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加权网络上随机行走的平均首到达时间与平均吸收时间

更新时间:2016-07-05

0 引言

在过去的几十年,复杂网络上的随机行走模型由于在众多领域的广泛应用而被深入研究,特别是在无权网络研究领域[13]。例如:在无权网络上随机行走的研究过程中,平均首到达时间(Mean First Passage Time,MFPT)这一指标可以被用来刻画随机行走的效率,而成为学界在该领域的研究中关注的一个焦点,不同结构特性的无权网络上的平均首到达时间被分析以研究随机行走的特性[45]。然而,纯粹的无权网络不能完美地刻画真实世界的网络,例如:描述在社交关系网中人与人之间关系好坏的网络,不同关系的食物链网,不均衡流量的因特网等,用加权网络描述更加完美。因此,研究加权网络上的随机行走特性具有非常重要的意义,近来受到学界的广泛关注[610]。网络权重的异质性在随机行走动力学中扮演着重要的角色。

MFPT是学术界在研究复杂网络上随机行走过程特性时提出的一个重要刻画指标。MFPT被定义为:一个随机行走粒子从初始节点i出发,经过加权网络上的随机行走到达终点j的期望时间,表示为Tij。这一定义与文献[11]研究度不相关加权网络上随机行走的平均首次返回时间(Mean First Return Time,MFRT)不同,MFPT刻画的是随机行走终点之外的其它节点作为始发节点到达终点的时间。可进一步定义该终点j为网络上的一个吸收点,则网络上除节点j外的所有节点到达节点j的MFPT的平均值称为平均吸收时间(Average Trapping Time,ATT)。MFPT、ATT对于揭示不同的拓扑结构网络上的随机行走特性非常有效,例如在典型的分型网络[1213]、non-fractal无标度网络[14],fractal无标度网络[15],模块化的无标度网[16]等网络中均得到完美应用。因此,研究加权网络上随机行走的MFPT、ATT对于认识加权网络上随机行走特性具有非常重要的意义。事实上,章忠杰、林苑、吴安彩等人已经对不同的加权网络模型通过不同的方法进了探索[1719],本文通过图谱理论的方法从新的视角对加权网络上的随机行走做进一步研究。

在吴浈赴京仅仅3个多月后,国家食品药品监督管理局爆发重磅新闻。2006年12月26日,该局时任局长郑筱萸被中纪委“双规”。

1 加权网络上的随机行走

与以往研究不同,在众多的加权网络中我们研究度不相关加权网络G上的随机行走,GN个网络节点,节点的度在权重的形成过程中有非常重要的作用,即:对于两个互相连接的节点ij,度分别为didj,则两节点间的连边权重为wij=w0(didj)θ,其中,w0θ为网络的两个基本权重调节系数,调节其值的大小分别代表不同的真实网络结构[2021]。本文考虑无向加权网络,即wij=wji≥0。当wij=wji=0时,节点ij之间没有连边。则对于加权网络G,其任意两节点ij的权重wijG的拓扑特性可用网络的邻接矩阵W反映。令si表示G上任一节点i的权重,则因此,G的节点权重对角矩阵可表示为S=diag(s1,s2,…,sN)。令s表示GN个节点的总点权权重,则

接下来对加权网络上的随机行走进行分析。在加权网络上,每个时间步,一个随机行走粒子从当前位置以概率pij=wij/si进行带偏随机行走,即:每个时间步随机行走粒子从节点i向节点j以概率pij进行传输选择。令P表示网络G上随机行走的传输概率矩阵,则

P=S-1W

(1)

显然地,当G为规则网络时P为对称矩阵,否则P为非对称矩阵。令:

(2)

则,Γ为对称矩阵且与矩阵P有相同的特征值。即:假设ψΓ的特征向量,其相应特征值为λ,则P的特征向量,其对应的特征值为λ

λ1,λ2,…,λN表示矩阵ΓG上相应的N个特征向量,重新整理为1=λ1>λ2≥…≥λN≥-1,其相应的标准化、正交特征向量表示为ψ1,ψ2,…,ψN,其中ψi=(ψi1,ψi2,…,ψiN)表示Ψ的第i列向量。则

