引言

细胞神经网络是由Chua和Yang在1988年提出的[1,2]. 此后的20多年里,细胞神经网络得到了广泛的研究, 并成功应用于信号处理、模式识别、移动图像重构和解非线性代数方程等[2-5]. 这些应用依赖于神经网络平衡点的存在性和稳定性[6-8]. 不管是生物还是人工神经网络, 神经元之间的相互作用一般是不同步的, 特别在网络的硬件实现中, 由于信号传输速度的有限性, 使网络系统中的时间滞后不可避免. 另一方面, 在神经网络中引入时间滞后参量后, 有利于移动目标的图像处理, 移动物体速度的确定和模式分类[9]. 但时间滞后量的引入, 可能使网络产生振荡和不稳定性. 而且在大多数情况下, 时间滞后量是难以精确测量的, 并且随着时间的改变不断变化, 事实上是无界的. 也就是说, 过去的所有时刻影响着现在的状态[10]. 再者, 由于外界扰动, 测量和建模误差等的存在, 神经网络模型一定含有影响其动力学行为的不确定性因素. 为了分析神经网络模型的鲁棒性, 一种合理的方法是假定参数属于已知的区间[11]. 因此, 对时滞区间神经网络模型的鲁棒稳定性研究具有理论和现实的重要性.

切换系统是一种混杂系统, 它由一系列的子系统和一个控制子系统之间切换规律的控制率组成. 最近, 切换系统受到越来越多的关注. 因为实际中很多系统(如生物系统,计算机控制系统, 工程系统等)都可以表述成切换系统. 另外, 从控制方面看, 多控制器的切换控制往往可以对复杂系统的控制起到满意的控制效果. 切换时滞系统作为一种新的复杂系统, 具有重要的理论研究意义. 由于连续和离散的动力学特征, 以及时间滞后之间的相互作用, 使得切换时滞系统的行为比一般的切换或时滞系统行为都要复杂得多. 切换时滞神经网络系统作为一种特殊的切换时滞系统也受到了越来越多的重视. 文献[12,13]运用线性矩阵不等式研究了时滞切换Hopfield神经网络的稳定性. Wu等利用平均驻留时间方法和自由权矩阵方法分析了时滞切换神经网络的指数稳定性[14]. Arunkumar等利用平均驻留时间方法和多Lyapunov函数法研究了一类离散切换神经网络的鲁棒稳定性[15].

正如前面提到的, 切换神经网络每个子系统平衡点的存在性, 唯一性和稳定性是非常重要的. 然而, 在现有的结论中, 很少结论跟子系统平衡点的存在性, 唯一性和稳定性直接相关. 而且大部分结论都是运用线性矩阵不等式方法, 但这种方法在实际工程应用上存在着诸多困难. 因为应用线性矩阵不等式方法必须人为的决定很多不确定参数和矩阵.

基于以上分析, 本文的主要目的是建立时滞切换UCNNs系统鲁棒指数稳定性的新条件. 运用Lyapunov泛函方法, 得到了时滞切换UCNNs系统 鲁棒指数稳定性的充分条件. 和前面的结论相比较, 本文的主要优点有: (a)系统的稳定性对参数摄动和切换信号扰动都具有鲁棒性; (b)得到的结论是显式结构, 有利于实际工程应用.

符号说明: x=(x1,x2,…,xn)T表示n维列向量(符号(·)T表示转置), Rn表示n维实数空间, |x|表示|x|=(|x1|,|x2|,…,|xn|)T, ‖·‖表示Euclidean范数; 对于矩阵A=(aij)n×n, |A|表示|A|=(|aij|)n×n; C((-∞,0];Rn)表示从(-∞,0]映射到Rn上的连续函数集.

