解决测量中病态问题的有效途径是充分利用参数附加信息或先验信息(参数内在的相关性、精度、几何或物理信息)，对部分参数进行约束，从而保证参数解的唯一性和稳定性[1-4]。随着测量手段的丰富，大量获取先验信息成为可能，使利用先验信息解决平差问题的可行性增高。然而，大地测量中有些先验信息有时仅是一个模糊数，只能用参数的可行空间、噪声范围等来描述[5]。大地测量实际问题中，除了观测信息，还有参数本身或者前期研究中得到的一些附加的有用信息或者先验约束信息，将这些信息纳入参数估计过程，可以显著提高参数估计的效率。

近年来，研究人员基于先验信息对病态问题进行了广泛研究。文献[6]通过消除部分参数将等式约束病态问题转化为无约束问题，提出求解等式约束病态问题的诊断-正则化两步法；文献[7]针对模型中系数矩阵和约束矩阵同时存在病态性的问题，提出联合岭估计；文献[8]分析了不等式约束对平差结果的影响；文献[9]讨论了附加不等式约束的间接平差模型的3种经典算法——Lemke法、势函数法以及迭代乘子法，结果显示，将先验信息表达成不等式约束参与到平差中确实能改善平差的结果；文献[10]将参数带有不等式约束的最小二乘问题转化为凸二次规划问题，从而求出参数最小二乘估计的一般形式。以上研究利用的先验信息主要还是等式或不等式约束，所涉及的仅是最简单的先验信息，还不能处理一些复杂的模糊先验信息。本文以模糊数学为基础，用模糊数集描述参数向量中的模糊先验信息，建立约束方程参与平差解算，抑制估计过程中法方程的病态性，弥补现有等式约束、不等式约束理论难以利用模糊先验信息的缺陷。

1 模糊数理论

大地测量学中，先验信息可以分为两种:先验函数信息和先验随机信息。现阶段对先验信息的利用主要有等式约束、不等式约束以及验后估计等，它们分别从不同角度利用先验信息，提高参数估计效率。但大地测量学中先验信息的来源多样且复杂，充满许多不确定性[11]，既包含数值与概念上的误差，也包含可度量误差与不可度量误差，无法用确切的数值来表示，不具有任何统计性质，现有的等式约束、不等式约束理论无法描述。

本文采用模糊数集来描述这些模糊先验信息。设A为R上的模糊集，μA(x)是模糊数A的隶属函数。若A满足条件：1)A是正规的模糊集，即至少存在x∈A，使μA(x)=1；2)模糊集A是凸的，即对任意实数x<y<z，都有μA(y)≥min{μA(x)，μA(z)}。则称A为一个模糊数[12]。

以往，电解液中砷含量较少，电解净化到达脱铜后期时，现场环境不会给人带来太多影响。而随着电解车间原料阳极板砷含量的增加，电解净化二次在进行脱除杂质时，给现场员工的职业健康带来了一定困扰。

将其作为参数的先验信息。采用模糊数来描述先验信息。取作为模糊数的对称中心，为模糊幅度，式中XU、XL为参数上下界。将先验信息表示为模糊数形式如式(22)并进行计算，结果见表1。为了验证新方法的效果，还采用最小二乘、岭估计、截断奇异值法进行比较，比较计算的与真值X的差的范数的大小。计算结果列于表1。

A=(α,δ)R

(1)

其中α为模糊数A的对称中心，δ为模糊幅度。A的隶属函数μA(x)表示x对模糊数A的隶属度。常见的对称模糊数分布有三角型、正态型等，如

(2)

表示的模糊数为三角模糊数，

(3)

图1表示观测信息的一个离散集合L=[L1L2…Ln]。若进行无限次观测，便可以将图1表示成类似于图2的连续集合，即以真值为圆心、观测值最大偏差为半径的圆。将其用数学符号表示，就是一个模糊数：

