本文通过分析典型问题,展现构造全等三角形求等腰三角形中角度问题的一般策略.

一、从相等线段入手构造全等三角形

当已知条件和所求角度之间没有明显的联系,或条件中并无明确的角度信息时,可以借助于已知的相等线段构造全等三角形,利用全等三角形的性质创设新信息,达到求解问题的目的.

问题1 如图1,在等腰∆ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE.求∠BAC的度数.

分析 构造全等三角形时，一般先选择图中已有的三角形,这个三角形必须含有所求角或含有与所求角有密切关联的角，其所在的边与图中线段有相等关系,称其为“对象三角形”；然后添加辅助线构造与“对象三角形”全等的三角形，以供综合分析.这里的“对象三角形”应是∆ADE,构造与∆ADE全等的三角形，具体思路如下.

思路1 如图2,从CE=DE入手作∠CEF=∠ADE，使EF=EC,则∆CEF≌∆EDA，这样∠EAD=∠ECF,∠FEC=∠EDA，CF=AE.这些条件还不能沟通已知和结论由AB=AC,AD=CE,知EA=DB=CF,再由∠EAD=∠ECF知,CF∥BD.所以连结DE,则四边形BDFC是平行四边形所以DF=BC=DE=EF,即∆DEF为等边三角形这样有了已知角度,也激活了所有条件与∠BAC的深层关系.

思路2 由思路1 的分析可知,这里没有适合“对象三角形”,要从角之间的特殊数量关系作辅助线来生成.∆BOA≌∆BOC,∆BOA≌∆MOA这两次三角形全等是产生许多中间角关键,所以可以先作∠ABC的平分线,延长CM与之交于点O.如图9所示有与思路1类似的解法.

所以∆BOA≌∆MOA,AM=AB,

则

∠DEC=40°,∠EDC=70°,

∴∠ADE=180°-2∠DAE

=180°-2(180°-x°)

=2x°-180°.

∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°，

(2)以与“对象三角形”有相等的线段为对应边,根据“对象三角形”的有关信息,确定辅助线的做法如作角相等、过某点作某线段的平行线、垂线,作角的平分线等等.

∴x=100，∴∠BAC=100°.

亲水、休闲、娱乐是人水和谐的重要途径。入库河道生态建设中，需通过设置适当的亲水和景观设施满足人水和谐的要求。但在景观设置时，必须考虑河道防洪的基本要求。因此入库河道生态建设应遵循防洪与亲水相协调的原则，使河道成为一道优美的与自然和谐的环境景观。

思路2 由思路1知,构造∆CEF≌∆EDA,最终是要产生等边三角形∆DEF,这才是求∠BAC度数的关键,这里平行四边形BDFC是重要桥梁，所以辅助线也可从边入手,过D作DF∥BC,且使DF=BC,连CF、EF,则四边形BDFC是平行四边形.这样有BD=CF,DA∥FC,则∠EAD=∠ECF,可以证明∆ADE≌∆CEF,∆DEF为等边三角形.

思路3 如图3所示,从AE=BD入手,过点D作DF∥EC,使DF=EC.连结AF、BF、CF,则四边形是菱形.因为AD=DF,则∠AFD=∠2;因为CF∥EC,则∠AFD=∠1,所以∠1=∠2.∆ACF≌∆ABF,这样CF=FB=BC,∆DEF为等边三角形,且∆AED≌∆DBF,∠BFD=∠ADE.

解 设∠BFD=x°,

则∠CFD=∠DAE=∠E

=60°+x°,

∵∠EAD+∠E+∠ADE=180°,

∴2(60°+x°)+x°=180°,

∴x=20,

即 ∠DAE=20°,∠AED=80°,

在白羽肉鸡养殖过程中，随着白羽肉鸡养殖数量的增加，白羽肉鸡相关的传染性疾病和非传染性疾病大发生与流行越来越多。白羽肉鸡传染性疾病的感染率和死亡率均较高，给白羽肉鸡养殖业造成严重的经济损失。

∴∠BAC=100°.

