0 引言

大量的观测和数值模拟研究表明，热带气旋(Tropical Cyclone: TC)内核区域经常存在的明显非对称结构，如多边形眼墙、中尺度涡及螺旋雨带等，对TC的结构和强度变化有重要影响(Montgomery and Kallenbach，1997； Möller and Montgomery，1999, 2000；Montgomery et al.，2006；Yang et al.，2007；Persing et al.，2013；Menelaou et al.，2013a)，因此，这类结构形成和传播的动力学机制一直是TC研究工作中的热点问题.

已有研究认为非对称结构形成的动力学过程与TC中尺度波动的传播以及动力不稳定的发展密切相关.最早用于解释TC中眼壁和螺旋雨带的形成和传播机制的是重力惯性波理论，认为台风内部的重力惯性波的叠加和传播形成了台风多边形眼墙结构和螺旋雨带(Abdullah，1966；Kurihara，1976；黄瑞新和巢纪平，1980).许多研究学者(MacDonald，1968；Guinn and Schubert，1993； Reasor et al.，2000；Wang, 2002a，b，2009)则认为多边形眼墙和螺旋雨带的湿对流过程和外部环境场强迫过程会造成在TC眼心以外区域形成PV高值区，产生的PV径向梯度是涡旋Rossby波形成和传播的物理机制.近年来，有学者指出在TC强涡旋条件下，高频重力波与低频涡旋Rossby波在时间尺度上不具有明显可分性，具有“共存”的特性(Shapiro and Montgomery，1993；Chen et al.，2003).Zhong等(2009)，Zhong和Zhang(2014)基于旋转浅水理论模型，推导得出了TC内中尺度混合涡旋Rossby-重力波(下简称混合波)的频散关系，并指出TC内中尺度对流系统，尤其是眼墙和螺旋雨带形成和传播的动力学机制与混合波密切相关.

近年来，对TC内部动力稳定性的研究取得了许多进展.大量理论和数值试验结果表明TC环流中的正压或者正压-斜压不稳定能够解释TC内眼墙及螺旋雨带中所具备的一些形态特征和演变机制(Kossin and Schubert，2001；Montgomery et al.，2002；Nolan and Grasso，2003；Kwon and Frank 2005；Rozoff et al.，2009；Hendricks and Schubert，2010).Schubert等(1999)指出正压不稳定存在于具有环形涡度结构的涡旋系统中，当TC内核区域两列相向传播的涡旋Rossby波(vortex Rossby waves：VRWs)发生锁位相时，会出现正压不稳定，引起波动的破碎，从而发生混合，而多边形眼墙和中尺度涡是正压不稳定引起的波动破碎的副产物.Ford(1994)研究旋转浅水模式下的自由波动时证明在具有类兰金环状涡旋中，基流的PV在最大风速半径处存在的径向不连续，在高波数情况下会导致混合Rossby-重力波的不稳定.Zhong等(2009)推导得到混合波不稳定存在的理论判据，指出在大风速和强涡度的基态背景场条件下基流不稳定性增强，在最大风速半径附近出现明显的混合不稳定，且波数越高，不稳定增长越强.在指数型不稳定之外，Nolan和Montgomery(2000)，Nolan等(2001)提出基流角速度在飓风最大风速半径内除眼心外的位置存在极大值，会出现涡旋Rossby波的代数不稳定，能够用来解释扰动在水平面上的不稳定增长问题.

发乎生活的情感是艺术创作的基础，充满感情的语言是艺术感染的条件。罗春辉作画非常重“情”，表现“令自己感动的东西”是其一贯的创作主张。南方人特有的细腻与敏感加之具有诗人一般的情怀，其审美感觉极其敏锐，他善从自然中发现和捕捉触动心灵的生动细节和瞬间，平常环境的朴素题材也一样入画，而且还能赋予诗化的意境。他的这种以真情实感的“合情”为根本，化成的各种曼妙、蕴藉或是磅礴的画面情怀，予人以深沉的感动。每每重观其作品，都能让人在赞叹其色彩的亮丽和意境的别致，感受到他“心有猛虎，细嗅蔷薇”的创作情感。

涡旋系统稳定性的强弱受到系统本身强度以及基态涡旋廓线的结构分布所影响.Nolan和 Montgomery(2002)基于三维线性、不考虑水汽相变的动力模型，分析讨论了三类不同强度飓风类涡旋系统的稳定性及线性扰动的演变问题.他们发现强度达到三级飓风和一级飓风标准的涡旋系统是不稳定的，而与热带风暴类似的涡旋系统对于任一切向波数的扰动来说都是稳定的.然而，随着高分辨率观测和数值模拟研究揭示了TC发展过程中涡旋在二维平面上结构的两类特征，即PV大值中心位于眼心且PV随半径向外单调递减的单极涡旋(Schecter et al.，2002；Reasor et al.，2004；Martinez et al.，2010)和PV大值中心位于眼墙内侧，具有高值PV环状结构的中空涡旋(Yau et al.，2004)后，理论和诊断研究均表明，中空PV环结构的涡旋满足正压不稳定的必要条件(Montgomery and Shapiro，1995)，且实际个例中发展成熟的TC往往具有中空涡旋的结构特征(Hendricks et al.，2012；Menelaou et al.，2013b；刘爽等，2015).Schubert等(1999)在分析正压无辐散模型下具有环形结构的涡旋线性稳定性问题时指出，不稳定增长率的大小与内核区域平均涡度、切向波数以及PV环的结构密切相关，并通过对PV环结构参数的定量化描述，分析了TC类涡旋的线性稳定性问题.在此基础上，Hendricks等(2009)通过改变两个结构参数的取值构造不同结构的PV环，利用离散化的假谱模式做了大量的数值实验，系统地研究了正压无辐散模型中PV环的结构对系统稳定性的影响.Hendricks等(2014)在研究强迫作用下浅水模型中TC眼墙的演变问题时，指出当PV环足够窄时，会产生动力不稳定使得环状结构崩溃形成多边形非对称结构或中尺度涡旋.

云南一般工商业电价降价从今年4月开始实行，分4月1日、5月1日、7月1日和9月1日四个时间节点四次降价。截至9月1日，云南省一般工商业不满1千伏目录电价由每千瓦时0.675元降至0.6075元，相比今年4月1日前降价幅度已达到10%。

综上所述，以往研究对于TC内核区域非对称扰动形成和传播的波动和稳定性的动力学特征，以及造成系统稳定性强弱的因素均存在不同观点，虽然提出了基态涡旋廓线的结构分布对涡旋系统稳定性的强弱起着重要作用，但对不同基态PV结构影响下系统稳定性及决定其性质的波动特征分析还有待于进一步的研究.本文采用理想浅水模型，在给定基态涡旋切向风速大小和位置的前提下，分析不同基态PV结构对系统稳定性特征的影响，并讨论其最不稳定模态(扰动增长率最大的特征波动)的动力学性质及其对系统结构的影响.本文第一部分为理想试验的计算模型及试验设计；第二部分对理想试验的结构进行分析，得到不同PV结构对系统稳定性及其动力学特征的影响；第三部分选择理想试验中具有代表意义的PV结构的典型个例，分析系统演变特征及其内部非对称结构的形成和传播机制；最后是小结和讨论.

