我们在实际解题教学中，应注重波利亚的“怎样解题”和罗增儒教授的解题信息论之间的科学融合,这样做有利于在复杂的平面图形中找到具体的解题方法,并迅速解决问题．笔者以全等三角形中手拉手模型为例,谈谈如何从复杂的图形中抓住关键特征,提炼出基本的数学模型．

一、理解题目,洞察图形

例1 两个等腰三角形∆ABD与∆BCE,其中AB=DB,EB=CB,∠ABD=∠EBC=50°,连结AE与CD交于F．求证:

患者在服用卡马西平、螺内酯或者大量服用青霉素类抗生药物后，可能会导致蛋白尿症状。患者大量服用维生素C后再进行尿隐血试验，可能会导致假阴性检验结果的出现，因此当下很多医学检验部门在进行尿常规检验的时候，会增加维生素C含量这一检验指标。

(1)AE=DC;

(2)∠AFD=50°;

“长宜子孙”这四个字的年龄比我的不知大了多少，这也该是我祖父留下的东西吧。最近在家里我还读到他的遗嘱，他用空空两手造就了一份家业，到临死还周到地为儿孙安排了舒适的生活。他叮嘱后人保留着他修建的房屋和他辛苦地搜集起来的书画。但是儿孙们回答他的还是同样的字：分和卖。我很奇怪，为什么这样聪明的老人还不明白一个浅显的道理：财富并不“长宜子孙”，倘使不给他们一个生活技能，不向他们指示一条生活道路，“家”这个小圈子只能摧毁年轻心灵的发育成长，倘使不同时让他们睁起眼睛去看广大世界；财富只能毁灭崇高的理想和善良的气质，要是它只消耗在个人的利益上面。

(3)BF平分∠AFC.

2)组合惯导航向角精度测试试验。为了验证组合惯导对掘进机航向角的测试精度，将组合惯导固定在如图8所示的定位精度为0.02°的三轴转台上，通过三轴转台转动模拟掘进机机身航向角的变化。试验过程中，通过三轴转台控制软件设置三轴转台转动到从0°间隔5°到20°，再从20°间隔5°到0°，每个角度测试10次取平均，得到航向角测试结果见表5，根据表5可知航向角测试误差在0.2°范围内。

∵四边形ABCD和ACGE是正方形，

第二步是:拟定方案．尽量找出一道我们熟悉的具有相同或相似未知量的题目．由求证AE=DC,联想常用方法有:① 两线段在同一个三角形中，通常证明等角对等边;② 证明三角形全等，通常证全等三角形的对应边相等;③ 等量代换:若a=b,b=c,则a=c．而分析题目条件和观察图形,发现利用证明三角形全等可以证明AE=DC．对于(2)∠AFD=50°,由第一问证明了∆ABE≌∆DBC,得到∠BAE=∠BDC,利用三角形内角和等于180°,即可以证明．

(2)有关提取：首先提取等式的性质，证明∠BAE=∠DAC;其次提取三角形全等判定定理(SAS)，证明∆ABE≌∆ADC；然后提取三角形内角和定理，证明∠BOD=∠BAD=∠CAE=90°，最后提取平角定理，证明∠BOC=90°.

二、原型抽象，建立模型

波利亚在《怎样解题》中的第三步是：执行你的方案.一方面，要审视推理得到的每一步的合理性；另一方面，对执行的方案的本质要洞悉清楚.分析例1，发现图形中存在共顶点且顶角相等的两个等腰三角形，而且AE=DC，∠AFD=50°和BF平分∠AFC都成立，可见例1本质上是以B为公共顶点的等腰∆BCE和等腰∆ABD且顶角相等的手拉手模型.

事实上将例1中的∆BCE绕点B旋转至任何位置，AE=DC，∠AFD=α和BF平分∠AFC依然成立.

