1 引言

哈密顿-凯莱定理也叫凯莱-哈密顿定理,是矩阵理论中最著名的理论之一[1].哈密顿—凯莱定理揭示了方阵与它对应的特征多项式的关系,对于矩阵的计算有很重要的应用,也是特征多项式所具有的重要性质[2].在现有的高等代数教材中,对于此定理没有过多的描述,对于此定理的具体应用更是几乎没有提到,但是在高等代数的学习和具体题目的解答中,此定理为解决某些具体的问题提供了独特而巧妙的方法.本文首先了给出了哈密顿—凯莱定理的一个新证明,然后结合具体例子展示了此定理在计算矩阵多项式、逆矩阵和最小多项式等方面的应用.

2 哈密顿—凯莱定理

考虑数域n-3上的n阶方阵A

③河道-湿地串联型。河道-湿地串联型河道是指在入库河道沿线分布有多个自然湿地，多个自然湿地与河段相互串联而成。其结构如图3所示。该类河道通常出现于坡降较小的区域。

把如下的矩阵

作为一个微型的生态系统，大学英语生态课堂在平衡、不平衡、再平衡之间往复循环。在传统教学中，教师是知识的主要输出者，学生单向地从教师处接受知识，构建自己的知识架构。而信息化环境下的课堂中，多媒体技术及互联网的引入为学生带来了获取知识的新方式，教师和核心作用及权威地位受到了挑战，大学英语课堂生态到达了新的不平衡阶段。

称为A的特征矩阵,其中E是n阶单位阵,λ是未知数,它的行列式fλ=λE-A叫做A的特征多项式.把fλ=λE-A=0称为A的特征方程.

定理1 [2](哈密顿—凯莱定理)设数域P上的矩阵A是一个n×n矩阵,fλ=λE-A是A的特征多项式,则

fA=An-a11+a22+…+annAn-1+…+-1nAE=0

哈密顿—凯莱定理的证明在教科书上有[2],文献[3]用数学归纳法给出了证明,文献[4]结合范德蒙德行列式给出了证明,文献[5]结合幂级数和拓扑理论给出了两种证明方法.这里用若当标准形理论给出一种新的证明方法.

证明 由于每一个复数矩阵都与一个若尔当标准形相似,并且这个若尔当标准形除去其中若当块的排列次序外是被这个矩阵唯一决定的.又由于数域P包含于复数域C,所以A也是复数域上的矩阵,也相似于一个若当标准型.不妨设有一个n×n矩阵T,使T-1AT=J,其中J是A的若尔当标准形,可写为

其中δ代表0或1,由于λ1,λ2,…,λn是A的特征值,于是

fλ=detλE-A=λ-λ1λ-λ2…λ-λn

这表明A-1仍是个对称矩阵.

TJ-λ1EJ-λ2E…J-λnET-1=

长荣股份深耕印刷装备制造领域20余年，从一个只有十几名员工的小厂发展成为拥有近2000名员工的国内印刷装备制造领军企业，并快速实现从中国制造到世界“智”造的跨越，这其中，除了与长荣股份自身强大的技术研发实力、积极有效的市场策略等因素有关之外，其与“巨人”合作，借势而上的国际化战略亦功不可没。

这个证明方法与其它的证明方法相比,有两个优点：一是理论基础很明确：任何一个复数矩阵都与一个若尔当标准形相似,这是高等代数的基本理论,大家都熟知；二是思路清晰,它的证明思路很容易被掌握,也可以用到许多证明题中.

3 哈密顿—凯莱定理的应用

哈密顿—凯莱定理对于初学者是很容易被忽略的一个定理,教材中对于此定理的应用从未提及,这往往使我们不去重视,但此定理的应用却有其独特之处,对于解决代数的很多问题都非常有帮助,近年来已经引起一些学者的关注[6-9].下面对哈密顿—凯莱定理的应用作详细的说明,并通过具体例子进一步体现该定理的应用.