1 实验设计

1.1 计算模型和参数设置

采用由Nolan等(2001)开发的浅水涡旋扰动分析和模拟(Shallow Water Vortex Perturbation Analysis and Simulation： SWVPAS)模式对这类涡旋系统的动力稳定性进行研究.该模式基本框架为极坐标下线性化的正压浅水涡旋扰动方程组，是能够描述类TC涡旋系统中包含旋转和位势运动自由波动性质及其稳定性特征的最简单的动力模式.

模式的出发方程为

(1a)

(1b)

(1c)

其中u′、v′和h′分别为扰动径向风速、切向风速以及扰动高度； t为时间，r为半径，λ为方向角， g为重力加速度，为基态涡度，f为牵连涡度，取为常数；H(r)为静止流体的厚度，与基态切向风速满足梯度风平衡关系，即表征基态旋转角速度； D′=∂(ru′)/(r∂r)+∂v′/(r∂λ)为扰动散度.

2017年12月采用标准架构与流程后,QoS调用前后丢包劣化的请求数占比变化为1.5%,具体数据如表2所示。2018年3月在运用基于网络状态的QoS能力开放架构与流程之后,丢包率大于2%的用户调用次数得到了控制与减少,占比变化为-0.06%,具体数据见表3。同时,网络时延也得到了保证,网络时延具体数据见表4。由于应用新的架构与流程,1595次的QoS的请求被拒绝,丢包超过2%的调用在QoS调用之后并没有增加,有效的保证了能力开放业务的实际应用效果。

可设方程组(1)的波解形式为

新疆电石、新疆托克逊等工程设有暖风器疏水箱和泵，暖风器布置在一次风机和送风机入口，属于高位布置。暖风器疏水能自流到暖风器疏水箱,疏水泵在充分考虑满足泵汽蚀的情况，水质合格后要排至除氧器，疏水还是很顺畅的。

(2)

其中，为波动的特征频率，和表示与波动频率对应的扰动变量振幅的径向分布，n为切向波数.定义涡旋系统的外边界为rb，将[0，rb]区域均分为2N等分，且给定格距为dr=rb/2N；同时采用柱坐标系交叉网格配置，对方程进行离散化，水平风速方程写在偶数格点上，质量方程写在奇数格点上.当外边界rb大于Rossby变形半径时，区域大小对方程的特征值求解的影响基本可忽略(Montgomery and Lu，1997).由于我们仅对n >0的情况感兴趣，因此边界条件可以简单给定为：根据上述配置，代入波解并离散后的方程可视为矩阵方程的特征值问题，即

进入2010年以后，人工智能技术获得了更为迅速的突破，如IBM的Watson战胜Jeopardy冠军(2011)、聊天程序“尤金·古斯特曼”(Eugene Goostman)首次“通过”了图灵测试(2014)；2016年，谷歌的围棋程序AlphaGo击败了围棋世界冠军李世石，2017年10月AlphaGo Zero以100：0的战绩击败了AlphaGo；2014年，包括百度、腾讯、谷歌的人脸识别系统均已超过人类。

(3)

其中A为一个(3N-1) ×(3N-1) 矩阵，表征给定边界条件下离散方程的离散微分算子，是由涡旋系统基态场及切向波数决定.为矩阵A的特征值，同时也表征特定背景条件下的涡旋系统特定波数下产生的波动的频率特征；为与特征值相对应的特征函数，即为具有特定频率的特征波动所具备的扰动风场和高度场的径向分布结构.此时浅水方程波动性质及其发展问题转化为特征方程的数值求解.通过求解系数矩阵A的特征值和特征向量，可以描述由波动频率决定的扰动物理量场的配置结构和周期性变化规律(Montgomery and Lu，1997；Zhong and Zhang，2014)及其存在不稳定状态时扰动振幅随时间的增长(或衰减)情况(Nolan et al.，2001)，从而得到对基态涡旋强度和结构具有重要影响的波动特征及不稳定性质.

对于矩阵A求解得到的每个特征值可代表离散线性浅水方程的一个波动频率值(即一个波动谱点)，因此，求解上述特征方程即可得到浅水方程的完整波动频谱分布特征.实际计算过程中，我们发现通过增大N的量值，能够减小数值离散过程中对波动频谱分布造成歪曲(张立凤和张铭，1992；Zhong and Zhang，2014)，但N值增大到一定阶段后，对求解精度的影响减弱但计算量明显增大，因此，综合考虑到精度要求和计算量，文中计算选择rb=600 km，空间分辨率dr为200 m，离散化的精度N=3000.

1.2 基态涡旋及初始扰动

尽管本文的研究对象是不同PV廓线条件下的基态涡旋，但由于我们选取的浅水模型不考虑非绝热加热的影响，这样垂直运动尺度远小于水平运动尺度，可以将涡度廓线近似看作PV径向分布结构(Nolan and Montgomery，2002；Menelaou et al.，2013a).本文采用与Nolan和 Montgomery(2000)相同的构造方法，根据相对涡度廓线来定义基态涡旋的结构，设基态相对涡度廓线为阶梯状分布，分布函数为

(4)

其中ζ1、ζ2、ζ3和r1、r2、r3、r4、r5、r6均为常数.ζ1、ζ2、ζ3为基态涡旋涡度径向分布的参考值.r1到r6用于划分基态涡旋涡度区域函数的参考半径，r2与r3之间距离为基态涡旋的眼墙区域，r1与r2之间和r3与r4之间的区域分别为涡度发生陡变(剧增或骤减)的区域.r6以外为基流涡度为零的区域，r5与r6之间为涡度陡变区域与弱涡度区的过渡.选取具有三次多项式形式的形状函数，即S(x)=1-3x2+2x3，并满足S(0)=1，S(1)=0且S′(0)=S′(1)=0.该函数可以控制涡度的径向分布结构，且使得基态涡度径向分布廓线光滑.

