0　引言

粘弹性耗能减震技术通过粘弹性阻尼器增加结构阻尼来减少结构地震作用，已广泛应用于实际工程［1-3］.由于外激励和环境因素对粘弹性阻尼器的性能影响较大，温度和频率的改变会影响其刚度和阻尼特性，因此粘弹性阻尼器的力学性能非常复杂.研究人员已提出多种恢复力模型来精确描述粘弹性阻尼器的应力与应变关系，主要有：Kelvin模型、Maxwell模型、标准线性固体模型、分数导数模型等［3］.其中Kelvin模型与Maxwell模型均是由单个弹簧和单个粘壶构造组成.弹簧与粘壶的数量越多，其本构关系越逼近粘弹性材料的蠕变或松弛特性，因此Mazza等［4］提出了一种实用粘弹性阻尼器模型并应用于实际工程当中.该阻尼器是将两支Maxwell单元与一支Kelvin单元并联组合［3-4］，其本构方程易于扩阶，模型计算参数便于试验数据拟合，最具有一般性，因此采用实用粘弹性阻尼器模型分析耗能结构的动力特性具有较好的工程应用价值.

在实际工程中，阻尼器需要与支撑串联安装，常用的支撑形式有人字形支撑、对角式支撑［3］以及剪刀式和肘杆式新型支撑［5］.其中新型支撑只需要耗能装置产生较小的阻尼力便具有很好的耗能能力，并且能够放大阻尼器的相对位移约3倍，从而提高阻尼器的阻尼效应，因此，支撑的水平等效刚度直接影响到阻尼器的减震效果［6-10］.设计规范［2］要求限制支撑的最小刚度，以确保支撑与阻尼器串联系统发挥或接近纯阻尼器的功效.因此，为确保耗能结构的安全，有必要对耗能结构保护系统（即支撑和阻尼器）的动力响应进行分析.

由于实际地震动具有非平稳随机特性，各种均匀调制白噪声和滤过白噪声非平稳地震动模型已用于结构分析，故分析阻尼器耗能结构非平稳随机地震响应特性具有理论和工程意义［11-14］.目前用于阻尼器耗能主体结构的响应分析方法主要是扩阶复模态法［15-19］，因解答的工程意义不够明确，且需扩阶变换，过程繁杂，变量增多，计算效率低，且以往粘弹性阻尼器模型仅作为理论分析，不便于实际工程的应用.本文以Mazza等提出的六参数粘弹性阻尼器并考虑支撑的实际刚度进而获得等效本构方程，应用传递函数法直接获得耗能结构在非平稳激励下系统响应的精确解.

1　结构运动方程

1.1　结构原始运动方程

设m、k、c为别为单自由度耗能结构的质量、刚度和阻尼；PQ(t)为粘弹性阻尼器，kb为支撑刚度；在地震动ẍg作用下，结构相对于地面的位移向量为x，其运动方程为：

 

式中：xb和xQ分别是支撑和阻尼器的相对位移；PQ(t)为阻尼器两端的受力；f(t)是任意外荷载，对于地震激励，f(t)=-mẍg(t).

  

图1　实用粘弹性阻尼器Fig.1 Practical viscoelastic damper

1.2　实用粘弹性模型阻尼器本构关系

粘弹性阻尼器PQ(t)的分析模型如图1所示，该模型由弹簧和粘壶构造组成，弹簧与粘壶的数量越多，其本构关系越逼近粘弹性材料的蠕变或松弛特性［4］.

其受力PQ(t)与相对位移xQ的本构关系为［3］：

当ẍf(t)为经典Kanai-Tajimi平稳滤过白噪声时，相对应的相关函数和功率谱密度函数Sẍf 分别为［21］：

 

式中：Q(t)——阻尼器的松弛模量函数，k0——阻尼器的平衡刚度，hQ(t)——阻尼器的松弛函数；ki和ci分别表示阻尼器各阻尼单元的刚度和阻尼；αi——对应的各阻尼单元的松弛时间的倒数.

