1　前言

我国第一深度空间(0～500m)矿产资源的勘探进入瓶颈阶段，即浅部地表矿产、易探明矿产的勘探开发已进入尾声，老矿区及危机矿山外围区域隐伏接替资源勘探、向第二深度空间(500～2000m)延伸隐伏金属矿勘探迫在眉睫(滕吉文, 2010)。频率域地面可控源电磁勘探发展较早，其数值模拟理论与应用研究成果较多(底青云等, 2008; 闫清华等, 2016; 林承灏等, 2017)，但针对起伏地形及隐伏金属矿勘探的正反演算法及应用研究相对滞后。

当前频率域可控源电磁场数值模拟研究成果颇多，以三维大尺度勘探问题为主，但其需要解决巨型计算量及储存量问题，特别是基于微分方程数值模拟的正反演算法，昂贵的并行代价及成熟边界条件的引入是其真正实用化的关键(Da silva et al., 2012; Jahandari et al., 2014)。在大尺度电磁场问题中，结合积分方程法局部离散化数值模拟的优势，地面可控源电磁快速成像将变为可能。地面频率域可控源电磁二维正反演程序处理是目前比较普遍使用的处理技术，但可控源电磁需谨慎考虑场源影响，特别是在地形起伏复杂地区，有必要研究地形对观测数据的影响。

近年来，起伏地形对电磁勘探响应的影响逐渐引起了世界各地众多学者的关注。有关地形起伏的电磁响应模拟和应用研究成果不断涌现，如起伏地表条件下频率域、时间域航空电磁场模拟(殷长春等, 2015)、考虑海底地形的可控源电磁场模拟(Key, 2012)、起伏地形大地电磁场模拟(Lei et al., 2010; 董洁等, 2014)、地面带地形可控源电磁场模拟(Hickey et al., 2010; Imamura et al., 2014)。考虑起伏地形的电磁场正演模拟方法中，基于非结构化网格、无网格及自适应网格有限元法开展的数值模拟研究是当前的主流(董洁等, 2014; 殷长春等, 2015)，采用有限差分法(董洁等, 2014)及派生的有限体积法(Key, 2012)开展带地形电磁场模拟亦不断涌现。微分方程法模拟复杂地形和地下目标体方面具有一些明显的优势，但需要谨慎处理一些技术细节，如截断边界、积累误差、场源奇异性等。积分方程法模拟仅需要局部空间离散、求解精度高，相较于微分方程法具有独特的优势，在大尺度电磁场模拟中，这一优势更为明显(陈桂波等, 2009; 李静和等, 2012, 2014)。

式中，Sh为深部热水初始焓值；Ss为热水最终焓值；Sc为冷水焓值；SiO2h为深部热水的SiO2初始含量；SiO2h为热水SiO2的最终含量；SiO2h为冷水SiO2含量。

基于体积分方程模拟理论，复杂介质的频率域地面可控源电磁法正反演算法及其应用研究一直没有受到学者们的关注及重视，国内在这方面的研究相对滞后，但其应用前景比较可观，特别是在大尺度隐伏金属矿勘探领域，高精度、高效的地面电磁勘探解释技术需求十分迫切。本文引入积分方程“异常场”正反演算法，避免现有研究中总场算法处理地形问题；在异常场计算中使用层状介质空间作为参考模型，将地形因数加入到异常场区域；结合快速算法，引入对比源反演算法(Li et al., 2016a, b)，提高频率域地面可控源电磁正反演效率和精度。

这是一条艰苦的冲顶路，除了每年巨额资金投入，还要付出大量的精力去学习。曾在香槟区接触过这些在冲击侍酒师大师之路的人，印象深刻的是他们每到酒庄参观学习尝酒，末了总会尽量请求酒庄把酒瓶留给他们，以便撕下酒标回到酒店后继续查阅资料学习。这些“候选人”普遍都有本职工作，在繁忙工作中挤时间学习提升，需要太多的毅力。有人半途放弃，有人迷茫，有人会有被套牢的感觉，也有那么一群人坚持到最后。考级升级路上，需要进行哪些权衡和取舍？如何才能更顺利地考试升级？本期文章，我们请来三位佼佼者，给我们分享这一年来的考试升级路。