为了讨论正压浅水模型下系统的动力稳定性以及不稳定模态的主要特征，基于上述基态涡旋径向分布，并参照Hendricks等(2009) 设计关于基态涡旋PV环状结构的敏感性数值试验的方法，引入两个描述PV环状结构的参数即宽度(Thickness)δ和中空度(Hollowness)γ，并根据结构参数定义设置相关系数.首先，PV环宽度δ表征高值PV带的径向宽度，故理想试验中定义为眼墙内外边界涡度发生陡变的半径长度之比，即δ= (r1+r2)/(r3+r4).其次，中空度γ表征眼心相对涡度与高值PV的差异，理想试验中定义为相对涡度ζ1与内核区平均相对涡度ζav之比，即γ=ζ1/ζav.考虑到本文主要讨论PV结构对系统稳定性的影响，假定不同PV结构的基态涡旋具有相同的最大风速(Vmax)和最大风速半径(the radius of maximum wind：RMW)，因此设定ζav=2.0×10-3s-1为常值；r3=38 km，r4=42 km，且满足关系r2-r1=r4-r3=4 km.随后给出不同基态PV结构的敏感性试验设置.根据前文结构参数的计算式及系数设置，通过改变r1和r2的值，使得δ在[0.05,0.85]的范围内以0.05为间隔取值，即δ=(0.05,0.10,…,0.85)；通过改变眼心处的相对涡度ζ1值，使得γ在[0.00,0.90]的范围内以0.1为间隔取值，即γ=(0.00,0.10,…,0.90)，这样就得到了基于(δ，γ)空间不同参数配置的170组具有不同结构的基态涡度径向分布.最后根据基态涡旋的基本特征，可计算得到基态涡旋的切向速度、高度等相关物理量，从而得到每组试验基态涡旋的分布特征.为了便于理解基态涡旋结构参数的设置及其与对基态物理量分布的影响，图1给出了几组典型试验基态相对涡度、切向速度、角速度和位势高度的径向分布.左(右)列选取了固定中空度(宽度)，改变宽度(中空度)时，基态涡旋的物理量分布.

智慧校园的管理中可以加深对VR/AR系统的整合运用[6]，使虚拟现实的平台建设能够及时应用至智慧校园的建设当中。并通过三维的动态镜像模式使学生加深对教学内容的理解。

谷祺教授曾于1983年作为财政部审计教育培训考察团成员赴澳大利亚考察高校会计审计教学情况。此后，谷祺教授先后在《财经问题研究》《辽宁会计》发表了《澳大利亚高等院校的会计和审计教学》和《澳大利亚的三大会计组织》两篇介绍性文章，加深了国内同行对澳大利亚会计审计教学等情况的了解。

波动的特征频率是表征波动基本性质的关键参数，图3给出了数值试验中不同PV廓线条件下最不稳定波数及其对应的MUMS的特征频率和增长率的散点分布.在经典线性波动理论中，“波动的固有频率特征仅取决于波动振子的物理性质，而与运动本身无关(Holton，2004).Zhong等(2009)分析浅水模型下类TC涡旋系统的自由波动的固有频率特征表明，这类系统存在取决于径向涡度梯度且属于低频波动的涡旋Rossby波、由重力因子引起的高频重力波以及由两者共同耦合作用形成且物理性质不可分的混合涡旋Rossby-重力波(下文均简称混合波).由此可见，波动固有频率量值的相对大小是判断波动物理本质的重要参考.由于数值模式计算得到的波动频率是考虑基流后不同波数条件的波

(5)

其中reye=(r2+r3)/2表示眼墙区域中心位置，weye=r3-r2表示眼墙的宽度，初始扰动高度的振幅为基态高度最大值H0的1%，即h0=0.01×H0，这里H0=3000 m，因此，给定的初始扰动高度的最大值为30 m，最小值为0.设初始扰动风速为0.

综上，即使在非常相似的基流切向风速径向分布条件下，这种斜率的细微变化会使得基流绝对涡度的径向廓线出现结构上的较大差异，下节将讨论给定初始扰动条件下，扰动在具有不同PV结构的基态涡旋中线性稳定增长阶段的发展过程，讨论这种结构性差异对系统稳定性及动力特征的影响.

2 敏感性实验结果

由美国海登天文馆馆长弗兰克林及知名幼教专家罗马·冈斯主编，已有五十余年出版历史，盛誉全球。本系列通过生动形象的图画和浅显易懂的语言，循序渐进地介绍了基础的自然科学概念，满足孩子对科学世界的好奇心。

1.布置课后任务。教师布置课后任务，提醒学生继续通过“雨课堂”完成相关任务，并向学生推送其它相关拓展资源的学习平台，为本课程后续学习做好准备。设计意图是通过“雨课堂”推送作业，预习PPT等学习资料直达学生手机APP端口，实现无纸化课堂，既节能环保，又方便快捷。

基流角速度的径向分布与切向风速相类似，最大基流角速度基本保持不变，受基态涡旋结构影响产生的径向分布差异也主要集中在RMW内侧.当中空度一定时，眼心处的基流角速度不变，宽度值越大，角速度出现增长的半径越大，同时增长曲线越陡；宽度一定时，基流角速度出现快速增长的半径宽度保持不变，中空度越大则眼心处基流角速度越大，其与的差异也越小.需要说明的是，利用基态切向风速和梯度风平衡关系计算基态涡旋自由面高度H(r)时需要给定参考高度H0，且从特征方程求解过程来看，模态的频率性质和分布对参考高度H0非常敏感(Nolan et al.，2001).根据理论研究(Hendricks et al.，2014)和模拟资料分析(刘爽等，2015)表明，中空涡旋条件下扰动快速增长最早主要出现在2～3 km的高度上，因此本文选择的参考高度H0=3 km.从不同试验的基流位势高度分布来看，尽管不同数值试验设计的最大切向风速基本相等，但基态涡旋结构的不同使得位势高度在内核区域(主要是20 km以内)存在细微差别，宽度值越小或中空度值越大，中心位势高度越小.

根据《公路圬工桥涵设计规范》JTG D61-2005第4.0.8-4.0.10条进行混凝土拱的截面强度验算，混凝土轴心受压构件弯曲系数φ取1.0，单向偏压未加固截面容许偏心距0.3 m，加固截面容许偏心距0.345 m，主拱圈实腹段仍按主拱圈设计截面计算抗力，空腹段截面抗力计入加固层厚度。

图4主要给出了各组试验最不稳定波数的扰动动能随时间的演变.注意，初始时刻扰动动能为0，纵坐标取对数坐标，因此t=0时，扰动动能缺省.本文设定的初始扰动为基态涡旋1%(方程(5))，根据模态的波解形式(方程(2))，可知当MUMS的扰动增长与初始扰动的比值即量级达到102时，说明此时动力不稳定造成的扰动增长与涡旋系统强度达到同一量级且将这一时刻定义为系统对动力不稳定的响应时间，在响应时间内系统的强度和结构变化主要受稳定性的影响.根据不同PV环结构下MUMS的不稳定增长率可以估算出各组试验的响应时间.宽且实的PV环系统(Exp.1和Exp.2)的响应时间超过了200 h，说明这种PV结构下的系统不稳定很弱，动力不稳定造成的扰动增长相对涡旋系统强度影响非常小；宽度适中且较空的PV环(Exp.3)与PV环较窄且较实的系统响应时间接近，不超过9 h；对于窄且空的PV环(Exp.5和Exp.6)来说，由于不稳定增长率较大，使得系统对不稳定响应时间短，两组试验的响应时间估算结果分别为2.5 h和1.2 h左右.总的来说，PV环越宽，系统弱不稳定，扰动的不稳定发展对系统影响小；PV环越窄越空，扰动快速增长，系统对不稳定响应时间越短.

