1 引言

正交频分复用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技术由于其对抗多径衰落的鲁棒性，高的频谱效率和易于实现性而被广泛地应用于大量的无线通信系统中，例如DAB，WiMAX，3GPP LTE和IEEE 802.11等.然而，OFDM信号较高的峰均功率比(peak-to-average power ratio,PAPR)会使得发送端的高功率放大器(high power amplifier,HPA)进入饱和区，产生带内失真和带外辐射.带内的非线性失真会恶化系统的误比特率(bit error rate,BER)性能，带外辐射会干扰相邻信道的频谱.为了避免非线性失真，较高的PAPR要求HPA具有较大的线性动态范围，或者较大的输入回馈(input backoff,IBO)，这样会降低HPA的工作效率.因此，为了降低OFDM信号的非线性失真，提升系统的BER性能，发送端的PAPR抑制技术和接收端的非线性失真恢复或消除技术一直以来都是研究的重点.

文献[1]中大量的PAPR抑制技术已经被提出来，这些PAPR抑制技术大体上可以划分为三大类：信号失真技术[2,3]，多信号和概率性技术[4～6]和编码技术.其中，限幅[7,8]是最简单的信号失真类技术.限幅引起的OFDM信号失真，可以称之为限幅噪声.为了提升系统的BER性能，一些消除限幅噪声的方法[9,10]被提出，其中文献[9]在接收端重建限幅过程和迭代地对限幅后的信号进行最大似然估计(maximum likelihood,ML)，再从原始接收信号中消去每次迭代产生的限幅失真，以这样的方式来重构发送端产生的限幅噪声.由于限幅只是消去OFDM信号一部分高幅度值的信号点，这样得到的限幅噪声在时域具有一定的稀疏性.随着稀疏信号处理研究理论的发展，压缩感知(compressed sensing,CS)[11]技术使得稀疏信号可以从其压缩的观测向量值中恢复出来.因此，接收端基于CS的算法[12～15]被提出，文献[12]中提出了基于预留空子载波和导频子载波的CS算法，预留空子载波降低了数据传输率，导频子载波易受到信道噪声的干扰从而影响CS算法的恢复性能.文献[13]提出了改进CS算法，该算法选取接收信号数据中受信道噪声影响较小的子载波作为可靠性观测向量，克服了CS算法对于信道噪声的易损性，且不需要预留空子载波，不会降低数据传输率.但该算法只考虑了限幅方法的引入的非线性失真，没有考虑到HPA带来的非线性影响.而处理HPA非线性失真，最简单的方法就是增加输入回馈，使得HPA工作在线性区，但这会大大降低HPA的工作效率.另一方面，发送端采用HPA预失真方法即HPA线性化技术，或者接收端采用HPA非线性失真补偿技术，均可以有效地降低HPA带来的失真影响.文献[16]中提出了改进的基于HPA逆模型的非线性失真补偿算法，该方法根据限幅门限来确定HPA逆模型补偿器的门限，补偿HPA的非线性失真后再通过CS来抵消限幅引入的噪声影响.然而HPA逆模型补偿器本身就具有非线性，接收的信号会受到信号噪声的干扰，在经过HPA逆模型补偿器后能够有效恢复的原始非线性失真有限，因此该方法在较低信噪比未能有效地改善的系统BER性能.本文结合文献[13]中的CS恢复算法，同时考虑了限幅和HPA引入的非线性失真，利用限幅和HPA引起的总的非线性失真在时域上具有一定的稀疏性，对整个非线性过程进行建模，再在接收端通过CS算法恢复总的非线性失真，提升系统的BER性能.

