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单模损耗腔中光子的量子特性研究

更新时间:2016-07-05

无论是我国古代先哲墨子对光与影的思考,还是西方牛顿的微粒说、惠更斯的波动说、麦克斯韦的电磁说、以及近代爱因斯坦1905年提出的光量子概念,人类对于光的思考与探索从未停止.

腔量子电动力学系统是量子计算机的重要备选系统之一.在量子信息处理方面有着重要应用.光学谐振腔则是该系统的重要组成部分,可以选择特定模式的光子,而将其它模式的光子排除在外.然而孤立系统总是不存在的,光学谐振腔内部总是不可避免的要与外部环境发生相互作用而导致腔损.

众所周知,人们对光子这一概念的理解是比较困难的,所以笔者希望读者通过本文考虑的单模损耗腔中光子分布函数这一精确可解问题,加深对光子这一概念的理解.在本文的第一节中,我们回顾了光场量子化方法,并简单介绍了几种特定光场的光子数分布函数.第二节中,首先回顾了前人关于这个问题的研究结果,之后给出了数态表象下我们不同于课本的推导方法.

1 光场量子化以及光子数分布

为简单起见,我们仅考虑一维情况.考虑如图1所示的一维谐振腔,设腔轴沿z方向,腔长为L.由麦克斯韦方程组可知,如果设电场沿x方向偏振,则磁场沿y方向偏振.按照经典电磁场理论电场强度Ex(zt)可以用正则模展开为

图1 一维谐振腔中的电磁场

(1)

其中,Aj为待定常数,假设qj(t)具有长度的量纲,kj为第j个场模的波数.利用边界条件Ex(Lt)=0可以得到kj=jπ/L,(j=1,2,…).再利用电场强度与磁感应强度之间的关系:

(2)

可以得到磁感应强度的表达式为

(3)

其中为真空中光速;ωj=ckj为第j个场模的角频率;pj(t)/mj=dqj(t)/dtmj具有质量的量纲;pj(t)具有动量的量纲.在本文考虑的情况中,电磁场总能量表达式可以写为

(4)

将式(1)和式(3)带入式(4)中求积分,并令可得

(5)

其中V是腔的体积,Hj为第j个场模的能量.可以看出,在形式上一个场模与一个一维谐振子相同,参照一维谐振子量子化的方法,将qjpj看做算符,令其满足对易关系:[qjpk]=iћδjk,[qjqk]=0,[pjpk]=0.并引入光子的湮没和产生算符:

(6)

(7)

其满足对易关系:ћδjk,[ajak] 将式(6)、式(7)带入式(5)中可得

Hj

(8)

其本征方程为:Hj|n>=ћ其中|n>为光子数态.在上述讨论中我们假设谐振腔中可以容纳无穷多个模式,而单模腔则是一种只能容纳单一模式光场的光学谐振腔.单模光场的数学处理尽管简单,但却能在一定程度上反映量子光场的物理性质,所以在后面的讨论中,我们仅研究单模光场.

相干态光场自Glauber于1963年提出后,得到了广泛研究和应用.相干态是湮没算符的本征态,即a|α>=α|α>,其中α是复数.此外,可以将相干态在光子数态表象中展开为

所以相干态中的光子数分布为

(9)

其中为平均光子数.由式(9)可以看出相干态的光子数满足泊松分布.

在上一节中,我们考虑的光学谐振腔实际上是一个孤立系统.然而,在实际问题中光腔不可避免的要和周围环境发生相互作用,从而导致系统能量的耗散和相干性的消退.因此,要使理论预言能正确解释实验结果,就有必要在理论中计及耗散的影响.

由于我们关心的是单模腔场的行为,所以令耦合体系密度算符对热库求迹,从而得到光场的约化密度算符:

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(10)

此外,对于平移压缩真空态以及奇偶相干态,其相应的光子数分布各不相同.可见,光场的光子数分布是光场的重要物理特征,所以对光子数分布函数的研究就显得格外重要.

2 单模损耗腔中光场的时间演化

压缩态光场由于其某一正交相分量可以突破量子极限而被广泛应用于引力波探测、精密测量以及光通信中.压缩真空态光场中只能探测到偶数个光子,并且其光子数概率分布为

εka+bkexp[-i(ωk-ω0)t])

利用式(8),并忽略零点能,则描述腔中光场与热库耦合体系的哈密顿量可以写为:

HSωa+a

(11)

ћ

(12)

HRS

(13)

文献[3]则是将单模光场的约化密度算符在相干态表象下展开:

富察氏慢慢喝了一口水,便是不适也不愿乱了鬓发,顺手一抚,才慢慢坐直身子,叱道:“糊涂!还不请侧福晋坐下。”

文献[2]则采用量子跳跃理论给出了单模损耗腔中初始的相干光场的演化情况,当光子被腔壁吸收时:

(14)

方程(11)表示单模光场的自由哈密顿量,方程(12)表示热库的自由哈密顿量,方程(13)表示单模腔场与热库之间的相互作用.其中a(a+)为腔中量子谐振子的升降算符为热库中模式|k>的升降算符,εk表示单模光场与热库中第k个模式之间的耦合系数.定义幺正变换算符:

U=exp(-i/ћ(HR+HS)(t-t0))

HRS变换到相互作用绘景:

ћ

假设某单模损耗光腔中已经制备好了n个光子,且光场频率为ω,则腔内光场初始时处于Fock态|n>.假设谐振腔外部温度为T,则腔中光子与外部环境可以用一个振动频率为ω的量子谐振子和热库之间的相互作用来定量描述,热库由无穷多频率为ωk的量子谐振子组成,其中k=0,1,2….