图1 不同基态涡旋结构下的基流相对涡度(第一行)、切向风速(第二行)，角速度(第三行)及位势高度(第四行)的径向分布.左列表示中空度γ=0.60，宽度δ依次取(0.35,0.40,…,0.55)的5组试验，线条由细到粗表示δ由小到大；右列表示宽度δ=0.30，中空度γ依次取(0.30,0.40,…,0.70)的5组试验，线条由细到粗表示γ由小到大 Fig.1 Radial distribution of relative vorticity (the first line), azimuthal velocity (the second line), angular velocity (the third line), fluid depth (the forth line) for various PV rings as the basic state. On the left, γ=0.60 and δ=(0.35,0.40,…,0.55), and thicker lines indicate increasing δ; on the right, δ=0.30 and γ=(0.30,0.40,…,0.70), and thicker lines indicate increasing γ

基于特征方程(3)，通过计算(δ，γ)空间分布内任意一对取值对应的不同波数下所有不稳定模态的增长率并比较它们的大小，得到不同基态涡旋结构下MUMS及其对应的MUWN(图2)，通过比较170组敏感性试验结果可知，浅水模型中最不稳定波数的分布与表征PV环结构的两个结构参数的取值密切相关.整体上看，除γ很大时，最不稳定波数与PV环的宽度基本呈正相关，即相同中空度下，PV环越窄，最不稳定波数越高.而中空度对最不稳定波数的影响较为复杂，当宽度δ≤0.25即PV环很宽时，无论PV环的中空形态如何变化，系统均为1波最不稳定；当宽度δ>0.25时，在γ=0.4的位置最早出现3波不稳定.当PV环为中等宽度(0.35≤δ≤0.5)时，除中空度γ=0.5的位置仍维持1波最不稳定外，较实和较空的PV环开始出现2波和3波最不稳定，说明在PV环宽度适中时，中空度越小即PV环越空，最不稳定波数越高.当δ>0.5且γ<0.8情况下，即PV环很窄，最不稳定波数与PV环的中空度反而呈正相关关系，即PV环越实，最不稳定的波数越高.当0.6<δ且0.7<γ时，说明此时虽然PV环很窄，但眼心处PV量值与内核区域平均PV值越接近，则从PV径向分布结构看越接近单极涡旋结构，造成系统稳定性浅水模型计算结果波数值差异大，且随模式分辨率具有很大的不确定性，因此参照正压无辐散模型结果定义为不确定区域U(Hendricks et al.，2009).

结合不同基态PV结构参数配置下系统最不稳定波数的分布，分别考虑1波、2波、3波、4波及更高最不稳定波数的最不稳定增长率的极值分布及其与结构参数的关系可知，虽然最不稳定波数不同时，最不稳定增长率的极小值均位于10-6量级，但其量值大小明显随着最不稳定波数的增加而增加；同时MUMS增长率的极大值随着最不稳定波数的增大呈现量级的跳跃.从不同波数下MUMS增长率分布来看，δ值越大且γ值越小即PV环越窄越空，MUMS出现在较高波数且增长率越大.需要注意的是，在PV环很窄且MUMS出现在4波以上(包含4波)时，当PV环越接近单极涡旋结构(γ值越大)时，更容易出现较高波数的不稳定，但MUMS增长率却较小，说明对于正压波动而言，3～6波是具有最快增长的优势波数范围，这与Hendricks等(2009) 分析结果一致.

图2 (δ，γ)空间中最不稳定波数及其增长率的分布 x轴表示宽度，y轴表示中空度；括号内表示的是相同(δ，γ)取值下正压无辐散模型的结果(Hendricks et al.，2009)，没有括号的点说明两种模型的结果一致；黑色、红色、蓝色和绿色色阶分别表示浅水模型最不稳定波数为1波、2波、3波以及4波及以上时最不稳定增长率(单位s-1)的量值比较，其中不同颜色区域的极值分布为图中标注所示，每种颜色均选择6级色阶，对应于将极大值和极小值之间取6等份，颜色越深表示增长率的值越大. 图例给出了不同色阶区域的最小值和最大值. Fig.2 Distribution of the most unstable wavenumber (MUWN) and growth rates in the (δ, γ)-parameter space δ is abscissa, γ is ordinate; numbers in brackets denote the results from non-divergent barotropic model (Hendricks et al., 2009), the points without brackets indicate the results of two models are consistent; the black, red, blue and green levels represent the growth rates of the MUWN corresponding to W1, W2, W3 and W4, respectively. The label at the bottom denotes minimum and maximum at the different levels area.

对比涡度守恒模式最不稳定波数的计算结果可知，浅水模型的计算结果基本再现了正压稳定性理论分析的结果，说明当仅考虑正压模型框架时，系统的稳定性特征基本满足正压不稳定特征.然而在MUMS的波数分布以及系统稳定性随基态涡旋结构影响上存在一些变化，如在较宽的PV环(0.3<δ<0.5)条件下浅水模式在正压无辐散模型的1波最不稳定区域会出现2波及更高波数的不稳定，说明对于较宽的PV环，浅水模型更容易出现较高波数的不稳定.此外，对具有窄的PV环结构(0.6<δ<0.85)的涡旋来说，浅水模型的数值结果比正压无辐散模型的结果稍微偏低.根据下文几组典型试验计算得到不同PV廓线下各波数中FGM的增长率与MUMS的扰动增长率之比(表1)可以看出，当MUMS对应的最不稳定波数出现在低波数时，其最不稳定模态相较其他波数在不稳定增长率上具有明显的量级优势，然而当PV环越窄时，最不稳定波数与其他不稳定波数间的增长率非常接近.如(δ，γ)=(0.75,0.3)组实验，正压无辐散模型下为5波最不稳定，浅水模型计算结果表明最不稳定波数为4波，且最不稳定增长率约为4.19×10-4s-1，同时5波的最不稳定模态的增长率约为4.18×10-4s-1，两者十分接近，仅相差1.0×10-6s-1.由此说明PV环越窄时，最不稳定波数的区分度越小，因此这种情况下出现的试验结果的差距可能并不具备动力学意义，而是由于模式或者是精度的影响造成的.