将其引入到测量数据处理中，可以用模糊集来描述“观测值”到“真值”之间的变化过程。但通过分析经典误差分布理论，当选用对称模糊数来描述模糊先验信息时，其隶属函数需满足[14]：1)关于x=α对称；2)μ(α)=1，即隶属函数在对称中心取最大值为1；3)在区间[α-δ，α]内，隶属函数严格单调递增；在区间[α，α+δ]内，严格单调递减；在区间(-，α-δ)∪(α+δ,+)内，μ(x)=0。

表示的模糊数为正态模糊数[13]。

她和陈建伟有什么呀？什么都没发生过，只不过他可能同情她，给她端过一杯白糖水，为她留了几次包子，帮她修过皮带。却早就在别人嘴中勾搭成奸了。

L=[L0,Vmax]

(4)

式中，L0为对称中心，可理解为真值；Vmax为模糊幅度，等于观测值最大偏差，表示观测值变化范围。因此，可以将模糊先验信息描述为：

1）开启智能手机的APP功能，下载百词斩、扇贝打卡等客户端，结合自身情况，规定任务量，每天记忆单词，反复巩固，扩充词汇量，夯实听力基础。

Honest()(Ŝ)⊃∃X∃x.Computes(X,{RB}K)∧Send(X,x)∧Contains(x,{RB}K)∧After(Send(X,x),Receive(B,{,

X∈[X0,δX]X,X～μ(x)

(5)

式中，X0、δX分别表示根据先验信息得知的参数中心值及变化范围，μ(x)为隶属度函数。

图1 观测值分散图 Fig.1 Observations dispersion diagram

图2 模糊数 Fig.2 Fuzzy number

2 约束模型及解算

基于模糊先验信息的平差模型可以表示为:

(6)

相应的误差方程为：

(7)

式中，X0为先验信息提供的参数中心值；δX为模糊幅度，等于参数的最大偏差，表示X的变化范围。传统最小二乘估计准则为观测值残差的加权平方和最小，即

(8)

由式(8)可知，最小二乘准则函数只与观测值残差有关，忽略了参数X的分布规律与统计性质，容易造成解不稳定，即病态性问题。为了得到稳定解，对参数X施加“准确度最高”约束，即“在参数X准确度最高的条件下观测值的残差平方和最小”。由前面可知，参数X的准确度最高，可以通过使其隶属度达到最大值来实现：

式中，n为Freundlich吸附强度；Kf为吸附平衡常数；Ce(mg·L-1)和Qe(mg·g-1) 为不同温度下的平衡浓度和对应的平衡吸附容量。

μA(X)=max

(9)

本文以正态模糊数的隶属函数(3)为例，对其隶属函数取最大值：

（2）健全人才优先发展保障机制。坚持人才引领创新发展，将科技人才发展列为衡量经济社会发展的重要评价指标［1］。科技人才队伍建设工作涉及领域和环节较多，进一步明确人才工作领导小组办公室总管全市科技人才队伍建设工作，建立各级党政领导班子和领导干部科技人才工作目标责任制，将科技人才队伍建设和科技创新能力提升作为年度工作重要考核指标。

(10)

取W=diag(w1，w2,，…wt)，则可将式(12)写成矩阵形式：

(11)

联立式(8)与式(11)，构造新的平差准则：

从图12～图18上看，当草原灭鼠毒饵喷撒机行走跑合试验时，上拉杆角度在(22°～70°)的范围内。上拉杆垂直力集中在(4 000～6 000N)范围内，峰值在9 000N；上拉杆水平力集中在(3 500～5 000N)范围内，峰值为6 450N；右拉杆垂直力集中在(3 000～6 800N)范围内，峰值为8 107N；右拉杆水平力集中在(3 000～6 000N)范围内，峰值为7 000N；左拉杆垂直力集中在(4 000～5 700N)范围内，峰值为6 800N；左拉杆水平力集中在(3 800～6 000N)范围内，峰值为7 340N。

(12)

式中，vi为观测值残差；αj为参数近似值；δj为模糊幅度，等于参数最大残差。令

(13)

式中，wj表示先验信息的权。为避免出现δXj=0导致wj无限大的情况，可将式(13)写成：

(14)

α为参数对称中心，与均从先验信息中获取。令N=ATPA+W，则参数解向量及其协因数阵分别为：

(15)