ΨTΨ=ΨΨT=E

(3)

所以,当i=j时,否则,

E表示N阶单位矩阵。根据实对称矩阵的性质有:

要求解极坐标形式的式(3)矢量方程,必须把e项代入欧拉恒等式(1),得出的笛卡尔坐标形式的矢量方程,将它分为两个标量方程,联立可求解θ3和θ4。把方程(1)代入方程(3),即:

ΨTΓΨ=diag[λ1,λ2,…,λN]

(4)

Γ=Ψdiag[λ1,λ2,…,λN]ΨT

(5)

2006年,CBA推行职业俱乐部准入制,山东黄金集团取代金斯顿直接入主,正式获得山东男篮所有权。山东黄金男篮俱乐部,也就此成为了黄金集团的一个二级公司。当时,山东黄金集团的领导王建华、时民,对男篮也是器重有加,常常到现场为球队加油打气。政策指引加上资本支持,山东男篮在进入联赛十年后,进入了最为“职业”的时代。

对两组患者临床疗效、胃黏膜病变程度、症状积分及不良反应发生率进行统计比较。(1)胃黏膜病变程度:0分,黏膜正常;1分,细颗粒,部分血管透见,单发灰色肠上皮化生结节;2分,中等颗粒,血管透见,多发灰色肠上皮化生结节;3分,粗大颗粒,皱裂消失,血管达表层,弥漫灰色肠上皮化生结节[4]。(2)症状积分:上腹疼痛、上腹饱胀、食欲不振、嗳气、恶心,总分15分,评分越高,症状越严重。(3)不良反应:恶心、头痛、便秘。

通过上边的分析,可以将矩阵P进一步表示为

显然地,

(6)

以上对加权网络上随机行走模型及特性进行了分析,得到了传输概率矩阵P关于ΨS的关系式,接下来利用这些性质对加权网络上随机行走效率进行分析。

2 加权网络上的平均首到达时间与平均吸收时间

那么,将(6)(13)和(14)带入式(7)得

t→∞时,可得:

Z=(E-P+R)-1

(7)

其中,RπΤ的行向量。则由文献[23]知:

(8)

其中,πN是静态矩阵为π=(π1π2,…,πN)的一个列向量,其每个元素通过如下方式求得:令Pt表示Pt次幂,那么,一个随机行走粒子从节点i出发经过t个时间步到达节点N的概率为表示为(pt)iN,(pt)iNPt它的第i行第N列元素。由式(6)可得:

(9)

(10)

加权网络G上的随机行走是马尔科夫过程[22],从节点i到节点N的MFPT(TiN)可以被精确通过基础矩阵Z中的一系列元素ziN描述,矩阵Z被定义为

在深基坑施工过程中,需要对土方进行及时的处理。由于土方需要用于后期的回填工作,如若现场存在较大的空地,便可将土方就地放置。但如果施工现场条件有限,就需要将土方运输至指定地点,保持交通的便利,同时也要尽可能地接近施工现场,以便后期的运输回填。在进行回填作业时,要先将深基坑内的杂物清理干净,每回填一层都要将土层进行夯实,提高回填土的紧密程度。

(11)

因此,加权网络上随机行走的静态矩阵可进一步表示为

(12)

感官评价其实质就是一类经验性的评价和分析方法,是对化学评价结果的有效补充,尤其是在化学评价难以判定的时候,感官评价结果通常更具有时效性和实用性。

进而,由文献[22]的关于静态概率矩阵的定义得

(13)

为求TiN,需要先给出Z的表达式。而Z中的RP对应的式(6)与(13)均为关于ΨS的表达式。因此我们也将E也表示为关于ΨS的关系式,则由式(3)知

τij为矩阵Γ的一个元素,则

(14)

本节通过图谱理论方法计算含有N个节点的加权网络G上的任意两节点间的MFPT。为了方便起见,将GN个节点标注为1,2,…,N。不失一般性地,令TiN表示从任一节点i到任一节点N的MFPT。在给出TiN后我们将进一步分析特殊节点的平均吸收时间(Average Trapping Time,ATT)。令TN表示节点N的ATT,即假定在网络G上有一特殊吸收节点NTN为网络G上所有节点i到达节点N的MFPT的平均值。ATT在复杂网络上随机行走研究中具有非常重要的意义。