2 系统模型介绍

2.1 OFDM和PAPR

令N维向量X=[X(0),X(1),…,X(N-1)]T表示一个OFDM符号序列，向量中的每个元素来自于M进制矩形QAM星座调制.在奈奎斯特率下采样得到的离散时间OFDM复信号可以表示为：

n=0,1,…,N-1

(1)

假设X(k)是统计独立且同分布的，服从零均值和方差E[|X(k)|2]=E[|x(n)|2]=2σ2，则由中心极限定理有：对于较大的子载波数N，x(n)近似服从复高斯分布，其幅度服从瑞利分布.OFDM信号序列的PAPR定义如下：

(2)

2.2 限幅和功率放大器

原始OFDM信号x(n)经过限幅器后得到的限幅信号可以表示为：

阿勇告诉本刊记者，直到案发后，他才专门去林业部门查询，这才得知从2013年起，政府的确是有发放该林地的公益林补偿金。“但此前确实是不知情，不然谁会故意去破坏公益林呢？”然而，他们并未拿出十分有力的证据证明自己所言非虚，而单凭一面之词，显然无法说服该案的审判长。

(3)

其中A是由限幅率γ决定的限幅门限，限幅率γ定义为：

(4)

输出信号的平均功率由下面的推导可以计算得到：

x(n)=|x(n)|ej∠x(n)

(5)

则输出信号y(n)可以表示为：

y(n)=G[|x(n)|]ej{∠x(n)+P[|x(n)|]}

(6)

则SSPA的输出信号可以表示成:

(7)

其中G[|x(n)|]，P[|x(n)|]分别是幅度/幅度(AM/AM)响应和幅度/相位(AM/PM)响应，表示了HPA对于输入信号的幅度和相位的非线性特性.这里我们选取常用的固态功率放大器(Solid State Power Amplifier,SSPA)，Rapp模型[17]常用来模拟SSPA的非线性特征，限幅信号经过SSPA的输出响应如下：

(8)

其中g0是放大器的增益，xsat是SSPA的最大饱和输入，p是控制饱和区的AM/AM响应平滑度的因子.SSPA的AM/AM特性曲线如图1所示，这里放大器的增益g0=1，SSPA的最大饱和输入xsat=1，可以看出当p→∞时，AM/AM特性曲线将会类似于软限幅器的非线性特性.

输入回馈(IBO)是描述了HPA工作点的重要系统参数，其联系了HPA的饱和功率和输入信号的平均功率.用dB形式表示，IBO定义如下：

IBO

(9)

其中Psat，Pin分别表示HPA的最大输入饱和功率和输入信号的平均功率.为了确保放大后的信号峰值不会超过HPA的饱和水平，引入过多的非线性失真，IBO至少应该等于PAPR.考虑到在奈奎斯特采样率下，限幅后信号的PAPR接近于限幅预定的门限值.因此考虑到HPA非线性的影响，在之后的推导和仿真过程中HPA的输入回馈(IBO)均与当前预定的限幅率保持一致.

3 改进的非线性失真恢复算法

3.1 非线性失真的统计模型分析

从HPA的非线性特性曲线可以看出，当平滑因子p→∞时，AM/AM特性曲线将会类似于软限幅器的非线性特性.因此，HPA引入的非线性失真在时域上具有类似于限幅噪声一样的稀疏特性.在这里我们将限幅和HPA引入的非线性失真视为一个整体，在HPA的IBO不小于当前输入信号的PAPR情况下，限幅和HPA两者引入的总的非线性失真在时域上可以近似地看作是稀疏的.在只对OFDM信号进行限幅的情况下，限幅率的大小决定了限幅噪声稀疏度的水平，限幅率越低，非零元素个数越多，稀疏水平越低.在奈奎斯特采样率下，若只考虑限幅的影响，限幅噪声非零元素的平均个数满足N·e-γ2[13].由于HPA引入了新的失真，总的非线性失真在时域上非零元素的个数大于N·e-γ2，其非零元素的个数不仅与限幅率有关，还与HPA的平滑因子p和输入回馈(IBO)有关.然而在整个过程中，限幅引入的非线性失真占主导地位，因此在接收端采用CS算法恢复失真信号时，不需要准确地恢复出失真信号的所有非零元素值.从后面的仿真结果可以看出，采用N·e-γ2去近似量化总的失真信号的稀疏性，仍然能够有效地提升系统的BER性能.

