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图像恢复中的稳健交替方向乘子法*

更新时间:2009-03-28

图像恢复是一个经典的线性逆问题:

y=Ax+n

(1)

其中:x是原图像,即目标图像;A是线性算子的矩阵表示,一般为模糊矩阵;y为观测图像,即需要修复的图像;n则为噪声。众所周知,从y中修复出x是一个欠定问题,即存在多个解。幸运的是,如果x是稀疏的或在某个特定的域里稀疏,可以利用压缩感知(compressed sensing)理论[1-2]以较少的代价得到满意结果。

对于图像来说,x表示的是各个像素点的灰度值,因此x不是稀疏变量。但是图像在某些特定的小波或框架(一般假设为紧框架)中表示的系数是稀疏的。文献[3]提供了这两种表示方法——分析(analysis)和合成(synthesis)方法。对于前者来说,其模型为:

 

(2)

其中,λ为正则化参数,P为分析算子,则Px表示的是在小波基或紧框架下的稀疏系数[4]。后者的模型为:

 

(3)

其中,W为框架矩阵,则图像x=Ws,其中s为相应的稀疏系数。注意式(2)和式(3)都是凸优化问题,其正则化项l1范数惩罚的都是稀疏系数,从而达到其正则化的目的。

解决问题(2)~(3)最经典的方法是迭代阈值收缩(Iterative Shrinkage/Thresholding,IST)算法,其核心是所谓的阈值收缩函数,也被称为Moreau近似映射或去噪函数,定义为:

 

(4)

f(x)为l1范数时,式(4)即为众所周知的软阈值(soft thresholding):

fg都为可微分函数时,其次微分为它们的梯度,即∂f={f}和∂g={g},则式(9)和式(10)为:

我国历史上有文字记载的第一次为朝廷藏书专门建造的楼阁是石渠阁和天禄阁。始建于汉高帝元年(公元前206年),位于长安(今陕西西安)未央宫宫殿群的石渠阁和天禄阁,用于贮藏图书典籍。后人由此引申,把官府典籍收藏的处所,别称为“石渠”和“天禄”。

 

(5)

但是当矩阵A处在病态条件下,IST算法在解决问题(2)~(3)时会变得很慢。为了克服这一点,许多加速版本的IST算法被提出来了。例如,TwIST(Two step IST)[5]中每一次的迭代取决于之前的两次迭代,而在IST算法中,其只取决于之前一次的迭代。在许多基于小波和全方差(Total Variation,TV)的图像恢复问题中,它比IST算法在计算速度上有了很大幅度的提高。另外一种经典的快速IST算法(Fast IST Algorithm, FISTA)[6]也在速度上比IST算法有明显优势。类似于TwIST,FISTA也是一种两步版本的IST算法,并且是Nesterov优化梯度算法(针对光滑凸问题)[7]的非光滑变体。还有一种IST算法的变体——SpaRSA算法[8]通过每一步选择不同的步长来提高算法的速度。

转型的“火山”——跨越不过去就可能被烧死。处于价值链低端的不利位置,需要企业选择转型求发展,但转型就像跨越火山那样不容易,一旦转型失败,可能会遭受灭顶之灾。

近几年来,除了以上的IST系列算法,交替方向乘子法(Alternating Directions Method of Multipliers,ADMM)[9]受到很多学者的关注。ADMM融合了变量分裂技术[10]和增广拉格朗日方法[11],其与最近被提出来的Bregman迭代方法[12-13]有着紧密的联系。作为典型的ADMM算法,文献[14]针对非约束优化问题,提出了一种分裂增广拉格朗日收缩算法(Split Augmented Lagrangian Shrinkage Algorithm,SALSA),在图像去卷积、图像恢复以及核磁共振成像中,SALSA的表现都优于FISTA、TwIST和SpaRSA。

尽管SALSA相对于其他的算法表现出了很大的优势,但是它在具体实施中怎样选择惩罚参数是一个难题。事实上,SALSA的结果对惩罚参数的选择非常敏感,为了达到满意的结果,在实施中不得不做大量的尝试以选择最合适的惩罚参数。本文正是为了克服这一难题,利用惩罚参数自适应选择原理[15],提出了一种稳健交替方向乘子法,它对惩罚参数的选择具有非常好的稳健性,并且其在各项评价指标上也优于SALSA和其他算法。