考虑到在发展成熟的TC眼墙区域，常观测到局地非对称对流的存在.本文在涡旋的眼墙区域给定一个具有高斯分布特征的初始扰动位势高度场：

动频率，即对应于与固有频率之和.考虑到内核区域MUMS一般出现在基态PV的高值带中(Hendricks et al.，2009)，因此可由与的差值来估算其固有频率的大小.为此，图3横坐标刻度取不同波数与基态最大角速度的乘积，当波数n下MUMS的波动频率越接近则其固有频率越低.由图3分析可知，整体来看MUMS的波动频率和不稳定增长率随波数增大而增大，说明出现MUMS的波数越高，则不稳定增长越快，系统越不稳定.不同基态涡旋结构下，当MUMS出现在1波，其波动频率十分接近且不稳定增长率为10-6量级，相对其他高波数MUMS的增长率小1～3个量级，说明1波最不稳定波动的固有频率应属于低频波范畴，且不稳定增长率非常小，可近似认为是中性稳定的(Schubert et al.，1999).当MUMS为2波，其对应的频率和不稳定增长率可近似分为两个区域：大部分波动频率集中在附近且不稳定增长率接近10-5s-1，这类谱点的波动性质类似1波最不稳定谱点，为低频近稳定的波动；此外，当(δ，γ)=(0.40，0.0)和(0.45，0.0)时，即在宽度适中然而非常空的PV廓线条件下，出现了频率明显小于增长率达到10-5量级的不稳定模态，表现为中频较不稳定的波动特征.而3波及其更高波数最不稳定的谱点频率均明显小于且不稳定增长率位于10-5～10-3量级，说明这些特征波动具有中频且较快不稳定增长的特征.

图3 最不稳定模态的特征频率和不稳定增长率的散点图 横坐标为波动特征频率，纵坐标为波动不稳定增长率， 不同符号表示最不稳定模态所在的波数. Fig.3 Eigenfrequencies-growth rates scatter plots for the MUMSs of various PV rings Wave eigenfrequencies and growth rates are indicated by X, Y, respectively. Different signs represent different the MUWNs.

3 浅水涡旋系统的稳定性及波动特征

3.1 扰动动能的演变

为了进一步分析不同PV廓线下影响系统稳定性的MUMS的波动特征及性质，综合考虑基态涡旋PV环结构以及最不稳定波数在(δ，γ)空间的分布特征(图2)，选择了6组能够代表真实的TC发展过程中可能出现的PV环结构特征的数值试验，并对该条件下系统的稳定性特征以及决定稳定性特征的MUMS的波动性质进行分析.所挑选的6组数值试验如表1所示，其中Exp.1和Exp.2表征MUMS的固有频率为慢波且出现在低波数条件下，基态PV结构较宽较实，表征相对较稳定的涡旋系统；Exp.3表征具有基态PV结构适中，MUMS的固有频率为中高频波且具有3波最不稳定特征的基态涡旋系统；Exp.4的PV环结构较窄较实，MUMS出现在5波，且固有频率也为中高频波；Exp.5—6均为MUMS表现为高波数快增长率的特征，表征基态PV结构窄的基态涡旋系统.

根据标准模方法的基本思想，特征方程(3)所求得的每一个特征值及相应的特征函数可视为一个特征模态，表征不同波数特定涡旋背景场条件下的一支特征波动，其波动的结构和演变规律可由其特征值表征的波动频率以及特征函数表征的扰动振幅结构及变化来反映.当求得的特征值为复数(其实部为特征模态的特征频率，虚部为扰动增长率)且虚部大于0，说明该特征模态不稳定.

Hendricks等(2009) 指出正压不稳定增长的动能来源于基态涡旋，增长最快的模态(增长率最大的不稳定模态)与其他不稳定模态相比，能够更快地从基流中获得大部分能量得到发展，因此系统的初始稳定状态可以用增长最快的模态来表征.考虑到方程(3)的解为特定波数下所有特征模态的集合，为了更加准确地描述系统稳定性特征，本文定义了两个概念.首先，在特定基态背景场条件下将所有波数下(1～10波)增长率最大的不稳定模态定义为系统最不稳定模态(the Most Unstable Mode of System：MUMS)，可以表征系统初始稳定性的强弱， MUMS所对应的波数n即为最不稳定波数(the Most Unstable Wavenumber：MUWN)；第二，将特定波数下增长率最大的特征模态定义为特定波数下增长最快的模态(the Fastest Growing Mode for Wavenumber n：FGM_ n).

从基流径向涡度分布可以看出，固定中空度后各组试验眼心处的相对涡度相等，而宽度δ值越大对应的相对涡度大值区越小，表征PV环越窄(图1a)；而固定宽度时，各组试验中相对涡度大值区的径向宽度相同，而中空度γ值越大对应的眼心处相对涡度越大且与涡度大值区差异越小，表征PV环越实(图1b).从基流切向风速的径向分布可以看出(图1c，1d)，基流最大切向风速以及最大风速半径均相同，即在半径40 km处径向速度达到最大为40 m·s-1，说明本文主要研究发展成熟、达到台风强度标准且具有完整的涡旋结构的类TC涡旋系统.由于具有中空涡旋结构的系统切向风速具有其风速切向增长率随半径增大而增大并在RMW内侧达到极值的特点(Zhong and Zhang，2014)，因此基态涡旋的不同结构，造成其近内核区域风速发生斜率增大的位置及风速增大曲线的下凹程度存在较明显的差异.在基流切向风速从眼心向外增大达到最大风速的过程中，当中空度的值相同时，宽度值越大，出现风速斜率增大的半径越靠近最大风速半径，变化后的风速切向增长率也越大，风速曲线下凹程度越明显(图1c)；当宽度的值相同时，中空度值越大，近中心区域风速曲线下凹程度越弱，说明风速切向增长率变化越小(图1d).

表1 6组试验典型基态PV结构参数、MUWN的分布以及MUMSs的固有频率和不稳定增长率 Table 1 The structural parameters of PV rings, the MUWN, Intrinsic frequencies andgrowth rates of the MUMSs for 6 typical experiments

Exp.1Exp.2Exp.3Exp.4Exp.5Exp.6δ0.250.400.500.700.750.85γ0.700.900.500.600.200.10MUWN123546ω1.25×10-51.15×10-51.20×10-31.16×10-31.58×10-32.36×10-3GRMUMS(s-1)4.37×10-65.95×10-61.43×10-41.47×10-45.06×10-49.92×10-4

注：*表中表示MUMS的固有频率大小，GRMUMS表示MUMS的增长率.

