互补问题由美国数学家Cottle提出，它是计算数学与运筹学的一个交叉研究领域，与经济学、对策论、数学规划、随机最优控制等学科有着紧密的联系.互补问题包括：非线性互补问题、线性互补问题、二阶锥互补问题、对称锥互补问题、半定互补问题和随机互补问题[1].其中非线性互补问题最为典型，其在交通、经济、力学、金融等诸多领域都有着广泛的应用[2-3].

非线性互补问题(NCP)[4-6]：求向量x∈Rn，使得

x≥0,F(x)≥0,xTF(x)=0,

(1)

成立.其中，F:Rn→Rn为连续可微函数.

本文提出了一类求解非线性互补问题的Jacobian光滑化算法.该算法的基本思想：首先给出一个新的光滑NCP函数(互补函数)，通过该光滑函数将问题(1)转化为与之等价的光滑方程组问题，然后利用Jacobian光滑化算法求解该方程组，从而得到问题(1)的解.文中问题(1)的解集设为非空集.

1 预备知识与算法

定义1[7-8] 函数φ(a,b):R2→R称为互补函数，如果其满足如下条件：

φ(a,b)=0⟺a≥0,b≥0,ab=0.

最常用的互补函数为Fischer-Burmeister函数[8](简记为FB函数)：

发动机转速2 000r/min时,点火提前角一般为上止点前30°～35°，对应的曲轴转角为42°～50°，燃烧所用时间3.5～4.16ms。

 

(2)

令

 

(4)

由于FB函数在(0, 0)点处不可微，许多研究者通过引入光滑参数对其进行光滑化，得到了许多性质不同的光滑互补函数.本文通过引入光滑参数，对式(2)进行光滑化，得到了一个具有良好性质的新光滑互补函数φ(u,a,b):R+×R×R→R.该函数定义如下：

 

(5)

下面分析新光滑互补函数(5)的性质.

引理1 设φ(u,a,b)由函数(5)定义，则

(Ⅰ)φ(0,a,b)⟺a≥0,b≥0,ab=0;

20世纪以后，虽然经历了两次世界大战，但法国的成人教育持续发展。1971年颁布的德洛尔法案（LoiDelorsjuillet，1971）是法国成人教育的一个里程碑。该法案将职业教育和成人教育纳入永久教育的范围。该法案规定：接受成人教育是劳动者的权利，所有劳动者都应均等地享有成人教育的机会。其目的是使劳动者适应技术和工作条件的变化，保证他们对经济、文化和社会发展的贡献［3］。

(Ⅱ)对于任意的(u,a,b)∈R++×R×R，φ(u,a,b)连续可微.

证明 (I)当u=0时φ(u,a,b)=φFB(a,b)，可知φ(0,a,b)⟺a≥0,b≥0,ab=0;

(Ⅱ)易知φ(u,a,b)在任意点(u,a,b)∈R++×R×R处都连续可微，且有

 

(8)

步骤4(梯度步)：若式(11)无解或没有mk满足式(12)的要求，则令

 

其中

 

并取μk+1满足

 

(10)

引理5 当u>0时，函数H(u,x)连续可微.

令

 

令λk:=ρmk，zk+1:=zk+λkΔzk，βk+1:=βk，k:=k+1，转入步骤1.

 

为了方便后面的讨论，给出以下结论：

引理2 设φ(u,a,b)由式(5)定义，那么对于任意的u1≥0,u2≥0有

|φ(u1,a,b)-φ(u2,a,b)|≤|u1-u2|.

引理3 (Ⅰ)-u≤(1-eu)eu≤-ueu,∀u≥0;

鉴于大孔生态混凝土冻融破坏的特殊性，并根据工程应用要求，针对北方寒冷地区冻融破坏作用，利用快速冻融的测试方法，研究胶凝材料用量(B)、水胶比(W/C)、孔隙率(P)等对大孔生态混凝土冻融破坏作用规律，分析大孔生态混凝土的冻融损伤机理，探索大孔生态混凝土的应用基础理论.

(Ⅱ) 对于任意的u1≥u2≥0，有

 

引理4 令φ，φu由(3)和(9)定义，对于任意的u1,u2≥0，x∈Rn，有

‖Φu1(x)-Φu2(x)‖≤τ|u1-u2|,

其中特别地，有‖Φu1(x)-Φ(x)‖≤τu1.

证明 由引理2直接计算可得结论.

那么，H(0,x)=0⟺u=0,x是问题(1)的解.