(15)

其中,ziN可进一步表示为

(16)

另外,Γ的一个特征值为λ1=1,假设对应的特征向量为ψ1。从式(2)(13)及P1=1,可得

参照组行CT检查,患者仰卧于病床上,双臂向上举,运用GE16排螺旋CT,扫面患者髋臼上缘至股骨颈处,设置扫描层厚度为4毫米,间隔设置为5毫米,扫描患者病灶处。实验组行核磁共振检查,仪器运用飞利浦1.5T,患者仰卧,在体线圈旋转,获取图像。

(17)

那么通过上边的分析,TiN可表示为

(18)

式(18)的形式和文献[17]相同,但从另外一个角度给出了加权网络上MFPT解析公式,且当w0=1时,含义与文献[17]相同,但本文的结果更具广泛性。从式(18)知MFPT(TiN)的大小与目的地节点权重及边权系数等有关。结合度不相关加权网络的点权和总点权的数学表达式,进一步对式(18)进行处理得:

(19)

从式(19)可看出,在度不相关加权网络上影响MFPT的网络结构的重要因素有网络大小,网络边权控制系数θ。而网络边权控制系数w0对网络TiN的大小没有影响。

现如今,消费升级不断推动产业升级,消费者对安全、优质、品牌和特色猪肉产品更加青睐,消费越来越多样化。消费升级倒推产业升级,安全、健康、有特色的产品成为当前市场发展的方向,互联网巨头正是抓住这些消费变化,设计出通过互联网产生爆款的产品。智能化农业是一个很好的噱头或者好的商业模式,推出一个智慧养猪、“刷脸”的概念,可以吸引更多的资金进来。互联网技术公司既赚到技术服务的钱,又赚到智能设备的钱,更在资本市场上斩获丰厚。加上各地脱贫攻坚中产业扶贫的主要模式之一是养殖业,互联网企业借此可以吸引国家政策资金进来,关键是投资养猪享受优惠税收政策,通过农业项目,互联网企业可以把主流业务税收或金融风险大大降低。

(20)

考虑式(3)、(4),式(20)可一步表示为

(21)

利用柯西不等式,可得TN的下界为

(22)

通过式(22)知,ATT的下界与吸收点权重及网络总点权有关。进一步分析,与网络大小N及其平均度、吸收点度大小dN、网络边权控制系数θ有关,而与网络边权控制系数w0无关,这与任意两个节点间的MFPT的性质相同。

ATT在认识网络上随机行走特性中也具有非常重要的意义。在文献[17],[24]中已有呈现。根据ATT的定义,TN的表达式可表示为

对于度不相关网络,其度分布函数存为P(d)~d-γ(γ为度分布指数),其中〈d〉为一个固定的常数。由文献[17],对于式(22)中的〈dθ+1〉,当θ=-1时,〈dθ+1〉=1,可得θ=0时,〈dθ+1〉=〈d〉,可得当(θ≠-1,0)时,通过对dθ+1P(d)从dmindmaxd的积分,可得:

(23)

则将(23)代入(22)得

(24)

通过以上对〈dθ+1〉的分析知,在度不相关网络上的随机行走的节点的TN与度分布指数有密切关系。特别地,文献[17]给出了网络吸收节点度为dmaxTN的分析结果。

3 仿真分析

为了进一步认识度不相关加权网络上随机行走的特性,通过计算机仿真作进一步探索。不失一般性地,对第1节提出的网络模型,利用BA无标度网络模型建立加权网络模型[25],其度分布服从P(d)~d-3。首先,建立一个N=1 000,平均度〈d〉≈10的BA无权网络;然后,根据第1节提出的方法即可产生一个度不相关加权网络G。通过分析知,当θ=0,w0=1时,G退化为BA无权网络;当w0=0时,G上所有边的权重均为0,无意义。

小勺将一桶肉汤提到空场上。赵集“呀”一声,回店,又拎出一桶肉骨汤,一筐大碗,说:“爷们儿娘们儿,自个舀。”

