氢分子H2是最简单的电中性分子,仅含有两个原子核和两个核外电子. 但是利用量子力学求解氢分子的基态能量却比较复杂[1,2],这使得初学者在学习和理解共价键的物理图像上存在一定困难. 虽然玻尔的量子理论存在局限性,但是其物理图像简单明了并能成功地说明氢原子光谱的规律性. 本文利用玻尔的量子理论计算氢分子的基态能量,可以为初学者学习共价键的物理本质提供一个简单清晰的半经典物理图像.

墓穴被封上了。老巴被扶上去敬了香。然后他点燃了鞭炮。响声瞬间震撼整个墓区，碎纸随风扬起，阳光仿佛也在抖动。

根据玻恩-奥本海默近似,在讨论电子运动时,原子核间的相对距离L视为参量,那么氢分子的能量可表示为

唐卡是藏族文化中一种独具特色的绘画艺术形式，具有浓郁的宗教色彩和独特的艺术风格。其画面不仅表现出抽象的佛教理论，反映了藏传佛教的内容，更体现了西藏地区的历史、地理、传说、文化、科技等，是一部充满象征意义的浓缩了西藏地区文化的百科全书。自2006 年被列入我国首批非物质文化遗产后，唐卡的艺术价值和收藏价值越来越受到人们的重视[1]。

(1)

其中下标a、b指代原子核,下标1,2指代电子,Ree为两电子之间的距离. 如图1所示,以两原子核的连线作为水平中轴线,假设氢分子基态为两个电子绕中轴线做同向的匀速率圆周运动. 根据氢原子的对称性,两个电子的轨道半径相同,两个轨道面对称地分布在原子核连线中点的两侧. 为使系统能量最低,两个电子必然分布在中轴线对侧. 为了书写简洁,可以利用玻尔半径a0=4πε0h2/mee2,氢原子基态能量以及玻尔速率对式(1)进行改写,得到氢分子基态的约化能量ε≡E/|E0|为

(2)

其中υ≡v/v0为电子的约化速率,各约化长度l≡L/a0,r≡R/a0如图1所示. 图中r为电子轨道半径,x为两原子核连线中点到电子轨道平面的距离,0≤x<l/2.

图1 氢分子基态示意图

每个电子都受到3个库仑力,其中包括来自于两个原子核的吸引力和以及来自另一个电子的排斥力方向如图1所示. 这3个力的合力在水平方向上分量为0,即

(3)

这3个力的合力在垂直于水平方向上提供向心力,即

(4)

另外,根据玻尔的轨道量子化条件,即电子运动的角动量只能是h的整数倍,可知基态满足

υr=1

(5)

利用直角三角形几何关系联立式(3)—式(5)可求解出x、r和υ随l的变化关系,其图像绘于图2(a)和(b)中. 从图2中可以看到,当两个原子核距离很远(l→)时,x/l→1/2,r→1. 说明这时整个系统可看成两个独立的氢原子,每个电子都围绕着各自的原子核在玻尔轨道上运行. 随着l减小,x/l的值也随之单调减小,说明另一个原子使得电子轨道向两原子中心偏移. 当l<1.20时,x的解恒为0,此时两个电子共用一个圆轨道,并且轨道平面处于两原子核正中间,说明共价键已经形成. 需要说明的是根据泡利不相容原理,共用同一个轨道的两个电子的自旋必为反平行. 将x(l)、r(l)和υ(l)代入式(2),可得到系统总能量(l),其图像绘于图2(c)中.(l)-l曲线在l=l0=1.10处呈现极小点,因此可以形成束缚态H2. 能量最低处两原子核间距1.10a0=58.2 pm,约为H2分子键长的实验值74.2 pm的80%. 能量最小值(l0)=-2.20|E0|=-29.9 eV,与用量子变分法求出的-30.98 eV[1]十分接近.

图2 氢分子电子轨道位置x,轨道半径r以及系统能量与核间距l的关系.(a)中插图为电子轨道示意图

共价键的量子理论指出,成键的两个原子各贡献一个电子,这两个电子的波函数的空间部分是对称的,而自旋部分是反对称的. 在两个原子核之间的空间区域中的“电子云”密度较大,它与两个原子核都有较强的吸引力,从而将两个原子结合在一起. 本文中虽然采用的是半经典的玻尔量子理论,但是其结果在定性上与量子理论的结果一致,定量上虽然有偏差但也接近,因此具有一定的教学意义.

参考文献：

[1] 曾谨言. 量子力学(卷I) [M]. 北京: 科学出版社,2007: 480-491．

[2] 苏汝铿. 量子力学[M]. 北京: 高等教育出版社,2002: 355-361．