（3）将“套路”与新思路有效结合，实现解题效率的最大化。还有些情况下单一应用“套路”或构建新思路都难见成效，我们可以尝试将它们“融为一炉”。

全文的详细阅读完成之后，语言和内容基本上过关，这时候需要回过头来细看文章的篇章组织，感受文章的结构之美。这个环节充分利用建构主义教学的协作会话理念，由学生分组讨论完成结构分析和各部分大意归纳，并选派代表将小组意见表述在黑板上。在本人的教学实践中，各个小组由于对课文有较为全面的理解，都给出了自己合理的结构分析，并概括了各部分大意。各组的结构分析并不完全一致。

由于对于较大的子载波数N，输入信号x(n)近似服从于复高斯分布.根据Bussgang理论，我们将经过限幅和HPA后的输出信号表示成不相关的两部分[18]，即：

n=0,1,…,N-1

(10)

其中c(n)表示为限幅和HPA引入的总的非线性失真在时域的表现形式，K表示x(n)信号的线性衰减因子，d(n)是与x(n)无关的失真项，服从E[d(n)]=0和E[d(n)x*(n)]=0.式(10)在频域的形式可以写作：

（1）从系统综合能效比来看，相比于加装中间换热器的地下水源热泵系统，地埋管地源热泵系统具有较大的优势，空气源热泵系统次之，由此可知，加装中间换热器的地下水源热泵系统作为该项目的冷热源方案是最不节能的。

只是后来我上学三年后，分配在承德市工作落户。一段时间里，生活亦为艰辛，而当初插队的那县又划离了承德，所以渐渐联系就少了。但我也知道，于叔他们一家与回到天津的我那同学来往密切，桂霞姐的两个孩子都去了天津创业，并落户津门。而我却没能帮助做些什么，心中便惭愧，越惭愧则越不敢联系。到后来，听说于叔不在了，又过些年，于婶也没了，我暗自哭了一场，清明烧了些纸，却仍不能释去内心的愧疚……

列车运营日计划编配问题可表述为：在时刻表/车次信息、股道信息、车组信息已知情况下，对列车运营日计划表进行编配。列车运营日计划要满足道岔转换最小时间约束、早高峰指定车次约束、出库便捷性约束和唯一性约束，选用合适的良好车组去担当特定的列车车次。

(k)=X(k)+C(k)=KX(k)+D(k)， k=0,1,…,n-1

(11)

线性衰减因子K可以由下面的推导得到：

2.融合发展与单向嵌入发展的扬弃。维护和实现国家统一必然涉及中央与相关地方之间相对特殊的关系，在经济社会发展过程中自然产生单向性嵌入发展的模式惯性，如对边疆民族地区的“援建”、对港澳台地区的单向投入等。此类单项式政策有较强的针对性并取得了一定效果。但从长远来看，双方互动发展的不足制约了发展的可持续性，也难以在利益的一体性上得到深入和拓展。在这个意义上，融合发展是对单向嵌入发展方式的扬弃。通过积极的双向互动，融合发展打破以往受惠方与施惠方之间简单的二元关系，各方作为共同发展的主体身份被明确。同时，各方成为共同发展的参与者、共同利益的分享者，各方休戚以共的命运共同体意识得以培育。

2.2 治疗前后视觉电生理改变 治疗前，两组患者F-ERG中a波、b波的振幅和潜伏期无统计学差异。治疗后，治疗组a波、b波的振幅显著延长，潜伏期明显缩短，且治疗组与对照组相比，各项数值均有显著改善（P＜0.05）（见表 2）。

(12)

其中s为信号的包络|x(n)|，ρx(s)为信号包络|x(n)|的概率密度函数(PDF)，服从瑞利分布对于较大的N值，其表示如下：

(13)

接着我们考虑将限幅后的信号通过HPA进行功率放大.一般而言，对HPA建模的常用方法是无记忆非线性模型.假设HPA的输入信号为：

再结合式(15)，可以得到总的非线性失真C(k)的方差E[|C(k)|2]，推导如下：

(14)

