0 引 言

磁流体力学(Magnetohydrodynamics,MHD)是用经典流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科,在等离子体物理学、天体物理研究、电磁输送、雷达系统通信以及流动控制等领域应用广泛. 由于MHD方程组包含的方程个数多,而且具有严重的非线性和非严格双曲性,使其数值求解比一般的流体力学方程组困难得多.有关MHD方程的数值求解一直是国内外科学工作者研究的热点和难点.

MHD方程是双曲守恒律方程的一种,因此可以将双曲型守恒律方程组的数值求解方法推广应用于MHD方程组的数值求解当中. 对于非线性守恒律方程,“熵”一直是一个备受重视的量[1-4],它在解的光滑区域保持不变,但在激波等间断区域会有所增加(数学模型中表现为熵减,即熵耗散). 如果设计的数值方法保持总熵不变,称该方法为熵守恒格式. 熵守恒格式在解的光滑区域表现良好,但在间断区域会出现非物理现象. 当数值方法产生了比熵守恒格式更多的熵时,则称之为熵稳定的. 熵稳定格式从物理概念出发,满足守恒律方程的额外条件——熵不等式,得到的方程的解是唯一且具有物理意义的,可以有效避免伪振荡,具有广阔的应用前景[2-3].封建湖课题组[5-8]利用限制器机制、移动网格、单元交界面处的高阶WENO重构等构造了一些行之有效的熵稳定格式,并成功地应用于Euler方程、浅水方程等各类双曲型守恒律的数值求解中.

近年来,MHD方程的数值解法得到了很大的发展[9-10],但使用熵稳定格式进行求解的方法很少.直至2016年,Winters和Gassner[11]设计了一种针对理想MHD方程的熵守恒通量,并加入耗散项得到熵稳定格式,避免了非物理现象的产生.然而该格式对于波的捕捉效果不是特别理想,光滑区域的精度也有所降低.本文进一步研究MHD方程的熵稳定格式,在数值通量中嵌入限制器,使格式可以识别间断区域,并在间断区域自动添加数值耗散项,有效提高格式的精度.

1 理想磁流体方程组

MHD基本方程由流体力学中的Navier-Stokes方程和电动力学中的Maxwell方程耦合而成,写成守恒律的形式为

(1)

其中

(2)

REN J,FENG J H,LIU Y Q,et al.High resolution entropy consistent schemes for hyperbolic conservation laws[J].Chinese Journal of Computational Physics,2014,32(5):539-551.

(3)

这里,γ为比热比.方程(1)(2)在磁场中还须满足无散条件(高斯定理):▽·B=0.理论上,如果初始条件满足无散条件,则在计算过程中的任何时刻都能满足无散条件.

本文主要研究一维理想MHD方程组

(4)

算例2 Dai和Woodward的激波管问题

一维理想磁流体方程的通量函数f(q)的Jacobi矩阵的特征值系统可参考文献[12],包含一条固定的平面波,即散度波,波速为λD=u,和七条传播的平面波:一条熵波,波速为λE=u;两条快波,波速为λf=u±cf;两条慢波,波速为λs=u±cs;两条Alfvén波,波速为λa=u±ca,其中

(5)

同时,Jacobi矩阵的右特征向量构成的矩阵为

(6)

其中,由守恒律方程的分类方法可知,一维理想MHD方程为双曲型守恒律方程,因此可以应用双曲守恒律方程的数值求解方法来求解一维MHD方程.

类似于Euler方程中熵对的选取办法,选取一维理想MHD方程的熵函数熵通量函数其中s=lnp-γlnρ为物理熵,相应的熵变量为

第三方评估是高校外的“第三方机构”对高校发展运行状况进行评估。第三方评估具有权威性、公开性和时效性，有利于高校从社会公众的视角来审视自身的发展。高校内部的自我评估是高校立足自身、主动发展、自我完善办学理念的体现，长期性、主动性、针对性是其主要特征。自我评估可以帮助高校了解办学资源利用情况，分析高校内部存在的薄弱环节，为高校配置办学资源提供有效参考。

(7)

熵势

本文采用均匀网格上的半离散守恒型有限体积格式进行计算

(8)

其中,Δx表示空间步长,Δt表示时间步长,qj(t)为q(x,t)在点xj处的值,xj∈[xj-1/2,xj+1/2],fj+1/2=fj+1/2(qj-p+1(t),qj-p+2(t),…,qm(t))为与f(q)相容的数值通量,即fj+1/2(u,…,u)=f(u).时间上的推进采用三阶强稳定的Runge-Kutta方法[13].