图4 不同波数下扰动动能随时间的演变(纵坐标取对数坐标) Fig.4 Perturbation kinetic energy as a function of time for different wavenumbers (Ordinate takes log)

从扰动动能的演变情况(图4)，发现宽的PV环系统主要表现为低波数不稳定(Exp.1和Exp.2)时，扰动动能的演变存在明显初始能量调整过程，这个过程与快波的能量频散过程有关(Nolan et al.，2001)，说明了这类低频波主导的发展演变具有平衡特征的约束.而在不稳定发展阶段，低波数扰动能量的增长与Nolan等(2001)描述的代数不稳定发展过程类似，说明PV环宽且实时，主要表现为低频波动缓慢增长特征，不稳定性质更接近代数不稳定.PV环宽度适中(Exp.3)和PV环较空且较实(Exp.4)的情况，同样存在初始非平衡能量调整过程，结束后扰动动能出现快速指数型增长；当PV环窄且空时，无初始能量调整过程，说明此时出现快速增长的波动对于平衡性的约束要求较低且扰动呈明显的指数型增长.

3.2 最不稳定模态的波动特征

通过上文分析可知，不同PV结构会导致MUMS的波数和不稳定增长率出现明显差异，从而影响系统不稳定增长过程的性质.与此同时，不同PV结构条件下MUMS的固有频率量值也存在较大差异，而这种量值的差异会导致MUMS的波动性质出现不同，从而影响其扰动物理量场的配置及其传播特征(Montgomery and Lu，1997；Zhong and Zhang，2014).

由图5揭示的3类典型PV结构条件下，由MUMS特征函数决定的扰动物理量场及其相对涡散度的径向分布可知，Exp.1中1波最不稳定模态的特征函数主要在内核区域存在变化，眼心区域径向和切向风速基本保持不变，但扰动切向风的径向分布在眼墙内边界处发生不连续，扰动位势高度在内核区域具有1/2波长的波动结构且基本为正变高，在眼墙内边界处达到极大值.不稳定模态的相对涡度在眼墙内外边界均发生剧烈变化，内核区域相对涡度的量级始终远远大于散度的量值，且内核区域(42 km)内散度比位势高度落后1/2个位相即高压后部为辐合，这些特征均表现为典型VRWs的特征.

图5 不同PV典型结构条件下涡旋系统最不稳定模态的(a，c，e)特征函数及其(b，d，f)涡散度的径向分布 其中上、中、底行分别表征Exp.1、Exp.3和Exp.5中最不稳定模态的扰动径向风速(m·s-1)、切向风速(m·s-1)、 位势高度(m)以及基于特征函数计算得到的相对涡度(s-1；实线)及散度(s-1；虚线). Fig.5 Radial distribution of (a，c，e) the eigenfunction and (b，d，f) corresponding relative vorticity (s-1; solid) and divergence (s-1; dashed) for the MUMS in Exp.1 (the first line), in Exp.2 (the second line) and in Exp.3 (the third line), respectively

图6 不同PV典型结构条件下涡旋系统最不稳定模态特征函数对应的扰动位势高度(阴影，单位m)和水平扰动风矢 (单位m·s-1)的二维平面分布.其中(a)、(b)、(c)分别代表Exp.1、Exp.3和Exp.5最不稳定模态的扰动分布 Fig.6 The map plot of perturbation height (m; shaded, red is positive and blue is negative) and horizontal flow vectors (m·s-1) for the MUMS in Exp.1 (a), in Exp.2 (b), in Exp.3 (c), respectively

Exp.3和Exp.5的3波和4波最不稳定模态的特征函数的结构类似，与Exp.1中的特征函数径向分布相比，变化范围更广且波动结构更加明显，径向风速与位势高度在半径60 km范围内均具有1/2波长的波动结构，二者在眼墙内边界分别取得极小值与极大值，在眼墙内边界处径向风的结构不连续.相对涡度在眼墙内外边界处发生的量级突变跃升，以及正变高中心的后部为辐合，说明内核区域的波动结构仍然存在较为明显的VRWs的结构特征.但值得注意的是在内核区域以外，散度与涡度达到同一量级，甚至散度值大于涡度，说明该范围内位势运动占主导；同时60 km范围内存在一个正涡度中心与正变高对应，表现为惯性重力波(inertial gravity waves：IGWs)的特征，由此说明该特征模态具有物理性质不可分的混合波的特征.

从三组试验的位势高度以及水平风矢的二维平面分布可以看出(图6a)，Exp.1中MUMS的扰动位势高度大值中心主要集中分布在半径30 km范围内，而风速仅在半径22 km内明显且最大值与位势高度的大值中心对应，从二者的配置来看，正(负)变高与顺(逆时针)环流对应，表现为VRWs特征，这与上述一维径向结构分析结果一致.而Exp.3(图6b)和Exp.5(图6c)的MUMS在切向方向上分别表现为其最不稳定波数对应的扰动水平分布，Exp.3扰动位势高度在径向方向上存在两个极值中心，分别位于眼墙内外边界，对应于半径22 km和38 km附近，且内边界的极值中心较强，外边界的极值中心较弱，而Exp.5位势高度的大值区位于眼墙；结合风场配置来看，Exp.3和Exp.5分布基本一致，最大风速半径内侧扰动正(负)变高与顺(逆)时针环流对应，具有较好的平衡性，而在最大风速以外较远区域出现明显的穿越等高线的风场分量，具有较为明显的位势运动，说明较高波数的MUMS表现为混合波的特征.

通过对不同PV廓线下最不稳定模态的特征函数结构分析，发现对于弱不稳定的PV环来说，1波不稳定的特征波动以VRWs为主，而对于不稳定的PV环来说，高波数不稳定的特征波动混合波性质明显，这与Zhong和Zhang(2014)得到的结论一致.

与实体商店通过实实在在地陈列真实商品开展销售不同，通过网络销售的产品是通过在网络上展示美观的商品图片来吸引消费者并促进销售。但美观、漂亮只是品牌在网络上视觉呈现的一个基本条件，品牌的塑造是动态的、有创意的、能够体现感情诉求的工程，这不是靠仅仅通过制作出漂亮的产品图片就能实现的。

4 结论

基于正压浅水模型，在给定涡旋基态切向风速的大小和位置的前提下，通过设置能够描述基态PV环结构的两个参数即宽度δ(眼墙内外边界涡度发生陡变的半径长度之比)和中空度γ(眼心相对涡度与内核区域平均相对涡度之比)的值，设计了170组关于基态涡旋PV环状结构的敏感性数值试验，讨论不同基态PV结构对系统稳定性特征的影响.