证明 由引理1可得结论成立.

中国指数研究院统计显示，下半年以来，随着土地供应增多，低溢价乃至底价成交渐成常态，土地流拍数量也明显增多。2018年11月，全国300个城市住宅类用地平均溢价率为7%，较去年同期下降15个百分点。其中，上海、宁波、天津、成都和南京等重点城市的土地成交平均溢价率同比降幅超过70%。除溢价率下行外，上海、北京、重庆、苏州和深圳等热点城市的地价与去年同期相比也出现下降。

The idea of our method of measurement is to analyze...

下面给出求解问题(1)的Jacobian光滑化算法.

算法1(Jacobian光滑化算法)

步骤1(初始化)：选取初始点x0∈Rn, 常数ρ, η，t∈(0,1), σ∈(0,1/2), α>0以及lmax为一正整数，令

步骤2 (终止准则)：若ψ(zk)=0，则算法停止，否则转入步骤3.

步骤3(非精确牛顿步)：解下面方程组

 

(11)

其中

‖rk‖≤tk‖H(uk,xk)‖，

得Δzk=(Δμk,Δxk)∈R×Rn,令mk为{0,1, …,lmax}中满足下述线搜索的最小整数m,

f(zk+ρmΔzk)≤(1-2σρm)f(zk).

(12)

则

令

Δxk:=-Ψ(xk),

(13)

以及mk为满足下述线搜索的非负整数m，

本文从发展绿色经济角度出发，根据DPSIR模型建立东营市绿色经济发展评价指标体系，从经济系统、生活消费系统、能源系统、环境系统、产业与技术系统五个方面对东营市2007—2016年绿色经济发展水平进行评价分析。结果显示:2007—2016年，东营市绿色经济发展水平整体有所提升。生活消费系统、环境系统、能源系统有较大进步;除产业与技术系统在2008年和2016年出现下降外，经济系统、产业与技术系统整体较为稳定，波动较小。

Ψ(xk+ρmΔxk)≤Ψ(xk)-σρm‖Δxk‖2.

(14)

则令λk:=ρmk，xk+1:=xk+λkΔxk.

步骤5 (梯度继续步—μk的迭代)：若

 

(15)

其中

βk+1:=‖Φ(xk+1)‖.

并取μk+1满足

0<μk+1≤min{αβk+1/(2κ)，μk/2},

(16)

若(15)式不成立，则令

βk+1:=βk,

考虑如下方程组

0<μk+1≤min{‖Φ(xk)‖-‖Φ(xk+1)‖/(2k),μk/2}.

令zk+1:=(μk+1,xk+1)，k:=k+1，转入步骤1.

降税将利好A股上市公司利润。从中国政府广义税收构成看，增值税和社保缴费是企业最大的压力。今年5月1日下调增值税税率后，目前三档增值税税率分别为16%、10%和6%，今年政府工作报告提出“改革完善增值税，按照三档并两档方向调整税率水平”，预计2019年增值税最高档税率再次下调2-3个百分点，根据中金公司测算，税率下调2-3个百分点可以实现4000-6000亿元减税。社保费用改由税务部门统一征收，因为对企业影响太大，最新信息是暂缓实施，等社保降费后再实施，这一块对于此前严格交社保的企业是利好。降税对于A股公司显然是利好，对于净利润率偏低而社保严格缴纳多的企业，其业绩弹性更大。

引理6 若算法1第k步生成的zk=(uk,xk)∈R++×Rn，且算法不在步骤1终止，则算法1生成的zk+1=(uk+1,xk+1)∈R++×Rn.

证明 见参考文献[1].

2 收敛性分析

本节讨论算法1的收敛性.为了分析算法1的收敛性，假设算法生成一个无穷点列{zk+1=(uk+1,xk+1)|uk+1>0}.

引理7 若牛顿步在xk被接受，则有

μk+1≤(1-ρlmaxe-μ0)μk.

由上述引理及算法1的梯度步中μk的迭代规则，可得: {μk}至少是线性梯减的.