沙沟泥石流位于重庆市南川区金山镇金狮村四社，柏枝溪左岸，属季节性流水冲沟。沙沟为老泥石流沟，该泥石流曾于19世纪的60年代和80年代及近期2016年暴发过三次泥石流，造成严重的损失。这三次泥石流均为暴雨洪水诱发，主沟泥石流性质为稀性泥石流。沙沟泥石流全貌见图1。

  

图2　等效阻尼器计算简图Fig.2 The equivalent damper calculation diagram

1.3　设置支撑实用粘弹性模型阻尼器等效本构关系

为考虑支撑水平刚度kb的影响，将其与阻尼器的整体串联系统作为等效阻尼器PG(t)，计算简图如图2所示.设kG、hG(t)和G(t)分别为等效阻尼器PG(t)的平衡刚度、松弛函数和松弛模量函数，则等效阻尼器的本构方程及储能刚度与耗能刚度可表示为：

根本保障在于对社会主义制度驰而不息的完善与改革。尽管现实的社会主义制度还存在需要进一步完善与改革的空间，在与资本主义“制度话语权”的斗争中还存在着某些问题，但是，只要坚持走下去，善于总结党的建设规律、党的执政规律、社会主义运动规律和人类社会发展规律，在坚持中国特色社会主义道路的前提下，不断改革束缚生产力发展的生产关系，破除阻力，这个制度将越来越完善。

 

对式（2）－式（9）取拉式变换，可得：

1.2.1 血清样本采集 取患者空腹肘静脉全血5 ml，置于未加抗凝剂试管中，标本采集后在室温下静置1 h，3 000 r/min 离心后取上清液，保存于-80 ℃冰箱待查。

2）在形式方面。部分地区针对现状对现有高考制度进行改革，但并不完全彻底，很多地区仍将重点置于科技竞赛上；在课堂活动设计上以解决客观问题为主，缺乏真实情境的设计及代入，导致学生无法深入地进行研究性学习；在中小学，学生无法对社会、对未来职业产生清晰的认识以及规划。

 

式中分别为 Qz(t)、PzQ(t)、xQ(t)和 hzQ(t)的拉氏变换分别为 G(t)、PG(t)、x(t)和hG(t)的拉氏变换；s为拉氏变换的状态变量 .

张若虚《春江花月夜》，紧扣江花月夜的背景，以月为主体，在月的照耀下，江水，沙滩，天空，原野，枫树，花林，飞霜，白云，扁舟，高楼，镜台，砧石；长飞的鸿雁，潜跃的鱼龙，不眠的思妇，漂泊的游子，展现出一副充满人生哲理与生活情趣的画卷，这画卷在色调上以淡寓淡，用水墨勾勒点染，显出绚烂色彩的艺术效果，宛如一幅淡雅的中国水墨画，体现出春江花月夜清幽的意境美。

由式（10）－式（15），令并考虑式（5）可得：

 

式中，δ(t)为狄拉克函数.

 

综上，对于带支撑六参数粘弹性阻尼器，可通过支撑刚度和原粘弹性阻尼器参数将其本构关系转换为标准积分型.

 

2　等效系统基于传递函数法的求解

2.1　结构位移与速度瞬态响应的解析解

设结构的初始条件为：

今年7月，中国平安受让华夏幸福19.7%股份，成为其第二大股东。有媒体报道称，股权转让的背后，双方签订了对赌协议，并且平安有权向上市公司董事会提名两名董事候选人。

课外足球活动是足球课程在时间、空间、内容、组织形式以及手段的延伸，是对足球课程的有益补充，它对于激发和培养学生的体育兴趣、形成体育意识、提高体育能力和促进个性的发展完善都具有重要的价值。

 

由于：

 

采用传递函数法可求得［20］：

 

对以上两式取拉氏逆变换，可得：

 

对式（16）和式（19）取拉氏逆变换，可得：

当t＞0时，耗能结构的位移及速度响应的表达式为：

那时，庐山是外国人的天下，山上至少有几千外国人，他们划分了各自的势力范围。以合面街我家（现邮局）东侧墙基石为界，下坡即是英租界，芦林湖一带是俄租界，河南路上下是美租界。

 

以上两式中，aj(t)表示初始条件对该结构产生的影响，有：

 

若在初始条件为零的情况下，则aj()t=0，j=1,2,…,5.

