1 预备知识

倾斜理论在代数表示论中扮演着重要的角色，近年来有许多作者对其进行了研究，一些研究成果已经引起了国内外学者的的广泛关注（详见[1－5]）.2008年雷雪梅在文献[6]中引入了W-C-倾斜模的概念，2016年何东林等在文献[7]中将倾斜对概念中第四个条件弱化，介绍并研究了弱C-倾斜对的概念，讨论了弱C-倾斜对的性质和等价刻画.本文放宽了倾斜对概念中的第三个条件，给出了相对弱倾斜对的概念，研究了相对弱倾斜对的性质及等价刻画.

文中的R均指Artin代数，模都是有限生成左R-模，子范畴关于同构封闭，R-mod表示有限生成左R-模范畴.设y为R-mod的一个子范畴，表示具有有限右y分解的模N组成的范畴.N的右y维数 codim，N=min{m|存在正合列 0→M→Y0→Y1→…→Ym→0，其中 Yi∈y，0≤i≤m}.用表示中所有满足codimlM≤n的模N组成的范畴.对偶地,可定本文中的其他记号如 addRN，Nא，等详见文献[2].

从实证分析结果上来看，通货膨胀率(X2)、死亡率(X6)、老龄化程度(X8)对寿险保费收入无显著性影响。

2 主要结论

定义 1 设 U，V∈R-mod.称模对（U，V）是相对弱倾斜对，如果（U，V）满足以下条件:

（1）U 自正交；（2）V 自正交；

（3）V∈Uא；

推论2 设U是自正交模.若

证明 ⇒）显然成立.

(4) 第四层时间服务：连接信号子网的网关A和网关B作为NTP服务的服务器端来提供时间服务，信号子网内的所有主机(包括ATC车载设备、ATC其它轨旁设备和DCS设备)作为NTP服务的客户端来同步两个网关的时间。

证明 因为 （U，V）为相对弱倾斜，由定义知根据文献 [2]引理3.3易知，V⊥⊆U⊥且 Vא⊆Uא.

证明显然成立.

加强电厂智能化建设，提升电源侧的可观可控性，提升电源电网协调发展水平；进一步提升可再生能源发电预测技术水平和大规模可再生能源并网运行控制技术水平，全面建设新能源发电功率预测系统，加强新能源与传统电源、电网、负荷统筹规划，提升电力系统对新能源的整体接纳能力；通过建立有效的运营补偿机制激励电源主动参与调峰调频等辅助服务，优化电源结构。

⇐）设N∈V⊥∩Vא，则存在正合列0→N1→U0→N→0， 其中 N1∈Uא且 U0∈addRU.因为（U，V）是相对弱倾斜对,所以有正合列0→U0→V′→X→0，其中 V′∈addRV 且考虑推出图（图 1）.

图1 推出图

注意到 N∈V⊥和，由文[2]中引理 2.1得Y≅N⊕X.又由正合列0→N1→V′→Y→0知Y∈Gen（V）.从而有 X∈Gen（T）.所以存在正合列 0→N′→TN→N→0，其中 TN∈addRV.根据 T 的自正交性及 N∈V⊥，得 N′∈V⊥.根据文[2]中引理 2.1及命题2 易知 N′∈Uא.可见 N′∈V⊥∩Uא.对 N′重复上面的过程，如此继续下去可得N∈Vא.

根据命题2，容易得到如下结论.

推论1 设（U，V）是相对弱倾斜对.如果

传统的实训报告只有标题，学生需按照教师课堂上讲述的内容书写报告，看起来给学生很大的发挥空间，其实没有引导，且学生处于专科层次，学习方法、主动性都有所欠缺，如果没有教师的限制和引导，学生不易养成良好习惯[2]。预先将印有实训内容、要求、方法的《健康评估实训报告册》发放给学生，利于学生课前预习和课后复习。预先打印在实训报告册上的内容重、难点突出，可以引导学生有目标地进行实训。同时学生还可以自主合理分配实训时间，对照《健康评估实训报告册》进行规范化操作，揣摩实训方法并同步完成实训报告。

命题2 如果（U，V）是相对弱倾斜对，那么N∈Vא当且仅当 N∈V⊥∩Uא.

命题1 如果 （U，V）为相对弱倾斜对，那么V⊥⊆U⊥且 Vא⊆Uא.