(9)

其中

2 熵稳定格式

熵守恒格式(Entropy Conserving Scheme, C格式)保持总熵不变,满足离散熵等式

(10)

具有二阶精度[3,14]. 2015年Winters等[11]在Tadmor 提出的Euler方程熵守恒通量的逐段分解显式构造方法[14]的基础上,通过引入参数向量

(11)

并采用待定系数法得到MHD方程的熵守恒通量

(12)

其中

(13)

这里变量左右状态的算术平均记为对数平均记为

熵守恒格式在光滑区域表现良好,但在间断位置会产生伪振荡. 对熵守恒格式适当地加入数值耗散得到熵稳定格式(Entropy Stable Scheme, ES格式),使之满足离散熵不等式,可避免伪振荡的产生. 考虑到解在跨过激波时产生的熵增,本文在Ismail[15]工作的基础上,针对MHD方程将左右特征速度的差分的绝对值添加到数值粘性项中,从而产生足够的熵耗散来抵消熵增,得到一种MHD方程的熵稳定数值通量

(14)

这里,α=1/6,特征值对角矩阵

(15)

其中,表示对矩阵中的每一个元素取绝对值后得到的矩阵,[Λ]表示矩阵Λ的跳跃矩阵,即是矩阵的转置,对角放缩比例矩阵

(16)

3 高分辨率熵稳定格式

其中,I为单位矩阵．

限制器φ的嵌入使格式具有自适应性和高分辨率的特点:在解的光滑区域通量限制器Φ→I或Φ=I,从而fESL近似等于或等于FC,即ESL格式在光滑区域保持fC的高精度特性;在解的间断区域Φ→0或Φ=0,从而fESL近似等于或等于fES,即ESL格式在解的间断区域保持fES可以抑制伪振荡的特性.为了保证熵稳定格式中熵耗散方向的正确性,需要对限制器机制取绝对值.

目前限制器有两类:斜率限制器和通量限制器,其中斜率限制器是对自变量的梯度进行限制,通量限制器是对数值通量函数进行限制.本文选用任炯等[6]提出的S-M通量限制器

φ=φ(θ)=max(0,min(1,2θ),min(1,θ)),

(17)

对于MHD方程,Φ=diag(φ1,…,φ8),其中是n维方程组在qj+1/2处对应的第k个特征值,αj+1/2=Lj+1/2Δj+1/2q,Lj+1/2是qj+1/2处的左特征向量矩阵,是αj+1/2的第k个分量.

取C格式为高阶格式,ES格式为低阶格式,通过嵌入限制器Φ得到高分辨率熵稳定格式的数值通量

(18)

熵守恒格式是二阶精度格式,在解的光滑区域表现良好,但在解的间断处有严重的伪振荡现象;熵稳定格式在解的间断处能有效避免伪振荡现象的出现,但一阶耗散项的加入使得格式整体只有一阶精度. 为了结合二者的优点,使得方法在光滑区域保持二阶精度,同时在间断处能有效抑制伪振荡,可以借鉴传统的构造二阶TVD格式的思想[16-17],将熵守恒格式的数值通量和熵稳定格式的数值通量通过限制器组合在一起,从而得到一个高分辨率熵稳定格式(High Resolution Entropy Stable scheme with Limiters, ESL格式)的数值通量.

