当卫星按圆轨道、赤道轨道以及圆赤道轨道运动时，某些卫星开普勒(Kepler)轨道根数发生退化，用于表达卫星轨道的拉格朗日运动方程和源于拉格朗日运动方程的高斯运动方程发生数学奇异，即为奇点问题，它一直是天体力学和N体问题研究中的核心问题之一[1-4]。卫星轨道理论研究主要基于二体问题的摄动理论[5-7]，二阶摄动理论解研究近年来取得了长足进步[8-12]，为奇点问题的进一步研究奠定了基础。众多学者在理论研究方面做了很多努力[13-16]，也取得了不少成果。第1类和第2类奇点问题为解决卫星导航领域的奇点问题提供了可能，但其表达复杂且解决思路和最终表达很难统一[17-18]。文献[19—20]提出参量代换和坐标系旋转等方法，分别从圆轨道，赤道轨道和极轨道的情况，对其方法进行论证和阐述，为奇点问题的解决提供了新的思路。但其忽略了代换参量实际的物理和几何意义，以及转换过程对整个轨道系统求解的可逆性。2012年，文献[21]以不定积分解的形式提出无奇点理论，并于2013年有了以微分方程描述的公式版本[22]。但其公式推导主要是逻辑推理，2014年给出了拉格朗日无奇点运动方程纯数学的严格推导与证明[23]。2015年又给出了高斯无奇点运动方程纯数学的严格推导与证明[24]。上述论文主要是从纯数学角度进行推导证明，参数的物理意义和方程的连续性有待进一步分析。

为了解决上述问题，本文充分考虑参数的实际几何物理意义、总体方程的统一性以及与原始方程的一致性，从拉格朗日无奇点运动方程出发，对奇点问题作了进一步的分析和探索。奇点情况时，某些Kepler轨道根数发生退化，本文基于原始拉格朗日和高斯运动方程及其物理意义，对卫星无奇点方程的判据进行推导与分类，并分别对拉格朗日/高斯无奇点卫星运动方程在圆轨道、赤道轨道和圆赤道轨道情况下存在奇异的轨道参数(升交点赤经、近地点角距和平近点角)赋予新的实际物理和几何意义。在拉格朗日-许与高斯-许卫星运动方程的基础上，根据参数定义对奇异项进行加和变换，从而消除奇异因子，最后给出一种新的拉格朗日/高斯无奇点卫星运动方程的统一表达式。

（3）电磁吸附式试验平台设计及制造 本工装主要由下部支撑框架、电永磁吸附式上部装配平台、气动压紧式上部装配平台三部分构成（见图1）。

2.1.4 蠕动泵转速 蠕动泵转速决定包衣液的加入速率。选择包衣液喷入方式为底喷、进风温度为50℃、雾化压力为0.20 MPa、引风频率为25 Hz、包衣理论增质量比例为4%，以包衣微丸色泽是否均匀、粘丸情况、包衣液粘壁情况及合格丸收率为指标，考察不同蠕动泵转速（2、3、4、5 r/min）的薄膜包衣效果。结果，蠕动泵转速为5 r/min时，包衣微丸色泽均匀，基本无粘丸，未见包衣液粘壁，合格丸收率为97.1%，优于其他转速条件。故确定蠕动泵转速为5 r/min。

1 卫星无奇点方程的判据

卫星运动方程的奇点问题源于某些特定情况时Kepler根数的物理意义的模糊，导致拉格朗日运动方程出现小分母或分母为零的问题。拉格朗日卫星运动方程可表示为[7,14]

(1)

式中，函数R称为摄动位函数，包括了除中心引力位以外的全部项，6个开普勒根数a、e、ω、i、Ω、M，即半长轴、偏心率、近地点角距、倾角、升交点赤经、平近点角。文献[21]将其改写成

(2)

式中，δ及其下标表示式(1)的右边各项。当e或者sin i趋近于0时，即可能发生奇点问题。奇点问题解决的前提是需要对奇点域做具体的判断。首先，定义径向和赤道方向的误差如下[22]

(3)

此处径向误差ae是轨道几何中心O′与地心O的距离，如图1所示，也是e引起的最大径向误差。赤道偏差asin i≈ai表示卫星由i引起的垂直于赤道的最大距离(倾角i是卫星的最大纬度)。在积分时刻t0=0，e或者/和i接近于0，则在积分时刻t，偏差e和i就为Δe和Δi。式(3)可写成

(4)