结合式(12)，(13)和(14)我们可以计算得到失真项d(n)的功率推导如下：

灰渣粒径 60～100 目、投放量 2.5g·L-1、温度 20℃，改变pH值，按1.3试验方法对染液进行吸附处理。实验结果见图3。

=E[|(k)|2]-|K|2·2σ2

（1）中国对 “一带一路”沿线国家机械运输设备产品出口的种类比较丰富，且在各国的分布差异在逐步缩小。从图1中可以看到，2007～2017年，扩展边际的核密度图峰值均接近于1，基本在 （0.9～1）之间，这说明中国在 “一带一路”沿线国家的出口种类比较齐全。2007～2012年，核密度图的峰值越来越高且曲线位置微微右移，说明中国对 “一带一路”沿线国家的出口产品种类差距越来越小；由于2012～2016年机械行业市场低迷，所以核密度图的峰值波动下降，意味着各国的扩展边际差距稍有变化，但变化幅度并不大。2017年核密度图的峰值稍有升高，机械行业市场稍有回暖。

(15)

=G2[s]ρx(s)ds+G2[A]ρx(s)ds

(16)

接着选取观测噪声水平小于失真信号c的平均功率的可靠性观测值，选取的标准如下：

3.2 基于CS的非线性失真信号恢复

在接收端，接收信号y(n)经快速傅里叶变换(FFT)后在频域可以表示为：

Y(k)=H(k)(k)+W(k), k=0,1,…,N-1

(17)

其中H(k)表示频域信道响应，W(k)表示加性高斯白噪声(AWGN)且方差为在信道响应已知和准确同步的前提下，采用迫零信道量化后可以得到：

K

H-1(k)Y(k)=(k)+H-1(k)W(k)

(18)

将式(11)代入式(18)，我们可以得到原始信号X(k)的最大似然估计值(Maximum likelihood，ML)，即：

(19)

其中Q表示信号星座点集合.

从式(18)中减去式(19)结合式(11)，写成矩阵形式，我们可以得到：

针对烟气轮机使用工况恶劣、专业化强等特点，以保障各炼化企业烟气轮机长周期运行为目标，2012年起，渤海装备从现场数据采集、事后分析入手，探索实施“互联网+”服务应用。2014年，渤海装备建设并投用了烟气轮机远程监测预警诊断中心，开通烟气轮机远程状态监测及故障诊断系统，将烟气轮机运行过程中监测到的碎片化信息加以整合、统计、分析，真正实现了对烟气轮机“正常”、“亚健康”和“故障”状态的诊断，全面提供24小时烟气轮机设备保运服务。

H-1Y-Xe=C+X-+H-1W

(20)

令θ=X-+H-1W即观测噪声项，基于文献[13]中给出θ的MMSE估计值结合上面的推导结果，可以改写成如下的形式：

(21)

从以上的推导结果可以看出，线性衰减因子和E[|C(k)|2]的值的计算取决于限幅率的大小和SSPA的模型参数.因此，在限幅率和HPA的模型已确定的情况下，线性衰减因子和E[|C(k)|2]的值均可以提前计算好存储起来.

在对管道进行着安装的时候，要对安装的标准进行着严格的遵守，对管道坡度进行合理管控，可是适当的对建筑出口管道的坡度进行适当加大这一方式，使管道坡度在安装上变得更加均匀。在对预埋管进行安装的时候，要对安装位置的土壤质量加以注意，进行着土壤质量的处理。全面预检干管的预埋地，对管道进行试压的时候使用的压力需要是管道工作的1.5倍，为了使建筑在给水上的质量得到保证，在给水之前的一天时间内进行着氯族消毒剂的滞留。

(22)

如果R的基数是M，则从单位矩阵IN选择对应的M行组成选取矩阵S.接着由选取矩阵S得到观测向量和观测矩阵V：

=S(H-1Y-Xe)=S(Fc+X-+H-1W)

=Vc+S(X-+H-1W)

(23)

其中C=Fc，V=SF，F是N×N维的单位离散傅里叶变换矩阵.通过使用正交匹配算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)，我们可以从可靠性的观测向量中恢复出总的失真信号c，恢复出的信号记为频域上有将恢复出的失真信号从接收到的H-1Y中减去，可以得到最终的信号估计值为：

(24)

考虑到正交匹配算法(OMP)[19]对于稀疏信号的恢复性能，选取的观测向量的维数在超过一定的门限值Mmin才能有效地恢复出稀疏失真信号.因此，考虑到总的失真信号的近似稀疏性，结合文献[13]中选取的门限，这里我们将Mmin修改为：

Mmin=min(N·e-γ2·lnN,0.8N)

(25)