2.2　阻尼器瞬态响应的解析解

 

等效阻尼力为［20］：

[2]中共教育部党组关于印发《高校思想政治工作质量提升工程实施纲要》的通知，http://www.moe.edu.cn/srcsite/A12/s7060/201712/t20171206_320698.html.

 

对于初始时刻，当x0=0，由式（35）可得：

 

其中：ρlj——响应系数；)——结构的位移响应，S2(t)——结构的速度响应，S3(t)——阻尼力；响应系数分别为ηj为计算常数.yj(t)为标准一阶系统对地震激励的响应，其表达式为：

 

3　耗能系统非平稳随机响应解析解

3.1　耗能系统非平稳响应

由式（38）可得耗能系统的位移、速度和阻尼力响应协方差为：

 

式中：I0、c、t1、t2均为常数 .

 

式中：ẍg(t)为非平稳随机地震动，A(t)是确定性调幅函数，ẍf(t)是零均值平稳的白噪声或滤过白噪声.

3.2　均匀调制白噪声非平稳激励

3.2.1　分段连续型调制强度函数

取I(t)=2πA2(t)为调制强度函数，地震激励ẍg(t)的协方差可表示为［11］：

 

式中：a1、a2为常数.

由于：

 

得到E[yj(t)yk(t+τ)]的解析表达式，即可获得结构响应的非平稳协方差解析表达式.再令τ=0，即得耗能系统非平稳的位移、速度和阻尼力响应方差.因此，E[yj(t)yk(t)]也就完全表征了结构的非平稳响应特性.

故式（45）化为：

 

3.3　均匀调制滤过白噪声非平稳激励

菟丝子种子无休眠期，发芽温度在15℃以上，最适温度在24～28℃，出土深度0～1cm，最深不过3cm，种子寿命1～2年，幼苗出土后成丝状体，随风旋转，遇寄主后即在接触部分产生吸盘，与土相联部分逐渐断开而寄生生活，若10d内遇不到寄主，将自行死亡。菟丝子能大量吸取寄主体内的营养而迅速蔓延，一株菟丝子可蔓延1m2以上，使寄主生长黄弱。菟丝子7～8月间开花结实，9月间成熟，此时寄主因营养被吸尽而死亡，寄主有茄科、豆科、菊科、藜科等植物。

 

 

将式（52）代入式（43），可得此种情况响应特性的表达式为：

 

3.3.1　Shinozuka-Sato型调幅函数［12］

对式（24）、式（25）取拉氏变换，可得：

 

式中：S0为地震谱强度.

将式（54）、式（55）代入式（53），可得此种情况响应特性的表达式为：

 

式中：g1=gˉ2=g；q1=qˉ2=q；r=a1+a2.

求出E[yj(t)yk(t)]后，代入式（41），可以获得减震系统的响应解析解.

4　算例

对某单层设有带撑六参数实用粘弹性阻尼器的钢结构建筑进行地震响应分析，结构的基本参数为：质量m=38600kg，刚度k=146.01×105N/m，阻尼比ξ0=0.04；阻尼器的基本参数为：平衡刚度k0=0.36×105N/m，阻尼器两分支单元的刚度k1=42.08×105N/m，k2=6.87×105N/m；阻尼参数c0=0.37×105N⋅s/m、c1=0.83×105N⋅s/m、c2=2.15×105N⋅s/m.我国抗震规范［2］要求由阻尼器提供的附加阻尼比不超过0.2，通过计算得出本文所采用的单个粘弹性阻尼器附加阻尼比为0.07，并联阻尼器个数n取为2.支撑刚度kb按4种工况分别取kb=0.8k，kb=1.5k，kb=10k，kb=∞.非平稳激励参数如下，分段连续型：c=1s-1，S0=1m2/s3，d=1，ω = π/16；Shinozuka-Sato型：S0=1m2/s3，a1=1s-1，a2=2s-1.