2　可控源电磁法正演

2.1　积分方程

如图1所示，考虑二维电磁剖面观测，背景介质为层状介质，层序号从上往下沿Z轴正方向编排，层电导率值为σ1,...,σm,σn,...，层界面深度为z1,...,zm,...；目标体埋藏于第m层中，电导率值为σ；模型中第一层为空气，即σ1=1e+20；若干长导线电性源放置于地面，平行于Y轴；若干接收装置放置于地下不同深度，接收电磁场。对于以上TMy模式，考虑电场积分方程，则位于第n层的点观测的总电场可表示为该点一次场与二次场之和(李静和, 2015)：

带地形的积分方程频率域地面可控源电磁模拟采用异常场计算方法实现。如图2所示，起伏地形下层状介质背景中目标体模型(图2a)简化为纯层状介质背景参考模型(图2b)，用于计算公式(1)中的一次场；以及包括起伏地形和目标体的异常场剖分区域(图2c)，利用公式(2)，用于计算异常场，即将地形亦视为异常体。通过求解公式(3)，即正演模拟得到的总场为起伏地形和存在的目标体模型综合响应。相比较现有的研究分离或矫正地形电磁响应算法，通过这种方法可方便模拟地形起伏条件下可控源电磁场响应。

(1)

上式中，Ey,n为总电场，为层状介质中一次场，为异常体散射场，单位V/为二维空间位置。由感应电流Jy所引起的散射场可写为：

图1　模型示意图 Fig. 1　Sketch of model

(r,r')Jy(r')dr'

(2)

其中D为网格剖分区域，G(r,r')为二维的并矢格林函数(李静和, 2015)。引入异常电导率表达式Δσ(r')=σ(r')-σm(r')，则可得到第二类奇异、非齐次费雷德霍姆电场积分方程：

(r,r')Δσ(r')Ey(r')dr'

(3)

“你发现得好晚，我还以为你早就明白这一点呢。”威尔向她眨了眨眼，“现在我知道为什么你没选博学派了，原来你智商有点低，对不对？”

注意到，网格剖分区域D同样满足式(3)，即r∈D，利用稳定型双共轭梯度(BCGS)求解，即可得到散射体内任一点的总场，根据式(3)可求散射体外任意一点的散射场。

2.2　地形模拟

招聘需求人数规模度指标用来表征岗位的人数需求紧缺度，即岗位在同行业中的人数需求紧缺情况。计算方法是先对招聘需求实际人数进行修正，修正值为招聘需求人数和发布频率的比值。招聘需求人数规模度指标为岗位招聘需求人数修正值和岗位所在细分领域内招聘需求人数修正值总和的比值。发布频率指标用于表征岗位招聘需求在时间上的紧缺程度，意思是平均每家公司每天发布的岗位需求情况，计算方法是招聘发布公司数量和发布天数的乘积比招聘发布条数。

3　可控源电磁法反演

3.1　反演理论

如前所述，采用积分方程异常场方法模拟带起伏地形可控源电磁场响应，其相应反演算法需谨慎处理异常剖分区域(图2c)内包含的空气介质及考虑特殊边界条件。现有的Born近似及其扩展型迭代反演(Jia et al., 2014)、OCCAM反演(陈清, 2011)和共轭梯度反演(龙剑波, 2014)等算法直接对反演区域物性参数成像，在本文积分方程正演模拟基础上，上述反演算法对截断边界等约束条件以及初始模型信息依赖度较高。对此，本文引入对比源理论开展带地形可控源电磁反演，其可视为感应电流源，表示为：

上式中，Ey,n为总电场，为层状介质中一次场，G(r,r')为二维的并矢格林函数，Δσ(r')=σ(r')-σm(r')为异常电导率单位S/m，为二维空间位置。

w=χE

(4)

其中，j=1,…,Jf为频率的个数，、为实测及模拟电磁场响应；目标函数第一部分为观测数据项，第二部分为剖分区域物性参数项；每次最优化过程先后在对比源空间和物性对比度空间进行；两个参数空间既相互独立又彼此具有联系性，因而，反演算法为非线性求解过程(李静和, 2015)。

Φ

(5)

与对比源函数相关的对比度函数χ=σ/σm-1。可见，对于异常剖分区域(图2c)中的空气介质而言，相应的对比度为1；其他非空气介质且与所在层位介质电性参数不一致的目标体对比度不等于1。即反演参数之间差距较小，有利于快速收敛。最优化对比源及对比度函数的过程为求解以下目标函数的解：