观赏竹资源的收集与保存。望江楼公园新建散生竹种质资源圃，收集(江苏、浙江、陕西、湖南、四川)散生竹种质资源135份；划定散生竹栽培区(读竹苑)为散生竹种质资源圃，有散生竹种质资源65份。2014年，整理并新建了2个丛生竹引种圃为丛生竹种资源圃，分别位于望江公园(面积0.1 hm2)与成都竹博园(面积3.0 hm2)，用于丛生竹的引种栽培，收集(广东、福建、四川)丛生竹种质资源23份；划定6.67 hm2丛生竹栽培区为丛生竹种质资源圃，有丛生竹种质资源70份。2015年3月，收集广西南宁、桂林2地的竹种质资源36份，栽植于丛生竹引种资源圃。

设U是自正交模,将得到以下主要结论.

定理1 设U是自正交模.若

在中国古代木结构被应用到文化、宗教、住宅等建筑中，另外在大型构筑物与桥梁中也得以应用，木结构的历史漫长，是人类智慧的凝聚，同时也是人与自然的媒介，木结构的发展为我国建筑事业发展注入了生命力。

同时还要对采购人员进行严格的规范，保证产品的可靠性。同时产品的类型和结构能够在保证可靠性的基础上，选用经济合理的原材料，设计出比较经济的生产模式。设计同时应该考虑到操作的简易性和维修的方便性。产品的形式和类型的不同也影响着产品的经济性能，在设计时这些方面需要一一考虑到，遗漏任何一个方面对其设备整体的可靠性都带来一定的影响。在满足产品技术要求的前提下，采取经济合理的原材料以及元器件，以降低成本；构思要全面，设计产品的结构要周密，确保产品的良好操作维修性能，确保其设计科学合理性；生产过程要严格按照要求来进行，保质保量的完成生产，要控制好其生产的数量，确保其可靠性。

另一方面，对任意，都有正合列 0→X→Pn→…→P2→P1→N→0，其中 X∈Uא，Pi∈Pres∞（V）（1≤i≤n）.由于 V 是 Pres∞（V）的自正交生成子,故存在正合列0→L→W→X→0和0→W→Vn→…→V2→V1→N→0，其中 L∈Pres∞（V），Vi∈addRV.因为

所以L∈Uא.由文 [2]中引理2.1得W∈Uא.因此N∈Pres∞（V），从而得到

定理2 设U是自正交模且

若 U∈Copresn（Pres∞（V）），则有

证明 设 U∈Copresn（Pres∞（V）），则存在正合列 0→U→Pn→…→P2→fP1，其中 Pi∈Pres∞（V），（1≤i≤n）.令 P0=Coker f，考虑正合列 0→U→Pn→…→P2→fP1→P0→0，因为 Pi∈Pres∞（T），由定理 2 得，P0∈Pres∞（V）.又根据文献[2]中引理 2.3可得正合列 0→L→W→U→0，其中 L∈Pres∞（V）且因为 Pres∞（V）=V⊥∩Uא，所以 L∈Uא⊆U⊥且 V∈U א，可见 W≅L⊕U.又因为关于直和项封闭，所以

定理3 设U为自正交模且

如果 Pres∞（V）＝V⊥∩Uא，那么（U，V）为相对弱倾斜对，且codimaddRVU≤n.

参考文献:

[1]L.Angeleri H¨ugel,D.Herbera,and J.Trlifaj.Tilting modules and Gorenstein rings[J].Forum Math,2006，18（2）：211－229.

[2]Wei J,Xi C.A characterization of the tilting pair[J].Algebra，2007，317：376-391.

[3]S.Bazzoni and D.Herbera.One dimensional tilting modules are of finite type[J].Algebr.Represent.Theory，2008，11（1）：43－61.

[4]H.Dao and R.Takahashi.Classification of resolving subcategories and grade consistent functions.Preprint[J].available at http://arxiv.org/pdf/1202.5605 v1.pdf,2012.

[5]Miyashita Y.Tilting modules associated with a series of idempotent ideals[J].Algebra，2001，283：485-501.

[6]雷雪萍.W-C-倾斜模[J].山东大学学报（理学版），2008，43（10）：27-30.

[7]何东林，李煜彦.弱C-倾斜对[J].井冈山大学学报（自然科学版），2016，6（2）：6-8.