3.1 计算矩阵的多项式

在高等代数中经常遇到计算矩阵的高次幂、求矩阵的多项式的问题,一般情况下,首先想到的就是矩阵的对角化,当矩阵A可对角化时,可以考虑用与A相似的对角形解题,但这种方法必须要求出特征向量,且要分别计算多项式中A的各次幂,计算过程比较复杂；当矩阵A不能对角化时,就不知道怎样有效地处理这类计算问题了；哈密顿—凯莱定理恰好能巧妙而简便地解决这类问题.

例1 设求2A8-3A5+A4+A2-4E.

解A的特征多项式

由哈密顿—凯莱定理,有

fA=A3-2A+E=0

则

gλ=2λ8-3λ5+λ4+λ2-4

则

gλ=2λ5+4λ3-5λ2+9λ+4fλ+24λ2-37λ+10

所以

水力压裂技术能增大煤矿中的煤层之间的空间，制造大量的空隙，提高煤层之间的透气性，这样能使瓦斯可以快速地消散，提高瓦斯的治理水平，不会让瓦斯突然涌出。

gA= 2A5+4A3-5A2+9A+4EfA+24A2-37A+10E=24A2-37A+10E=

此处如果用矩阵的对角形来求解,可以求得矩阵A的特征根分别为特征根中出现了无理数,从而增加了求特征向量的难度,并且直接求A的方幂也比较麻烦. 由此可以看出,此定理可以通过降低所求多项式的次数减少计算量.

注：对于此类求n阶矩阵A的高次多项式g(A)的问题,利用哈密顿—凯莱定理是方便的.首先用A的特征多项式fλ去除gλ,得gλ=qλ×fλ+rλ,然后根据哈密顿—凯莱定理有fA=0,从而gA=rA.这种把矩阵多项式的计算转化为多项式的计算的解题思想对解其他题目也有借鉴作用,下面的例题就是很好的例子.

分析 题目中并没有给出矩阵A的元素,只是给出了A满足的(方程)条件,这种矩阵叫抽象矩阵.求抽象矩阵的多项式计算问题,一般而言有两种方法,一是考虑矩阵的对角化(读者可以自行试解,在这里这种方法也可行,参见文献[10]),二是从多项式入手.

例2 若方阵A满足A2-5A+6E=0,求A100.

在85户调查者中，有高中以上学历的人员占26.2%，其余为初中及以下学历。经营面积在1.33 hm2以上的竹农均为临安农民技术带头人，还有一位获得了省级农技大师的称号。由此说明，只有提高农业生产经营者的科技知识、管理能力等素质，农业规模经营的效益才能得到保证。

解 用x2-5x+6除x100,得商qx及余式ax+b.

x100=qxx2-5x+6+ax+b

令x=2,得

2100=2a+b

令x=3,得

3100=3a+b

解之,得

a=3100-2100,b=-2×3100+3×2100

于是

A100=qAA2-5A+6E+aA+bE=3100-2100A+-2×3100+3×2100E

3.2 表示矩阵的逆矩阵

对于计算矩阵的逆矩阵的问题,如果矩阵里的元素是具体的数字,一般而言用伴随矩阵法或者初等变换法. 哈密顿—凯莱定理非常重要的应用之一就是它给出了一种独特而且方便的计算逆矩阵的方法,这种独特的方法可以把A-1以及A*表示成关于A的多项式,从而进行矩阵的下一步计算.

如果A可逆,则A的特征多项式的常数项an=-1nA≠0.

证明 设A的特征多项式为fλ=λE-A=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an,而

λE-A*λE-A=λE-AE=fλE

因为矩阵λE-A*,是由矩阵λE-A里的各个代数余子式组成的,而且都是关于λ的多项式,并且多项式的次数都小于n-1,所以可设

λE-A*=λn-1B0+λn-2B1+…+Bn-1

(1)

其中B0,B1,…,Bn-1都是n×n数字矩阵.