对比源反演算法中，搜索最优解过程中涉及的目标函数偏导数由内积及伴随算子计算，不涉及雅可比矩阵求逆过程；不涉及病态矩阵求逆过程，反演效率提高，同时也不需要正演算子，每次迭代由矩阵相乘更新电磁场。快速傅里叶变换算法的引入，加速了反演迭代过程；多次迭代所需耗时远远小于其他需要求解病态雅可比矩阵逆过程的反演算法所需时间，特别是在大尺度电磁场问题中，优势更加突出。

图2　积分方程异常场地形模拟示意图 Fig. 2　Sketch of modeling anomaly field with topography a-起伏地形模型;b-层状介质参考模型;c-异常剖分区域 a-topography; b-layered medium;c-calculated domain

3.2　快速算法

其中，使Gc(r,r')、Gcr(r,r')在X和Z方向具有空间平移不变性，结合积分方程核可在X方向使用卷积运算和在Z方向使用相关运算，由此，积分核的计算通过使用FFT得到加速，计算复杂度由矩量法的O(N2)降低为O(NlogN)。

G(r,r')=Gc(r,r')+Gcr(r,r')

(6)

当采用图2所示积分方程异常场方法模拟带地形频率域可控源电磁响应，囊括地形及目标体的剖分区域要比常规只包含目标体区域剖分大，加之实测中多采用多频率采集系统，需要考虑正反演计算效率及存储问题。为此，本文在正演模拟过程引入快速傅里叶变换(FFT)算法，降低计算量及存储量要求。其实现过程需要将积分方程计算中涉及的并矢格林函数作分解处理(李静和, 2015)：

一个自然问答系统需要接受用户使用自然语言输入的问题，通过与外部知识库进行交互，生成另个自然语言形式的答案。它是一个典型的序列转化任务，可以使用序列到序列学习(简称为“序列学习”)框架建模[10]。例如，如图1所示，对于问题“诗人泰戈尔有什么成就?”，为了生成正确、一致、流利的自然答案，系统需要首先识别问题中的主要主题实体“泰戈尔”，进而从外部知识库中检索出能够回答该问题的事实(泰戈尔，主要成就，诺贝尔文学奖)，最后基于匹配的事实和输入问题自动生成答案正确、内容丰满、形式自然的答案“印度作家，诺贝尔文学奖获得者”。

4　算法验证

4.1　正演模拟验证

因典型层状介质模型电性变化是一维的，因而模拟结果可通过一维积分解数值结果检验其可靠性。本文将正演模拟结果与Anderson提出的数值滤波法(Anderson, 1979)计算结果对比验证。图3为三层层状介质模型示意图，地面上实线半圆为模拟起伏地形，虚线为Anderson程序计算无地形纯层状介质模型。单位电流强度线源(星号)平行于Y轴，坐标为(-580m, 200m)，激发频率为5Hz；为了消除高度差异引起的场值响应差异，设计若干接收点(实心点)位于地面以上200m，X轴分布为-500～500m，点距50m。层状厚度及电导率如图所示。图4为本文积分方程(IE)与Anderson程序计算电场总场响应对比。当接收点位于起伏地形两端，地形影响减弱，两种方法计算结果吻合较好；地形上方接收点受起伏地形影响明显，其靠近场源一侧受干扰较大。总体上，图4所示正演模拟对比验证了本文方法的正确性。

图3　带地形三层层状介质模型示意图 Fig. 3　Sketch of three layered medium model with topography

图4　正演模拟验证 Fig.4　Validation of forward modeling by IE code and Anderson code

4.2　反演算法验证

图5所示为均匀半空间中大尺度高阻模型反演结果，采用地面频率域可控源电磁观测系统，用于验证本文反演方法的有效性。均匀半空间介质电导率为0.5S/m，目标体电导率为0.0315S/m；两个目标体形状及位置如图5a所示。若干平行Y轴线源(叉符号)和接收点(实心点)位于地面，单位电流强度场源激发频率为0.0625Hz、0.25Hz、1.0Hz；虚线框为积分方程剖分区域12.5km×2km，网格数为260×24。如图5b所示，反演结果基本还原了真实模型的位置和电导率分布，对真实模型的细小变化亦具有较好的分辨能力。为了进一步验证反演方法的有效性，文中图示了Abubakar等利用有限差分正演、高斯-牛顿反演方法同等规模、相同介质电导率分布模型反演结果，如图6所示。其中，有限差分剖分范围40km×4km，网格数为800×160，各方向截断边界处理外加30个网格。在反演拟合误差均小于1%基础上，对比图5b和图6b，本文反演方法具有与高斯-牛顿反演方法同等的分辨能力，但后者剖分区域规模、剖分成本及后续涉及的计算量、存储量代价远远高于本文方法，显示了本文所有反演方法的可行性及有效性。