1 ADMM算法框架

1.1 优化问题和ADMM算法

首先考虑下面的非约束优化问题:

 

(6)

其中,BM×NxNf:Ng:M。变量分裂技术就是通过约束v=Bx来增加新的变量vM,使式(6)变成一个约束优化问题:

 

(7)

而ADMM[9]算法就是通过交替优化由式(7)生成的增广拉格朗日方程得到的,具体见算法1。

 

算法1 ADMM算法

 

Alg.1 ADMM algorithm

  

Step1:设k=0,选择μ>0,v0和d0Step2:xk+1∈argminxf(x)+μ2Bx-vk-dk2Step3:vk+1∈argminvg(v)+μ2Bxk+1-v-dk2Step4:dk+1=dk-(Bxk+1-vk+1)Step5:k=k+1Step6:如果满足停止条件就停止,否则转Step2

1.2 ADMM收敛性定理

对于问题(7)和相应的ADMM算法(算法2),Eckstein和Bertsekas[16]给出了收敛性定理:

定理1[14,16] 针对问题(7),对于任意μ>0,v0d0M,假设下面四个假设成立:

总之,ADMM算法的优化条件是式(8)、式(9)和式(10)。式(10)在迭代过程中总是满足的,而原始和对偶剩余值:prk+1drk+1在迭代中收敛至0,分别使得式(8)和式(9)满足。

假设2:fg是正常的闭凸函数;

基于上面的ADMM算法框架,可以结合基于原始和对偶剩余值的惩罚参数μ自适应选择原理[15],得到稳健ADMM(Robust ADMM,RADMM)算法。

假设4:三个序列(xk)kN,(vk)kM和(dk)kM满足:

 

那么,如果问题(7)有解,序列(xk)k收敛到它的一个解;如果问题(7)无解,则两个序列(xk)k和(dk)k中至少一个发散。

1.3 优化条件分析

如果直接用FFT算法来表示式(27),则有:

(2) 对于套箍指标单参数变化试件,骨架曲线的改变显著,如图6(b)所示。套箍指标增大,钢管对核心混凝土的约束作用增强,使得试件承载力衰减缓慢,延性变好;而承载力的差异主要是由于柱截面或钢管截面的不同所致。

假设x*v*是原始可行解,d*为对偶可行解,则对于原始可行性来说,有:

v*=Bx*

(8)

其对偶可行性有

0∈∂f(x*)-μBTd*

(9)

0∈∂g(v*)+μd*

(10)

邹某某受雇于孙某某从事货运工作。邹某某驾驶的孙某某所有的重型货车在行驶途中发生故障,邹某某下车查看,在返回驾驶室的过程中,被刘某某驾驶的拖拉机拖车车厢挤伤胸部,经抢救无效死亡。后经公安交警大队认定,刘某某负事故主要责任、邹某某负次要责任。事故发生后肇事方以经济困难为由拒不赔偿,邹某某的雇主也置之不理。邹某某的妻子认为雇员在从事雇佣活动中受到的伤害,雇主应对其承担赔偿责任。邹某某之妻以此为由将孙某某诉至法院。请求法院判决孙某某承担赔偿责任。①

2016年9月下旬,蜡熟期当青贮玉米平均株高为248.1 cm,全株鲜草产量84 000 kg/hm2。2017年4月24日,燕麦处于开花-结实期,植株平均高度104.6 cm;光叶紫花苕处于开花-结荚期,平均高度56.3 cm。混播青干草产量5 855 kg/hm2,燕麦和光叶紫花苕分别为5 117 kg/hm2和738 kg/hm2,各占87.4%和12.6%。

0=f(x*)-μBTd*

(11)

0=g(v*)+μd*

(12)

由算法1中的Step2,xk+1的优化解,有:

0∈∂f(xk+1)+μBT(Bxk+1-vk-dk)

 

=∂f(xk+1)-μBTdk+1+μBT(vk+1-vk)