1 预备知识

考虑Lyapunov泛函:

(1)

其中ui为第i个神经元的状态, i=1,2,…,n, n为神经元的数量; E=diag(e1,e2,…,en)为一个n×n对角矩阵, ei>0; g(u)=(g1(u1),g2(u2),…,gn(un))T为神经元的激活函数; A=(aij)n×n, B=(bij)n×n为关联矩阵; I=(I1,I2,…,In)T 为常输入向量;核函数kij:[0,+∞)→[0,+∞)为[0,+∞)上的分段连续函数并且满足eαskij(s)ds=pij(α),其中pij(α)为[0,δ)(δ>0)上的连续函数且pij(0)=1.

系统(1)的初始条件假设为ui(s)=φi(s), s∈(-∞,0], 其中φi∈C((-∞,0],R), i=1,2,…,n.

我们假设UCNNs系统(1)的激活函数满足如下条件:

假设1 对于任意给定的ui,vi∈R, i∈{1,2,…,n},存在常数Li>0, 使得:

丈夫被叫了出去，放疗室的门缓慢关上，英孤身一人留在里面，紧接着庞然大物靠近了英，一束光线照射在英的子宫上面。英慢慢地感觉到子宫在发烫，一种焦灼的疼痛蔓延至英全身每一个细胞。英安静地躺着，子宫内部似乎在剧烈地燃烧。英暗自高兴，那是野马一样毫无束缚的癌细胞正在走向死亡。

|gi(ui)-gi(vi)|≤Li|ui-vi|

解析：有关化学方程式:Mg+2HCl==MgCl2+H2↑,2Al+6HCl==2AlCl3+3H2↑,MgCl2+2NaOH==Mg(OH)2↓+2NaClAlCl3+3NaOH==Al(OH)3↓+3NaCl。依化学方程式知,当镁、铝全部以氢氧化镁、氢氧化铝沉淀,当存在沉淀质量达到最大值时,此时溶液中溶质只存在NaCl,即n(NaOH)=n(HCl)=0.5L×4mol·L-1=2mol,V(NaOH)=mL。本题答案为A。

即gi:R→R是全局Lipschitz.

在这种情况下, 我们称g(u)属于G类函数, 记为g(u)∈G. 并且记L=diag{L1,L2,…,Ln}.

由于伍姓湖站资料系列不足，本次洪水也未在张留庄断面形成较大洪峰，无法用流量系列计算重现期，而涑水河流域暴雨洪水相关程度较高，所以本次洪水重现期采用雨量系列进行计算，以此代表7.16洪水的重现期。

时滞切换UCNNs系统是由一系列的时滞UCNNs系统和切换率组成的. 每个时滞UCNNs 系统视为子系统, 切换率决定了各个子系统之间的切换. 根据系统(1), 时滞切换UCNNs系统可以表示成如下形式:

(2)

其中切换信号σ(t):[0,+∞]→∑={1,2,…,N}为分段常函数为第k个子系统的神经元激活函数是第k个子系统的关联矩阵, 第k个子系统的区间矩阵EkI,AkI, BkI和核函数的定义如同系统(1)所示,为第k个子系统的输入向量.

“根据历史资料，我们按1：150的比例，还原了清朝北洋水师和日本联合舰队的军舰，并在清华大学附属小学同学们的帮助下，进行了累计20次的模拟海战。最后的结果是：北洋水师败北17次，仅胜出3次。”詹寻叹了口气。

系统(2)的初始条件假设为uσ(t0)(s)=φσ(t0)(s), s∈(-∞,0],其中 子系统的激活函数gk∈G, 并记Lk=, k∈Σ.

本节将利用Lyapunov泛函方法, 研究时滞切换UCNNs系统(3)的全局指数稳定性.

定义指示函数:

γ(t)=(γ1(t),γ2(t),…,γN(t))T

其中:

k=1,2,…,N. 因此,时滞切换UCNNs系统(2)亦可表达成如下形式:

农场基本已经普及大型气吸式精密播种机或高速气吹式精密播种机加之机手作业水平较高，可以一次完成开沟、精量播种、覆土、镇压等作业，播种质量、高保苗效果好合作社和一般农户；农户自用“小机械”无法达到标准垄栽培模式标准化播种要求。

(3)

定义1 如果对每个Ek∈EkI,Ak∈AkI,Bk∈BkI和输入Jk, 存在常数λ>0和η>0, 使得对所有的t≥t0都有:

‖u(t)-u*‖≤η‖φσ(t0)-u*‖e-λ(t-t0)

则称时滞切换UCNNs系统(3)的平衡点u*是鲁棒指数稳定的.

