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石墨烯包裹纳米线体系的等价参数以及法诺共振的计算与讨论

更新时间:2016-07-05

石墨烯是一种只有单原子厚的2维光电材料,由于其零带隙的结构特性,使得载流子具有较高的迁移速率,因此石墨烯的导电、热本领极强.近年来,石墨烯一直是理论和实验研究的热门,其中有一部分是研究石墨烯包裹其他基质材料结构的的光传输特性,比如说研究石墨烯层状结构的古斯汉森位移[1]、研究石墨烯包裹介电柱的表面等离极化波的传播[2]以及石墨烯包裹介电球浸没在基质材料这种复合结构的光学双稳现象[3]等等,在这些结构中,由于石墨烯的厚度远远小于被包裹材料的厚度或者半径,所以石墨烯是被看成极薄的导电层,它只影响材料与外部环境交界面处电磁场的连续性并通过边界条件体现出来.结合这种思想,我们提出了石墨烯包裹介电纳米线平行无序嵌入介质材料的复合体系,通过Mie全波散射理论[4],建立了该复合结构的有效介质理论[5],并在长波近似条件下推导出了石墨烯包裹介电柱的等价介电常数和磁导率,得到了相应的等价电磁材料.通过数值分析对比,我们发现等价电磁材料的光散射谱与复合结构的谱线完美拟合在一起,这意味着我们可以通过分析等价结构的散射特性来解释复合结构散射谱线中的一些物理现象,所以结合等价参数我们找到了复合结构发生共振及隐身的条件,并通过调节复合结构的参数实现了可调节的隐身、共振.我们得到的结果使得我们提出的复合结构能够被设计成特定波段下的隐身器件、增强散射子以及传感器.

1 理论推导

首先我们考虑图1(a)所示的复合结构,该结构中石墨烯包裹的介电柱被杂乱地平行嵌入背景材料中.介电柱和背景材料的介电常数及磁导率分别为εc,μcεs,μs.且介电柱在背景材料中的体积占比为f.为了研究该复合体系的有效介电常数εeff和有效磁导率μeff,我们采用有效介质理论[5],将此问题转化成核壳纳米柱的散射问题.此核壳纳米柱的核壳材料分别为图1(a)中的石墨烯包裹的介电材料εc,μc,以及周围介质材料εs,μs,该核壳纳米柱处于介电常数εeff、磁导率μeff的有效介质中,如图1(b)所示. 此时, 在为有效介质中的波矢, ω为入射波角频率)条件下,如果核壳纳米柱在有效介质中的散射即为0, 即核壳纳米柱对电磁波的散射效果和有效介质一致,那么从光散射的角度,我们可以用有效介质的介电常数εeff和磁导率μeff来表示核壳纳米柱的介电参数,从而描述图1(a)所示复合材料体系的有效介电参数.

用作牙膏凝胶剂,可替代进口的牙膏用增稠剂、触变剂(如Veegum,Laponite)。试验表明,使用国内蒙脱石含量大于97%、白度为82的高白膨润土,牙膏膏体细腻、挺括,膏体即时稠度为21 mm,灌装后挤出光泽性好。50 ℃连续放置3个月后,剖开膏体,色泽不变,没有结粒和干嘴现象,膏体表面光滑细腻。

据此,我们考虑TM(磁场方向平行于柱对称轴)极化的平面波垂直照射核壳柱的情形.根据Mie全波散射理论[4],有效介质中的场有如下表示形式:

图1 结构示意图

Hez=

E= -ikeff(ωεeff)-1exp(i

(1)

式中HezE分别磁场的轴向分量和电场的切向分量,Jn(x)和是第一类贝塞尔函数和汉克尔函数.同样地,在壳层中场的形式是:

E= -iks(ωεs)-1exp(i

(a<r<b)

(2)

式中是壳层波矢.另一方面,核壳柱的散射效率可以表示为

(3)

其中Dn(e)=Cn(e)/Bn(e)为整个核壳柱的Mie散射系数,x=keffb.值得注意的是在keffb<<1条件下,核壳柱的散射效率主要由n=0和n=1两项决定. 因此在分析核壳纳米柱在有效介质中的散射为0时,我们只需考虑D0(e)=0和D1(e)=0,或者说C0(e)=0和C1(e)=0,就能得到该核壳柱,或者说图1(a)所示的复合结构的有效介电常数和磁导率.

