二自由度冗余驱动并联机器人区别于传统机器人，它有许多连杆和关节，并且结构复杂、封闭，系非线性动力学系统，它的复杂在于具有很多个输入、输出，耦合关系十分复杂，在系统中存在冗余驱动，这使得并联机器人的动力学分析和建模非常复杂。并联机器人的动力学分析建模是一项非常重要的课题，动力学模型的准确性直接影响着并联机器人的动态性能、结构优化和结构设计及动力学仿真等研究工作。要使并联机器人在运动学方面达到速度高和精度高，就要有一套适用于动力学效果显著的控制算法。所以，要研究机器人控制，首先要进行动力学分析研究。

(4)提升机升(降)至取任务2节点所在层，该层穿梭车执行第二个待取货物的出库任务，将其运送至提升机上。

1 拉格朗日法(Lagrange)

拉格朗日方程是最常用的并联机器人建模方法，采用此方法建立的动力学模型能够描述各构件之间的耦合关系。其通式如下：

(1)

式中：L是拉格朗日函数且L=E-P，其中E和P分别为系统的动能和势能，可以用任何坐标系来表示E和P；τi为第i个坐标上的广义力或者广义力矩，对于冗余驱动并联机器人来说，一般指作用在驱动杆上的驱动力；qi为广义坐标值；为相应的广义速度；n为连杆的数目。

选取并联机器人3个主动关节角度变量为广义坐标，构造Lagrange动力学模型：

(2)

(3)

(4)

将式(2)、式(3)、式(4)代入式(1)，可得

(5)

合并后得

(6)

式中，分别为位移、速度和加速度向量；F为关节驱动力矩向量；P(q)为弹性矩阵，M(q)为惯性矩阵，D(q)为重力矩阵，为哥氏/离心项矩阵，且

一是探索建立水权制度。实施水权交易制度是通过引进市场交易机制实现水资源优化配置和高效利用的重要手段。结合东江流域深化实施最严格水资源管理制度，广东省在东江流域先行探索建立流域水权交易制度，由点及面，分步实施，逐步推动全省水权交易制度实施。

有如下性质[7]：

在新媒体营销的大背景下，短视频不断爆发，有了火遍大江南北的抖音、快手，鄂中生态的科教短视频也正在快速传播，欲火遍大江南北的农村市场。

1) M(q)是对称正定矩阵，即：

MT=M

uTMu>0, ∀u∈Rn,u=0

是反对称阵，即：

以上两个性质可以根据M(q)和的定义得到证明。

2 拉格朗日—达朗伯法

达朗伯原理将复杂的动力学问题转化为静力学问题求解。在分析力学领域，把这种变换了形式的求解方法与虚功原理相结合，产生了拉格朗日——达朗伯方程，该类方程已成为分析和求解动力学问题行之有效的方程之一[8]。通常将机器人的并联结构化简为开链结构再进行动力学分析。从该闭链结构中选择任意一个非驱动关节，采用虚拟切割法将其切割成开链结构，该开链结构满足拉格朗日—达朗伯方程：

(7)

式中：q=[qa qb]T，qa、qb分别为驱动和从动关节坐标向量，均可用冗余驱动并联机器人系统中的彼此独立的广义坐标矢量表示，为q对时间的一阶导数；δq为虚位移；τ=[τa τb]T，τa、τb分别为驱动和从动关节力矩向量。关联结构的关节向量M(q)满足约束方程A(q)=0，若开链结构和实际闭链结构的运动保持一致，则开练结构运动将符合以上的约束方程。

令：转动惯量为K，K=mr2，可知：

(8)

其中：W是q相对于qa的雅可比矩阵；I为单位矩阵。树形开链结构的动力学方程为：

(9)