其中:

‖φσ(t0)-u*‖

2 时滞UCNNs系统平衡点的定性分析

本节我们将研究系统(1)平衡点的存在性, 唯一性和稳定性.

定义2 对于实矩阵A=(aij)n×n, 如果aij≤0, i,j=1,2,…,n, i≠j, 且A的所有顺序主子式为正, 则称矩阵A为M-矩阵.

引理1[16,17] 对于实矩阵A=(aij)n×n,如果aij≤0, i,j=1,2,…,n, i≠j, 则以下陈述等价:

(i)矩阵A为M-矩阵;

(ii)存在向量ξ>0, 使得ξTA>0.

定义3 映射H: Rn→Rn为Rn上的同胚映射, 如果H∈C0是Rn上的单射和满射, 且H-1∈C0.

引理2[16] 如果H(u)∈C0满足以下条件:

(i)H(u)是Rn上的单射;

则H(u)是Rn上的同胚映射.

定理1 如果系统(1)满足假设1, 且π=E*-(A*+B*)L为M-矩阵, 那么对所有的E∈EI, A∈AI, B∈BI和每个输入I, 系统(1)存在唯一指数稳定的平衡点u*. 其中,

2018年8月3日，辽宁省沈阳市沈北新区发生一例非洲猪瘟疫情，经过中国卫生与流行病学中心确认，该疫情为我国首次发生的非洲猪瘟疫情。疫情发生后，农业农村部根据《非洲猪瘟疫情应急预案》启动了二级应急响应，采取了封锁、扑杀、无害化处理以及消毒等措施，禁止所有生猪、易感动物和产品运入或流出封锁区，同时沈阳市全面禁止生猪向外调运。在各部门配合下，此次疫情得到很好的控制，没有发生大面积的传播感染。但是因为非洲猪瘟一直以来都被我国列为一类动物疫病，是重点防控的外来病，近年一直在俄罗斯和东欧国家传播，我国有必要对该动物疫病进行研究。

证明: 定义如下与系统(1)相关的非线性映射:

H(u)=-Eu+(A+B)g(u)+I

如果H(u)为Rn上的同胚映射, 那么系统(1)存在唯一的平衡点u*[18]. 类似文献[8]定理1的证明, 容易得知H(u)满足引理2的两个条件. 因此, 对任意输入I, 映射H(u)为Rn上的同胚映射. 所以系统(1)存在唯一的平衡点u*. 记λ=E-(|A|+|B|)L, 因为π 是M-矩阵, 由引理1知道, 存在ξi>0(i=1,2,…,n), 使得:

所以:

注2 我们知道, 在任意切换的条件下得到的稳定条件可能具有较强的保守性. 但是这样的条件能确保系统的稳定性对切换信号具有鲁棒性. 由于网络系统相互依赖的动力学特征, 使得切换信号往往是无法确定的. 因此, 系统的稳定性对切换信号的鲁棒性显得十分必要.

3 时滞切换UCNNs系统的全局指数稳定性

在本文中假定切换率σ(t)事先未知. 对应切换信号σ(t), 我们可以得到一个切换序列{(t0,i0),…, (tk,ik),…|ik∈Σ,k=0,1,…}, 这表示当时t∈[tk,tk+1), 第ik个子系统被激活.

定理2 如果对任意的k∈Σ, gk∈G, 并存在一个n维正向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)使得:

(4)

其中:

那么对所有的Ek∈EkI, Ak∈AkI, Bk∈BkI和每个输入Jk, 系统(3)在任意切换信号下是鲁棒指数稳定.

