在生物学，医学，社会和经济学等研究领域中，研究的个体有时会重复的经历某一事件或者多次的失效，这种事件叫做复发事件。例如：接受移植的病人术后的重复感染；癌症患者在治疗过程中肿瘤的多次复发；对某一件商品的重复购买等等。在复发事件的研究过程中产生的数据，我们就称为复发事件数据。

根据研究对象种类的不同，复发事件数据一般又分为两种类型：一种是单类型复发事件，即感兴趣的事件可能只有一种类型，并且不止一次发生，例如，某种机器故障的多次发生，某种病毒的多次感染以及某癌症的复发。然而，在许多生活应用中，经常会遇到多种不同类型的复发事件，即多类型复发事件．例如，在临床研究中，在考虑硒元素和皮肤癌关系时，我们要同时研究几类皮肤癌的复发．由于不同类型的复发事件之间是相依的，我们需要同时对它们进行分析，而不是只研究某类特定的复发事件，因此对多类型复发事件的统计建模和推断具有更大的挑战。

研究单类型复发事件数据的文献很多，但是讨论多类型复发事件的文献很有限。 AbuLibdeh, Turnbull和 Clark考虑了有随机和固定效应的非齐次泊松过程，利用极大似然的方法对未知参数作统计推断[1]。 然而这些参数估计方法需要正确识别个体内部潜在的相依结构，这对于多类型复发事件数据是很难做到的。 因此，如果潜在的相依结构不是研究主要感兴趣的,可以利用半参数模型来处理多类型复发事件。 Cai 和 Schaubel基于多类型复发事件，提出了半参数边际均值/比率回归模型[2]，并给出了估计的渐近性质。下面简单介绍复发事件下几个重要的半参数模型。

写作只测试大三（下）118名学生。作文要求他们提出观点，然后论证。结果分及格与不及格。及格的标准为作文必须含有三要素：有能表达观点的命题，逻辑和证据；缺任何一项为不及格。结果只有5%的学生达到及格标准。由此看来，学生的批判性阅读和写作能力水平低下。

在卷积神经网络中,低层卷积层所抽取的特征,更接近原始输入数据,故而层次相对较低。而位于相对较顶层的高层卷积层,其抽取的特征源于低层卷积层抽取出的特征,故层次相对较高。卷积神经网络正是通过逐层抽取前一层网络的输出(特征图),完成抽取全局特征的工作。

假设在一段时间内，考察的个体共有n个，感兴趣的事件有 K 种不同的类型，且设每类复发事件和个体都是右删失的， 且删失是相互独立的。设为第i个个体在时刻t所经历第k种类型的事件的次数。在大多数实际应用中，总是在有限的时间内来考察个体，因此不可能完全观察，记第i个个体在第k类事件的删失时间为Cik.则可观测的多类型复发事件过程记为

中国动画对受众的年龄定位过小，也限制了水墨动画的进一步发展。中国动画片的导演习惯于把动画的欣赏对象定位为儿童，市场上缺乏多年龄层次的动画供应，放眼整个中国动画市场，动画几乎成为孩子的代名词。中青年这一最富有市场活力，最富有审美活力的群体被忽略，好莱坞的梦工厂、迪斯尼动画公司出品的动画都是老中青皆宜。

 

Lin D Y，Wei L J等提出了复发事件的半参数乘性比率模型[3]：

 

假设Zik(·)与时间无关，则Cai 和 Schaubel提出的多类型复发事件的半参数均值回归模型如下[2]：

 

(1)

|Zikj(0)|+|dZikj(s)|≤Cz<,j=1,n,p,

其中Yik(s)=I(Cik≥s)，I(·)为示性函数为在区间[t,t+dt]上的增量。设Zik(t)表示p维协变量过程向量,并假设在给定Zik(·)条件下，删失时间Cik与相互独立，即

语言教学不仅需要良好的语言教学能力，更需要具备良好的语言教学策略，语言教学策略指得是为了达到教学目标，采取一系列的语言手段。促进幼儿更好的掌握语言运用能力。语言教学能力对幼儿学习有着重要的影响，只有采取正确的教学策略，才能促进幼儿学习能力的提升。所以教师应该根据实际情况，不断学习，逐渐提高自身的语言教学能力。