1.运用新媒体技术，促进新型政民互动。主动学习并充分利用各种新媒体技术来创新政府治理是“互联网+”时代地方政府的必修课。在 “互联网+”时代，各级领导干部既是新媒体受众，同时也肩负新媒体管理者的角色。习近平总书记指出， “要加大力量投入，尽快掌握这个舆论战场上的主动权，不能被边缘化了，要解决好 ‘本领恐慌’问题，真正成为运用现代传媒新手段新方法的行家里手”，这就要求各级领导干部要主动掌握媒体技术和应用，提高自身媒介素养，科学管理和合理利用新媒体。

②咏物言志类。据笔者统计，《卜算子》中虽没有写尽繁花，但所写之花的种类也不在少数，达11种之多。其中，写梅的作品便有37首，其中姜夔有咏梅八首。另直接标有“咏梅”题目者，有陆游与朱淑真。在我国的传统文化中，梅的凌寒独放、坚守本心为众多读书人所敬仰。陆游的《咏梅》即是如此，上阕写尽梅花遭受的苦难，下阕借梅花吐露自己心中的愁绪——“无意苦争春”。

反思 由此例可知,从边入手构造全等三角形的解题策略为:

(1)在原图中选择包含所求角或与之相关的角所在的“对象三角形”.

∴

(3)若图中多条线段相等,又在不同三角形中,考虑构造等边三角形,特别是求角度问题而已知条件没有任何角度信息,常常考虑通过构造全等三角形产生特殊角,如60°、45°、30°角等等.

(4)若已知条件无法确定解题方向,可从结论出发,逆推而上,探寻问题中深藏不露的信息如上题中,若∠BAC=100°则∠ACB=40°,∠BAC-∠ACB=60°,这一信息与等边三角形有关.

二、从角之间关系入手构造全等三角形

当已知条包含角度值,但这些已知角和所求角之间没有直接关系,解题就会因缺乏方向性而陷入困境.这时由于已知角和所求角之间还需要产生与二者有关的“中间角”,于是通过“中间角”进行一步步的转化沟通，这些“中间角”可以通过构造全等三角形来提供.一般地，从角入手可从以下两方面考虑.

1、先构造等边三角形,为构造全等三角形创造条件

问题2 如图4，等腰∆ABC中，AB=AC，∠A=20°，D是AB边上的点，AD=BC，连接CD，求∠BDC.

分析 联想问题1的解题策略,∠A=20°,∠ABC=∠ACB=80°,它们的差正好是60°,从角入手构造全等三角形,或选适合的边构造等边三角形,为确定∠ACD或∠DCB的值创造条件.图中的∆ADC包含已知角和所求角,且边AC=AB,是最佳“对象三角形”，作辅助线构造全等三角形思路如下:

思路1 如图5, 若以CD为公共边,作∠DCE=∠ACD,且CE=AC,连结ED,则∆EDC≌∆ADC，这样AD=DE,似乎解题无进展.再连结AE,若∆ACE≌∆ACB,则∠ACE=∠BAC=20°,∠DCE=∠ACD=10°,则∠BDC=∠ACD+∠DAC=30°.由图知∆ACE≌∆ACB，只需要AE=BC,联系AD=BC=DE,若AE=BC，则∆ADE为等边三角形，这就需要调整辅助线的作法,即先以AD为边作等边三角形.

解 以AD为边作等边三角形∆ADE,连结EC.

∵AB=AC,∠A=20°,

∴∠ABC=∠ACB=80°.

∵∆ADE等边三角形,

∴AD=DE,∠EAD=60°,

∠EAC=60°+20°=80°,

∴∠EAC=∠ACB.

∵AD=BC,∴AD=BC,

∴∆ACE≌∆ACB.