证明: 由不等式(4)和引理1知道,为M-矩阵. 由定理1知道, 系统(3)的所有子系统均存在唯一指数稳定的平衡点. 不失一般性, 我们假设系统(3)的所有子系统有共同的平衡点u*. 设x(t)=u(t)-u*, 将系统(3)的平衡点平移到原点, 此时系统(3)表示为:

(5)

其中:

具有无穷时滞的UCNNs系统可以由以下时滞微分方程描述:

(6)

其中ε>0待定. 计算V沿系统(5)的右上导数V+ 可得:

=

D+V(x,t)

(7)

定义函数:

由不等式(4)知道:

显然 因为是连续函数, 所以存在 使得 令 有(i=1,2,…,n;k∈Σ). 结合不等式(7)可得:

女助手说：“是的，可是医院也是可以调节的，专家坐诊时间并不是一成不变的。这个时间我当时也问了毛老师的，是他自己亲自改的。”

V(x,t)≤V(x,t0)

(8)

又因为当t=t0时,第i0个子系统被激活,所以:

V(x,t0)

由积分中值定理知道, 存在ρ>0使得:

这些想法还不成熟，有待于在实践中摸索、完善。我想只要我们每一位教学一线的教师能够秉持创新精神，大胆尝试，一定会激发学生的学习热情，化被动接受为主动求知，可以使语文教学走出一个崭新天地。

V(x,t0)

(9)

其中:

结合(6)～(9)式可得:

令ξ=min1≤i≤nξi可得:

由定义1知道,系统(3)的平衡点u*是鲁棒指数稳定的. 证毕.

（五）建立科学的评价机制。情感态度与价值观目标达成的评价是比较难的，要解决这一问题，我们就要目标设计中要注重结果的开放性、多元性。教师只要指明学生需要从事的学习任务是什么，不精确规定每个学生应从这些活动中习得什么，目标是追求每个学生学习结果的个性化表现。

注1 从定理2的证明中可以看到, 系统(3)的指数收敛率为 其值依赖于向量ξ. 因此, 为了得到最大收敛率ε, 我们可以解限制条件为的优化问题.

由引理条件(ii)可得, 矩阵λ是M-矩阵.类似文献[6]定理4的证明, 容易证明u*是指数稳定的.证毕.

天然气：加快管网建设，为推广使用天然气创造条件。同时，积极拓展天然气多渠道供应，建设西气东输三线和新疆煤制气外输管道项目，通过广西北海LNG粤西支线与广西天然气管网网络相连。

4 算例

下面给出一个数值仿真算例. 考虑如下二阶时滞切换UCNNs系统:

所以:

(10)

其中:

σ(t):[0,+∞)→Σ={1,2}

就这样，八个猎人把衣服还给了姑娘们，成了八对夫妻。他们就在长白山建立了家园，辛勤耕种，过上了幸福美满的生活，并且生儿育女，繁衍后代。猎人们非常感激天鹅，就让子女管妈妈叫“额娘”。这个额还是天鹅的“鹅”。也不知叫到了那一年那一代，把这个“鹅娘”的“鹅”叫成了额头的“额”。这就是满族人的祖先。

基于FPGA的硬件加解密模块框图如图8所示，利用PCIE总线接口的数据高速传输性和FPGA运算能力高度并行的特点，可实现对存储阵列中数据的加解密功能。同时FPGA芯片挂载DDR3存储颗粒，用于提高加解密模块的数据缓存能力[10]。

g1(u) =g2(u)

=(0.5u1+0.5sinu1,0.5u2+0.5sinu2)T

显然,g1,g2满足假设1, 且L1=L2=I2 (其中I2为2阶单位矩阵),

取ξ=(1,1), 经简单计算可知:

第一，个人演唱会的举办，是一个歌手（含组合）的能力及人气的展现和证明。流行歌手（含组合）举办个人演唱会一般在其成名之后。具有满足演唱会时长（大多为2.5小时左右）的歌曲曲目积累（20首以上），被广泛认可的艺术成绩，以及相当程度的票房号召力，是歌手举办演唱会的前提。因此，个人演唱会常被视为对歌手（含组合）的最高挑战。[10]

(i,j,k=1,2)

满足定理2的所有条件, 因此系统(10)在任意切换信号下是鲁棒指数稳定的.