 

(2)

Lin et al.给出了一个带有Cox型连接函数的半参数模型如下[6]：

为了进一步加深学生对音乐作品内容以及表现的理解，在教学过程中我注重学生的生活体验和情感体验，激发学生的兴趣。如：在教唱《春天在哪里》这首歌曲时，我将课堂搬到了大自然，带领学生去找春天，让学生亲自感受到大自然的气息，真实的景物激发了他们学唱的心情与欲望，此时，教师带领同学们在绿色的草地上边学边唱，学生们发自内心唱起了《春天在哪里》这首歌。在这种亲身体验大自然的氛围里，学生不仅对春天有了进一步的认识，而且加强了对春天和生活的热爱之情，更激发了学生喜爱音乐。

 

(3)

该模型通过连接函数g定义了一簇模型，特别的它包含了Box-Cox变换模型，即

 

Luo Xian hua、Jiang Fang jiao、Sun Liu quan 提出了多类型复发事件数据下一类转移模型的边际回归模型[7]：

 

(4)

这里g(·)是一个二次连续可微且严格单调递增的函数。

发了工资，感觉就像挑苹果，不仅红彤彤，心里还甜甜的；到了月末，感觉就像买青菜，不仅绿油油，心里还凉凉的。

同样地，本文中，我们在多类型复发事件数据下提出了一个更一般的半参数变换模型，然后对模型中的未知参数向量和基本均值函数进行了估计，最后证明了估计量的渐近性质。

1 模型和估计方法

定义Yik(t)=I(Cik≥t)，其中a∧b=min(a,b)，I(·)为示性函数。在多类型复发事件数据下，可观测到的数据是{Nik(·),

Yik(·),Zik(·)，i=1,n,n;k=1,n,K}。

我们给出的多类型复发事件数据下一类更一般的半参数变换模型如下：

 

(5)

其中β0是未知的p维回归系数向量，μ0k(t)是未知的基本均值函数。gk(·)和hk(·)为已知的连接函数，且gk(·)≥0，hk(·)≥0，并假设gk(·)和hk(·)几乎处处连续且二阶可微，gk(·)严格单调递增。

当hk(x)=x时，模型(5)就是模型(4)。对于给定的k，即复发事件类型确定，当hk(x)=x且gk(x)=x时，模型(5)就是模型(2)。可见，模型(5)包含了一些基于复发事件数据的半参数回归模型。

如何选择模型(5)中的连接函数主要基于对历史数据和回归系数的实际解释来确定。接下来，我们对模型中的未知参数向量和非参数函数给出估计方法。

定义如下过程

 

显然，Mik(t)是均值为0的随机过程。因此，对于给定的β，μ0k(t)的一个合理的估计是下列方程的解

数据挖掘过程始于数据预处理，在数据挖掘过程中数据的预处理占据很很重要的地位[8]，数据挖掘结果在很大程度上是由数据决定的。在数据库中数据是海量的，而且具有很多种不同的不可用的数据形式，这些数据会导致数据挖掘结果不理想，所以有必要预处理数据库中的数据样本。

 

=0,0≤t≤τ,

(6)

其中τ是一个预先给定的常数使得p(Cik≥τ)>0。记这个估计值为

为了估计β0，利用广义估计方程的方法，我们可以得到下列估计方程

 

 

(7)

其中Q是[0,τ]上递增的权函数。记方程(7)的解为则μ0k(t)的相应估计值是

(C2)P(Yik(τ)=1)>0,且E{Nik(τ)}<。 (C3)Zik(·)的总变差以一个非随机常数为界，即对Zik(·)的第j个分量有

农业产业技术创新联盟合作系统运行分析——基于共生理论的视域……………………………………………………………………罗雪英（1）：60

 

 

{μ0k(t)exp(hk{βTZik(t)})}exp(hk{βTZik(t)}),

且有

 