由表4可以看出，不同的菌株蛋白水解能力差异很大，这可能与菌株本身的酶系有关，其中菌株T13蛋白水解能力最强，发酵结束后亮氨酸含量为559.52 mg/mL，但感官评分不高，可能与蛋白水解过度有关，菌株T 9具有良好的蛋白水解能力，发酵6 h后，亮氨酸含量达到451.59 mg/mL，然后依次是T 16和T7，而T1和T12的蛋白水解能力保持在相对较低的水平，可能与乳酸菌自身代谢有关，利用了部分氨基酸，具体机理还有待探究。

引理8 在算法1中，对所有的k≥0

 

引理9 令

 

若算法1中牛顿步在xk被接受, 则有

1.2.2 确定合理采光屋面角：采光屋面角，即温室最高透光点到前底角的直线与地面间的夹角。合理时段采光设计，即前屋面采光角为当地地理纬度减去6.5度。

‖Φμk+1(xk+1)‖+C1μk+1≤‖Φμk(xk)‖+C1μk.

引理10 若算法1中梯度步在xk被接受，但式(15)不成立, 则

‖Φμk+1(xk+1)‖+κμk+1≤‖Φμk(xk)‖+κμk.

结合引理9以及引理10可得以下结论:

推论1 在算法1中，要么牛顿步在xk被接受，要么梯度步在xk被接受但式(15)不成立， 则有

魏小安则从旅游者的需求角度分析了这一问题，他认为，从本质上说，旅游者在寻求文化、购买文化享受文化、消费文化、旅游经营者则是生产文化、经营文化、销售文化、文化品位越高，独特性越强，多样性越丰富就越有发展前景，在这里旅游文化的消费特性和经济性都得到了充分肯定［6］。

 

则令

为了便于后面的证明研究, 下面给出几个指标集

L:={k∈N|梯度步在xk+1处被接受}

 

引理11 设K={0=k0<k1<k2<}(K未必是一个无穷集合)，则

 

其中

 

引理12 设序列{zk=(μk,xk)}由算法1生成, 则

大约经过半个小时的捶打，米糊就变得很细、很黏，妈妈把它从“大石碗”中小心翼翼地取出来，放入竹匾里，让它稍微晾晒风干。过了几个小时，奶奶和爷爷把糍粑从竹匾里取下来，切成一条一条的块状，还印上福字花纹，十分好看。

{xk}⊆

推论2 设序列{zk=(μk,xk)}由算法1生成，则对任意的k∈N，有

 

引理13 设序列{zk=(μk,xk)}由算法1生成，若指标集K是无穷集合，那么{xk}的任一聚点都是问题(1)的解.

引理14 设序列{zk=(μk,xk)}由算法1生成，设子序列{xk}L收敛于x*∈Rn. 若在所有的xk以及k∈L处梯度步都被接受, 那么x*是函数ψ的稳定点，即ψ(x*)=0.

在上面结论的基础上, 下面讨论算法1的全局收敛性.

定理1 设序列{zk=(μk,xk)}由算法1生成, 那么{xk}的任意一极限点都是ψ的稳定点.

证明 由K的定义，可知若K为无穷集合，则由引理11可知{xk}的任一聚点都是ψ的稳定点，那么只需讨论K是有穷集合的情况，令x*为{xk}的一个聚点，其中{xk}L是收敛到x*的一个子序列. 那么梯度步在无穷多个k∈L处被接受，则由引理14知x*是ψ的稳定点，因此，下面只需考虑牛顿步在无穷多个k∈L处被接受的情况.采用反证法，假设ψ(x*)≠0, 由μk至少是线性下降的，则有

本刊讯 2016年6月15日，“我们的学校·邻家的学校”暨第四届小学教育国际研讨会在北京市海淀区中关村第三小学举行。本次研讨会由北京市海淀区教委国际交流与合作办公室、全国小学教育联盟、真实的学习研究院、现代学校发展研究院、全球教育共同体主办，美国斯坦福评价、学习、公平中心（SCALE）、芬兰赫尔辛基大学、创新学校联盟协办。

 

下面证明

 

(17)

若存在子序列{xk}L1，L1⊆L，使得

{f(zk)}L1→f(z*)=0,

成立，则由f(z)的定义，有

ψ(x*

则x*是ψ的全局最小点，那么ψ(x*)=0与假设矛盾，所以(17)式成立. 由线搜索(12)式，可知，对于充分大的k∈L，有

 

(18)

