0 引言

含积分变限的函数求导是“高等数学”教学中的一个重要知识点，是考研高数和高数竞赛中的常考内容。在各种《高等数学》或《微积分》教材中，主要针对简单的公式型含积分变限函数求导问题进行讨论，而对于被积函数中也存在求导变量的求导问题，却少有涉及和讨论，常规的处理该类问题的方法较为繁杂，学生学习时掌握起来较为困难，因此值得从事数学基础课教师的关注和研究。

对于含积分变限的函数求导问题的研究文献较少，主要集中在根据具体问题进行分类讨论方面。王凤媛[1]通过研究变限积分的构造，给出解决一类含有变限积分问题的方法。卢亚丽等[2]给出了5个变限积分函数导数定理,并结合实例详细深入地研究了变限积分函数的求导方法。文献[3]针对“高等数学”中变上限积分的求导,从教与学角度给出了该知识点的新的教学和学习的方法,使学生更好地掌握这部分知识,从而增强学生对导数概念的深刻认识。钮宏霞[4]将变限积分求导公式推广到高维空间中变边界的超长方体和超球体上,得到简洁优美的结果,并给出其应用。周少波等[5]针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式,给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明,并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用。姜翠美等[6]结合实例归纳总结不同类型变限积分的求导方法。文献[7]针对变限积分函数求导教学的现状,给出了5个变限积分函数导数定理,并依次对其求导方法进行了深入探究。文献[8]给出了变限积分求导公式的另一种新的证明。吕纪荣等[9]阐述了变限积分函数的定义及其可导性和导数公式，根据导数的定义和定积分的性质,研究了被积函数中含有参变量的变限积分函数的相关性质。

本文对含积分变限的函数求导问题进行了研究，利用复合函数求导法则处理该类问题，分别对积分变限和被积函数中的变量求导，方法简洁有效且形式统一，学生能够快速地掌握并用于处理相关问题。

1 含积分变限函数的求导问题及传统求导方法

1.1 含积分变限函数的求导问题

含积分变限的函数求导问题可归纳为如下三种基本形式：

1)公式型

此类形式的函数是最基本的含积分变限函数，在《高等数学》教材里面都有介绍，形如等。对于此类问题的求解只需按求导公式计算即可。

此次通过表决的个人所得税法修正案中，并没有对一审稿中的5000元起征点进行调整，在8月31日的新闻发布会上，财政部副部长程丽华表示，5000元的基本减除费用标准是统筹考虑了城镇居民人均基本消费支出、每个就业者平均负担的人数、居民消费价格指数等因素后综合确定的。

2)乘积型

形如此类函数除了在积分上下限中含有求导变量，还在被积分函数中存在求导的变量。

3)换元型

形如此类函数和乘积型函数类似，但问题更复杂，求导变量蕴藏在被积函数的抽象函数f(·)中。

1.2 传统的含积分变限函数的求导方法

1)公式型

对于公式型的变限函数求导，可直接利用公式(1)或者结合定积分相关性质进行计算求解。此类问题已在“高等数学”课程中重点讲解，这里不再详细展开。

秦铁崖左手持铁尺，见招拆招，不管对方是什么来头，只管找准来势砍砸过去。看上去好像是笨招，但对花五奇造成的压力并不小。花五奇所怕的不是秦铁崖左手里的铁尺，而是他虚张的右手。那不是一般的手，是江湖中力道最大的分筋错骨手和龙爪手！分筋错骨手倒还罢了，龙爪手，那可是碎骨裂石的硬功夫。

(1)

从例1的求解过程来看，传统的求解方法还是比较麻烦的，因为如果将被积函数中的(x2-t2)替换为(x-t)n，则需要一项项展开，而且在(x-t)n的n次方抽象未定的情况下，其实是无法求解的。

为了处理乘积型变限函数求导，需要通过拆项分解的方式进行展开化简，即将求导变量x从被积函数中分解出来，使得被积函数中不存在变量x。

例2 求关于x的导数。

解：设结合式(1)及函数乘积求导，则有

2)乘积型

3)换元型

为了处理换元型变限函数求导，需要通过换元的方式将变量x从被积函数中分解出来，并且使得被积函数不存在求导变量x。

例1 求关于x的导数。

这个孩子有两件事让我印象深刻，第一件是有个学生被牛给顶伤了，大概是那个学生调皮，故意去挑衅路边的水牛，结果牛发狂了用牛角把他给顶伤了，伤得特别严重，胸口都出血了。这个孩子看到后疾步跑过去扯住牵牛的绳子，把绳子系到一棵树上后把那个受伤的学生一背，飞一样往村里医务所跑。