采用KSM1-315L1-7.5型90kW开关磁阻电机替换老式交流异步电动机，用SRD控制系统替换传统的继电器控制系统，设计并自主完成生产制作新的动力柜和控制箱，成功实现新的动力系统安装、调试工作，改造后使用效果良好。改造后无需改变原操作习惯，操作简单，短时间即可投入使用；改造后的机械特性良好，双辊筒运行更加恒定可靠；优化了设备的堵转保护功能，显著提升了生产作业时的安全系数；利用开关磁阻电机和配套的SRD控制系统固有特性，优化了设备的停机方式，删除了原有的外部电磁抱闸机械制动装置，减少了维护成本，提高了电机制动的可靠性。

根据目前的计划，西屋2019年春将把被称为EnCore设计的先导试验燃料棒装入拜伦2号机组(1100 MWe压水堆)堆芯。EnCore设计使用了硅化铀燃料芯块和带有铬涂层的锆合金包壳。

4 数值算例

本节所讨论的数值算例均在200个均匀网格上计算,采用纽曼边界条件,CFL条件数取0.1. 算例中所用的参考解均由取5 000个均匀网格的熵稳定格式得到. 图像中,Ref、C、ES和ESL分别代表参考解、熵守恒格式(8)(9)(12)(13)的解、熵稳定格式(8)(9)(12)(13)(14)的解和通过嵌入限制器而得到的高分辨率熵稳定格式(8)(9)(12)(13)(17)(18)的解.本文仅展示方程中三个变量(密度、速度、压力)的计算结果来说明问题.

算例1 Torrilhon黎曼问题

此外，10-2处理1~5级根的内源激素含量和对应的比值较对照无显著性变化，究其原因与 10-2处理的断根距离树干较远，断根强度较弱，致使断根对切口处的刺激作用很有限有关（Jing et al.，2017）。而 6-2处理的 IAA、GA和 ZT含量及IAA/ABA、GA/ABA与ZT/ABA比值均为最低，其原因与 6-2处理的断根对杨树自身造成的伤害较大，使切口处的恢复明显滞后（Du et al.，2012），导致萌发新根的数量较少有一定关联；同时，6-2处理的 ABA含量最高亦是引起 IAA/ABA、GA/ABA与ZT/ABA比值较低的原因之一。

在计算区域Ω=[-1,1.5]上求解方程(4)和如下初始条件

的初值问题. 其中,γ=5/3,终止时间T=0.4.C格式、ES格式、ESL格式的计算结果分别示于图1,2,3中. C格式在解的光滑区域表现良好,但在解的间断区域伪振荡现象很严重,这与预想结果一致,是由熵守恒格式在间断处违反熵耗散机制引起的. ES格式虽然会有抹平现象的出现,但由于总熵有所耗散,伪振荡现象得以消除,间断的捕捉也较为理想. 由于加入了限制器,ESL格式不仅消除了伪振荡,抹平现象也有了很大的改善,数值解更加贴近参考解,解的分辨率明显提高.

成语中还有很多古今异义的现象，比如“走马观花”中的“走”是“跑”的意思，而非“行走”之意。“赴汤蹈火”中的“汤”是“开水”的意思，并不是“菜汤”之意。“感激涕零”中的“涕”是“眼泪”之意，并不是“鼻涕”之意。

图 1 算例1的熵守恒格式的解 Fig.1 The entropy conserving approximations of example 1

图 2 算例1的熵稳定格式的解 Fig.2 The entropy stable approximations of example 1

图 3 算例1的高分辨率熵稳定格式的解 Fig.3 The high resolution entropy stable approximations of example 1

此时无散条件退化为即B1=const.尽管如此,本文依然将B1视为一个非常数,这样更方便于离散熵守恒通量的构造以及今后工作中二维及高维问题的推广.

打开纸团，上面有字：等了十几天了，也等不到你。我知道，你是喜欢我的。我们一起走吧，想去哪就去哪。今晚三更，我在荷塘等你。

在计算区域Ω=[0，1]上求解方程(4)和如下初始条件

的初值问题. 其中,γ=5/3,终止时间T=0.15.图4,5,6分别为C格式、ES格式和ESL格式的计算结果.在此算例中,解应该存在7个不连续的间断:左行进方向的快速激波、慢速激波和回转间断;右行进方向的快速激波、慢速激波、回转间断和接触间断. 从图中可以看出,ES格式和ESL格式都消除了伪振荡现象,同时ESL格式的间断捕捉效果明显优于ES格式,尤其是快速激波和回转间断的捕捉效果更加锐利.