由于式(10)指数项恒为负，则式(10)等价于：

(16)

式中，V为观测值残差；P为观测值权阵；VX=X-α，可理解为参数X的残差。将式(16)对参数X求偏导并令其等于0，得：

(17)

由表1可知，新方法的较接近真值，远小于最小二乘法，且低于岭估计及截断奇异值法，说明新方法不仅能够抑制法方程的病态性，还有较高的精度。

(ATPA+W)X-(ATPL+Wα)=0

(18)

式中，0<τ<1。文献[14]给出其取值经验公式：

(19)

(20)

3 算例分析

3.1 算例1

采用文献[15]中的算例。这是一个模拟病态问题，其中设计矩阵为：

法方程系数阵N=ATA的条件数为1.289 2×105，严重病态。未知参数有5个，其真值为X=[11111]T，观测噪声Δ～N(0,σ2I),σ=1，由随机数发生器产生。现对算例加以补充，设已知参数的上下界：

(21)

在模糊数中，有一类特殊的模糊数——对称模糊数，表示为：

将整个博弈过程表现在二维坐标上，如图2，(0,0)和(1,1)为两个均衡点，是政府与购房者演化博弈的两个稳定策略，达到哪个均衡点取决于博弈的初始条件。当初始条件位于区域1时，此时政府不釆取激励对策，或者激励无效，购房者选择购买普通房，最终博弈达到均衡点(1,1)，该博弈处于帕累托劣均衡；当初始条件位于区域3时，此时政府采取了激励政策并且有效，购房者选择购买被动房，最终博弈达到均衡点(0,0)，该博弈处于帕累托优均衡。

(22)

表1 计算结果 Tab.1 Calculation results/m

真值最小二乘岭估计截断奇异值法新方法12．26641．33541．31080．823810．83090．72090．48091．1365＾X11．01730．97750．93581．04651-1．24890．59070．66351．573711．11171．16791．28890．9605Δ＾X02．58900．62180．75290．6185

将误差方程式(7)代入式(17)得：

3.2 算例2

为了验证算法的可行性，本文根据某工程基坑水平位移监测数据模拟了一个测边网算例，如图3所示。该工程在施工期间，采用徕卡TC402型全站仪(测角精度为2″，测距误差为2 mm+2×10-6)对基坑内的监测点坐标进行周期性重复测量，得到一系列坐标数据。在图3中的模拟测边网中，未知点JC1、JC2为该工程的两个监测点，K1、K2、…、K9为9个模拟已知点，其坐标列于表2。在实际测量中，由于观测条件不完善，导致观测距离与其理论值存在差异。本文利用MATLAB对各点间计算距离施加模拟噪声作为观测距离，也列于表2，其中两个未知点之间的距离为dJC1,JC2=14.060 4 m。要求根据观测距离确定两个未知点的坐标。

图3 模拟测边网 Fig.3 Simulation of trilateration network

该算例中法矩阵的条件数为3.883 3×103，法矩阵存在严重病态问题。

由于该工程在施工期间对监测点坐标进行了周期性重复测量，因此可将往期测量得到的坐标信息作为先验信息。每隔4期选取一次，共10期，其分布如图4、图5所示。采用模糊数对其描述，取中心坐标作为对称中心α，模糊幅度则参数X的先验信息可表示为[(33.661，0.006)(86.683，0.006)(36.182，0.004)(73.398，0.004)]T。将其代入新方法计算，结果列于表3(单位m)。为了验证新方法的效果，本文采用最小二乘、岭估计、截断奇异值法进行比较。在计算过程中，可取中心坐标(X0，Y0)为坐标近似值，比较计算的与实测值X的差的范数的大小。计算结果列于表3。

表2 已知点坐标和观测距离 Tab.2 Coordinates and observation distance of known point

点号坐标/m观测距离/mXYdi，JC1di，JC2K133．421189．356106．6852116．6449K234．842200．160113．8203127．4583K335．523205．642119．1358132．9938K438．754209．896124．1125136．9728K539．874216．356130．1330143．0895K642．794224．166138．3146151．1419K745．536222．025136．0276149．8344K847．587300．164214．5367227．2050K948．782395．924309．8734323．5978