以固定转动副的转轴方向为Z轴，Z轴与机器人运动平面垂直，以水平向右的射线为x轴、竖直向上的射线为y轴，建立坐标系，x轴和y轴的交点即为坐标原点。由于此机器人不仅结构对称而且具有三组同样的运动分支，所以研究其动力学方程只需要取其中一个分支进行分析即可，如图2所示，建立参考坐标系oxy，坐标系的原点位于该并联机器人结构简图中正三角形A1A2A3的中心。

若树形开链结构Lagrange函数L等于闭链结构Lagrange函数Lv，则L=Lv，由此便得到闭链关节驱动力矩τa和树形开链关节驱动力矩τ的关系，即WTτ=STτa。因而该并联机构的动力学方程为：

若取M为单位矩阵，可求得τa为：

(10)

式中：

3 应用拉格朗日—达朗伯方程建立二自由度冗余驱动并联机器人动力学模型

以固高GPM系列二自由度冗余驱动并联机器人实验平台为对象，采用拉格朗日—达朗伯方程建立该系统的动力学数学模型，对其进行动力学分析，其结构简图如图1，各关节位置参数如表1。

图1 冗余驱动并联机器人结构简图

表1 冗余驱动并联机器人各关节位置数据

转动副(主动关节)X/mmY/mm 转动副(被动关节)X/mmY/mm A10.0250.0B1106.9469.3A2433.00.0B2189.16.9A3433.0500.0 B3471.7259.1

式中，分别为位移、速度和加速度向量，M(q)为惯性矩阵，D(q)为重力矩阵，为哥氏/离心项矩阵。

图2 并联机器人的分支简图

则：将式(29)和式(30)合并后，可得该机器人的速度雅可比矩阵，用J表示，J是一个6×2的矩阵：

(11)

(12)

对式(11)、式(12)求导，可获得速度方程：

(13)

(14)

1) 该分支在水平面上的运动动能为：

(15)

2) 均质细直杆l1绕其质心转动，取杆上微段dx，其质量：则此杆对于质心A(xi1,yi1)的转动惯量为：

(16)

同理：均质细直杆l2绕质心B(xi2, yi2)旋转得到的转动惯量为：

(17)

由动能定理可知：

当并联机构在奇异位形外且正常驱动，则：

平行四边形内容的不同学段之间的间隔时间比同一学段内的间隔时间长，第二和第三学段之间的间隔时间（6个学期）一般比第一和第二学段之间（3~6个学期）的长．螺旋的平均间隔时间最长的是北京版，为6个学期；最短的是北师版和青岛版，为2.5个学期．详见表2．

则：E即为连杆做旋转运动的动能。

l1和l2绕质心旋转的动能为：

(18)

由上可知，该分支的总动能为：

俄罗斯北部地区是俄罗斯13个旅游区中面积最大的，人口最多的是伏尔加沿岸及中央旅游区，其中西部、北部、高加索、乌拉尔都是著名的旅游景区，开发最早的是亚速海-黑海之间的部分区域。俄罗斯南部主要是亚速海-黑海沿岸的主要旅游区，这里四季如春，属于亚热带区域。俄罗斯人旅游易选择海滨城市，每年来此度假旅游、疗养过冬的游客达数百万人。俄罗斯最大的海滨疗养胜地索契，罪域俄罗斯黑海附近，有俄罗斯最大的温泉，是俄罗斯旅游必去的地方。这里有丰富的海域资源，200公里的海岸线有50多价疗养机构，每天来这里疗养的游客占总游客的80%。

(19)

文献[11]可知该机器人的速度方程，即：

试验结果表明：制种玉米采用膜下滴灌节水效果明显，单方水产值和单方水效益明显高于常规漫灌处理，高于张掖市各种作物灌溉水的平均产出效益[3]；制种玉米膜下滴灌节本增收效果显著，较常规大水漫灌效益增加1 818～2 254.5元/hm2。膜下滴灌省工省时，便于规模化管理、节本增收等优势明显，是传统农业向现代设施装备农业转变的重要途径，发展前景市场广阔[4]。但是，膜下滴灌节水技术其前期资金投入较大，整个滴灌系统对管理与操作人员的素质要求较高，建议在农场、土地流转大户等农田集约化程度较高的地块应用，同时新开垦的、地力水平较为贫瘠，沙化严重的地块也可推广应用。

