期权(options)是最重要的现代金融衍生证券之一，作为一种金融创新工具，在防范风险和投机中起着非常重要的作用，不同期权其防范风险的价值不同。而勒式期权(strangles)则广泛用于标的资产价格波动较大时的套期保值和对冲风险，同时规避价格上涨和价格下降的风险，其实质是具有相同标的的资产和到期日的一个看涨期权与一个看跌期权的套利组合[1]。相比于欧式勒式组合，由于美式勒式期权的收益牵涉到新的最优执行边界，不能简单由美式看涨期权与美式看跌期权的收益所复制，必须重新加以定价[2]。此外，尽管对于单一标的资产的美式勒式期权定价问题拥有一定的研究成果，但基于多个标的资产的多维美式勒式期权定价研究尚处于初级阶段[3]。

对于多维期权定价问题，需要在Black-Scholes公式的基础上经过一系列的变换，通常会得到一个描述该衍生证券价格变动的偏微分方程[4]，但很难获得解析解[5]。数值分析方法是复杂期权定价研究中最常用的工具[6]，主要包括格型法(lattice methods)(二叉树方法)[7-8]、有限差分法(finite difference methods)[9-10]和蒙特卡罗模拟法(Monte Carlo simulation)[11-12]。数值计算方法各有其优缺点，蒙特卡罗模拟方法的优点在于能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高，但该方法求解速度慢且不灵活，不能用于美式期权；二叉树方法和有限差分方法可以用于美式期权的计算，二叉树方法更适用于计算少量期权的价值，而从事大量期权价值计算时有限差分方法更有效率[13-14]。因此，我们采用有限差分方法对多维美式勒式期权进行定价。

● 误食酒精、咖啡、香水等少量误食不会发生急性中毒，如果误食的量较大，给予牛奶（或豆浆、蛋清）或水，尝试催吐，紧急就医。

结果，生下来是个脑瘫的儿子，来不及了。她哭，埋怨婆婆，可她天生乐观，眼泪擦干，袖子一挽，就想着怎么照顾儿子。

1 多维美式勒式期权定价的偏微分方程

1.1 一般化偏微分方程

多维美式勒式期权定价的参数和假设如下：

(1)多维美式勒式期权价值V是多个标的资产价格Si(i=1，2，…，n)和时间t的函数，记为V(S1，S2，…，Sn，t)，其中n为标的资产的个数。多维美式勒式期权的有效期为[t0，T]，其中：t0表示当前时间；T表示期权到期日。

回顾性分析孕妇分娩年龄、分娩孕周、分娩方式、PGDM诊断时间点、使用胰岛素及新生儿结局等临床资料，观察两组孕妇不良妊娠结局发生情况，比较两组早产、剖宫产、巨大儿、使用胰岛素、子痫前期等不良妊娠结局发生率。

(2)标的资产价格Si服从连续伊藤扩散过程，即其中μi和σi分别表示Si的瞬时期望收益率和标准差，假定均为常数；Wi(t)为标准维纳过程，dWi为标准维纳过程的微分，满足cov(dWi(t)，dWj(t))=ρijdt(ρij为标的资产间的相关系数，且均为常数)且cov(dWi(t)，dWj(s))=0(s≠t)。

“生活化教学”是一种更具趣味性的教学方法，教师可以从学生的生活实际入手，将生活背景、学生的生活经验等现实的要素融入教学活动，赋予学生在教学环节的主体地位，进而引导学生主动参与化学教学的整个过程.“生活化教学”的核心要素就是要让学生了解到生活需要使他们学习化学的重要目的，进而在生活中更好地学习，在学习中更好地生活.