综上各种因素，朝藿定B、朝藿定A、朝藿定C、淫羊藿苷、木犀草素、槲皮素、川陈皮素、山柰酚、宝藿苷Ifs/i的RSD依次为0.30%、0.81%、1.11%、0.79%、2.24%、0.80%、2.96%、0.57%和1.35%，表明该方法各成分fs/i耐用性较好。

图5　本文反演算法大尺度模型(a)及反演结果(b) Fig. 5　(a) Large-scale model without topography for inversion validation; (b) Inversion result using the 2D fast algorithm 图中黑色叉符号为场源，黑色实心点为测点位置；虚线 框为剖分区域(D) Black crosses denote field sources. Black dots denote receivers. D is calculation domain

图6　高斯-牛顿法大尺度模型(a)及反演结果(b) (单位：Ω·m，取对数；Abubakar et al., 2013) Fig. 6　(a) Large-scale model without topography for inversion using the G-N algorithm;(b)Inversion result (unit: Ω·m, in logarithm ,Abubakar et al., 2013) T-场源;R-测点位置 T-field sources; R-receivers

5　带地形模型算例

图7为带地形双矩形目标体模型反演结果。采用地面频率域可控源电磁采集系统，单一线源(白色叉符号)位于地面(500, 400)处，激发频率为1、2.5、5、10、25Hz；若干接收点依据地形起伏分布(红色实心点)。空气电导率为0，即图中黑色部分。图7a为低阻模型(0.1S/m)位于均匀介质(0.02S/m)；图7b为低阻模型反演结果；图7c为高阻模型(0.01S/m)位于均匀介质(0.02S/m)；图7d为高阻模型反演结果。可见，在本文设计观测系统基础上，靠近场源、位于地形开始位置的矩形模型受地形影响小，还原效果较好；远离场源、处于山脊内矩形模型受地形对电磁场削弱影响较大，反演结果仅能定性指示矩形模型的存在。总体上，单一场源条件下，反演结果对有效照明范围内的目标体能较好地恢复；相比较高阻模型反演结果，低阻模型反演结果与真实模型吻合较好。

为了进一步验证带地形模型反演效果，在图7c观测系统及模型参数不变基础上，仅增加源的个数和位置，如图8所示。当场源照明度足够覆盖研究区域时，反演模型电导率及位置分布与真实模型吻合较好，证明了本文正反演方法的有效性。

图7　带地形低阻(a、b)和高阻(c、d)模型电导率反演结果(图中白色叉符号为场源) Fig. 7　Results of conductivity inversion(a, b-low resistivity;c, d-high resistivity) with topography using the 2D fast algorithm(White crosses denote field sources)

图8　增加场源带地形高阻模型电导率反演结果(图中白色叉符号为场源) Fig.8　Results of conductivity inversion for large scale model with topography and more field sources using the 2D fast algorithm(White crosses denote field sources)

6　结论

本文引入积分方程法开展起伏地形频率域地面可控源电磁二维正演模拟，采用多场源多频率对比源反演方法进行了带地形条件下频率域可控源电磁二维反演研究。通过引入层状介质参考模型提供一次场，将地形与目标体作为整体计算的异常场区域，由此可方便模拟起伏地形可控源电磁场响应。针对增大剖分区域引起的大型计算量及存储量问题，利用快速傅里叶变换算法，提高积分方程计算效率，减少算法对计算量及存储量的要求。结合对比源反演特性，采用内积算子和伴随算子，提高反演迭代效率。将正反演算例与现有正反演算法对比，验证了带地形条件下积分方程模拟及对比源反演算法的可行性和有效性。不同场源位置试算结果表明，本文提出的正反演算法可有效还原起伏地形真实模型的位置及电导率分布。

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