图 4 算例2的熵守恒格式的解 Fig.4 The entropy conserving approximations of example 2

图 5 算例2的熵稳定格式的解 Fig.5 The entropy stable approximations of example 2

图 6 算例2的高分辨率熵稳定格式的解 Fig.6 The high resolution entropy stable approximations of example 2

算例3 Brio和Wu的高马赫数激波管问题

在计算区域Ω=[-1，1]上求解方程(4)和如下初始条件

的初值问题. 其中γ=2,终止时间T=0.012.数值实验的结果表明,熵守恒格式不能求解出此问题的近似解,图7,8分别为ES格式和ESL格式的计算结果. 本算例的结果应该包含一个向左移动的快速稀疏波、一个切向间断和一个向右移动的快速激波(马赫数为15.5).ES格式可以捕捉到解的间断,同时有效地避免伪振荡的产生,但有明显的抹平现象;ESL格式比ES格式的捕捉效果更好,抹平现象也有所抑制,解的分辨率明显提高.

图 7 算例3的熵稳定格式的解 Fig.7 The entropy stable approximations of example 3

图 8 算例3的高分辨率熵稳定格式的解 Fig.8 The high resolution entropy stable approximations of example 3

5 结束语

鉴于理想MHD方程与双曲守恒律之间的紧密联系,本文将双曲守恒律的高分辨率熵稳定格式推广应用于理想MHD方程中,得到针对理想MHD方程的高分辨率熵稳定格式. 由于添加了限制器的作用,使格式在解的光滑区域选择精度高的熵守恒格式,间断区域则自动添加耗散项,消除伪振荡,更加精确地捕捉到间断,同时抑制了间断处的抹平现象,分辨率明显提高. 新格式与物理概念联系紧密,有效避免非物理现象的出现,具有高分辨率、鲁棒性、无振荡的特性,是求解MHD方程较为理想的方法.

参考文献(References):

当降低预应力度降低为0.5时，跨中截面的剪力滞系数的峰值变大，对于结构来说是不利的。这也说明了，全预应力混凝土箱梁的剪力滞系数要小于部分预应力混凝土箱梁，可以降低剪力滞对于截面受力的影响。

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住宅工程质量，直接关系到千家万户的切身利益。随着百姓维权意识的逐渐提高，住宅工程质量投诉不断增加，甚至群诉群访时有发生。2009年住房城乡建设部印发了《关于做好住宅工程质量分户验收工作的通知》（建质〔2009〕291号），要求各省市建立住宅工程逐套验收制度，督促建设、施工、监理等参建单位认真履行法定义务，提高住宅工程质量水平，维护业主的合法权益，减少投诉。2009年分户验收工作的实施，在一定程度上促进了我国建筑工程质量水平的整体提高，但仍需要做好以下工作：

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区块链技术保证在不可信、分布式环境下，所有节点通过一定的共识算法对公共账本达成一致。在区块链中，账本以区块的形式构成，每个合法的区块都以特定的密码学方式链接到前一个块，这也就是区块“链”的内涵。随着区块的不断生成和添加，历史区块内容不能被修改，区块中记录的所有内容能够被网络中所有节点获取。

YANG L,LIU L.The map structure of keeping the (r,s)-unified relative entropy[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2017，31(6):841-846.

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经历了前面三个步骤，绝大多数的学生已能明确解题思路，剩下的，就是自己“动笔解题”了。一般来说，只要计算稍微细心点，几乎百分之百学生可以正确地完成题目的解答。

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3.4.2 深化推进能源机制创新，鼓励多种能源利用方式。加强需求侧管理，进一步优化峰谷电价、季节性电价和居民及工商业气价，引导电力、天然气消费。推进能源交易创新，探索燃气大用户直供。开展分布式光伏、分散式风电、分布式供能等发电市场化交易。落实可再生能源配额制，结合国家可再生能源配额制要求，将相关指标直接下达电网企业、配售电企业和用户责任主体。建立和完善各区新能源碳排放抵扣及新能源能耗抵扣政策，调动用户侧发展新能源积极性。同时制定响应政策机制，鼓励引导试点实现“虚拟电站”、“加电站”、“加氢站”等各种高效能源形式，进一步降低峰谷电量。

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为了检验假设2～5，首先需要对总样本按照企业的现金流特征划分为初创期、成长期、成熟期、衰退期4个子样本，并在欧拉跨期投资方程的基础上，添加碳信息披露指数 （CDI），具体的模型设定如下：

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