3.3 计算复杂度分析

由于在限幅率和HPA的模型已确定的情况下，线性衰减因子和E[|C(k)|2]的值均可以提前计算好存储起来，因此，在接收端我们主要考虑求解式(23)的CS问题和执行IFFT/FFT操作两部分的计算复杂度.采用OMP算法来恢复式(23)中的稀疏信号的计算复杂度为O(KMN)[20]，执行一次IFFT/FFT相应的计算复杂度为O(Nlog2N)，因此，接收端整个过程的总的复杂度大致可以表示成O(KMN+Nlog2N).再者，对于文献[16]中提出的HPA逆模型失真补偿算法而言，除了要求解类似的CS恢复问题和执行同样的IFFT/FFT操作外，为了消除HPA带来的非线性失真，接收信号需要先经过HPA失真补偿逆模型，从而增加了额外的计算复杂度.因此，所提算法相比于文献[16]的算法而言，都是基于CS恢复稀疏失真信号，不需要额外引入HPA失真补偿模型，从而降低了计算的复杂度.

4 仿真结果与分析

为了验证所提改进非线性失真恢复算法的有效性，我们仿真了在AWGN和瑞利衰落信道下，不同的限幅率时算法的BER性能.OFDM符号的子载波N=256，采用16QAM星座调制.SSPA的平滑因子p=2，放大器增益g0=1，IBO的值与当前的限幅率γ保持一致.

4.1 AWGN信道

图2比较了高斯信道中不同限幅率下所提算法与文献[16]中算法的BER性能，如图所示，本文所提的算法的BER性能均优于文献[16]中的HPA逆模型失真补偿算法.在低信噪比下，信道噪声对于HPA逆模型失真补偿算法影响比较大，对应选取的补偿上门限未能达到最佳值，感知准确度较低，因此只有在较高的信噪比下，该算法才能有效地提升系统的BER性能.而本文所提算法将限幅和HPA引入的非线性失真统一起来考虑，利用总的非线性失真信号在时域上的近似稀疏性，接收端选取受信道噪声较小的可靠性观测值，最小化了信道噪声的影响，因此在中等的信噪比(6-8dB)段，所提算法已经能够有效地提升系统的BER性能，而HPA逆模型失真补偿算法在10dB时才开始起作用.在信噪比为16dB时，当发送端的限幅率分别为3dB，4dB和5dB时，文献[16]中的算法的BER分别为2.79×10-3，2.16×10-4和6.99×10-5；而本文所提算法的BER分别为7.17×10-4，1.07×10-4和3.17×10-5.由此可知，在考虑的HPA影响的情况下，本文基于限幅和HPA总的非线性失真信号的恢复算法，可以获得较优的BER性能.此外，可以看出，在限幅率较低时，所提算法对于BER性能的提升较为明显.

4.2 瑞利衰落信道

图3比较了瑞利衰落中不同限幅率下所提算法与文献[16]中算法的BER性能，如图所示，当信噪比为25dB时，当发送端的限幅率分别为3dB，4dB时，文献[16]中的算法的BER分别为3.064×10-3，1.764×10-3，而本文所提算法的BER分别为和1.961×10-3，1.673×10-3相比之下，所提算法的BER分别降低了1.103×10-3，0.091×10-3；尤其在低限幅率时，所提算法能明显改善了系统的BER性能.

5 总结

本文在仅有限幅噪声的基础上，将限幅和HPA引入的非线性失真视为一个整体来考虑，利用与限幅噪声在时域上类似的稀疏性，对整个非线性过程建立模型来进行计算.发送端通过限幅降低了OFDM信号的PAPR，提高了HPA的工作效率，而在接收端，不需要额外地引入补偿器来补偿HPA的非线性失真，降低了接收端的计算复杂度，只需要对整个非线性模型的参数重新进行计算，选取受噪声干扰小的可靠性观测向量，最小化了信道噪声的影响，利用CS算法有效地恢复了总的非线性失真信号，提高了系统的BER性能.

参考文献

[1]Rahmatallah B，Mohan S.Peak-to-average power ratio reduction in OFDM system：a survey and taxonomy[J].IEEE Communications Surveys and Tutorials，2013，15(4)：1567-1592.