将浅水模型的数值结果与涡度守恒模式最不稳定波数的计算结果对比，发现浅水模型的计算结果基本再现了正压稳定性理论分析的结果，说明当仅考虑正压模型框架时，系统稳定性特征基本满足正压不稳定特征.浅水模型考虑了辐合辐散运动，较宽PV环结构的系统更容易出现较高波数的不稳定.利用数值解分析不同基态PV结构下涡旋系统最不稳定模态(MUMS)的特征频率和不稳定增长率及其对应的最不稳定波数(MUMWN)，发现基态PV结构对MUMS的波动频率、不稳定增长率的大小及其最不稳定波数具有关键影响.当PV环很宽(δ≤0.30)时，系统主要表现为1波最不稳定；当PV环具有中等宽度且中空度较实时，系统表现为2波最不稳定.低波数最不稳定的涡旋系统，其MUMS为低频波，不稳定增长率小，表现为弱不稳定.当PV环较窄，最不稳定波数与PV环的中空度呈正相关，即PV环越实，最不稳定的波数越高.当PV环较窄较空时，系统表现为高波数最不稳定且MUMS均为中高频波动，不稳定增长率随PV环宽度变窄和变空而明显增大.

讨论不同基态PV结构下最不稳定波数的扰动动能演变及其决定稳定性特征的MUMS的波动性质，发现对PV环较宽，低频波主导的扰动发展演变具有平衡特征的约束，且扰动能量增长缓慢，不稳定性质更加接近代数不稳定，这类PV环结构下动力不稳定造成的扰动增长对系统影响相对较小.当PV宽度适中或者PV环较窄且较实的情况，初始非平衡能量调整结束后，不稳定增长表现为指数型增长，系统对动力不稳定的响应时间为9小时左右.对于窄且空的PV环，MUMS的平衡性约束趋向弱化，同时不稳定增长表现为明显的指数型增长，且由于不稳定增长率大使得系统对不稳定的响应时间短.结合不同PV结构下MUMS特征函数决定的扰动物理量场的配置，发现对于弱不稳定的PV环来说，低波数波最不稳定的特征波动具有典型VRWs特征；而对于强不稳定的PV环来说，高波数不稳定的特征波动混合波性质明显.下一步在已有工作的基础上，利用模态分析深入研究不同基态PV结构下稳定性对系统强度和结构变化的影响机制.

References

Abdullah A J. 1966. The spiral bands of a hurricane: A possible dynamic explanation. J. Atmos. Sci., 23(4): 367-375.

Chen Y S, Brunet G, Yau M K. 2003. Spiral bands in a simulated hurricane. Part II: Wave activity diagnostics. J. Atmos. Sci., 60(10): 1239-1256.

Ford R. 1994. The instability of an axisymmetric vortex with monotonic potential vorticity in rotating shallow water. J. Fluid Mech., 280: 303-334.

Guinn T A, Schubert W H. 1993. Hurricane spiral bands. J. Atmos. Sci., 50: 3380-3404, doi: 10.1175/1520-0469(1993)050〈3380:HSB〉2.0.CO;2.

Hendricks E A, Schubert W H, Taft R K, et al. 2009. Life cycles of hurricane-like vorticity rings. J. Atmos. Sci., 66(3): 705-722, doi: 10.1175/2008JAS2820.1.

Hendricks E A, Schubert W H. 2010. Adiabatic rearrangement of hollow PV towers. J. Adv. Model. Earth Syst., 2(4): 8, doi: 10.3894/JAMES.2010.2.8.

Hendricks E A, Mcnoldy B D, Schubert W H. Observed Inner-Core Structural Variability in Hurricane Dolly (2008).Monthly Weather Review, 2012, 140(12): 4066-4077.

Hendricks E A, Schubert W H, Chen Y H, et al. Hurricane Eyewall Evolution in a Forced Shallow-Water Model.Journal of the Atmospheric Sciences, 2014, 71(5):1623-1643.

Holton J R. 2004. An Introduction to Dynamic Meteorology. 4th ed. San Diego, CA: Academic Press.

Huang R X, Chao J P. 1980. The linear theory of spiral cloud bands of typhoon. Scientia Atmospherica Sinica (in Chinese), 4(2): 148-158.

Kossin J P, Schubert W H. 2001. Mesovortices, polygonal flow patterns, and rapid pressure falls in hurricane-like vortices. J. Atmos. Sci., 58(15): 2196-2209, doi: 10.1175/1520-0469(2001)058〈2196:MPFPAR〉2.0.CO;2.

Kurihara Y. 1976. On the development of spiral bands in a tropical cyclone. J. Atmos. Sci., 33(6): 940-958, doi: 10.1175/1520-0469(1976)033〈0940:OTDOSB〉2.0.CO;2.

Kwon Y C, Frank W M. 2005. Dynamic instabilities of simulated hurricane-like vortices and their impacts on the core structure of hurricanes. Part I: Dry experiments. J. Atmos. Sci., 62(11): 3955-3973, doi: 10.1175/JAS3575.1.

Liu S, Zhong W, Liu J C, et al. 2015. The contribution of structure and evolution of potential vorticity tower to the intensity change of Hurricane Wilma (2005). Chinese Journal of Geophysics (in Chinese), 58(5): 1513-1525, doi: 10.6038/cjg20150505.

MacDonald N J. 1968. The evidence for the existence of Rossby-like waves in the hurricane vortex. Tellus, 20(1): 138-150, doi: 10.1111/j.2153-3490.1968.tb00358.x.

Martinez Y H, Brunet G, Yau M K. 2010. On the dynamics of two-dimensional hurricane-like vortex symmetrization. J. Atmos. Sci., 67(11): 3559-3580.

Menelaou K, Yau M K, Martinez Y. 2013a. Impact of asymmetric dynamical processes on the structure and intensity change of two-dimensional hurricane-like annular vortices. J. Atmos. Sci., 70(2): 559-582, doi: 10.1175/JAS-D-12-0192.1.

Menelaou K, Yau M K, Martinez Y. 2013b. On the origin and impact of a polygonal eyewall in the rapid intensification of Hurricane Wilma (2005). J. Atmos. Sci., 70(12): 3839-3858, doi: 10.1175/JAS-D-13-091.1.

Möller J D, Montgomery M T. 1999. Vortex Rossby waves and hurricane intensification in a barotropic model. J. Atmos. Sci., 56(11): 1674-1687, doi: 10.1175/1520-0469(1999)056〈1674:VRWAHI〉2.0.CO;2.

Möller J D, Montgomery M T. 2000. Tropical cyclone evolution via potential vorticity anomalies in a three-dimensional balance model. J. Atmos. Sci., 57(20): 3366-3387.