(3)定价模型遵从风险中性原则[6]，即标的资产的瞬时期望收益率μi均为无风险利率r，且r为已知的常数，因此

The maximum tensile or compressive strain along the diffraction plane is represented in terms of microstress present in the sample. The maximum microstress present in the sample can be obtained with the relationship[18],

(1)

(4)多维美式勒式期权内在价值为

跟骨骨折术中应全层切开皮肤及皮下组织，直达跟骨外壁骨膜，避免钝性剥离皮瓣等软组织结构，避免使用电刀，禁止粗暴操作是防止切口坏死的关键[3]，以“No-touch”技术维持皮瓣牵开，最大程度地保护软组织及其皮瓣的血供，防止坏死的发生。同时，尽可能地缩短止血带使用时间及手术时间，避免反复折叠牵引皮瓣[4]。而且，术中还需要充分止血，放置引流物，充分引流。即便如此，跟骨骨折术后发生感染的概率仍高达25%[5]。分析原因，跟骨骨折的发生多为高能量损伤导致，伴随跟骨周围软组织的挫伤，加上手术本身的创面，进一步导致了足跟部周围皮瓣的缺血，甚至是血供中断，产生切口皮肤坏死[6]。

max {K1-f1(S1，S2，…，Sn)，0}+

max{f2(S1，S2，…，Sn)-K2，0}，

(2)

其中：K1和K2分别表示多维美式勒式期权的2个执行价格，且K1≤K2；f1(S1，S2，…，Sn)和f2(S1，S2，…，Sn)均为n个标的资产价格Si的函数，由期权合约决定。例如在极大美式勒式期权中f1(S1，S2，…，Sn)=min{S1，S2，…，Sn}和f2(S1，S2，…，Sn)=max{S1，S2，…，Sn}，而在一篮子美式勒式期权中f1(S1，S2，…，Sn)=f2(S1，S2，…，Sn)=其中αi为标的资产Si所占的权重。

由于Si服从连续伊藤扩散过程，根据伊藤引理[15]和风险中性的假设，可以得到由n个标的资产价格Si和时间t决定的多维美式勒式期权价值变化的偏微分方程[16]：

(3)

1.2 独立化偏微分方程

则变换后的偏微分方程为

i=1，2，…，n

(4)

引入n维列向量dH=[dH1，dH2，…，dHn]T，其中上标T表示向量的转置。由于Wi是维纳过程，因此

dH～Nn(Γdt，∑dt),

(5)

其中：Nn(·，·)表示n维正态分布的分布函数。有

式(3)中相关标的资产间的交叉项及其差分格式相对复杂，给差分方程的求解带来很大困难，因此首先将标的资产状态变量转换为互不相关的过程从而建立独立化的多维美式勒式期权定价偏微分方程。对标的资产价格Si进行对数变换，即Hi=ln Si(i=1，2，…，n)，则根据伊藤引理可得

(6)

进一步假设任何一个资产的瞬时回报率都不能写成其他资产瞬时回报率的线性组合形式，否则该标的资产是多余的，将其去除后不会对定价关系产生影响。在这一假设条件下，∑是一个对称正定矩阵，可以进行Cholesky分解[17]，即∑=AAT，其中A是下三角矩阵。

由于∑为正定对称矩阵，存在逆矩阵，所以A也一定可逆。由于A为下三角矩阵，其逆矩阵很容易求得。由于正态向量的线性组合仍为正态向量，所以不妨引入n维列向量u=[u1，u2，…，un]T，并令du=A-1dH，则其分布du～Nn(Ldt，Idt)，即

其中：L=[L1，L2，…，Ln]T=A-1Γ，I为n×n的单位矩阵，为标准维纳过程的微分，且初始值u(t0)=A-1H(t0)。因此变换后的过程为互不相关的过程，则多维美式勒式期权定价的独立化偏微分方程为

(7)

由于相关系数的存在，未经过独立化变换的多维期权偏微分方程(3)和方程(6)具有复杂的n×n个二阶偏导数项和给计算和构建差分方程带来很大麻烦；而独立化后的偏微分方程(7)减少了n(n-1)个交叉项，只含有n个标的资产各自的二阶偏导数项大大简化了差分方程的建立过程和求解过程。