∴∠ACE=∠BAC=20°,

EC=AB=AC,

∴∆EDC≌∆ADC，

∴∠DCE=∠ACD=10°,

∠BDC=∠ACD+∠DAC

=30°.

思路2 由思路1 知，先构造与∆ADC全等的三角形,AD=BC这个已知条件不能发挥作用,只有先考虑以AD为边作等边三角形∆ADE,为构造与∆ADC全等的三角形创造条件,并且这样自然产生了∆EDC.若以BC为边作等边三角形∆BCE,连结AE,如图6，则可知∆AEB≌∆AEC≌∆CDA,∠ACD=∠EAB=∠EAB=10°.

思路3 由以上经验,以AC为边作等边三角形∆ACE,连结DE.

如图7所示,则∆EAD≌∆ACB.

在等腰三角形EDC中,

∴∠DAE=180°-x°,

由表2可见，各淹水处理的倒1叶长较对照均增加或显著增加，倒2、和倒3叶长较对照无显著增减。淹水深度为1/2时，水稻受淹1 d、3 d和5 d处理的倒1、倒2叶宽较对照均减少或显著减少，但随淹水天数的增加有增加的趋势。淹水深度为2/3时，相比与对照，除受淹1 d处理的倒2叶、倒3叶宽显著减少，其余处理无显著增减。淹水深度为1/1时，倒1叶宽和倒2叶宽随淹水天数的增加有减少的趋势，其中淹水1/1-5 d处理的倒1叶宽已显著低于对照6.78%，倒3叶宽较对照基本无差异。

则∠BDC=180-70°-80°=30°.

由∠AMO=180°-14°-120°

(2)当构造的全等三角形产生的中间条件仍无法解题,要联系已知条件进行适当调整,就会出现“柳暗花明又一村”的情景结合图形、联系所有条件综合分析是走出解题困境的关键.

(3)从角之间关系出发构造等边三角形,为三角形全等提供条件,是解题的前提.思路3虽先以AC为边作等边三角形∆ACE,实质是构造了与∆ABC全等的∆AED,所以构造全等三角形是基本策略.

(4)问题2说明,解以等腰三角形为背景的角度问题,构造等边三角形时,应首先以相等线段为边若该问题以DC或BD为边构造等边三角形,就难于产生全等三角形.

2、从角之间特有关系入手,直接构造全等三角形

餐厨垃圾，俗称泔脚，是指居民在食品加工和消费过程中形成的废料和剩余废弃物。餐厨垃圾的组成、性质和产量会随区域和季节变化的不同而有所差异，但所有餐厨垃圾都具备如下特点：含水率高，含固率一般小于20%；易腐烂发臭，易滋生病菌，会造成疾病的传播；产生的易腐烂、易生物降解的废弃物是城市生活垃圾的主要组成部分。受传统文化的影响，食品种类比较繁多、结构成分也比较复杂，饮食结构呈现多元化，食物垃圾呈现多样性，具有多、硬、杂、粗等特点[2]。

如 100 JC 10×23中，100为适用于最小井径100（mm），JC为长轴离心深井泵，10 为流量（m3/h），23 为叶轮级数。

问题3 如图8，在等腰∆ABC中,AB=AC,∠BCA=44°,M是其内一点,且∠MCA=30°,∠MAC=16°,求∠BMC.

分析 从∠BAM=2∠BCM入手构造全等三角形.这个方向较明确,即作∠BAM的平分线，即可从三角形全等的条件看,AB=BC应是一组对应边,故延长CM交∠BAM的平分线于点O,如图9所示.若能证明∆BOA≌∆BOC,或∆BOA≌∆MAO,则会产生许多中间角.

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF／DF交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

思路1 如图9所示,∠BAM的平分线与CM的延长交于点O,连结BO.