其中C:=σρlmaxC1(λk≥ρlmax).由μk→0, 由引理2，引理3(II)，以及推论1，对于k充分大，有

坝址区主要物理地质现象为基岩风化，由于岩体较完整，矿物颗粒细微均匀，结构致密，风化程度相对较弱。强风化带表现为岩体裂隙发育，岩石棱角不清，锤击易碎，断面可见新鲜面，用镐可挖掘。弱风化带裂隙较发育，岩石棱角可见，岩体多被切割成小块状，裂隙间有次生矿物充填，锤击声脆，断口为新鲜面，不能用镐挖掘，需爆破开挖。左岸基岩强风化层厚2～3 m，弱风化层厚4.0～6.0 m，右岸基岩强风化层厚3～4 m，弱风化层厚4.0～6.0 m，坝基强风化层厚1.5～3.5 m，弱风化层厚2～3 m。岩体中黑云角闪斜长片麻岩的风化程度较变质二长花岗岩强烈。

 

(20)

2(ψμk+1(xk+1)-ψμk(xk+1))=‖Φμk+1(xk+1)‖2-‖Φμk(xk+1)‖2=

(‖Φμk+1(xk+1)‖-‖Φμk(xk+1)‖)(Φμk+1(xk+1)‖+‖Φμk(xk+1)‖)≥

-(‖Φμk+1(xk+1)‖-‖Φμk(xk+1)‖)(Φμk+1(xk+1)‖+‖Φμk(xk+1)‖)≥

(21)

由式(19)、式(20)以及式(21)，对于充分大的k∈L，有

 

则对于充分大的k∈L，有

ψμk(xk+1)-ψμk(xk)≤-C.

(22)

假设L={l0,l1,l2,…}，则由式(19)、式(22)知，对充分大的lj有

ψ(xlj+1)-ψ(xlj)=

-(ψμlj(xlj+1)-ψ(xlj+1))+ψμlj(xlj)-ψ(xlj)+ψμlj(xlj+1)-ψμlj(xlj)≤

|(ψμlj(xlj+1)-ψ(xlj+1))|+|ψμlj(xlj)-ψ(xlj)|+|ψμlj(xlj+1)-ψμlj(xlj)|≤

(23)

因为μk→0，序列{‖Φ(xk)‖}为有界序列，那么对于充分大的k∈N，有

 

(24)

当lj充分大时，有

 

(25)

由式(23)以及式(25)，得，当lj充分大时，有

 

(26)

在式(26)两边同时取极限，可得矛盾，说明初始假设ψ(x*)≠0不成立. 定理结论成立.

下面讨论算法1的局部收敛性. 由式(9)定义的函数有如下性质：

性质1 (a)H在Rn+1上半光滑，若F(x)在Rn上Lipschitz连续，那么H在Rn+1上强半光滑；

(b)f在Rn+1上连续可微，并且f(z)=VTH(z)，V∈∂H(z)；

(c)ψ(x)连续可微，并且ψ(x)=VTΦ(x)，∀V∈∂Φ(x).

性质2 若(1)在解点x*处R正则，则对于任意的V∈∂H(0,x*)非奇异.

定理2 若{zk=(μk,xk)}由算法1生成, 设z*=(0,x*)为zk的一个聚点,若任一V∈∂H(z*)都非奇异, 那么

(a)x*是(1)的解；

(b){μk}二次收敛于0；

(c){zk}超线性收敛于z*；

(d) 若F′在x*处强半光滑，那么{zk}二次收敛到z*.

证明 见参考文献[1]定理6.4.15.

参考文献：

[1] 韩继业，修乃华, 戚厚铎.非线性互补理论与算法[M].上海：上海科技出版社，2006.

[2] FERRIS M C,PANG J S. Engineering and economic applicationgs of complementarity problems[J]. SIAM Review, 1997,39(4):669-713.

[3] HARKER P T,PANG J S. Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementarity problems: a survey of theory algorithms and application[J]. Mathematical Programming,1990,48(2):161-220.

[4] 唐嘉.求解非线性互补问题的光滑牛顿算法[J].福建师范大学学报(自然科学版),2013,29(6):18-22，66.

[5] 柴婧,马昌凤.求解非线性互补问题的光滑化拟牛顿法[J].桂林电子科技大学学报,2010,30(4):350-354.

[6] 朱琳,芮绍平.一种基于新NCP函数的非线性互补问题的光滑牛顿法[J].淮北师范大学学报(自然科学版)，2016，37(3):33-37.

[7] 程翠梨,王希云.一个新的NCP函数的构造及其应用[J].太原科技大学学报,2012,33(6):470-474.

[8] 雍龙泉.有关NCP函数的一些研究[J].德州学院学报，2012,28(6):1-6.

[9] SHAO P R, CHENG X X. A smoothing inexact Newton methed for nonlinear complementarity problems[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2010(233):2332-2338.