2 多维美式勒式期权定价的有限差分模型

有限差分法就是通过求解式(7)对多维美式勒式期权进行定价，其主要思想是首先将该微分方程转化为一系列差分方程，然后再通过迭代求解这些差分方程。首先对空间和时间进行离散化，令Δt=(T-t0)/M表示时间步长，Δui=(uimax-uimin)/Ni表示空间步长，其中uimax和uimin分别表示ui的最大值和最小值，M和Ni分别表示时间和空间间隔数，则

(1)保证仔猪出生后及时吃上初乳，吃乳前将母猪乳汁挤出部分，清洗乳头管，再用碘酊棉球消毒，搞好仔猪的保暖、卫生工作，猪舍空气要流通。

tm=t0+m(Δt)，m=0，1，2，…，M

(8)

ui，ki=uimin+ki(Δui)，ki=0，1，2，…，Ni。

(9)

[3] 单悦，马敬堂，邓东雅.多维美式勒式期权定价研究[J].武汉金融，2012，32(2)：19-20.

(10)

(11)

可以保证ui落在区间(uimin，uimax)上的概率达到99.99%，从而保障了计算的精度和有效性。

为了描述差分方程，定义以下3个变量：

V(u1，k1，…，ui，ki+1，…，un，kn，tm)，

V(u1，k1，…，ui，ki-1，…，un，kn，tm)。

2.1 显式有限差分格式

有限差分格式可以分为显式和隐式2种，尽管隐式差分格式具有稳定性和收敛性的特征，但随着标的资产维数的增加和计算精度的提高，其计算时间会达到显式差分格式的103倍，且会占用大量计算机资源，甚至超出计算机内存的限制，因此在多维美式勒式期权定价中采用显式有限差分格式。式(7)中的偏微分分别采用以下差分形式：

通过整理，多维美式勒式期权的显式有限差分方程可以表示为

(12)

(2)隐式差分格式尽管具有稳定性和收敛性的特征，但并不适用于多维期权定价问题，随着维数增加和计算精度提高，其计算时间和所占用资源将呈指数形式大幅度上涨，因此给出了显式有限差分格式，并论证了当满足Δui∈(0，1/|Li|)且条件时，该显式有限差分格式具有稳定性和收敛性。

2.2 稳定性与收敛性分析

引理1 差分格式关于‖·‖是稳定的当且仅当存在正常数Δui0和Δt0以及非负常数K使得差分方程的系数矩阵B满足：‖Bn+1‖≤K，对0<Δui≤Δui0，0<Δt≤Δt0成立,其中n为迭代次数[19]。

定理1 当满足且条件时，显式有限差分格式具有稳定性和收敛性。

[7]Zhou Z，Ma J.Second-order Lattice Boltzmann Methods for PDEs of Asian Option Pricing with Regime Switching[J].Computers & Mathematics with Application，2016，71(7)：1448-1463.

根据可以推出

根据范数的性质可知‖Bn+1‖≤‖B‖n+1<1，因此满足引理1，所以显式有限差分格式具有稳定性。根据LAX等价定理[19]，对于文中的多维美式勒式期权定价问题而言，显式差分格式收敛当且仅当该格式稳定。由于之前已经证明了该格式具有稳定性，从而显式差分格式在满足定理1的条件时具有收敛性。

3 数值分析

如前所述，多维勒式期权的内在价值可以表示为：max{k1-f1(S1，S2，…，Sn)，0}+max{f2(S1，S2，…，Sn)-k2，0}，是由最大看涨期权max{f2(S1，S2，…，Sn)-k2，0}和最大看跌期权max{k1-f1(S1，S2，…，Sn)，0}构成的套利组合。对于欧式勒式期权而言，由于其只能在到期日T执行，因此多维欧式勒式期权价格等于欧式最大看涨期权和欧式最大看跌期权价格之和。而美式勒式期权则相对复杂，其在期权有效期[t0，T]内均可执行，从而导致多维美式勒式期权价格要小于美式最大看涨期权和美式最大看跌期权价格之和，定义多维美式勒式期权价值差Diff为