则∠OAC=∠MCA=30°,OA=OC,

这样∆BOA≌∆BOC,∠BOA=∠BOC=∠AOC=120°,

抗震设防烈度为8度，按罕遇地震设计基本地震加速度值为0.20g，设计地震属于第一组，场地类别为Ⅱ类，则Tg=0.4s。阻尼比取0.02，地震影响系数曲线的阻尼调整系数按1.0采用，竖直地震载荷对整个结构的动力响应影响较小，一般情况下，只考虑水平向地震作用[5]，故分别在结构的两个水平主轴方向计算地震作用。由图3求得加速度谱值如表2。

则∠AMB=76°.

反思 (1)这是以等腰三角形为背景的求角度问题,参考问题1的解法从构造与ADC全等三角形入手是正确的.

现今，公众对放射辐射防护的意识越来越强，作为一名合格的影像技师，有义务，有责任，在达到诊断要求的前提下，尽量降患者所受的辐射剂量，影像学在临床诊疗过程中起到了重要作用，其中CT检查在影像学检查中占比例较大，西门子双源CT超低70kV的临床应用，大大降低了辐射剂量，双能CT对肺动脉的治疗前后的显示有很重要的临床价值，本文采用三种不同方式采集肺动脉，对比其辐射剂量的差异性，为AI自动识别肺动脉病变奠定基础。

=46°,

可得∠BMC=180°-∠BMO

=180°-(76°-46°)=150°.

解 由上分析,设∠BAC=x°,

思路3 从∠MCA=30°,∠MAC=16°入手,以∆AMC“对象三角形”构造以CB为边的等边三角形ACE,如图10所示.

准确称取25g食盐样品，按照试验方法进行样品处理，试液经水浴加热后冷却放置待测。滴定过程中保证试液中硫酸根含量在8mg以下时，在重复性条件下，测得同一样品试样中的硫酸根含量为0.046%～0.054%，平均值为0.050%，测定结果见表1。

连结EB,则∠AEB=∠CEB=30°，

AE=AC，∠EAB=∠MAC=16°,

所以∆AMC≌∆ABE.

体视显微镜，南京江南永新光学有限公司；多功能酶标仪，帝肯（上海）贸易有限公司；生化培养箱，上海科学仪器有限公司；高速离心机，江苏捷达离心机制造有限公司；恒温培养箱，上海科学仪器有限公司；高压灭菌锅，帝肯（上海）贸易有限公司；电子天平，沈阳科瑞永兴化玻仪器有限公司；一次性培养皿，青岛金典生化器材有限公司。

则AM=AB.

在∆BAM中,∠BAM=44°-16°=28°,

接下来进行岗位评价培训，人事处通过培训使评委对整个评价过程有清晰的认识，对岗位评价各要素、各维度有了较好的掌握，同时充分了解了岗位评估的重要性和自身肩负的使命与责任。

所以∠AMB=76°.

而∠AMC=180°-(16°+30°)

=134°,

则∠BMC=360°-(76°+134°)

=150°.

反思

(1)此题的主要信息是角的度数,并且角度之间隐含着特殊关系,这是作辅助线的重要依据,可作角平分线，作一个角等于已知角等等，作辅助线的目的是为三角形全等创造条件.

(2)若没有适合的“对象三角形”,要从角之间的特殊数量关系作辅助线来生成,添加的辅助线要与所求角度有关联,且要通过几次三角形全等来到达沟通已知与结论的目的.

(3)思路3中选择∆AMC为“对象三角形”,是从其含有两个特殊角考虑的,这样以CB为边构造等边三角形ACE便成自然若以AB或AC为边构造等边三角形,同样可以通过三角形全等求出∠BMC的度数,如图11,12所示.

总之,以等腰三角形为背景的角度问题,表面看有相等角和相等线段,而已知与结论之间需要通过构造全等三角形,以产生联系二者的中间角从相等线段和特殊角之间关系入手,是构造全等三角形的两个切入点,而通过构造等边三角形来自然生成全等三角形，是解此类问题的重要方法之一.