“昆南”阳平声字“无”的唱调(《昭君》【山坡羊】(二段)“道昭君要见无由见”,804),该单字唱调的过腔是。虽然这个过腔的音乐材料都相同,都来自于剧种主调,但由此组成的乐汇或句型却可以分作两节,其中的是第一节主调性过腔,是第二节主调性过腔。这个过腔即是由同一种音乐材料组成的“主调+主调”两节型过腔①由于主调的不同,“昆唱”过腔的这种构式还可以继续细分为不同主调构成的多种构式,囿于篇幅,本文恕不展开。。

(13)

同理,vk+1的优化解,因此

 

=∂g(vk+1)+μdk+1

(14)

分别比较式(10)和式(14),式(9)和式(13),不难发现vk+1dk+1通常满足式(10),而式(9)是通过迭代满足的,即当vk+1-vk0时,式(13)→式(9)。因此

drk+1=μBT(vk+1-vk)

(15)

被当成是式(13)的剩余值,也称为第k+1迭代步时的对偶剩余值(dual residual)。而

prk+1=Bxk+1-vk+1

(16)

被称为原始剩余值(primal residual)。

假设1:BM×N是列满秩矩阵;

2 稳健ADMM算法框架

假设3:两个序列(ζk)k⊆[0,+∞)和(ηk)k⊆[0,+∞)分别满足

2.1 惩罚参数自适应选择原理

为了加快ADMM算法的收敛速度,可以考虑每一个迭代中采用不同的惩罚参数μk,这样也减少了算法对初始值的依赖。由ADMM算法的迭代过程可知,μ越大,对远离初始可行解的数值惩罚越大,从而产生小的初始剩余值prk+1。但是μ越大,会使对偶剩余值drk+1增大;相反,如果μ越小,能减少drk+1,但是会增加prk+1。基于这些考虑,产生了惩罚参数自适应选择原理[15]

 

(17)

其中,α>1,β>1,δ>1。式(17)的目的就是用δ来捆绑prk+1drk+1,使它们都收敛至0。例如,当prk+1相对于drk+1过大惩罚参数增加至αμk;相反,当prk+1相对于drk+1过小惩罚参数减少至μk/β。事实上,为了进一步减少计算,式(17)中的距离标量2-范数:可用|pr|(和|dr|)来代替,后者被定义为矩阵各元素的绝对值之和,例如其类似于向量的1-范数。

值得一提的是,在ADMM算法中惩罚参数μk+1调整的时候,根据d=λ/μ也需要及时更新dk+1,即:

 

(18)

2.2 稳健ADMM算法

结合算法1,式(15)、式(16)和式(18),可以得到基于惩罚参数自适应选择的RADMM算法,见算法2。

 

算法2 RADMM算法

 

Alg.2 RADMM algorithm

  

Step1:设k=0,选择μ0>0,δ>0,α>0,β>0,v0和d0Step2:xk+1∈argminxf(x)+μk2Bx-vk-dk2Step3:vk+1∈argminvg(v)+μk2Bxk+1-v-dk2Step4:dk+1=dk-(Bxk+1-vk+1)Step5:prk+1=Bxk+1-vk+1Step6:drk+1=μkBT(vk+1-vk)Step7:判定:如果prk+1>δdrk+1Step8:μk+1=αμkStep9:dk+1=dk+1/αStep10:否则如果drk+1>δprk+1Step11:μk+1=μk/βStep12:dk+1=βdk+1Step13:否则Step14:μk+1=μkStep15:dk+1=dk+1Step16:结束判定Step17:k=k+1Step18:如果满足停止条件就停止,否则转Step2

2.3 收敛性分析

为了证明RADMM收敛,可把RADMM的算法过程看作是两个部分组成:①运行RADMM有限个迭代;②接下来运行SALSA。事实上,在RADMM的实施中,由于惩罚参数自适应选择,原始和对偶剩余值随着迭代过程将会相互趋近,在一定的迭代步骤后,一般最后会出现:|prk+1|/δ<|drk+1|<δ|prk+1|(或|drk+1|/δ<|prk+1|<δ|drk+1|),此时μk+1=μk,就退化为SALSA算法了。注意,以上并没有说明当RADMM算法中一定出现μk+1=μk,就会从此退化成SALSA算法,因此在下一个迭代中有可能满足使μk+1增大或缩小的条件。但是,由2.1节的分析可知,正是由于对惩罚参数的自适应控制,使算法能收敛得更快,使原始和对偶剩余值同步和同水平减少,提高了结果的精度。