下边对G上随机行走进行计算机仿真。分析不同θ值下,网络G上随机行走ATT的特性,我们对其仿真,仿真结果见图1,图1为在双对数坐标系下表示的仿真及式(22)表示的TN的下界的结果。从图1可以看出,ATT的大小与吸收节点的度大小有密切关系,当θ>-1时,吸收点的度越大ATT越小,吸收点的度越小ATT越大,呈反比关系,随着θ值的增大,不同大小度的节点的随机行走效率差异扩大;当θ<-1时,吸收点的度的大小与相应的ATT呈正比关系,随着θ值的减小,不同大小度的节点的随机行走效率差异扩大;当θ=-1时,所有节点的ATT大小相同。呈现这种仿真结果是由于ATT的大小与网络结构有着密切关系,θ取值改变了网络中的节点的连通性,当网络的连通性较好时,到达吸收节点的概率就大,所用的时间就少,反之时间就多。显然地,当θ值不变时,w0的取值大小,对于所有边权的改变是线性、同比例改变大,相对来说没有改变网络节点之间的连通性,因此,网络上节点的ATT无变化。由图1可以看出,仿真结果与式(22)的解析结果的分析一致。

N=1 000,〈d〉≈10,w0=1,S和A分别对应解析和仿真情况。 图1 在双对数坐标系上表示的网络G上取不同的权重系数θATT与吸收节点度d的关系图

Fig.1 Log-log plots of ATT versus d in network G with different weighted parameters θ

根据式(22)知,ATT大小与网络大小N有密切关系。为使结果更加直观,在θ=0.5,w0=1的情况下,我们在仿真时对网络G大小进行调节。网络G大小分别取为N=500,1 000,2 000,〈d〉≈10。仿真结果见图2。由图2知,在节点度大小相等的情况下,相应节点的ATT随着网络规模的增大而增大。

抑制就是约束、压制,不同学科对抑制作出了不同的解释,社会学认为,抑制是指为了保护自我形象而采取的回避和退缩的行为,是个体为了避免来自外界的批评和嘲讽而采取的一种自我保护措施,是在特定场合或具体任务面前缺乏信心的表现。[1]每个人都是生活在现实社会这个大家庭之中,个人的行为不但会受到国家的法律、法规和社会道德规范等的约束,而且还会受到来自个人内心准则的制约。

网络的连通性对网络上随机行走的效率有着很大影响。图3取不同网络平均度〈d〉的相同网络规模上的随机行走就行了仿真,其中N=1 000,θ=0.3,w0=1,〈d〉分别取6,10,14。从仿真图可以看出,在网络节点总数相同时,网络平均度越大,相同的节点度的ATT越小。这是由于在网络节点总数相同时,网络平均度〈d〉越大,网络上节点之间的连通性越好,这样在随机行走时到达某个节点的概率就会随之增大。因此,在网络节点总数相同时,网络平均度越大,则其节点的ATT普遍较网络平均度小的相同度的节点的ATT小,随机行走效率越高。

d〉≈10,θ=0.5,w0=1 图2 在双对数坐标系表示的不同网络节点数(N)网络GATT与吸收节点度d的关系仿真图

Fig.2 Log-log plots of ATT versus d in network G with different network size(N)

N=1 000,θ=0.3,w0=1 图3 在双对数坐标系表示的不同大小的网络平均度d网络GATT与吸收节点度d的关系仿真图

Fig.3 Log-log plots of ATT versus d in network G with different average degreed

4 结论

本文运用图谱理论的方法研究了度不相关加权网络上的随机行走过程。与文献[11]关注的加权网络上随机行走的MFRT指标不同,本文对MFPT、ATT两个重要刻画指标进行了分析。通过分析,我们发现网络的权重系数θ、吸收点度的大小、网络大小和网络平均度指标值的大小有关,而权重系数w0与两个指标值的大小无关。这主要是因为θ值的大小改变了网络节点的连通性,而w0没有。对上述分析结果本文进行了计算机仿真验证,解析结果与仿真结果一致。本文的研究对进一步了解加权网络上的随机行走行为和相关网络动力学有意义。

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景兴利,赵彩红,凌翔
《复杂系统与复杂性科学》2018年第04期文献

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