根据式(1)，可得出用关节坐标αi和βi来表述该分支的动力学方程：

事后，关于种子的苏醒，青辰有过诸多的疑惑，然而当时热血冲脑，只觉对方充满诱惑力的言语，便是至真至理，自己遵从便可，无需质疑。他甚至没有考虑到，将刀刺入心脏的这件事，是杀人。

(21)

(22)

由式(21)、式(22)可得：

(23)

在教学的过程中，为了让学生了解行业中的真实工作状况，还根据具体的项目设计了总的学习情境，由此引出该项目，并结合每个子项目和任务，设计了自己的具体情境。[1]通过情境来覆盖、引领、驱动项目的全过程。

(24)

式中：

K3=m2l1r2

将式(23)与式(24)结合后，可表示成如下形式：

(3)必须保证水封排气内水面的高度。水位过高，炉内压力增加，水封有可能不能顺利排气。水位过低，水封密封效果降低，一旦无水，后果非常严重。

(25)

式中：

表5的数据显示，rta(一国建立RTA的数目)、wtoc(WTO+，WTO-X领域的条款覆盖率)和wtoe(WTO+，WTO-X领域的法定承诺率)对经济增长有着显著的正面影响。此外，一国教育水平的提高和FDI流入也会积极推动经济增长。

合并这3个运动分支的动力学方程，可获得闭链系统的动力学通式：

(26)

式中： τ=

q=

若设该机器人运动平面为基准面，不考虑关节间的摩擦，则系统势能为零，用Pi表示，则Pi=0。拉格朗日算子L=E-P，可知：Li=Ei-Pi=Ei。

(27)

式中：di=l1[(x-xi0)sinαi-(y-yi0)cosαi]

ei=x-xi0-l1cosαi

fi=y-yi0-l1sinαi

同理：

(28)

式中：λi=li[-(x-xi0)sinβi+(y-yi0)cosβi]

μi=x-x01-l2cosβi

γi=y-y01-l2sinβi

该机器人速度方程式(27)与式(28)结合，可写成如下形式：

(29)

(30)

即：

〗,

其中：S和Q是一个η1=η2=η3=0的矩阵

令该机器人第i((i=1,2,3))个分支中两均质细直杆的长度分别是l1和l2，其质量分别是mi1和mi2，质心坐标为(xi1,yi1)和(xi2,yi2)，质心即为杆件的中心点，两杆的质心距离杆端部的距离分别为r1和r2，与x轴正方向的夹角分别为αi和βi，由图2可知两杆质心沿x轴和沿y轴的方程：

由于用质心坐标表示二自由度冗余驱动并联机器人系统中相互独立的广义坐标矢量，且由式(10)可得其动力学方程：

(31)

式中：

u=[x y]T

由式(31)可知，采用拉格朗日—达朗伯方程建立的动力学数学模型，可以直接求得逆动力学方程，采用此方法建立的动力学模型和采用达朗伯法或拉格朗日法等方法所建立的动力学模型相比，具有一致性[12]，说明拉格朗日—达朗伯法在求解机器人动力学方程和建立模型中具有明显的优越性及可行性。

4 二自由度冗余驱动并联机器人驱动力优化

由于该机器人存在冗余驱动，驱动关节力和力矩的分配具有不确定性，在式(31)中，若已知驱动力τa，即机构的运动可以确定；若已知机构的运动，而不能唯一确定τa，此时则要借助优化方法对驱动力τa进行优化分配。通过对τa进行优化可以减小机器人各关节内力，防止驱动力突变，进而使并联机器人的力传递性能得到提高，并且还可改善并联机器人的动态性能。