3.4 加强技术培训,完善科技服务 坚持“实用、实际、实效”的原则,大力开展农民实用技术培训和现场技术指导工作,重点示范推广韭菜标准化栽培、集约化育苗、病虫害防控、产品产后处理等技术,提高种植户生产优质产品的能力,实现优质优价。加强与科研院所的合作,建立科技人员到户、良种良法到田,技术要领到人的科技服务体系。充分利用培训示范、现场指导及媒体宣传等方式,提高农民认知,促进新品种、新技术的示范推广及应用。

无论如何,RADMM都可以看作是:在前面有限迭代中通过调整惩罚参数μ来控制原始和对偶剩余值,然后停止使用惩罚参数自适应选择,从而退化成SALSA算法。基于此,如果SALSA收敛,则RADMM收敛。而1.2节保证了SALSA的收敛,从而保证了RADMM的收敛。下面将利用RADMM进行图像恢复。

3 基于Parseval紧框架的图像恢复

这一部分采用式(3)作为优化模型对图像进行修复,并进一步假设A为块轮换卷积矩阵(block-circulant convolution matrix),W为标准化紧框架矩阵(即Parseval紧框架),则有:

 

(19)

其中,WHW的共轭转置,I为单位矩阵。对于问题(19),结合问题(6)和算法2,设置:

 

(20)

对于式(20),算法2中的Step 2~3变为:

 

(21)

 

(22)

简单分析可知,在式(21)中,通过设置目标函数的导数为0,可以得到:

sk+1=(WHAHAW+μkI)-1ωk

(23)

其中,ωk=WHAHy+μk(vk+dk)。而式(22)是软阈值(见式(5)):

vk+1=Softλ/μk(sk+1-dk)

(24)

在式(23)中,根据Sherman-Morrison-Woodbury矩阵求逆公式,有(WHAHAW+又由于A是块轮换矩阵,因此其能被分解为:

鸦片战争前后,为了解决严峻的民族危机,湖湘学派的代表人物魏源大举倡导 “变法改革的经世致用”的思想,提出“师夷长技”的观点。魏源认为这里的“致”有着施行、取得的双重涵义,这里的“用”也有着日用、功用的双重涵义;因而“经世致用”就是把经义施行于日用实际,取得经国济民之功用。这无疑包含着知行问题,因为经义属于“知”的范畴,而施行之义的“致”则与“行”相通。为此魏源揭开了“知行之辩”在近代的序幕。

A=UHDU

(25)

其中:U为酉(unitary)矩阵(即有UHU=UUH=IUH=U-1),代表了二维离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT),通过快速傅里叶(Fast Fourier Transform,FFT)算法来计算UUH的计算复杂度为O(NlogN);D为对角矩阵,其对角元素即为A的DFT系数。因此,

(AAH+μkI)-1=[UHDU(UHDU)H+μkI]-1=(UHDHDU+μkUHU)-1=UH(+μkI)-1U

(26)

其中:是把对角矩阵D所有的元素取绝对值的平方,因此也为一个对角矩阵。则+μkI为对角矩阵,所以很容易得到(+μkI)-1(只需把+μkI的对角元素取倒数,其计算复杂度为O(N))。综合得到:

 

(27)

对于问题(7),其优化的充分必要条件如下。

 

(28)

其中:“∘”和“·—”分别表示点乘和点除,即对应的元素相乘和相除;F表示FFT算法,则F-1表示反FFT算法。

值得一提的是,由于采取的是设置方案(20),因此在算法2中相应的B=I。算法2中计算复杂度最大的两步是Step 2和Step 3,为O(NlogN),其他迭代步骤的计算复杂度为O(N)或O(1)。因此,总体计算复杂度为O(NlogN)。

4 实验和结果

本实验中,对于模型(1),原始图像x选用图像“Lena”(见图1,512×512像素),A对应9×9的均匀模糊算子,其通过构造相应的循环矩阵并进行FFT变换得到,n为高斯噪声。y为模糊和加噪声后的观测图像,例如,信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)为40 dB的模糊图片见图2。

  