又

fλ=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an

令

fλE=λnE+a1λn-1E+…+an-1λE+anE

(2)

而

474 Retrospective clinical cross-sectional study on dysthyroid optic neuropathy

λE-A* λE-A=λn-1B0+λn-2B1+…+Bn-1λE-A= λnB0+λn-1B0-B1A+λn-2B2-B1A+…+λBn-1-Bn-2A-Bn-1A

(3)

比较(2)和(3),得

(4)

将(4)式代入(1)式得

λE-A*= λn-1B0+λn-2B1+…+Bn-1=λn-1E+λn-2a1E+A+…+

由哈密顿—凯莱定理知

…+λn-1+a1λn-2+…+an-1E

由表2可知，小叶茼蒿叶片的SPAD值x与叶绿素a含量y（单位：mg/g，下同）之间的相关性均表现为极显著性差异,而大叶茼蒿叶片SPAD值x与叶绿素a含量y（单位：mg/g，下同）之间的相关性则较差。“小叶茼蒿”的各个模型的相关系数普遍大于“大叶茼蒿”的各个模型的相关系数，两种茼蒿叶片相关性最大的函数关系模型都是指数函数。“小叶茼蒿”相关性最好的函数模型是y=0.0349e0.0571（xr=0.961**）；“大叶茼蒿”相关性最好的函数模型是y=0.3103e0.0087（xr=0.161）。

因为方程左右相等,并且都是以λ的式子构成的矩阵,则可以证明左右两边所对应的各个因式都是相同的,所以无论λ取何值,等式的两边肯定是相同的矩阵.令λ=0,则有

-A*=An-1+a1An-2+…+an-1E

从而

A*=-1n-1An-1+a1An-2+…+an-1E

定理2 方阵A的伴随矩阵A*可以表示成A的多项式；当A可逆时,A-1也能表示成A的多项式.

an-1E+an-2A+…+An-1An-1+λ+a1An-2+λ2+a1λ+a2An-3+

本文以一台1.2 kW某型号无人机用永磁无刷直流舵电机为例，阐述了传统作圆求点制电枢冲片梯形槽法；然后对比理想梯形槽找出差异，经分析差异对电机槽满率、热负荷、磁密、负载效率等性能的影响，得出以下结论：

fA=An+a1An-1+…+an-1A+anE=0

于是

因此得

证毕.

注：由定理2,可以得到求矩阵的伴随矩阵和逆矩阵的一种新的计算方法.定理2的结论对于判定逆矩阵的特点也有帮助.

例3 设求A*与A-1.

解 矩阵A的特征多项式为：fλ=λE-A=λ3-3λ2+2λ-1,因a3=-1≠0,所以矩阵A可逆.由定理2中求A*与A-1的公式知

A*

例4 设三级矩阵其中a,b,c为任意数,求A-1,A*和A1000.

第二种情况是对正当利益的保护有名无实。2011年修订的《非法金融机构和非法金融业务活动取缔办法》第1条明确了其以“保护社会公众利益”为目标。从文义看，融资主体的正当利益可以包括在社会公众利益之内，但因为该办法主要是取缔未经监管者批准的非法金融机构和非法金融业务活动，实际上是压制融资自由，正当利益保护名存实亡。

解A的特征多项式为

由哈密顿—凯莱定理得

fA=A3-E=0

即

A3=E

所以

AA2=E

即

A-1=A2

A*=AA-1=ε3A-1=A-1=A2

A1000=A3333A=EA=A

对于例4的求解,应用常规的对角化方法费时费力,还容易出错,但应用哈密顿—凯莱定理,简便又巧妙地解答了问题.

例5 证明：如果某个上三角矩阵或者下三角矩阵是可逆的,那么这个矩阵的逆矩阵依旧是上三角矩阵或者是下三角阵.

证 设A是一个可逆的上三角矩阵,则由定理2可知,存在多项式gλ,使A-1=gA.注意到上三角阵的和、积、数乘都是上三角阵,立即可知A-1也是个上三角阵.

同理可证可逆下三角阵的逆依然是下三角矩阵.

例6 如果一个对称矩阵或者反对称矩阵是可逆的,则它的逆矩阵还是对称矩阵或者反对称矩阵.