为了数值模拟, 令 初值条件为u1(s)=cos2s-0.4, u2(s)=sin2s +0.4, s≤0. 数值仿真结果见图1～图3. 可以看到, 系统(10)的轨线收敛到平衡点0, 这与定理2的结论是一致的. 该数值算例结果不仅说明了定理2中的条件如何应用,同时也验证了定理2条件的正确性．

5 结论

本文研究了具有无穷时滞切换不确定细胞神经网络系统在任意切换下的鲁棒指数稳定性. 利用同胚映射和M-矩阵理论研究了子系统平衡点的存在性, 唯一性和稳定性; 利用Lyapunov泛函方法研究时滞切换不确定细胞神经网络的鲁棒指数稳定性. 有别于现有的线性矩阵不等式相关结论, 本文得到的稳定性条件是代数显式结构, 有利于实际工程应用. 最后通过数值算例说明如何应用定理的条件, 同时也验证了结论的正确性.

参 考 文 献

1Chua L O, Yang L. Cellular neural networks:theory. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1988,35(10):1257～1272

2Chua L O, Yang L. Cellular neural networks:applications. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1988,35(10):1273～1290

3Chua L O. CNN: A paradigm for complexity. Singapore: World Scientific, 1998

4Gupta M, Jin L, Homma N. Static and dynamic neural networks: from fundamentals to advanced theory. New York: Wiley, 2003

5Park J H, Kwon O M, Lee S M. LMI optimization approach on stability for delayed neural networks of neutral-type. Applied Mathematics and Computation, 2008,196(1):236～244

6Zhang J. Absolutely exponential stability in delayed cellular neural networks. International Journal of Circuit Theory and Applications, 2002,30(4):395～409

7Zhang J, Suda Y, Iwasa T. Absolutely exponential stability of a class of neural networks with unbounded delay. Neural Networks, 2004,17(3):391～397

8Zhang J. Global exponential stability of interval neural networks with variable delays. Applied Mathematics Letters, 2006,19(11):1222～1227

9Roska T, Chai W W, Balsi M, et al. Stability and dynamics of delay-type general and cellular neural networks. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1992,39(6):487～490

10 刘铭,徐晓峰,张春蕊. 中立型时滞反馈扭转控制系统的稳定性分析. 动力学与控制学报, 2015,13(6):449～453 (Liu M, Xu X F, Zhang C R. Stability analysis of delayed torsional vibration system of neutral type. Journal of Dynamics and Control, 2015,13(6):449～453 (in Chinese))

11 Li N, Cao J. Switched exponential state estimation and robust stability for interval neural networks with the average dwell time. IMA Journal of Mathematical Control and Information, 2015,32(2):257～276

12 Ahn C K. An H∞ approach to stability analysis of switched Hopfield neural networks with time-delay. Nonlinear Dynamics, 2010,60(4):703～711

13 Lian J, Zhang K, Feng Z. Stability analysis for switched Hopfield neural networks with time delay. Optimal Control Applications and Methods, 2012,33(4):433～444

14 Wu L, Feng Z, Zheng W X. Exponential stability analysis for delayed neural networks with switching parameters: average dwell time approach. IEEE Transactions on Neural Networks, 2010,21(9):1396～1407

15 Arunkumar A, Sakthivel R, Mathiyalagan K, et al. Robust stability criteria for discrete-time switched neural networks with various activation functions. Applied Mathematics and Computation, 2012,218(22):10803～10816

16 舒仲周,张继业,曹登庆. 运动稳定性. 北京:中国铁道出版社, 2001 (Shu Z Z, Zhang J Y, Chao D Q. Stability of Motion. Beijing: China Railway Publishing House, 2001 (in Chinese))

17 Siljak, D D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. New York: North Holland, 1978

18 Forti M, Tesi A. New conditions for global stability of neural networks with application to linear and quadratic programming problems. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1995,42(7):354～366