图1 原始图像Fig.1 Original image 图2 观测图像Fig.2 Observed image

下面对RADMM和目前热门的算法(重点是SALSA)从不同角度进行比较。所采取的主要评价指标有:时间、迭代数、均方差(Mean Square Error, MSE)和改进信噪比(Improved SNR,ISNR),其定义为其中x为原始图像,y为观测图像,表示算法得到的重构图像,表示矩阵H的Frobenius范数,定义为

4.1 比较RADMM和其他算法

  

图3 RADMM重构图像 Fig.3 Reconstructed image by RADMM 图4 SALSA重构图像 Fig.4 Reconstructed image by SALSA

RADMM的特定参数设置为δ=10,α=β=2。其和SALSA[14]中的停止条件可设定为Tolerance=其中为了方便比较算法,算法TwIST[5]、SpaRSA[8]和FISTA[6]的停止条件为其目标函数值ObjectiveObjectiveSALSA(sk),其中ObjectiveSALSA(sk)为算法SALSA停止时的目标函数值,并设置算法的最大迭代步数不超过500(Iterations≤500)。正则化参数λ的选取则是基于实验效果(如ISNR最好),一般为0.01左右。经过不同的尝试,当μ= 0.001时,RADMM、SALSA、TwIST、SpaRSA和FISTA都达到了算法本身所能达到的较好结果,当SNR为40 dB时,不同算法重构的图像如图3~7所示。当SNR分别为40 dB、35 dB和30 dB时,运算时间、迭代数、MSE和ISNR的对比如表1所示。

  

图5 TwIST重构图像 Fig.5 Reconstructed image by TwIST 图6 SpaRSA重构图像Fig.6 Reconstructed image by SpaRSA

  

图7 FISTA重构图像Fig.7 Reconstructed image by FISTA

 

1 不同算法结果比较

 

Tab.1 The comparison among algorithms

  

算法SNR时间/s迭代数MSEISNR/dBRADMM4015.28386.493515.3844.85.783016.7980.33.29SALSA4030.71745.75.683530.51797.32.413032.119159.30.21TwIST4029035243.15.943531336195.82.5330318362154.20.25SpaRSA40>354>50040.36.2335>356>50092.72.8630>354>500142.20.43FISTA40>259>50059.74.5235>259>500112.41.9830>258>500173.20.11

从表1可以看出,在不同噪声水平下,对于指标:时间、迭代数、MSE和ISNR,RADMM都好于SALSA,并远远优于其他热门的算法。

4.2 比较RADMM和SALSA

4.2.1 改进信噪比和均方差

SALSA算法具体实施的一个难点就是选择合适的惩罚参数μ,这也给算法的结果带来很多不确定性。而RADMM则很好地克服了这个问题。为了验证这一点,在4.1节的实验设置中改变μ从10-6至104,其他设置不变。对图像“Lena”实验得到的结果如图8~9所示。

  

图8 不同μ下的RADMM和SALSA所得ISNR对比Fig.8 ISNRs obtained by RADMM and SALSA over μ

  

图9 不同μ下的RADMM和SALSA所得MSE对比Fig.9 MSEs obtained by RADMM and SALSA over μ

从图8可以看出,SALSA得到的ISNR对μ的选择非常敏感,当μ=0.01左右时,SALSA取得较好的ISNR(这也是4.1节设置μ为0.01的原因),但当随着μ减少或增大时,ISNR急剧减少,因此SALSA需要不断地尝试μ才能得到满意的结果。与之形成对比的是,RADMM得到的ISNR对μ的选择很稳健,所以在使用RADMM时,对μ的选择相对随意。

同理,依照图9,SALSA得到的MSE对μ的选择非常敏感,当μ=0.01左右时,SALSA得到较小的MSE,而当随着μ减少或增大时,MSE急剧增大;但是RADMM却表现出了相当好的稳健性。

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4.2.2原始剩余值和对偶剩余值

除了把停止条件只限定为迭代数Iterations≤500,其他的实验设置和4.1节相同。对图像“Lena”实验得到的原始和对偶剩余值的演变过程如图10所示。注意,由于SALSA只是RADMM的一个特殊情况,因此SALSA的原始剩余值pr和对偶剩余值dr可由在RADMM中设置α=β=1得到。RADMM中原始和对偶剩余值分别为prk+1=sk+1-vk+1drk+1=μ(vk+1-vk),而SALSA中的原始和对偶剩余值也可这样得到。

从图10不难看出,随着迭代的进行,RADMM使prdr收敛到同一水平。根据2.1节的分析,这非常有利于算法快速地收敛到全局最优解。而SALSA中由于没有在迭代过程中对惩罚参数μ进行控制,导致prdr各行其道,不利于其收敛到全局最优解,这也是4.1节所显示出SALSA劣于RADMM的原因。

男中音说:“给你带来的不便我代表厂家向你表示歉意。我们的态度是真诚的,所做的承诺会在最短时间内予以兑现,需要说明的是,此事无关赔偿!”