至此关于石墨烯包裹介电柱浸没在介质中的复合结构的有效介质理论的推导已经完成,接下去我们将对式(5)进行近似处理.首先,我们考虑条件keffb<<1.在此条件下式(4)中含keffb的项按如下近似关系进行化简:由此我们可以得到:

(4)

式中

考虑到C0(e)=0和C1(e)=0,可以从式(4)得到:

(5)

式中Dn表示石墨烯包裹介电柱的Mie散射系数,该系数具有如下形式:

(6)

其中为石墨烯表面电导率,可以表示为σ=σintra+σinter,式中σintraσinter分别是带内项和带间项,具体表达式如下[3]

经过ANSYS优化分析,可以得到3种优选尺寸方案,如表2所示。在有限元分析结果中,这3种方案在整体效果上趋于最优,分析结果如表3所示,结果符合在因素分析表中的影响曲线的取值。与初始零件相比,虽然最大等效应力和总位移方面相差不大,但是在质量上却是减少了很多。再结合这3种方案的模态分析选取最终的优化方案,模态分析数据见表4,可以看出3种方案的共振频率相差不大,均不在经编机作业频率附近。最终以质量最小原则,选取方案1,进行圆整如表5。

现实中,由于原材料、工艺等多种因素,配制的色样和标准色样不可能做到光谱曲线的完全重现,能做到的只是使所配色样和标准色样在各波长点上的光谱反射率差值达到最小。

σintra= ie2kBT[πћ2(ω+i/τ)]-1[μp(kBT)-1+

2ln(exp[-μp(kBT)-1]+1)],

(7)

式中eμpτ分别为电子电荷量,石墨烯化学势和载流子弛豫时间,实验上一般采用加偏置电压或者化学掺杂来改变这两个参量.在太赫兹频段下,满足2μpω,根据泡利不相容原理,石墨烯电子的间带跃迁被禁止,因此σσintra.同时,在室温下μp>>kBT,带内项σintra可以简化为

通过考虑边界r=b处电磁场的连续性,我们可以得到如下关系式:

综上所述,为确保输电线路内部绝缘子实际运行期间不会出现电流泄漏问题,便需电力业内部广大专业性地技术员在实际工作期间愈加关注该故障问题,通过在线式监测系统合理化地应用,对输电线路内部绝缘子实际运行期间电流泄漏问题,予以实时化地监测,切实地避免输电线路内部绝缘子运行期间有电流泄漏问题出现,让输电线路可一直维持着良好地、安全地运行状态,保证输电线路实际运行效率。

(8)

值得注意的是上式并不要求kcaksaksb很小,因此式(7)相较于传统的Maxwell Garnett有效媒质理论[6]具有很大的适用范围;同时可以发现n=0时只需对磁导率进行有效分析,对介电常数并没有要求,而n=1时则相反,所以在分析时中我们可以将n=0和1时的有效介电常数和磁导率统一为εeffμeff.接着我们如果考虑ksa<<1,ksb<<1,并将式(7)式中含ksaksb的项按上述近似关系进一步化简,可以得到与Maxwell Garnett有效媒质理论相类似的表达式:

(9)

式中f=(a/b)2为体积分数,

(10)

为石墨烯包裹介电柱的等价介电常数和磁导率,即我们可以用具有这种介电参数的电磁材料来等价的研究石墨烯包裹介电柱的光散射特性.

2 数值计算与讨论

这一部分我们将结合对图1(a)所示的复合结构的散射效率进行计算与分析,同时结合等价介电参数对石墨烯包裹介电柱的等价结构进行可行性验证与讨论.

首先我们将介电柱的半径a固定为250 nm,通过改变介电柱的介电常数ε(图2(a))以及石墨烯的化学势μp(图2(b))来观察石墨烯包裹介电柱在介质中的远场散射谱(这里需要注意的是为了简化我们将核内外的相对磁导率都设为1,而且我们考虑的颗粒尺寸较小,这种情形下散射贡献主要来源于n=1这一项).如图2所示,散射谱中既存在散射低点又存在散射高点,这意味着该结构可以实现隐身同时也可以得到散射共振.观察图2(a)可以发现,当我们增大介电柱的介电常数,复合结构的隐身点及共振点会发生红移,并且两种情形对应的波长也会随着介电常数的增大而靠近;与之相反,如果我们固定柱内介电常数而改变石墨烯的化学势,我们可以得到与图2(a)相反的变化规律,从(b)图可以看出增大石墨烯化学势的效果等同于减小柱内的介电常数.为了解释这种差异,我们分析了等价结构的散射谱,谱线以虚线的形式呈现在图2中,可以看出符合等价参数的等价电磁材料可以完美的拟合石墨烯包裹介电柱的远场散射特性,这也反映出了我们用等价参数来解释散射谱变化规律是可靠的.观察等价参数式(9)不难发现iσ/ωa这一项的实部是负值,因此当我们增大石墨烯化学势,等价介电常数值减小,得到的谱线变化规律就和图2(a)所示的减小柱内介电常数时谱线变化规律类似.同时结合等价参数,我们还可以得到复合结构隐身的条件以及共振的条件这两个条件对应的曲线在图3(a)中用短横线和点线表示.