图1 卫星的扁心率和近点角 Fig.1 The eccentricity and anomalies of a satellite

圆轨道、赤道轨道以及圆赤道轨道的轨道偏差定义为

(5)

式中，ε0表示在卫星运动方向上由ΔΩ、Δω、ΔM引起的最大偏差。径向偏差、赤道方向偏差和轨道方向偏差是轨道最大误差的3个组成部分。3个偏差表示(e,ω,i,Ω,M)扰动对轨道产生的最大误差域。实际应用中，假定轨道3个方向偏差εe、εi和ε0分别为1 m，即这里定义的εe、εi和ε0可以作为判据标准。对于不同轨道，判据条件如表1所示，用于对奇点问题的判断与进一步分析。

3) 工况3：考虑安全系数及施工平台强度校核需要，施加自重及风荷载，同时第一、二层平台同时超载1.25倍施加荷载，即同时施加均布荷载3.75×10-3 MPa。

表1 奇点情况的判断条件

Tab.1 Criteria of singularity

奇点类型判断条件非奇点ae≥εe=1，asini≥εi=1圆轨道奇点ae<εe=1，asini≥εi=1赤道轨道奇点ae≥εe=1，asini<εi=1圆赤道轨道奇点ae<εe=1，asini<εi=1

2 拉格朗日无奇点卫星运动方程推导分析

当为赤道轨道时，sin i=0，升交点失去意义，无法确定。此时开普勒轨道根数发生退化，升交点赤经Ω和近地点角距ω意义发生改变。因此，可定义新的近地点角距ω′表示近地点与春分点的夹角，即

智慧理工（i理工）一期将在学校信息化领导小组的统一领导下，将学习软硬件建设相结合，促进学校信息化工作向深层次发展，让信息化在教育教学、科研开发、学生管理等方面发挥积极的作用，从而进一步提高学校的教学管理水平。

(6)

对于奇点情况还需进一步分析。由轨道参数的原始定义有：Ω表示在地球赤道平面上，升交点与春分点之间的地心夹角称为升交点赤经；ω表示在轨道平面上近地点与升交点之间的地心角距称为近地点角距；f表示卫星到近地点之间的地心角距，如图2所示。为计算真近点角，二体问题中引入偏近点角和平近点角的定义，3种近点角(真近点角f、平近点角M、偏近点角E)均是时间的函数，用来表述卫星在ECI坐标系中的位置随着时间的变化。其中，平近点角M采用平均角速度n来描述卫星绕地球的轨道运动，广泛用于解析轨道的理论推导和应用，本文的推导也是基于此。

图2 轨道几何图 Fig.2 Orbital geometry

奇点情况分为圆轨道、赤道轨道和圆赤道轨道3种情况。当为圆轨道时，e=0近地点失去意义，无法确定。此时开普勒轨道根数发生退化，平近点角M和近地点角距ω意义发生改变。因此，从卫星实际运动情况分析，可定义新的平近点M′表示卫星与升交点的夹角，即

M′=M+ω

(7)

拉格朗日无奇点运动方程的数学推导已在文献[21]中详细给出。对于通常非奇点情况拉格朗日方程[15,22]可写为

ω′=Ω+ω

(8)

被誉为 “发现了传统印刷的达芬奇密码” 的EZcolor系统，承担着科雷人“为传统印刷带来一场深度革命”的厚望。而对技术的极致追求，也让科雷在更大的舞台游刃有余。

M″=M+ω+Ω

(9)

对于上述变化过程，并未引入新的参数而是考虑特殊情况下，根据实际轨道使发生变化的参数仍具有实际意义。从轨道运行连续性以及力的连续性分析，整个轨道的变化过程是缓慢连续变化的，奇点情况下组合后的对应的量存在且连续。所有引起ω、Ω、M变化的力模型都保持不变，也即仍保持不变。摄动函数相对于开普勒根数的导数是存在的，而且不会导致奇异，所以右函数中的表达形式应全部保留。由于奇点问题导致的某些开普勒根数的退化，引进的M′、ω′、M″是必要的解决方法。从而奇点问题获得解决，运动方程连续。下面对各奇点情况下具体的公式进行推导分析。

2.1 圆轨道情况

圆轨道情况ae<εe=1、asin i≥εi=1时，从物理意义分析，近地点无法确定，相关轨道参数对时间的偏导数也无法确定。从数学角度分析e除到式(2)右边，分母存在零因子，即发生奇点。由式(7)，可得

(10)