  

图10 RADMM和SALSA中pr和dr的演变过程Fig.10 Evolution of pr and dr over iterations

4.2.3 迭代扰动

RADMM和SALSA中的第k步迭代扰动被定义为:

 

从定义可以看出,迭代扰动衡量的是每一个迭代中,不同分裂变量之间的差异。其一定程度上反映了算法的收敛状况,因为在算法的不断迭代过程中,不同的分裂变量会最终收敛到全局最优解。这里仍然设定算法停止条件为Iterations≤500,并取μ=0.1、0.01和0.001,则相应的RADMM和SALSA的迭代扰动如图11所示。

  

图11 RADMM和SALSA中迭代扰动的演变过程Fig.11 Evolution of violations over iterations

分析图11可以得出: RADMM的迭代扰动总是低于SALSA,并且随着μ的减少(增大),这两种算法迭代扰动的差距增大(减少)。这也从侧面反映出RADMM性能上的优势。

针对过程控制仪表应用能力的培养需求,增设高级PLC技术、现代测控系统两门选修课程;改进电气控制与PLC技术、控制仪表及装置等专业课程的教学模式,如电气控制与PLC技术增加大量的工程案例教学及利用实验室设备进行现场编程调试等形式的技能测试环节,控制仪表及装置利用实验室现有仪器设备以及实验教学平台实施现场仪表教学,并增加平时预留查阅作业以及仪表技能测试内容;工业控制网络课程也逐步采取考试方法改革,提高学生仪表通信与控制方面的实时设计能力。

5 结论

为了取得良好的效果,交替方向乘子法在实际应用中不得不做大量的尝试,以选择合适的惩罚参数。针对其对惩罚参数这一较差的稳健性,提出了稳健交替方向乘子法。正是采用了惩罚参数自适应选择原理,对原始和对偶剩余值进行绑定,使两者同步和同水平减少,不但使收敛加快,并且提高了结果的精度。在基于紧框架的图像恢复应用中,稳健交替方向乘子法不但对惩罚参数的选择表现出良好的稳健性,而且在时间、迭代数、MSE和ISNR上都优于SALSA,尤其在前两项指标上远远优于其他目前热门的算法TwIST、SpaRSA和FISTA。

尽管稳健交替方向乘子法表现出了很多优势,但是它只适合两项优化问题,例如类似于式(2)和式(3)这样的问题:一项是数据保真项,另一项是正则化项。因此,怎么将稳健交替方向乘子法框架扩展到三项甚至更多项的优化问题将是以后研究的内容。

参考文献(References)

三是经济发展因素。有利面是转变经济发展方式正在深入推进,经济增长的耗水强度不断下降,资源节约型的国民经济体系正在建设之中。不利面是经济结构仍不合理,特别是过剩产能、落后产能仍有较大比例,高耗水、高污染的基本产业特征尚未根本改善,水资源超载、污染现象严重。

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本文以船舶应用需求为根本出发点,提出船舶分布式数据网络管理平台,根据智能船舶系统的固有特点进行针对性研究。该平台不仅能弥补传统数据管理平台的缺陷,而且具有全面感知、可靠传递和智能应用的优势,应用于远洋船舶运输管理中,可建立集航运企业各部门和远洋船舶于一体的安全监控平台。此外,船舶分布式数据网络平台可大大提高船岸定时交互数据和协作管理业务的效率,增强远洋船舶物资运输、航行、机务系统和油耗监测管理等方面的安全性、可靠性和高效性,为船舶智能管理业务和应用提供有力的数据支撑。

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吴越,曾向荣,周典乐,刘衍,周家庆,周经纶
《国防科技大学学报》2018年第02期文献

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