[2]Vangala S K，Anuradha S.Analysis and comparison of clipping techniques for OFDM/OQAM peak-to-average power ratio reduction[A].Proceedings of the International Conference on Applied and Theoretical Computing and Communication Technology[C].Davangere：BIET，2015.791-795.

[3]Mazahir S，Sheikh S A.On companding schemes for PAPR reduction in OFDM systems employing higher order QAM[J].IEEE Transactions on Broadcasting，2016，64(3):716-726.

[4]Lee K-S，et al.Low-complexity PTS schemes using OFDM signal rotation and pre-exclusion of phase rotating vectors[J].IET Communications，2016，10(5):540-547.

[5]Wang S-H，Lee K-C，Li C-P.A low-complexity architecture for papr reduction in OFDM systems with near-optimal performance[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology，2016，65(1):169-179.

[6]杨霖,胡武君,何向东.SFBC MIMO-OFDM系统中基于循环移位和盲检测的低复杂度SLM算法[J].电子学报，2015，43(8)：1637-1641.

YANG Lin，HU Wu-jun，HE Xiang-dong.Low compl-exity SLM algorithm based on cyclic shift and blind detection in SFBC MIMO-OFDM system[J].Acta Electronica Sinica，2015，43(8)：1637-1641.(in Chinese)

[7]Mhatre K P，Khot U P.The combined scheme of selective mapping and clipping for PAPR reduction of OFDM[A].Proceedings of 3rd International Conference on Computing for Sustainable Global Development[C].New Delhi：BVICAM，2016.1448-1452.

[8]Wu Y，Wang J.Maximum PAPR reduction by combining optimum SLM with clipping[A].Proceedings of 10th International Symposium on Communication Systems，Networks and Digital Signal Processing[C].Prague：IEEE，2016.1-5.

[9]Chen H，Haimovich A M.Iterative estimation and cancellation of clipping noise for OFDM signals[J].IEEE Communications Letters，2003，7(7)：305-307.

[10]Cheng G，Lv Q，Li S，et al.Reduction of the clipping noise for OFDM/OQAM system[J].Communications and Network，2013，5(03)：394.

[11]Donoho D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on information theory，2006，52(4)：1289-1306.

[12]Ghassemi A，Ghasemnezad H，Gulliver T A.Compressive sensing based estimation of OFDM nonlinear distortion[A].Proceedings of IEEE International Conference on Communications[C].Sydney：Academic Press，2014.5055-5059.

[13]Kim K H，Park H，No J S，et al.Clipping noise cancelation for OFDM systems using reliable observations based on compressed sensing[J].IEEE Transactions on Broadcasting，2015，61(1)：111-118.

[14]Yang F，Gao J，Liu S，et al.Clipping noise elimination for OFDM systems by compressed sensing with partially aware support[J].IEEE Transactions on Broadcasting，2017，63 (1)：103-110.

[15]Azizipour M J，Mohamed-pour K.Modified compressive sensing reconstruction algorithm for clipping noise estimation in OFDM systems[A].Proceedings of 24th Iranian Conference on Electrical Engineering[C].Shiraz：IEEE，2016.224-228.

[16]杨霖,何向东.OFDM系统中基于限幅和压缩感知的非线性失真补偿算法[J].电子学报,2016，44(9):2051-2056.

YANG Lin，HE Xiang-dong.Compensation method for nonlinear distortion based on clipping and compressive sensing in OFDM system[J].Acta Electronica Sinica，2016，44(9):2051-2056.(in Chinese)

[17]Rapp C.Effects of HPA-nonlinearity on a 4-DPSK/OFDM-signal for a digital sound broadcasting signal[A].Proceedings of Second European Conference on Satellite Communications (ECSC-2)[C].Liège：ESA，1991.179-184.

[18]Banelli P，Cacopardi S.Theoretical analysis and performance of OFDM signals in nonlinear AWGN channels[J].IEEE Transactions on Communications，2000，48(3)：430-441.

[19]Tropp J A，Gilbert A C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Transactions on Information Theory，2007，53(12)：4655-4666.

[20]Wang J，Kwon S，Shim B.Generalized orthogonal matching pursuit[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2012，60(12)：6202-6216.