(15)

在相互作用绘景中,耦合体系密度算符ρI(t)满足方程:

(16)

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R(t)=TrRρI(t)

(17)

假设初始时刻单模光场和热库尚未耦合,则初始时刻系统密度算符可以写为

ρI(0)=R(0)Γ(0)

(18)

若热库处于热平衡状态,则Γ(0)应为

(19)

对式(16)作形式积分得

(20)

将式(20)带入式(16)并应用式(17)可得光场的约化密度算符满足的方程:

(21)

假设忽略热库本身的变化,即任意时刻系统密度算符可写为ρI(t)=R(t)Γ(0).此外,在积分中用R(t)取代R(t′),即作马尔科夫近似后,我们得到广义主方程:

(22)

将式(15)、式(19)带入式(22)后得到与热库耦合的单模光场的主方程:

(23)

其中为热库处于热平衡态时的光子数期望值;γ表示腔损耗率,且当温度处于绝对零度时,所以式(23)简化为

(24)

文献[1]仅仅分析了稳态情况下单模光场的光子数分布情况,给出温度为T时光子数分布函数表达式:

(25)

其中显然当温度为绝对零度时,P0=1,Pn=0(n≠0),即单模光场处于真空态|0>.

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(26)

当光子不被吸收时,腔场演化为:

|αe-(γ/2)δt>

(27)

经过上述一系列跳跃-非跳跃演化过程后,腔场最终衰减到真空态|0>.

Htotal=HS+HR+HRS

(28)

其中P(αα*t)为光场的准概率函数.通过求解准概率函数满足的福克尔-普朗克方程,得到绝对零度时P(αα*t)的表达式:

P(αα*t)=δ(2)(α-α0e-γt/2-iωt)

(29)

其中δ(2)表示狄拉克δ函数,可以看出光场始终处于相干态,而平均光子数随时间以e指数衰减,最终光场演化为真空态.

下面,我们将在光子数态表象下给出一种不同于上述文献的方法,得到单模损耗腔光子数分布函数时间演化表达式.在Fock态表象下,对式(24)左乘刁矢<n|,右乘刃矢|n>,可以得到对角矩阵元Pn满足的方程:

Pn(t)=γ[(n+1)Pn+1-nPn]

(30)

其中Pn=<n|R(t)|n>,n=0,1,2,….实际上,Pn(t)就是单模光场在t时刻处于态|n>的概率,Pn(t)的表达式就是t时刻单模损耗腔中光子分布函数.将式(30)写成矩阵方程的形式如下:

(31)

P=[P0P1,…,Pn,…]T,则式(31)可以简写为

P=AP

(32)

易知式(32)的解为

P(t)=eiAtP(0)=BP(0)

(33)

由矩阵的指数函数定义可求得:

(34)

其中因为我们已经假设光场初始处于Fock态|n>,所以Pn(0)=1,Pm(0)=0,mn. 所以:

(35)

则任意时刻t,处于Fock态为|k>的概率(kn):

(36)

图2 量子态|k>上的布居数

如图2所示,取γ=0.9,n=3做出量子态|0>、|1>、|2>和|3>上的布居数随时间演化图像.可以看到量子态|3>上的布居数逐渐减小,并且逐渐转移到其它量子态上,并最终转移到基态上,也就是光子最终全部泄露出谐振腔.

下面考虑初始光场为相干态的情况,相干态的光子数满足泊松分布:

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(37)

将式(37)带入式(33)可得:

(38)

(39)

(40)

(41)

由式(41)可以看出光子数分布在演化过程中始终保持相干态,但平均光子数按照e指数衰减.这与文献[3]中通过将式(24)在相干态中转换为福克尔-普朗克方程求解所得到的结果是一致的.

3 结果分析

本文通过解析求解光子数态表象下单模谐振腔中与绝对温度为零的热库相互作用光子的量子力学主方程组,分别在初始光场为Fock态与相干态两种情况下得到了光子分布随时间演化的解析表达式.

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在初始光场处于Fock态|n=3>的情况下,作出了腔中光子态布居数随时间的演化图像,并且发现腔中光子最终全部泄露出谐振腔.在演化过程中,除了初始时刻与时间趋于无穷大时光子处于Fock态|n=3>和|n=0>,其它任何时刻在四个量子态上都有布居.

显然在近代中国,新式教育虽在以通商口岸为主体的少数城市有较明显的推进,但在广袤的农村仍很隔膜,城乡间近代文化教育的联系微弱,甚至呈现出明显的断层,远不足以能触动乡村经济凋敝、文化闭塞、教育落后的普遍状况。政府却依旧冷漠和无所作为,穆藕初曾尖锐地指出:“农村经济之破碎零落,已至不堪收拾之程度,此其故何在,盖徒托空言,而不务实际是也。”[32]

在初始光场处于相干态的情况下,我们发现在之后任意时刻光场始终处于相干态,只是平均光子数随时间以e指数衰减.

参考文献:

[1] 彭金生,李高翔. 近代量子光学导论 [M]. 北京:科学出版社,1996 : 113-122.

[2] 张智明. 量子光学 [M]. 北京:科学出版社,2015 : 157-173.

[3] Marlan O. Scully, M.Suhail Zubairy. Quantum Optics [M]. Cambridge: Cambridge University Press,1997 : 248-260.

白志达
《大学物理》 2018年第05期
《大学物理》2018年第05期文献

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