Diff= 最大看涨期权+最大看跌期权-

勒式期权。

以三维极大美式勒式期权为例进一步分析各参数对期权价值的影响。假设无风险利率r=0.10，当前时间t0为0，到期日T为1.0，2个执行价格分别为k1=9和k2=11，所有标的资产当前价格Si(t0)(i=1，2，3)均为10。参数Δui和Δt取值满足定理1的条件。表1给出了6种不同波动率和相关系数情况下的多维美式勒式期权价值，可以发现：勒式期权价值差Diff均大于0，这也验证了多维美式勒式期权价格要小于美式最大看涨期权和美式最大看跌期权价格之和的结论。

表1 多维美式勒式期权价值计算表

Table 1 Multi dimensional american styleoption worth calculating

参数勒式期权最大看涨期权最大看跌期权Diffs1=s2=s3=0．22．20331．82450．43040．0517r12=r13=r23=0．1s1=s2=s3=0．21．53421．26060．28530．0116r12=r13=r23=0．8s1=s2=s3=0．21．75931．45240．33420．0273r12=0．8r13=0．6r23=0．3s1=s2=s3=0．44．48693．14751．39440．0549r12=r13=r23=0．5s1=s2=s3=0．44．23752．96901．32020．0517r12=r13=0．7r23=0．3s1=s2=s3=0．45．65813．96061．79410．0966r12=r13=-0．6r23=0．5

3.1 波动率对勒式期权价值的影响分析

分低波动率(σi=0.2)、中波动率(σi=0.5)和高波动率(σi=0.8)3种情形，计算波动率对勒式期权价格值的影响，结果如图1所示。根据图1可以发现：在相关系数一定的条件下，多维美式勒式期权价值和Diff均与波动率正相关。这一结论符合期权的基本性质，期权价值在于规避标的资产价格波动风险，价格波动越大期权价值越高，因此多维美式勒式期权价值应该与波动率承正相关。

图1 波动率对多维美式勒式期权价格的影响分析 Fig.1 Analysis of volatility on multi dimensional american style option pricing

3.2 相关性对勒式期权价值的影响分析

由于对三维极大美式勒式期权而言，3个标的资产之间不可能均是负相关，因此为了分析的方便将相关系数分为负相关性(ρ12=-0.4)、低相关性(ρ12=0.1)、中相关性(ρ12=0.4)和高相关性(ρ12=0.7)4种情形，而其他相关系数均为0，即ρ13=ρ23=0，计算结果如图2所示。根据图2可以发现：多维美式勒式期权价值和Diff均与相关性负相关。这一结论符合勒式期权的基本性质，标的资产价格无论是向上波动还是向下波动，勒式期权均可获利，因此标的资产间相关性越低越负相关，其价格往两端波动的可能性就越大，则勒式期权的价值就越高，所以此多维美式勒式期权价值应该与标的资产间相关系数负相关。

3.3 执行价格对勒式期权价值的影响分析

为分析执行价格对多维美式勒式期权价值的影响，分为2种情形：(1)扩展情形，勒式期权的2个执行价格以标的资产当前价格Si(t0)=10为中心等距离向两端扩展；(2)移动情形，2个执行价格保持距离不变，取k2-k1=2，然后从小到大移动。取σi=0.2和ρij=0.5，计算结果如图3所示。根据图3(a)可以发现，在扩展情形中随着2个执行价格向两端扩展，多维美式勒式期权价值和Diff在不断下降，这是因为随着执行价格向两端扩展勒式期权的获利空间在不断缩小，因此多维美式勒式期权价值会随着扩展距离的增大而减小。图3(b)说明在移动情形中随着2个执行价格逐步增大，多维美式勒式期权价值先下降后上升，这是因为当标的资产价格在[k1，k2]区间范围内时，勒式期权是不获利的，由于标的资产价格服从连续伊藤扩散过程，根据随机过程的性质可知当[k1，k2]落在Siert附近时其概率较高，因此多维美式勒式期权价值会存在一个最小值。

图2 相关性对多维美式勒式期权价值的影响分析 Fig.2 Analysis of correlation effect on multi dimensional american style option worth