在对图2的讨论中我们得到了通过调节介电柱的介电常数或者石墨烯的化学势可以实现对该复合结构隐身和共振的调节,同时我们也发现相应条件下的波长间隔也会随着发生变化.结合这样的变化规律,我们不难推断出如果参数选取适当的话,可能出现隐身波长和共振波长相互接近或者重合的情形,此时散射共振谱就会呈现出法诺线型.基于这个想法,我们作了散射效率随颗粒尺寸、入射波长变化的三维图像,如图3(a)所示,结合图中拟合的隐身及共振的发生条件,我们可以发现如果将石墨烯的化学势取为定值,隐身波长与共振波长会随着尺寸减小而相互靠近,这也就意味着我们可以在介电柱尺寸比较小的时候得到复合结构法诺线型的散射共振谱.接下去的讨论中为了结合实验可行性,我们将介电柱尺寸选为50 nm,并作出相应的散射效率谱线如图3(b)所示,同时我们还在图中作了相同尺寸的等价电磁材料的散射谱线,两种结构的散射共振谱线都呈现出了法诺线型,且吻合地很好.实际应用中,当法诺共振产生时,纳米结构系统的散射光谱对结构周围介质的折射率非常敏感,故法诺共振系统在基于介质折射率的传感器和滤波器设计方面有着很好的应用潜力.

图2 散射效率在(a)固定化学势μp=0.3 eV改变介电柱介电常数和(b)固定介电常数ε=5,改变化学势,两种情形下随波长的变化关系.其他参数τ=0.1 ps.

图3 (a)散射效率随介电柱尺寸与入射波长的变化的三维图;(b)介电柱尺寸固定为50 nm时散射效率随波长的变化谱线.其他参数ε=5,μp=0.3 eV以及τ=0.1 ps.

另一方面,由于介电柱介电常数与石墨烯化学势的可调性,我们还作了复合结构与等价电磁结构的散射效率在固定石墨烯化学势情形下,改变介电柱介电常数时随波长的变化关系图4(a),以及在固定介电柱介电常数情形下,改变石墨烯化学势时随波长的变化关系图4(b),通过比较我们可以发现散射效率的法诺共振谱随介电常数和化学势的变化关系仍旧与图2所示规律一样,即我们可以通过减小介电柱介电常数或者增大石墨烯的化学势来获得较大的散射效率,同时将伴随共振波长的蓝移,这些变化规律意味着我们可以改变介电常数或者化学势来实现石墨烯包裹介电纳米柱嵌入基质材料这种复合结构的可调的法诺共振.

图4 散射效率在(a)固定化学势μp=0.3 eV改变介电柱介电常数和(b)固定介电常数ε=5,改变化学势,两种情形下随波长的变化关系.其他参数a=50 nm,τ=0.1 ps.

3 小结

文章结合Mie全波理论与有效介质理论,推导了石墨烯包裹介电纳米线随机平行嵌入背景材料这样一种复合结构的有效介电参数.在长波极限下,我们得到了石墨烯包裹介电纳米线结构的等价介电常数和磁导率,通过验证分析,我们发现具有这种等价参数的电磁材料与原复合结构有相同的远场散射谱线,而且两种结构可以通过调节介电柱介电常数以及石墨烯化学势来实现可调隐身及散射共振,这意味着这种复合结构可以作为特定波段下的隐身器材或者光散射增强器件.进一步研究发现当纳米柱尺寸较小时,隐身波长与共振波长会考得很近,散射共振谱线呈现出法诺线型,并且该线型同样具有可调性,预示着该结构还能用于制造基于介质折射率的传感器和滤波器.

参考文献:

[1] Cheng M. Goos-Hänchen shift in bilayer graphene [J]. Eur Phys J B, 2012:85-89.

[2] Gao Y X, Ren G B, Zhu B F, et al. Analytical model for plasmon modes in graphene-coated nanowire [J]. Opt Express, 2014, 22(20): 24322-24331.

[3] Huang Y, Miroshnichenko A E, Gao L. Low-threshold optical bistability of graphene-wrapped dielectric composite [J]. Sci Rep, 2016, 6: 23354.

[4] Boyd R W. Nonlinear Optics [M]. Academic Press, 2003:

[5] Wu Y, Li J S, Zhang Z Q, et al. Effective medium theory for magnetodielectric composites: Beyond the long-wavelength limit [J]. Phys Rev B, 2006, 74(8): 085111.

[6] Agarwal Girish, Inguva Ramarao. Effective-Medium Theory of a Heterogeneous Medium with Individual Grains Having a Nonlocal Dielectric Function [J]. Phys Rev B, 1984, 30(10): 6108.

张凯,桑芝芳,高雷
《大学物理》 2018年第05期
《大学物理》2018年第05期文献

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