解：设u=x2-t2，当t=0时，u=x2，当t=x时，u=0。且有

所以有

则

从例2的求解可知，处理换元型含积分限的函数求导，需要根据题目的具体情况进行特定的变量代换，没有一种通用的求导方法，这给问题的求解带来麻烦。

1995年全世界粮食不安全人口为8.5亿人，按照联合国千年发展目标，到2015年要将粮食不安全人口减半。但2010年，粮食不安全人口为10多亿人，这一数字不减反增。前不久，世界人口达到了70亿人，解决世界日益增加的人口吃饭问题，成为国际社会普遍关注的问题。

另外，对比三种类型的含积分限的函数求导过程，发现这三种类型的问题虽然在本质上是一种问题，但却要分类型单独处理，求导方法不具有通用性，这给学生的学习带来麻烦，如果有一种方法可以通用，就可以减少学习的障碍和提升处理问题的效率。

2 通用的基于复合函数形式的含积分变限函数求导方法

为了能够得到一种通用的含积分限的函数求导方法，将此类问题进行通项分析，并考虑以复合函数的形式进行计算。

2.1 基于复合函数形式的含积分变限函数求导方法

将含积分限的三种类型函数归纳为的形式，因在积分限和被积函数中都存在求导变量x，所以考虑利用复合函数求导的方式进行计算。

对照组给予常规护理管理措施，包括：24 h开诊，随时应诊；值班护士不得离开接诊室；完善各类抢救器材与药品；对患者具有高度的责任心与同情心；完善各项病历与护理记录；遇重大事故时，需要通知门诊、医务科、护理部与院领导等，并积极向有关部门报告。

定理1 设连续，存在偏导，则f(x)可导，且有

(2)

证明：利用导数定义进行证明

=

根据本系统特点，通过PLC模拟PID控制器，即数字PID，这就需要将PID公式进行离散化处理。常用的数字PID可分为位置式和增量式两种，卷烟机通过计算烟支重量偏差量来调节平准盘高度，可选用增量式PID进行控制。其计算公式为[9]：

由定积分性质有

由积分中值定理有

2.2 Sanger测序验证结果 对PCR产物进行Sanger测序，先证者OCA2基因(NM_000275)存在复合杂合突变：OCA2基因c.406C>T(R136*)杂合复合OCA2基因c.1922C>T(S641L)杂合。其中OCA2基因c.406C>T(R136*)突变位点遗传自父亲，OCA2基因c.1922C>T(S641L)突变位点遗传自母亲，与二代测序技术结果一致(图1)。

其中ξ介于x,x+h之间

当利用定理1进行计算时，积分上限变量x和被积函数中的x被视作复合函数中的两个变量，对x求导意味着分别对这两处的x独立分别求导。当对积分上限x求导时，即可应用积分变限求导法则，直接将积分上限x代入被积函数取代积分变量t，而对被积函数中的x求导时，则相当于被积函数F(x,t)求x的偏导运算。

2.2 对三种类型的含积分变限函数求导运算的形式统一

基于定理1，可以将三种类型的变限积分函数求导运算统一起来。

对于第一种类型公式型，应用定理1可得

其中

宝宝贫血一般都是缺铁性贫血，需要补铁。但是妈妈们要注意生理性贫血是正常的，无须任何治疗和补铁。宝宝出生时血红蛋白高达 190 g/L,然后逐渐下降，2个月之后，宝宝的骨髓造红细胞的功能才开始活跃。在2～3个月的时候为 90～110g/L，早产儿在3～6周的时候可以低到70～90g/L，这些都是正常的。

对于第二种类型乘积型，以例1为例，即有F(x,t)=(x2-t2)f(t)，应用定理1

对于第三种类型换元型，以例2为例，即有F(x,t)=t·f(x2-t2)，应用定理1

综上所述，小学教师在开展语文教学的过程中，将生本理念巧妙的应用到阅读教学中是非常必要的。在此模式下，不仅可以让学生对文章有一个更加深刻的理解，使其品味人生百态、产生思想共鸣，也能使学生逐渐的发觉阅读的魅力所在，使其喜欢阅读、爱上阅读，为后续学习的开展打下有利基础。虽然，在当前，部分教师在教学实践中还并未认知到这一点，但我确信只要在大家的一致努力下，一定能改进这些不足，为生本教育的实现助力。