因此，圆轨道奇点情况的运动方程由式(6)中一、二、三、四式，以及下式组成

当为圆赤道轨道时，e=0且sin i=0，近地点和升交点均失去意义，无法确定。此时开普勒轨道根数发生退化，平近点角M和近地点角距ω以及升交点赤经Ω意义均发生变化。因此，定义一个新的平近点M″表示卫星与春分点的夹角，即

(11)

2.2 赤道轨道情况

赤道轨道情况ae≥εe=1、asin i<εi=1时，从物理意义分析，升交点无法确定，相关轨道参数对时间的偏导数也无法确定。从数学角度分析，sin i除到式(2)右边，分母存在零因子，即发生奇点。由式(8)可得

将所有可能影响死亡的因素（年龄、性别、肺部疾病史、原患疾病、ILD发生时间、放疗史、化疗史、高剂量激素治疗）作为自变量，以转归为因变量进行逐步Logistic回归分析，结果见表2。

(12)

因此，赤道轨道奇点情况的运动方程由式(6)中一、二、三、六式，以及下式组成

(13)

2.3 圆赤道轨道情况

圆赤道轨道情况ae<εe=1、asin i<εi=1时，从物理意义分析，升交点和近地点无法确定，相关轨道参数对时间的偏导数也无法确定。从数学角度分析，sin i、e除到式(2)右边，分母存在零因子，即发生奇点。由式(9)，可得

此沥青混合料的拌制与摊铺和普通沥青混合料大致相同，然而，因这一沥青混合料的级配比普通沥青混合料粗，并且摊铺厚度相对较厚，所以在拌制、摊铺与碾压过程中，又存在一定差别，具体表现为以下几点：其一，在混合料拌制过程中，干拌时间相对较长，一般在普通沥青混合料基础上要延长2～5s；其二，鉴于摊铺厚度相对较大，所以应放慢摊铺机行驶速度，通常为1.5～2.0m/min，最快不能超出2.5m/min[1]。

(1) 圆轨道情况。轨道坐标系下状态矢量进行一次旋转，分析角度物理意义为

主要缺点有：（1）该方案占用土地资源较多；（2）该方案在冬季，气候寒冷，存在结冰的可能，因此不合适严寒区域；（3）如果处置不当，可能滋生蚊蝇，严重时会有臭味；（4）为避免蚊子与臭味对附近居民生活产生影响，项目选址需尽可能远离住宅区，或者选择下方向选址建设。

(14)

因此，圆赤道轨道奇点情况的运动方程由式(6)中一、二、三式，以及下式组成

他从抽屉里翻出一个装烟的铁盒子，里面是他当年为了看杨蓉，在小火车站买的车票，一张张按时间排列整齐。在最下面，有两张电影票。是他和李红去看的唯一一场电影，后来，他们再也没进过电影院。

(15)

3 高斯无奇点卫星运动方程推导分析

非奇点情况下高斯运动方程为[24]

(16)

式中，fa、fh、fr分别表示轨道坐标系的3个方向的摄动力。对于奇点情况下的高斯运动方程做进一步推导。

3.1 圆轨道情况

ae<εe=1、asin i≥εi=1，根据拉格朗日圆轨道运动方程，得

(17)

因此，圆轨道奇点情况的运动方程由式(16)中一、二、三、五式，以及下式组成

(18)

3.2 赤道轨道情况

ae≥εe=1、asin i<εi=1，根据拉格朗日赤道轨道运动方程，得

(19)

因此，赤道轨道奇点情况的运动方程由式(16)中一、二、三、六式，以及下式组成

(20)

3.3 圆赤道轨道情况

ae<εe=1,asin i<εi=1，根据拉格朗日圆赤道轨道运动方程，得

(21)

因此，圆赤道轨道奇点情况的运动方程由式(16)中一、二、三式，以及式(22)组成

伴随着离缝的产生，道床底部出现吊(脱)空现象。吊空后的道床在列车动载反复碾压下于薄弱处(如变形缝附近)发生横向断裂，裂缝内可能有泥水被压出，进而构成冒泥翻浆现象。横向裂缝产生的另一因素是道床变形缝两侧沉降存在较大差异，当沉降差超过其允许值时将产生横向裂缝。

(22)

4 无奇点卫星运动方程的连续性分析

[6] BROUWER D, CLEMENCE G M. Methods of Celestial Mechanics[M]. Burlington, MA: Elsevier, 2013.