4.1　分段连续型调制强度函数计算结果

  

图3　位移响应方差Fig.3 Variance of the displacement response

  

图4　位移响应比值Fig.4 Ratio of the displacement response

  

图5　速度响应方差Fig.5 Variance of the velocity response

  

图6　速度响应比值Fig.6 Ratio of the velocity response

  

图7　阻尼力响应方差Fig.7 Variance of the damping force response

  

图8　阻尼力响应比值Fig.8 Ratio of the damping force response

图3—图8表明，系统响应方差在各工况下具有明显的分段性，其中工况1的最大位移为工况4的1.44倍；最大速度为工况4的1.48倍，而阻尼力最小为工况4的0.46倍；工况3的最大位移为工况4的1.03倍；最大速度为工况4的1.03倍，而阻尼力最小为工况4的0.94倍.因此，支撑刚度对减震系统的影响比较明显.

自然选择理论其实很简单。最适合环境的生物存活并繁殖后代，而那些不太适合环境（不能在环境中找到食物并繁殖后代）的生物将慢慢消失。这就是自然选择和进化理论。

4.2　Shinozuka-Sato型调幅函数计算结果

  

图9　位移响应方差Fig.9 Variance of the displacement response

  

图10　位移响应比值Fig.10 Ratio of the displacement response

  

图11　速度响应方差Fig.11 Variance of the velocity response

  

图12　速度响应比值Fig.12 Ratio of the velocity response

  

图13　阻尼器受力响应方差Fig.13 Variance of the damping force response

  

图14　阻尼器受力响应比值Fig.14 Ratio of the damping force response

图9—图14表明，系统响应方差在各工况下与激励趋势一致；其中工况1的最大位移为工况4的1.27倍，最大速度为工况4的1.32倍，而阻尼力最小为工况4的0.31倍；工况3的最大位移为工况4的1.02倍；最大速度为工况4的1.02倍，而阻尼力最小为工况4的0.9倍.

从两种地震激励的响应计算结果可以看出，在阻尼器其他参数不变情况下增加支撑刚度，系统位移与速度的均方响应均减少，阻尼器受力增大.当kb≥10k时，各响应效果接近于kb=∞，此时可按kb=∞近似计算.

5　结论

为方便准确地进行粘弹性阻尼器的工程应用，本文采用六参数实用粘弹性材料的积分型本构模型，并考虑阻尼器支撑对阻尼效果的影响，以实际地震动为非平稳激励进行了结构系统振动控制分析，获得结论：

我想起回乡后第一次见到她，在半边街上骑一辆高档踏板车的情景，心里默默算计过去了多少日子，说，是啊，一晃又是好几个月过去了。

1）利用六参数实用粘弹性阻尼器可以方便地与支撑刚度进行精确建模，获得等效系统，方便用于实际工程计算.

2）阻尼器支撑刚度对于减震系统的影响明显，支撑刚度过大则阻尼力则较大，实际减震效果好；反之，亦然.计算表明，在两种非平稳激励下，当阻尼器支撑刚度大于10倍结构抗侧刚度时，阻尼力则达到了假定支撑刚度为无穷大的97%，结构位移响应达到假定支撑为无穷大的103%.

3）所获得的精确解具有明确的物理意义，可为建立结构系统各构件抗震动力可靠度和基于模态叠加的反应谱抗震设计法提供分析路径.