图3 执行价格对多维美式勒式期权价值的影响分析 Fig.3 Analysis of exercise price effect on multi dimensional american style option worth

4 结论

针对多维美式勒式期权定价问题，首先将服从连续伊藤扩散过程的多维标的资产价格经过独立化变换消除相关系数的影响，得到独立化后的偏微分方程，进而构建了显式有限差分定价模型并确定了该差分格式的收敛条件。最后，以三维极大美式勒式期权为例验证了之前构建的有限差分定价模型的计算有效性，并进一步分析了波动率、相关系数和执行价格等参数对勒式期权价值的影响。得出主要结论包括以下3点：

(1)独立化后的偏微分方程将原有的n×n个二阶偏导数项减少了n(n-1)个二阶混合偏导数，只剩下了n个标的资产各自的二阶偏导数项，大大简化了差分方程的建立过程和求解过程。

其中：

[6]Hull J C.Options Futures and Other Derivatives[M].9th ed.Upper Saddle River，NJ：Prentice Hall，2015.

(3)通过数值分析可以发现多维美式勒式期权具有以下性质：多维美式勒式期权价格要小于美式最大看涨期权和美式最大看跌期权价格之和；多维美式勒式期权价值与波动率呈正相关关系；多维美式勒式期权价值与相关性呈负相关关系；在扩展情形中随着2个执行价格向两端扩展多维美式勒式期权价值在不断下降，在移动情形中随着2个执行价格逐步增大多维美式勒式期权价值先下降后上升。

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Wilmott[18]指出ui的最小值uimin和最大值uimax在实际应用过程中没有必要非常大。由于du～Nn(Ldt，Idt)，因此到期日T时ui服从正态分布因此令

有报道表明，2型糖尿病合并冠心病患者体内sdLDL的水平较健康对照人群明显升高，而LDL-C的水平却并无明显差异。SdLDL形成的途径主要为[11]：VLDL转运的TG在CETP的作用下转化成HDL-C，使富含胆固醇的VLDL残粒、富含TG的HDL颗粒增多。富含TG的HDL颗粒被肝脂肪酶或脂蛋白脂酶水解，使ApoA-I从HDL解离，在肾小球过滤，肾小管细胞降解[7]。小密度LDL-C颗粒浓度增加也通过相同的方式转化，VLDL转运的TG水平增加，CETP促使TG转化成胆固醇酯，LDL转化成LDL胆固醇。富含TG的LDL被肝脂肪酶或脂蛋白脂酶水解，形成小密度LDL颗粒。

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藤尾因为苦于先进的现代女性观，但是被利己主义和本位主义所束缚。在这反复的纠葛中，藤尾也不知道如何选择。这是藤尾选择死亡的直接原因。藤尾经过一系列心理的崩溃，失去希望，悄然死去。其他人持续着悲喜交加的生活，全文也落下帷幕。

证明 采用行和范数来证明显式差分格式的稳定性。当满足给定条件时，可以得到

随机抽选我院2015年6月~2017年6月收治的45例自然流产患者的临床资料作为研究对象,年龄26~42岁,平均年龄32岁,其中6例患者有2次以上流产史。

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某天，他却寻到出租屋来，我看见他时，地上已有不少烟头，他戴一顶黑色的帽子，遮遮掩掩的样子，我还没打开门，他嗫嚅道：“亚庄，能不能借给我一点钱？我要把脸上的刺青洗掉。”

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这种是传统电子商务转型社交电子商务的常用方法。采用该模式的商家本身就是做电子商务的，在自己原有的网站平台上开辟社区，引导商家与客户，客户与客户之间的沟通交流，从而增加客户粘性，提高购买率。比较典型的有淘宝里面的微淘、淘直播、淘达人等。

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最后，整个混凝土浇筑的过程，最好可以连续完成。一般而言，没有掺合剂的混凝土浇筑时，温度超过30℃时，间隔时间不超过90min，气温10℃左右时，间隔时间不得超过150min。一旦超过规定的间隔时间，混凝土凝固后出现裂缝，此时应做好标记，进行掩埋处理。

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