Montgomery M T, Shapiro L J. GeneralizedCharney-Stern and Fjortoft Theorems for Rapidly Rotating Vortices. Journal of the Atmospheric Sciences, 1995, 52(10):1829-1833.

Montgomery M T, Kallenbach R J. 1997. A theory for vortex Rossby-waves and its application to spiral bands and intensity changes in hurricanes. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 123(538): 435-465, doi: 10.1002/qj.49712353810.

Montgomery M T, Lu C G. 1997. Free waves on barotropic vortices. Part I: eigenmode structure. J. Atmos. Sci., 54(14): 1868-1885, doi: 10.1175/1520-0469(1997)054〈1868:FWOBVP〉2.0.CO;2.

Montgomery M T, Vladimirov V A, Denissenko P V. 2002. An experimental study on hurricane mesovortices. J. Fluid Mech., 471: 1-32.

Montgomery M T, Nicholls M E, Cram T A, et al. 2006. A vortical hot tower route to tropical cyclogenesis. J. Atmos. Sci., 63(1): 355-386

Nolan D S, Montgomery M T. 2000. The algebraic growth of wavenumber one disturbances in hurricane-like vortices. J. Atmos. Sci., 57(21): 3514-3538, doi: 10.1175/1520-0469(2000)057〈3514:TAGOWO〉2.0.CO;2.

Nolan D S, Montgomery M T, Grasso L D. 2001. The wavenumber-one instability and trochoidal motion of hurricane-like vortices. J. Atmos. Sci., 58(21): 3243-3270, doi: 10.1175/1520-0469(2001)058〈3243:TWOIAT〉2.0.CO;2.

Nolan D S, Montgomery M T. 2002. Nonhydrostatic, three-dimensional perturbations to balanced, hurricane-like vortices. Part I: Linearized formulation, stability, and evolution. J. Atmos. Sci., 59(21): 2989-3020, doi: 10.1175/1520-0469(2002)059〈2989:NTDPTB〉2.0.CO;2.

Nolan D S, Grasso L D. 2003. Nonhydrostatic, three-dimensional perturbations to balanced, hurricane-like vortices. Part II: Symmetric response and nonlinear simulations. J. Atmos. Sci., 60(22): 2717-2745.

Persing J, Montgomery M T, McWilliams J C, et al. 2013. Asymmetric and axisymmetric dynamics of tropical cyclones. Atmos. Chem. Phys., 13(5): 13323-13438, doi: 10.5194/acpd-13-13323-2013.

Reasor P D, Montgomery M T, Marks F D, et al. 2000. Low-wavenumber structure and evolution of the hurricane inner core observed by airborne dual-Doppler radar. Mon. Wea. Rev., 128(6): 1653-1680, doi: 10.1175/1520-0493(2000)128<1653:LWSAEO>2.0.CO;2.

Reasor P D, Montgomery M T, Grasso L D. 2004. A new look at the problem of tropical cyclones in vertical shear flow: Vortex resiliency. J. Atmos. Sci., 61(1): 3-22.

Rozoff C M, Kossin J P, Schubert W H, et al. 2009. Internal control of hurricane intensity variability: The dual nature of potential vorticity mixing. J. Atmos. Sci., 66(1): 133-147, doi: 10.1175/2008JAS2717.1.

Schecter D A, Montgomery M T, Reasor P D. 2002. A theory for the vertical alignment of a quasigeostrophic vortex. J. Atmos. Sci., 59(2): 150-168.

Schubert W H, Montgomery M T, Taft R K, et al. 1999. Polygonal eyewalls, asymmetric eye contraction, and potential vorticity mixing in hurricanes. J. Atmos. Sci., 56(9): 1197-1223, doi: 10.1175/1520-0469(1999)056〈1197:PEAECA〉2.0.CO;2.

Shapiro L J, Montgomery M T. 1993. A three-dimensional balance theory for rapidly rotating vortices. J. Atmos. Sci., 50(19): 3322-3335.

Wang Y Q. 2002a. Vortex Rossby waves in a numerically simulated tropical cyclone. Part I: Overall structure, potential vorticity, and kinetic energy budgets. J. Atmos. Sci., 59(7): 1213-1238, doi: 10.1175/1520-0469(2002)059〈1213:VRWIAN〉2.0.CO;2.

Wang Y Q. 2002b. Vortex Rossby waves in a numerically simulated tropical cyclone. Part II: The role in tropical cyclone structure and intensity changes. J. Atmos. Sci., 59(7): 1239-1262, doi:10.1175/1520-0469(2002)059〈1239:VRWIAN〉2.0.CO;2.

Wang Y Q. 2009. How do outer spiral rainbands affect tropical cyclone structure and intensity?. J. Atmos. Sci., 66(5): 1250-1273.

Yang B, Wang Y Q, Wang B. 2007. The effect of internally generated inner-core asymmetries on tropical cyclone potential intensity. J. Atmos. Sci., 64(4): 1165-1188, doi: 10.1175/JAS3971.1.

Yau M K, Liu Y B, Zhang D L, et al. 2004. A multiscale numerical study of Hurricane Andrew (1992). Part VI: Small-scale inner-core structures and wind streaks. Mon. Wea. Rev., 132(6): 1410-1433, doi: 10.1175/1520-0493(2004)132〈1410:AMNSOH〉2.0.CO;2.

Zhang L F, Zhang M. 1992. Wave-CISK and symmetric instability. Scientia Atmospherica Sinica (in Chinese), 16(6): 669-676.

Zhong W, Zhang D L, Lu H C. 2009. A theory for mixed vortex Rossby-gravity waves in tropical cyclones. J. Atmos. Sci., 66(11): 3366-3381, doi: 10.1175/2009JAS3060.1.

Zhong W, Lu H C, Zhang D L. 2010. Mesoscale barotropic instability of vortex Rossby waves in tropical cyclones. Adv. Atmos. Sci., 27(2): 243-252, doi: 10.1007/s00376-009-8183-7.

Zhong W, Zhang D L. 2014. An eigenfrequency analysis of mixed Rossby-Gravity waves on barotropic vortices. J. Atmos. Sci., 71(6): 2186-2203, doi: 10.1175/JAS-D-13-0282.1.

附中文参考文献

黄瑞新, 巢纪平. 1980. 台风中螺旋云带的线性理论. 大气科学, 4(2): 148-158.

刘爽, 钟玮, 刘继晨等. 2015. 位涡塔结构及演变对飓风Wilma(2005)强度变化的影响. 地球物理学报, 58(5): 1513-1525, doi: 10.6038/cjg20150505.

张立凤, 张铭. 1992. Wave-CISK与对称不稳定. 大气科学, 16(6): 669-676.