明 对|y(t)|2应用Itoˆ公式得出

定理3.1 假设有正定对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn),则矩阵

(iii)假设存在对称的非负矩阵 C1,C2 和 C3=diag(δ1,…,δn)有

定义2.1 假设ξ是一个随机变量且E|ξ|2<∞,对任意的增量Δ>0,存在一对正的常数γ和N,方程(1)满足均方指数稳定.对给定初值ξ,有

下面我们给出一些重要的引理.

虽然顺利离场,但结局与此前的期望相去甚远。朱啸虎曾对媒体表示,以后不再投这种烧钱的项目,再也不投“认为自己什么都是对的创业者”。戴威也很委屈:资本为什么就不能理解创业者的理想和决心呢?

2 主要结果

为了证明本文的主要结论,给出几个重要的引理.由于y(t)是离散数值解,我们先来研究其性质.

(ii)在 C1,2存在正的函数 V(t,·):G→R+,{x∈G:V(t,x(t))≤r}是定义在r>0上的紧集;

其中是一个补偿的Poisson过程.

课堂上的有效教学虽然对我们的语文学习有极大的帮助,但接触的知识是有限的,且是带有应试目的的,我们的眼界并不能得到多大的开阔。

此引理的证明同文献[12]中的定理2.3类似.

定理3.2 对于任意的T>0,有

其中C1T是依赖于ξ和T,且独立于Δ的正的常数.

其中

空间流线设计一直是建筑学科关注的关键问题,园林中的空间次序关系能对使用者的体验产生积极或消极影响。刘滨谊2)等学者认为在园林空间流线设计中需要考虑空间变化、时间变化与情感变化,并强调空间的旷奥对比。余荫山房非常注重空间流线的设计(图4),综合中国古典园林中环形、串联式、辐射式的3种流线设计方式,依据人流路线来组织空间流线,节奏鲜明。

赵继军 男,1970年9月出生,河北邯郸人,教授,硕士生导师.主要从事宽带通信网、传感网与物联网等方面的研究工作.

是对称且正定的.对于任意 ξ∈C([-τ,0];Rn),方程(1)的平凡解是均方指数稳定的.即存在一对正的常数λ和M对于任意的 ξ∈CFb([-τ,0];Rn),有

令一方面,利用Burkholder-Davis-Gundy不等式,对于任意的t1∈[0,T]

其中K1,K2,K3是正的常数.则由假设条件得

由Gronwall引理得出

定理3.3 在假设条件下对于任意的T>0,

其中D1和D2是一个与Δ无关的常数.

证明 对任意的t∈[0,T],存在一个正整数k使得t∈[(k-1)Δ,kΔ)⊂[0,T])则

利用Cauchy-Schwarz不等式和假设条件(i)-(iii)得

利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和条件(i)-(iii)得

(i)(局部Lipschitz条件)对于任意的d>0,存在Cd对于x,y∈Rn

令 C5=(1+λ+λ2T)(C3+C4),得到不等式(10).同理可得不等式(11).

现提出以下假设条件:

定理3.4 在假设条件下对于任意的T>0,

其中CT是依赖于T且独立于Δ.

证明 由式和Cauchy-Schwarz不等式得出

令一方面由Burkholder-Davis-Gundy不等式,对任意T∈R+

同理

从美国留学归国后,1928年,闻一多在《新月》第1卷第6期发表《杜甫》,这篇近似传记的文章后来被收入开明书店1948年版《闻一多全集》的“唐诗杂论”部分。但实际上,从闻一多与饶孟侃的通信中可见他对这篇草创之文还不太满意。朱自清在编排《唐诗杂论》的九篇文章时,本着“文稿的排列按性质不按年代”的原则,将此文与《英译李太白诗》置于最末。

其中K1和K2是两个正的常数.经计算由假设条件(i)和(iii)和引理 3.3,我们得出

这类信息具有双重作用。一方面它为医生提供了病人来源和病人必需返回的家庭的情况,因此这通常有助于改善预后,提供了返家后治疗的大致情况,或是记录了病人返家后应有的生活方式。另一方面,当病人仍在病房之中,而且通常是在问题尚未恶化之前,这类信息也给社会工作者提供了发现病人现存的特殊社会问题,或是医疗性—社会性问题的机会。

利用Gronwall引理,得

定理3.5 由假设条件(i)-(iii),方程(5)的数值解将收敛到方程(1)的解析解

小型张邮票不论是与全套票相伴发行,还是单独发行,都是作为独立的部分存在,邮市价值上涨明显;“四方连”作为邮票中的“贵族”,发行量较少,由于是四枚同样的邮票呈田字型排列,表现形式独具特色,收藏价值颇高;整版票的收藏价值自然不用多做介绍,需要强调的是2018年邮票发行量减幅达27%,由于发行量的减少,2018年发行的整版票更是少之又少,因此即将发行的《改革开放四十周年》纪念邮票整版票先天优势明显。

由引理3.2-3.4定理得证.

参考文献

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采空区充填后形成含水介质为中粗砂的含水层,围岩具有隔水作用。地下水的主要补给来源为大气降水,渗入地下部分沿基岩构造裂隙发育方向,汇集到中粗砂中,其排泄方式主要为人工开采。经估算,采空区蓄置的含水层,调节资源量约为1.3万m3,单井涌水量大于1000m3/d,成为花岗岩基岩裂隙水贫水区中的富水地段。

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凡此种种,小说体现的是一个拥有“个性解放”意识的现代女性形象,莫言从生命本体意义上的角度,摆脱传统道德思维模式的定律,展现了与封建社会主流意识抗衡的野性思维,而这种反礼教的人道之举充满了刚正不阿的民族气概。

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“变”背后的辩证思维促使阿契贝用动态的、全面的观点看待非洲文化和思想的发展。阿契贝不能用静止的和孤立的方法让非洲文化一直自产自销,而是改变原有的风格,结合英语的特点,创造出一种新的英语并用其书写出独特的非洲思想,让边缘化的非洲文化重回世界舞台,让全世界的读者重新认识真实和真正的非洲文化与哲学思想。

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岳红格
《赤峰学院学报(自然科学版)》2018年第4期文献

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