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例谈用几何法求解绝对值问题

更新时间:2016-07-05

提出问题

七年级学生学完绝对值与相反数时,同步练习中出现了这样一道题:|5-2|表示5与2的差的绝对值.也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|也可以看作|5-(-2)|,表示5与-2的差的绝对值,也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.探索:

(1)|5-(-2)|=______.

因此,高校在大学生生涯规划指导中应紧密结合思想政治教育,变思政课程为课程思政,积极创新思政教育新模式,切合大学生的自主意识,充分调动学生的主动性、参与性,将教学重点与学生的兴趣点有机结合起来,以学生喜闻乐见的方式呈现出来,让学生易于接受。有的高校采用生动的展板方式,组织学生辩论赛,组织学生拍摄微电影,借助微信平台创建特色栏目,如江南大学的宝哥说,内容诙谐幽默,深受学生喜爱。同时把思政教育层面扩展开来,学生并不是只在思政课上接受思想政治教育,全校的每一位教职工都应肩负起学生思想政治教育的责任与重担,把思政教育贯穿于课堂、宿舍、实验室等学校里的任何一个角落,与心理辅导、学生管理有机结合。

(2)利用数轴,找出所有符合条件的整数x使表示整数x的点到5的点和表示-2的点的距离之和为7.

(3)由以上探索猜想,对于任何有理数x,|x-2|+|x+3|是否有最小值?如果有,写出最小值;如果没有,说明理由.

②外因与内因相混合:《普济方·卷五十六》:“肺为气之主,通窍于鼻。鼻者,清气出入之道路也。阴阳升降,气血平和,则一呼一吸,营卫行焉。其或七情内蠹,六气外伤,则清浊不分……诸证迭起矣。”《寿世保元·卷六》也有近似的观点:“鼻者肺之候,时常和则吸饮香臭矣。若七情内郁,六淫外伤,饮食劳役之过,则鼻气不能宣调,清道壅塞,即为病也。”笔者认为,这些论述,是我们治疗嗅觉障碍的总纲,“邪之所凑,其气必虚”,治疗上既要祛除外邪,更应调理内脏。这就是中医既治病,更治人的治疗法则。

本题第(1)问较为简单.第(2)问是在-2与5之间找整数点,但不能忽略端点5和-2,第(3)小问有一定难度,一般解法是:

如图6,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1和3,则|x-1|>2的解集为x<-1或x>3.

(3)如果|x-2|=5,则x=______.

在魏国,李悝主持了政治改革,他坚决反对奴隶主贵族的宗法世袭制度,建立了“食有劳而禄有功”的任官制度,主张“夺淫民之禄,以来四方之士”[16]P166,即剥夺奴隶主世袭的爵禄权力,把这些爵禄转而赐给有那些军功的人。“是时,李悝为魏文侯作尽地力之教”[17]P1124与李悝改革中提出的“尽地力之教”的经济政策相辅相成,大力发展农业生产,提高土地产量。通过这次改革发展了了新兴地主阶级的势力,促进了封建社会的发展。

∴当x=2时,y=2x+1有最小值5.

1.税收规划有助于提高企业竞争力。在激烈的市场竞争中,在生产、营销和营销企业中,他知道并利用税收规划,他在竞争中获胜。

②当-3<x<2时,

原式=2-x+x+3=5.

③当x≤-3时,

(1)点ABC在数轴上分别表示有理数x、-2、1,那么AB的距离与AC的距离之和可表示为______(用含绝对值的式子表示).

∴当x=-3时,y=-2x-1有最小值5.

综上所述,当-3≤x≤2时,|x-2|+|x+3|有最小值5.

上面的方法为零点分段讨论法.对于刚上初一的学生来说,分类讨论本身就有难度,后面求最小值还要用到函数的增减性,所以这道题目需要探求其他解法.

解决问题

(3)解方程|x-1|+|x+2|=5.

几何法给出了解决这类问题的十分简捷的方法,这就是数形结合的最好诠释!