图4 点JC1的分布 Fig.4 Point JC1 distribution

图5 点JC2的分布 Fig.5 Point JC2 distribution

表3 计算结果/m Tab.3 Calculation results

实测值最小二乘岭估计截断奇异值法新方法33．65934．993633．670233．679533．6610＾X86．68386．976386．671587．002786．683036．18335．837736．174736．190036．182073．40073．927873．474373．958573．3980Δ＾X/1．50500．07650．64390．0030

通过以上结果的对比分析可以得到结论：

1)由表3可知，本文提出的方法相对于最小二乘估计，参数估计值X更靠近真值未知参数差的范数为0.003 0，远小于最小二乘的计算结果1.505 0，说明本文提出的新方法已抑制了法方程的病态性，得到更加稳定的参数解。

2)计算结果显示，新方法的精度优于岭估计，这是由于岭估计的实质是利用数学手段，通过对法矩阵的奇异值进行修正来抑制法方程的病态性，并没有考虑病态问题产生的原因。而本文提出的方法，考虑到测量学中病态性问题多由观测信息不足造成，因此采用模糊数集来描述测量学中的模糊先验信息，并将其纳入平差模型，根据其模糊幅度δ对参数进行定权、约束，从而弥补了观测信息的不足，抑制了法方程的病态性。

3)本文所提方法较之截断奇异值法仍有更加准确的参数估值，其参数差的范数为0.003 0，小于截断奇异值法计算得到的结果0.643 9。因为截断奇异值法是通过删除模型参数中的不可靠部分来减小解的方差，而本文方法恰恰相反，是利用先验信息对模型参数加以补充，以此来缩短解区间并抑制方程的病态性。“一删一补”之间，估计精度得到显著提高。

1.2.2.2 医院感染知识培训 医院感染管理小组每月举行1次医院感染控制及防护知识培训讲座，对于重点防控科室的护士则要求每次参加，对其他科室的护士根据工作时间安排出席。培训内容包括医院感染管理办法、规范消毒技术、完善消毒管理办法、医护人员职业暴露防护、病房环境管理、医疗废弃物处理办法、规范诊疗仪器消毒灭菌技术、常见医院感染预防、感染个案管理及查房方法、环境卫生监测、感染控制联络护士职责及角色。培训方式以讲座为主，并结合发放宣传资料、临床现场技术指导、实践操作培训等多种方式。

“老首长”工作室自成立以来，通过深入一线、融入社区，坚持主题宣讲，组织文化活动，参与社区服务，开展扶贫惠老和关心下一代活动，在传承革命精神、宣传党的思想主张、服务社区群众、扶贫帮困惠农等领域取得了明显成效，先后被评为“湖南省最佳志愿服务组织”和“全省学雷锋志愿服务百强社团”，工作室党支部被评为“全省示范离退休干部党支部”。

4 结 语

本文论述了基于模糊先验信息约束下的平差准则，尝试采用模糊数集来描述模糊先验信息，对参数X施加“准确度最高”约束，纳入平差模型参与解算，并给出了参数的计算公式，克服了平差过程中法方程病态的问题，弥补了大地测量学中模糊先验信息难以利用的缺陷。实例显示，该方法与岭估计及截断奇异值法相比，有更高的参数估计精度，可以应用于大地测量学的数据处理。

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由于高职院校与其他本科高等院校的性质不一样，所以在教学方面，教师也应该选择适合高职学生的教学方式。但是，长期以来，某些高职院校的数学教师也会受到本科数学教学模式的影响，习惯在数学课堂上采用传统的灌输式的教学方式，对于高职数学的定位也没有理解透彻，教学的观念比较落后。在教学手段的使用方面，虽然大部分教师在课堂上都会借助于多媒体进行辅助性教学，但是却大都停留在课件的展示方面，对于数学软件教学、网络助学等内容认识不到位，也没有注重与学生的交流和互动，导致学生无法更好地融入到数学的学习当中。