将驱动力优化问题描述如下：

给定一约束Hτa=f，求满足式最小的驱动力τa。H为力雅可比矩阵，而并联机器人中力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵的转置相等，即H=JT；f为末端执行器处的外负载，M是方阵。此时可将驱动力τa优化分配问题转变为代数中求解条件极值的问题，求解条件极值通常采用拉格朗日乘数法。

引进Lagrange因子，根据代数方法可得Lagrange函数：

(32)

为使最小，需要满足以下条件：

(33)

(34)

由式(27)和式(28)求得：

(35)

f=Hτa

(36)

将式(29)代入式(30)，得：

(37)

由式(31)可知：

λ=2(H(M-1)THT)-1f

(38)

将式(32)代入式(29)，得：

τa=(M-1)THT(H(M-1)HT)-1f

(39)

洛克菲勒，从小家教很严，靠给父亲做“雇工”挣零花钱。他清晨便到田里干农活，有时候也帮母亲挤牛奶。他有一个专用于记帐的小本子，把自己的工作量化后，按每小时0.37美元记入帐，尔后与父亲结算，这件事他做得很认真，感到既神圣又趣味无穷。更有意味的是，洛克菲勒的第二代、第三代乃至第四代，都严格照此执行。美国人常将自己不需要的东西拿出来拍卖，小孩自己用不着的玩具等也可以摆在家门口出售，以获得一点收入。

τa=HT(HHT)-1f=JT(JJT)-1f

(40)

式(40)是当机器人末端执行器所受负载已知时，求并联机器人驱动力的最优解。

平面二自由度冗余驱动并联机器人理论上只需两个电机即可满足该机器人的自由度数，才能够确定并联机器人末端执行器的运动情况，而此机器人却给出了三个驱动电机，使驱动构件数目大于机构末端执行器自由度数目，则已知末端执行器输出力时，无法唯一确定机器人的驱动力。分配驱动力理论上会有许多组解，依据机构运动不同的工作状况，选择不同的优化目标及方法对驱动力τa进行优化分配。该并联机器人的优化目标有两种：能耗优化和输入力优化。依据二自由度冗余驱动并联机器人的实际工作情况，本节采用优化输入力的方法[16]对驱动力进行优化分配。

为了缓解中国乳制品的进口风险，应建立多元化的乳制品进口市场。从分析可以看出，中国乳制品的进口市场集中度较高，主要集中在新西兰、美国、德国、法国等，市场集中度过高会降低中国乳制品在进口市场的议价能力，影响乳制品的进口贸易稳定性。从长期来看，应多元化中国乳制品的进口市场，积极与其他发展中国家建立自贸区，均衡各进口市场的进口量以缓解乳制品的进口风险，这也有利于提升中国乳制品在进口贸易中的话语权，使得贸易利益得以提升。

机器人末端执行器所受两个作用力分别为：

1) 并联机器人各分支的轴向驱动力，表示为τa=[τa1, τa2, τa3]；

将部署区域T离散化为m×n个目标点集T={T1,T2,T3,…,Tm×n},其中目标点Tl的位置坐标表示为(xTl,yTl)(l=1,2,3,…,m×n)。则目标点Tl与节点Si的欧氏距离为:

2) 作用在末端执行器处外负载矢量f，表示为：

f=[fx, fy, fz]

当末端执行器力位于平衡状态时，其所受到合力为零，平衡状态方程为：

(41)

优化目标函数为：

τa=min τai

(42)

将式(41)和式(42)相结合便可获得优化驱动力τa。

5 结论

文章基于二自由度冗余驱动并联机器人的简化模型，针对该机器人系统动力学分析建模的复杂性，采取拉格朗日—达朗伯法对该机器人进行动力学分析建模，通过该方法建立动力学数学模型，不仅可以直接求得逆动力学方程，而且与单独采用拉格朗日法所建立的动力学模型相比具有一致性，说明：

1) 拉格朗日—达朗伯法在机器人动力学模型的求解中具有明显的优越性及可行性；

2) 采用输入力优化法对该机器人驱动力进行优化分配，对改善并联机器人动力学性能提供了充足的理论依据。

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