以下举例介绍用几何法解决这一类绝对值问题,相信大家能体会这种方法的魅力.

触类旁通

1 同学们都知道:|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索:

(1)数轴上表示5与-2两点之间的距离是______.

(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______.

原式=x-2+x+3=2x+1,

(4)同理,|x+3|+|x-1|表示数轴上有理数x所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和.请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x-1|=4,这样的整数是______.

(5)由以上探索猜想:对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值?如果有,直接写出最小值;如果没有,说明理由.

2 阅读下面材料:点AB在数轴上分别表示实数ab,AB两点之间的距离表示为|AB|.

(2)数轴上表示x和-1的两点AB之间的距离表示为______;如果|AB|=3,那么x______.

|AB|=|OB|=|b|=|a-b|.

AB两点都不在原点时,

如图2,点AB都在原点的右边,

|AB|=|OB|-|OA|

=|b|-|a|=b-a

=|a-b|.

如图3,点AB都在原点的左边,

|AB|=|OB|-|OA|

=|b|-|a|=-b-(-a)

=|a-b|.

如图4,点AB在原点的两边,

|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|

=a+(-b)

=|a-b|.

回答下列问题:

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______.

(2)数轴上表示x和-1的两点AB之间的距离是______;如果|AB|=2,那么x______.

(3)当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,相应的x的取值范围是______.

3 先阅读,后探究相关的问题.

【阅读】|5-2|表示5与2差的绝对值,也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|可以看做|5-(-2)|,表示5与-2的差的绝对值,也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

(1)如图5,先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位,得到点C,则点B和点C表示的数分别为____________,B,C两点间的距离是______.

AB两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,有

(3)若点A表示的整数为x,则当x______时,|x+4|与|x-2|的值相等.

政府应加大对库区航运基础设施建设资金投入,加快对库区水域渡口、渡船、航道及相关安全设施的建设和更新改造,提升库区航运设施硬件条件。进一步提高船舶大型化、多样化和现代化水平。未来可以发展大型货船、旅游观光船、气垫船、水上飞机等多用途船舶,发展天然气、电动船,混合动力船等绿色燃料船舶,为航运经济的发展增添动力。

(4)要使代数式|x+5|+|x-2|取最小值时,相应的x的取值范围是______.

从这一土地流转的案例中,我们可以看到,农村土地流转实践并非只要按照《土地承包法》的法律条文和完全的市场竞争原则,承包人与农户就可以面对面地讨价还价并达成流转协议。土地流转的过程其实是一个复杂的社会建构过程,在这一过程中,资本角色、政府角色和农户角色都可能要根据特定的社会情境选择各自的行动策略,并围绕土地流转目标建构起流转优先权的社会意义,也就是要赋予农村土地权属和边界的变动以合适的理由或解释,即为什么要进行土地流转,为什么要把土地流转给特定承包者。

4 认真阅读下面的材料,完成有关问题.

材料1:在学习绝对值时,老师教过我们绝对值的几何含义,如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离;|5+3|=|5-(-3)|,所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|=|5-0|,所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地,点AB在数轴上分别表示有理数ab,那么AB之间的距离可表示为|a-b|.

原式=2-x-x-3=-2x-1,

将测序所得到的16S rDNA全序列利用CExpress完成拼接,提交到Gene Bank数据库,并应用Blast软件进行同源性搜索,序列结果用NCBI在线工具Blast在Gene Bank内与标准菌株比对,并用MEGA5.0软件构建系统发育树,如图2所示,确定ZP-28是枯草芽孢杆菌。

(2)利用数轴探究:① 找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是______,② 设|x-3|+|x+1|=p,当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时,p的值是不变的,而且是p的最小值,这个最小值是______;当x的值取在______的范围时,|x|+|x-2|的最小值是______.

材料2:求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值.

分析 原式=(|x-3|+|x+1|)+|x-2|.根据题2中的探究② 可知,要使|x-3|+|x+1|的值最小,x的值只要取-1到3之间(包括-1、3)的任意一个数.要使|x-2|的值最小,x应取2,显然当x=2时能同时满足要求,把x=2代入原式计算即可.