妻子“她立春/她立秋”一句采用比拟中拟物的修辞格，将妻子比拟为“季节”，或说是直接当做“季节”来写，她可以“立春”、“立秋”，以季节的变换来表现妻子的青春年华随岁月而流逝的悲哀。

我院临床药师2016年至2017年会诊回顾性分析……郭剑伟，法艳梅，余 梅，彭红艳，吴姗姗，杨玉仙（12）

证 设A是n阶对称矩阵并且A-1存在,则由定理2可知,存在多项式gλ,使A-1=gA,有

A-1′=gA′=gA'=gA=A-1

从而

“十年前，跑火船的前夜。那一夜，天色出奇地黑。我和小表姐都期待着明天的跑火船，所以兴奋得睡不着觉。于是我们偷偷起床，打算去柴垛旁看看自家的火船，火船还没完工，此时二表哥应该在赶工。

设B是一个n阶可逆的反对称矩阵,因为B可逆,故行列式不为零.当n为奇数时,反对称矩阵的行列式等于0,所以n必然是个偶数.

设λ是反对称矩阵B的特征值,则必有

gλ=λE-B=0

下证g-λ=0,即-λ也是反对称矩阵B的特征值.事实上,由于B是反对称矩阵,所以BT=-B, 从而

g-λ= -λE-B=-λE+BT=(-λE+B)T=(-λE+B)=

(-1)nλE-B=(-1)ng(λ)

所以 g-λ=0当且仅当g(λ)=0,即如果λ是反对称矩阵B的特征值,则-λ也是,所以B的特征多项式中只包含偶数次项

gλ=λE-B=λn+a2λn-2+…+an-2λ2+an

其中an=B≠0.

根据哈密顿—凯莱定理知gB=0,即

三月十六这天，秀容月明端着碟子往前屋走，嘟嘟嘟，头顶传来吹芦管的声音，他抬头一看，墙外柳树上坐着一人，不是乔瞧是谁？

gB=Bn+a2Bn-2+…+an-2B2+anE=0

由此可得

进一步得到

这表明B-1仍是一个反对称矩阵.

3.3 计算矩阵的最小多项式

根据哈密顿—凯莱定理,在给定的任意数域P上选定一个n阶矩阵A,在数域P中总是可以找到一个多项式fx,使得fA=0.如果多项式fx使fA=0,就称fx的根是矩阵A.当然,以A为根的多项式很多,在所有这些多项式中次数最低并且系数是1的多项式就称为矩阵A的最小多项式.此定理保证了矩阵A的最小多项式是存在的.对于矩阵A的最小多项式的计算,下面的定理是基础.

定理3[2] 设矩阵A的最小多项式是gx,那么fx以A为根的充分必要条件是gx整除fx.

根据定理3,知道最小多项式是矩阵A的特征多项式的一个因式,基于此,可以计算最小多项式.

例7 设计算A的最小多项式.

解 因为A的特征多项式为

fλ=λE-A=λ-13

由定理3可知,A的最小多项式为λ-13的因式.又A-E≠0,而A-E2=0,所以A的最小多项式为gλ=λ-12.

4 结论

文章给出了哈密顿—凯莱定理的一个新证明,详细总结了该定理在求矩阵的高次多项式、逆矩阵、最小多项式等问题中的应用.当然,此定理的应用不止这些,对于求解常系数齐次线性微分方程组的标准基解矩阵、可交换环等问题也有不少应用[11,12].哈密顿-凯莱定理是矩阵理论中最著名的理论之一,其中蕴涵着丰富的思想方法,本文的内容对应用哈密顿—凯莱定理解决问题可以起到借鉴作用.

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Abstract:A new proof of the Hamilton-Cayley theorem is given. Applications of the theorem in the calculation of matrix polynomial, inverse matrix, the smallest polynomial and so on have also been given. This paper shows that the Hamilton-Cayley theorem plays an important role in advanced algebra.

Key words:Hamilton-Cayley theorem; characteristic polynomial; inverse matrix; the smallest polynomial