(23)

最终统一的高斯无奇点卫星运动方程为

(24)

卫星的运动和力模型是连续的，进一步分析卫星运动方程的连续性可知，式(23)、(24)对于任何一种奇点情况(圆轨道奇点、赤道轨道奇点、圆赤道轨道奇点)方程是非间断的，奇点情况下运动方程中重新定义的组合量及非奇点情况下运动方程的轨道参数在其对应的判据域内均是连续的。因此，新的拉格朗日和高斯无奇点卫星运动方程具有连续性。

5 仿真与分析

为进一步验证本文所做的推导，分别针对3种奇点情况开展仿真与分析。假设卫星处于二体运动，奇点情况下，摄动力对各项轨道根数的偏导数为0，但拉格朗日卫星运动方程中仍然存在奇点，同理，赤道轨道的和圆赤道轨道的均无法用来准确描述卫星运动，本文推导的方程不存在这样的奇点。在3种奇点轨道情况下，轨道根数个数和定义与原来不同，因此，在轨道根数和卫星状态矢量转换的时候，有两点需要注意：

(25)

(2) 赤道轨道情况。轨道坐标系下旋转矩阵，分析角度物理意义可知

(26)

式中，R1、R3为x和z中的旋转矩阵[16]，圆赤道轨道两点兼有。

下面利用本文推导的拉格朗日无奇点卫星运动方程描述卫星运动，轨道初值如表2所示(其中后3个可表示新定义的根数)。首先基于式(23)求出各时刻的卫星的轨道根数，然后利用式(25)、(26)将其转换成卫星状态矢量，最后利用自主编写的卫星轨道三维可视化仿真软件分别绘制二体运动圆轨道、赤道轨道以及圆赤道轨道轨迹[25]，如图3所示。将计算轨道与积分轨道对比，轨道差在厘米级。高斯方程同理。

表2 圆轨道、赤道轨道及圆赤道轨道的轨道初值

Tab.2 Initial orbit of circular/equatorial/circular and equatorial satellite orbit

轨道类型a/kme/(°)i/(°)Ω/(°)ω/(°)M/(°)圆轨道80000300—80赤道轨道120000．30—6020圆赤道轨道1100000——10

图3 圆轨道、赤道轨道以及圆赤道轨道卫星轨迹 Fig.3 The circular/equatorial/circular and equatorial satellite orbit

从上述过程与结果可知，本文推导的无奇点卫星运动方程，可描述二体运动中的圆轨道、赤道轨道以及圆赤道轨道卫星运动，且计算精度与非奇点二体运动相当，可用于解决二体运动中的奇点问题，从而在一定程度上证明本文推导公式的正确性和可用性。

6 结 论

本文推导了卫星拉格朗日/高斯无奇点运动方程，无任何近似，与原始拉格朗日/高斯运动方程具有逻辑一致性；奇点情况下，对参数含义重新定义，所得方程在奇点情况下仍具有几何和物理意义；圆轨道、赤道轨道和圆赤道轨道下的卫星运动方程的表达更加简洁，便于理解和计算；轨道方程右端完全消除了零因子，从根本上解决卫星运动方程的奇点问题，并且该卫星运动方程具有连续性。

柑橘品种丰富并且各有特点，味道甘甜，营养丰富，是深受人们喜爱的一种水果。柑橘对土壤的适应范围较广，pH值4.5-8均可生长，以pH值5.5-6.5为最适宜。但近些年，随着人们对柑橘的需求量越来越多，柑橘的种植面积也在猛增。随之出现的柑橘缺素导致的病害也越来越严重。柑橘黄化现象常有出现，叶片发黄，光合作用降低，创造的有机物减少，树势变弱，抗病能力差，产量低。有的果农看见柑橘叶片黄了，认为是黄龙病，很慌恐，怕传播到健康树上，立刻砍树。其实柑橘叶片变黄并不一定是黄龙病，大部分很有可能是缺素引起的黄化。

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第五，商业银行要加强对中小企业的信贷支持。商业银行要加大对中小企业爱的开放力度，中小企业融资主要依赖于商业银行，因此，商业银行要重视对中小企业的信贷支持，加强信贷融资对中小型企业在商行的改革势在必行。根据国家相关政策规定，商业银行有必要帮助中小企业解决资金链条问题，帮助中小企业制定贷款投向计划，为中小企业提供一个良好的发展平台，这也是与国家自主创业政策相吻合的。从某种意义上而言，中小型企业的健康发展推动了地方经济建设的进步，因此，商业银行中小企业的信贷支持放宽，对中小企业流动资金贷款审批制度的权限创设了良好的信贷环境，满足中小企业的需求，能够有效促进地方经济建设。

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