(3)利用材料2的方法求出|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|的最小值.

5 阅读下列材料:

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离.

(1)解方程|x|=2.

容易看出,在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或-2,即该方程的解为x=2或x=-2.

午餐时,她突然发现她的那份工作餐多了盒草莓,一颗颗拥簇在餐盒之中,鲜嫩欲滴,饱满圆润。这是虚拟零件在头脑反映的假草莓,食用口感、营养成分、香气都通过计算机模拟或转介替代,转移到“草莓”的食物类虚拟零件之中。她用指尖触了一下,草莓表面密密麻麻小粒的凸起上还残留着的细密的水滴。

(2)解不等式|x-1|>2.

理论与实践结合能有效促进工程建设发展。公路工程建设施工中,以理论指导实践非常重要。目前我国公路工程软基施工中存在缺乏理论指导的问题,应加强对软基处理技术的研究,促进工程技术的提升。施工中要遵循因地制宜的施工原则,不同的地区对工程施工技术有不同的要求。在施工前必须对周围环境进行细致考察。形成合理完善的施工方案。

①当x≥2时,

让我们回到原始的绝对值定义,原来可以从绝对值的几何方法入手.|x-2|表示在数轴上x与2的距离,|x+3|表示数轴上的点x与-3的距离,故求|x-2|+|x+3|是否有最小值,实际就是问在数轴上有没有一个值x,使它到2的距离与到-3的距离之和最小?于是画数轴,则数轴上的两点-3和2将数轴分成了三部分,只有当-3≤x≤2时,|x-2|+|x+3|有最小值5.

由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边,若x对应点在1的右边,由图7可以看出x=2.同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3.

参考阅读材料,解答下列问题:

(1)方程|x+3|=4的解为______.

取证过程中的“全过程”录音录像促进了监察机关的工作顺利开展,对录音和录像的择选,以及未按要求录音录像的都要进行科学合理的处置,同时,对录音录像的保管、移送、调取与播放都要进行一定的规制。

(2)不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集为______.

6 如图8,点AB在数轴上分别表示有理数ab,AB两点之间的距离表示为AB,在数轴上AB两点之间的距离AB=|a-b|.

利用数形结合思想回答下列问题:

(1)数轴上表示2和10两点之间的距离是______,数轴上表示2和-10的两点之间的距离是______.

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为______.

称量100g钼精矿,分别加入助溶剂9g Co-NC,200mL 30%HCl,反应温度75℃,充分搅拌反应2.5h,分别考察复合氟化物为 8.0、10.0、12.0、14.0、16.0、18.0g对铁和硅的含量影响,结果见表3。

(3)若x表示一个有理数,|x-1|+|x+2|有最小值吗?若有,请求出最小值;若没有,说明理由.

(4)若x表示一个有理数,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-2014|+|x-2015|的最小值.

本研究观测地点选取鼓楼测点江东北路176号(N 32°2'58",E 118°44'1") 位于南京主城区的偏西侧,南京奥体中心北方5km,新街口西侧4km,点位西侧1.5km是长江沿岸,距离老山国家森林公园13km。该站点设在南京市环境科学研究院环科楼楼顶,距离地面高度近80m,四周无建筑遮挡,楼下是江东北路快速路,周围主要是居民住宅区和商用写字楼,除机动车尾气排放无明显其他局地污染源。

多数教师都会有课堂气氛沉闷的同感,课堂气氛沉闷的主要原因在于互动的机会少,甚至几乎没有互动的环节,教师讲数学概念、讲解例题,学生做练习,运用所学解决问题,这样,单线式的教学,学生依赖教师,习惯处于被动地位,丧失思维和判断的能力,课堂教学效率低下.因此,激活课堂氛围,提高课堂效果,增加互动环节是主要策略.

尉琳
《初中数学教与学》2018年第9期文献

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