注 如图2和图3所示，两个等腰三角形“手拉手”模型的特点概括如下：

∴∠ABE+∠OBD+∠ADB

常规之家。各级老干部局、老干部活动中心、老年大学，这都是我们老干部的常规之家。我们现在的情况是，14个县（市、区）老干部活动中心全部达标创优，全省的老干部活动中心达标创优现场会曾经在忻州召开。老年大学，现在我们有4家达到了全省的示范校标准，有3家老年大学正在改建、扩建教学规模。

2、两个等腰三角形有共同的顶点O.

初中数学中还有许多类似的手拉手模型.图4的双等边三角形和图5的双等腰直角三角形，都符合两个等腰三角形“手拉手”模型的基本特征.实际上，图4和图5是两个等腰三角形“手拉手”模型的特殊情况.所以例1的结论在图4和图5中都是成立的.

由两个等腰三角形“手拉手”模型，可以归纳出来全等三角形中的“手拉手”模型为：“共顶点，等线段，顶角相等”，即OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD.

三、洞悉本质，变式应用

波利亚在《怎样解题》中的第四步是：你还能在别的题目中利用到这个结果或方法吗？数学解题反思是对数学解题过程及解题后的再思，是对解题规律认识的不断深化的一种创造活动.像例1类型的题目在许多地方都有出现，如下面一道题.

例2 如图6，分别以∆ABC的AB和AC为边向∆ABC外作正三角形(等边三角形)，BE和CD相交于点O，求证：∆ABE≌∆ADC.

课中，学生练习运用知识探究学习，教师和学生通过手机客户端、平板客户端等有效互动，以小组讨论、问卷调查、在线投票、视频直播等方式，对学生给予指导和问题反馈。

分析 观察图6，发现符合两个双等边三角形“手拉手”模型，通过罗教授的“解题信息论”的三步曲，得出解题过程.

(1)有用捕捉：根据题意，找出3条关键信息：①AB=AD；②AC=AE；③∠BAD=∠CAE=60°.

13号线旅行速度提高后,可强化南山组团对北部外围光明新区组团的辐射。而对于东莞段跨境客流采用站站停的运营模式，是无法满足深莞1 h交通需求的，因此采用快慢车的组合方案，来保证东莞至深圳核心区(后海站—松山湖北站)的出行时间控制在1 h左右(见表3)，这样便可满足深圳市综合交通规划1 h的服务需求。通过该方案提升了南山核心区与石岩组团、光明组团、公明组团的交通出行效率，实现了公明广场站—后海站45 min出行时间的规划目标，并进一步增强了轨道交通竞争力和差异化服务。

(2)有关提取：全等三角形的判定、等式的性质.

(3)有效组合，详细过程如流程图(图7)所示.

变式1 如图8，分别以∆ABC的AB和AC为边向∆ABC外作正四边形(正方形)，BE和CD相交于点O，求∠BOC的度数.

分析 仔细观察图8，发现其符合全等中的手拉手模型：“共顶点，等线段，顶角相等”，即AB=AD、AC=AE、∠BAD=∠CAE=90°.

(1)有用捕捉：①AB=AD；②AC=AE；③∠BAD=∠CAE=90°.

第(3)问BF平分∠AFC,由第一问证明了∆ABE≌∆DBC,过点B分别作∆ABE和∆DBC的高，证明三角形全等，可以证明BF平分∠AFC.

(3)有效组合：

波利亚在《怎样解题》中提出的第一步是:你必须理解题目．本题中首先理解题意,并引入适当的数学符号,得到以下的结论： ∠BAD=∠BDA=∠BCE=∠BEC=65°．

∴AB=AD，AC=AE，

⑯爱新觉罗·弘历:《汲惠泉烹竹炉歌叠旧作韵》，裴大中、倪咸生修，秦缃业等纂:《光绪无锡金匮县志》，《中国地方志集成·江苏府县志辑》第24册，第26页。

显然∠BAE=∠DAC,

∴∆ABE≌∆ADC，

∴∠ABE=∠ADC,

1、两个顶角相等的等腰三角形：①∆OAB和∆OCD；②∠AOB=∠COD；③OA=OB，OC=OD.