我数着从头等车里下来的乘客。为什么不数三等车里下来的呢？这里并没有故意的挑选，头等座在车的前部，下来的乘客刚好在我面前，所以我可以很看得清楚。第一个，穿着红皮雨衣的俄罗斯人，第二个是中年的日本妇人，她急急地下了车，撑开了手里提着的东洋粗柄雨伞，缩着头鼠窜似地绕过车前，转进文监师路去了。我认识她，她是一家果子店的女店主。第三，第四，是像宁波人似的我国商人，他们都穿着绿色的橡皮华式雨衣。第五个下来的乘客，也即是末一个了，是一位姑娘。她手里没有伞，身上也没有穿雨衣，好像是在雨停止了之后上电车的，而不幸在到目的地的时候却下着这样的大雨。我猜想她一定是从很远的地方上车的，至少应当在卡德路以上的几站吧。

参考文献

［1］CHRISTOPOULOS C，FILIATRULT A.Principle of passive supplemental damping and seismic isolation［M］.Pavia：IUSS Press，2006.

［2］中国建筑科学研究院.建筑抗震设计规范：GB 50011-2010［S］.北京：中国建筑工业出版社，2010.

［3］周云.粘弹性阻尼减震结构设计［M］.武汉：武汉理工大学出版社，2006.

［4］MAZZA F，VULCANO A.Control of the earthquake and wind dynamic response of steel framed buildings by using additional braces and/or viscoelastic dampers［J］.Earthquake Engineering&Structural Dynamics，2011，40（2）：155-174.

［5］CONSTANTINOU M C，TSOPELAS P，HAMMEL W，et al.Toggle-brace-damper seismic energy dissipation systems［J］.Journal of Structural Engineering，2001，127（2）：105-112.

［6］欧进萍，吴斌，龙旭.结构被动耗能减振效果的参数影响［J］.地震工程与工程振动，1998，18（1）：60-70.

［7］翁大根，吕西林.消能减震结构设计参数研究与试验验证［J］.地震工程与工程振动，2004，24（2）：150-157.

［8］欧进萍，龙旭.速度相关型耗能减振体系参数影响的复模量分析［J］.工程力学，2004，21（4）：6-12.

［9］常业军，苏毅，程文瀼，等.工程结构粘弹性消能支撑型式及设计参数的研究［J］.地震工程与工程振动，2007，27（1）：136-140.

［10］FU Y，KASAI K.Comparative study of frames using viscoelastic and viscous dampers［J］.Journal of Structural Engineering，1998，124（5）：513-522.

［11］AMINM，ANG A H S.Non-stationary stochastic model of earthquake motion［J］.Journal of the Engineering Mechanics Divi⁃sion，ASCE，1968，94（2）：559-583.

［12］SHINOZUKA M，SATO Y.Simulation of non-stationary random process［J］.Journal of the Engineering Mechanics Division，ASCE，1967，93（1）：11-40.

［13］吴昊，张洵安.非平稳地震激励下结构随机响应及动力可靠性研究［J］.工业建筑，2012，42（12）：35-40.

［14］李创第，邹万杰，黄天立，等.结构在水平与竖向地震同时作用的非平稳响应［J］.土木工程学报，2005，38（6）：25-34.

［15］YAMADA K.Dynamic characteristics of SDOF structure with Maxwell element［J］.Journal of Engineering Mechanics，2008，134（5）：396-404.

［16］PALMERI A，RICCIARDELLI F.State space formulation for linear viscoelastic system with memory［J］.Journal of Engineering Mechanics，2003，129（7）：715-724.

［17］SINGH M P，VERMA N P.Seismic analysis and design with Maxwell dampers［J］.Journal of Engineering Mechanics，2003，129（3）：273-282.

［18］PALMERI A.Correlation coefficients for structures with viscoelastic dampers［J］.Engineering Structures，2006，28：1197-1208.

［19］李创第，李暾，尉宵腾，等.Maxwell阻尼耗能结构非平稳地震响应解析分析［J］.振动与冲击，2016，35（19）：172-180.

［20］李创第，丁昊，葛新广.基于传递函数法的单自由粘弹性减震整体系统随机响应分析［J］.广西科技大学学报，2017，28（3）：16-25.

［21］FANG T，ZHANG T S.Non-stationary mean square response due to uniformly amplitude modulated random excitations［J］.Journal of Sound&Vibration，1995，182（3）：369-379.