报道霸座这事怪不得媒体，因为如果类似这种轻微的违法问题，若及时得到制止，若侵害他人权益者能获得应有惩罚，估计这些事情提不起公众的兴趣，也吸引不了媒体的目光。但事实却是，每每在这些事情曝光之后，相关的管理和执法人员，往往限于被动执法，只能是采取“只动口，不动手”的姿态。这样的执法，效果甚微，使得违法者气焰嚣张，守规者只能被迫退让。面对此情此景，围观者无不气愤填膺，一场场声讨霸座的舆论由此酿成。

对比1.2和2.2可以发现，使用定理1可以简洁高效地将三种含积分限的函数求导统一起来，该方法简单明了且易于计算。

2.3 定理1在常见含积分变限函数求导问题中的应用

在城乡教育一体化的推进过程中，在农村办学条件的提高，城乡教育资源的合理配置等方面，取得了显著成效，但仍然由于城乡二元体制的长期影响，以及地理位置、经济环境与社会发展等多方制约，想要全面实现城乡教育一体化仍然面临很大挑战。

例3 求函数的单调区间。

x·f(0)-x·f(x2-t2)︳x0=x·f(0)-x·f(0)+xf(x2)=xf(x2)

解：根据定理1及复合函数求导法则可得

基于定理1处理一些常见的含积分变限的函数求导问题。

令f ′(x)=0，则有从而有x=0，x2=1，即有x=0,x=±1。

f(x)定义域为，结合从而有解，如表1所示。

表1 例3的单调区间

x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-0+f(x)单调减少单调增加单调减少单调增加

例4 设f(x)连续，为常数，试求φ′(x)。

解：

方法1：传统换元法求解

令u=xt，若x≠0，当t取值[0,1]时，则u取值为x[0,1]=[0,x]，u取值范围与t取值成比例关系，且有则有

则当x≠0时，

设f(x)连续，为常数，可知，f(0)=0，从而有

u=ht，h[0,1]=[0,h]

而当x=0时，

模型在中跨跨中处设置了对称约束，在支座处并未设置z方向(纵向)的约束，所以中跨跨中处纵向位移为零。在16:00外支座处最大纵向位移达到1.24 cm。组合梁自上而下位移量有明显的减小。负弯矩区的混凝土底板与钢腹板的变形量要明显小于正弯矩区。混凝土顶板在纵向不断伸长，但由于温度梯度原因，混凝土板上下两侧的伸长量不同，导致自身发生弯曲变形，同时这种作用也发生在钢腹板上。负弯矩区混凝土底板由上到下温度递增，其自由变形应该是下边缘伸长量大于上边缘，对组合梁整体的弯曲变形起到抑制作用。

方法2：利用定理1求解

相当于上限x取为常数，则在定理1中对上限的求导为0。

当x≠0时，由定理1可知，

φ′(x)

当x=0时类似可得。

3 结论

本文对含积分变限的函数求导进行了研究，利用复合函数求导的方法，将积分变限和被积函数中的求导变量视作复合函数中的两个变量分别求导，实现了多种类型含变限函数的求导方法的统一，便于学生有效学习和掌握，并达到灵活应用的目的。

[参考文献]

[1]王凤媛.导数在解决含有变限积分问题中的应用[J].山西财经大学学报, 2000，22(s1):178-191.

[2]卢亚丽, 李艳华, 李战国,等.变限积分函数求导方法研究[J].河南教育学院学报(自然科学版), 2004,13(1):4-6.

[3]鲁琦.高等数学中变上限积分求导浅析[J].考试周刊, 2008(21):38.

[4]钮宏霞.变限积分求导公式在高维典型立体上的推广[J].数学的实践与认识, 2008, 38(20):234-238.

[5]周少波, 雷冬霞, 程生敏.变限积分的求导公式及其应用[J].学园·教育科研, 2012(19):51-52.

[6]姜翠美, 姜英, 王海霞.变限积分的求导方法[J].高等数学研究, 2013，16(6):23-24.

[7]于风宏.高等数学教学中变限积分函数的求导方法[J].数学学习与研究, 2014(19):75.

为了分析验证上述过电压检测电路的动态响应特性，对该检测电路分别进行方波激励试验和冲击波激励试验，如图4～5所示。在试验过程中，对检测电路的极化输入端施加宽度为500 μs的方波和脉冲宽度小于50 μs的冲击波，由图4～5所示，检测电路的输出波形具有良好的跟随响应特性。

[8]郝芳.变限积分求导公式的另一种证明[J].文山学院学报, 2015，28(3):68-69.

[9]吕纪荣, 王士虎.关于变限积分函数求导问题的研究与应用[J].数学学习与研究, 2015(19):134-135.