=∠ADC+∠ADB+∠OBD=90°.

∠BAD=∠CAE=90°.

吉林省的冰雪资源优势明显，但是并不具有绝对的排他性；冰雪旅游产品内容虽然初见格局，但是目前仍以冰雪观光和冰雪运动产品为主，冰雪产品发展不均衡。此外，大众的冰雪活动以“滑雪”和“雪上娱乐”为主打，市区和所辖区县都千篇一律进行粗狂式“圈地”，同质化明显，很少推陈出新。

故∠DOB=90°，

由于水法和防洪法等法律法规的实施，目前长江流域已经建立起防汛抗旱调度的统一管理体制，设立了由流域所在省、直辖市和自治区主要行政领导组成的长江防汛抗旱总指挥部，下设由长江水利委员会牵头的办公室，进行防洪和抗旱统一调度。实践证明，这一体制总体上是有效的。所以，建议在防汛抗旱指挥部的基础上，吸收电力、交通、农业、环保、林业等部门参加，建立起长江流域综合管理委员会，统一协调流域大型水库蓄水和调度。为此需要修订水法，或者确立颁布“长江流域水资源综合管理条例”，明确流域综合管理委员会、防办、流域机构、各部门和利益相关者在大型水库群蓄水和调度中的职责。

∴∠BOC=180°-∠DOB=90°.

事实上，我们可以继续在变式1的基础上，以∆ABC的AB和AC边向∆ABC外作五边形，以至于n边形，构成一系列的变式.

四、类比迁移，思维拓展

在复杂图形中分辨出基本图形，是几何教学中提高学生分析和解决问题能力的重要一环.

其实，数学中许多基本的数学模型都是从复杂的平面图形中抽象而来，比如相似三角形中的手拉手模型.如图9，满足条件：CD∥AB，将∆OCD旋转一定角度如图10位置，必有结论：

还有一种说法：西晋时有一人极为懒惰，一天到晚游手好闲，最后坐吃山空。他和妻子开始变卖地产、首饰，浑浑噩噩过了几年后，终于家里一穷二白、四面漏风，寒冬腊月断了炊。他们无计可施，将家里的米缸、面袋、坛坛罐罐搜出来的剩粒遗粉连同可食的残碎物一起熬了一碗“八宝粥”，度过了最艰难的一天。从此，夫妻二人幡然悔悟，痛改前非。当地人借此“八宝粥”的故事教育子女要勤劳节俭，不可坐吃山空。

①∆OAC∽∆OBD;

②∠BEC=∠BOA.

数学起源于日常生活和生产实际，而生活实例又生动又具体，因此用贴近学生生活实际或为学生所喜闻乐见的学习材料，把学生熟悉、感兴趣的实例作为认识的背景材料，导入课题，不仅使学生感到亲切、自然，激发学生的学习兴趣，而且能尽快唤起学生的认知行为，促成学生主动思考，为课堂的后继学习作好准备。如北师大版数学七年级(下)“两直线的位置关系”第二课时中，我在上课开始时，投影屏幕上滚动播放一组图片，其中含有垂线形象，简洁明快，配以舒缓的背景音乐。简洁明快的图片有利于抽象出垂线形象，唤起学生已有知识水平中对垂线的认识，舒缓的音乐能够平息课间躁动，在视听结合的环境中，以愉悦的心情尽快进入学习状态。

在解题教学中，可以通过例1及变式1的提出，让学生思考这两道题之间的区别与联系，帮助学生充分理解题意并制定解题方案，使学生在参与解题的过程中抓住题目的关键特征，提炼出反映题目本质的数学模型，以此帮助学生解决较为复杂的平面图形问题，提高学生的数学解题能力，达到举一反三的目的.