设的极限分别为且另外，

2 渐近性质

首先假设下列条件成立：

(C1){Nik(·),Yik(·),Zik(·),i=1,n,n;k=1,n,K}独立同分布。

为了讨论估计量的渐进性质，我们给出以下标记：

其中β0为p维未知的回归参数向量，g(·)为已知连接函数，μ0k(t)为未知基本均值率函数。

由n-1/2U(β0)的渐近正态性，可知渐进服从均值为0且协方差矩阵为A-1∑A-1的正态分布。

(C4)Q(t)几乎处处收敛于非随机的有界函数

(C5)gk(·)，hk(·)为二次连续可微函数，且gk(·)严格单调递增。

(C6)A是正定矩阵，其中

欧洲化妆品及其他商品有效性评估专家机构（EEMCO）关于皮肤颜色评估指导指出，计算 ITA°似乎是安全预测用于确定MED的紫外线剂量范围的最准确方法。数字颜色比语言更精确地表达颜色，目前的仪器方法已被证明既敏感又可靠。而目前ITA°与MED的相关性数据但在世界范围内已经引起重视，但在中国人群特别是南方人群中目前文献还比较少，数据来源于外国，我们将具有非常大的局限性，极大地限制了该方法在我国SPF值检测工作中的实际应用。因此，十分有必要进行中国人群皮肤肤色与最小红斑量的相关性的研究，并建立相关的数据库，将有助于更快速、更经济、更准确地进行防晒化妆品防晒指数SPF值的检测。

 

 

 

在t∈[0,τ]上几乎处处一致成立。

定理1在正则条件(C1)-(C6)下，和是存在且唯一的，且一致收敛于是β0的强相合估计。

证明首先我们考虑的存在性和唯一性。对于t,s和β的所有分量，过程

爱克发感光器材（深圳）有限公司印刷耗材销售总监徐备为我们罗列了印刷活件总成本构成情况，其包含印版成本、油墨成本、车房化学品成本，以及印刷机运营、养护人力，纸张（废纸）等成本。在爱克发看来，为客户创造价值最重要的一环便是帮助客户降低从印前到印刷的综合成本。而这正是爱克发现有解决方案可以实现的。“我们可以为客户提供完整的解决方案，通过节约油墨、减少印刷机成本、减少纸张浪费、减少物流消耗，从而降低整体印刷成本，实现低消耗、低排放、低成本的绿色印刷。”

 

能被表示成单调函数的和或乘积。因此，它是可控的。对于特定的类型k，由一致强大数定律，对于∀η>0,d>0,ε∈[0,d],且β∈Β={β：‖β-β0‖≤η}，

 

 

 

其中E表示数学期望，且v⊗2=vv′。

由于g是单调递增函数，当n足够大，ε足够大时，除去一个零集，有

 

 

(8)

同样的，有

 

 

(9)

由式(8)，(9)和函数g的单调性，连续性知，在t∈[0,τ]，β∈Β存在唯一一个满足

 

 

(10)

下证的存在性和唯一性。要证的存在性和唯一性，即证明U(β)=0存在一个唯一的解，其中

 

 

令则

 

×

 

Zik(t) ′}dQ(t)。

(11)

对(10)式关于β微分，可以得到

 

 

 

因此，

 

 

(12)

由式(11)，(12)和一些简单的计算得

春小麦喷施富硒增产素应用效果………………… 张建成，杨 蕾，刘 畅，张介华，赵春芝，张汇娟，张培智，张宏旭，李国强，何 金，苏建兵，张 智，史佳宇（60）

 

×{Zik(t)-

 

它总是非负的。由一致强大数定律可知，几乎一致收敛于函数μ0k(t;β)和所以，关于β几乎处处一致收敛于A(β)，易知A(β0)=A。

其中，A由正则条件(C6)定义。显然，n-1U(β0)→0几乎处处成立。由的一致性，A(β)的连续性和A的非奇异性，可得：对于足够大的n，存在β0的一个小邻域使得是非奇异的。再根据整体反函数理论，我们能找到β0的一个小邻域，当n足够大时，存在唯一一个使U(β)=0成立。

由前面的证明过程可知是强相合的。在t∈[0,τ]上，一致收敛到μ0k(t;β0)≡μ0k(t)。

定理2在正则条件(C1)-(C6)下，渐近服从均值为0且协方差矩阵为A-1ΣA-1的正态分布，其中A定义于条件(C6),

 

证明首先我们证明n-1/2U(β0)依分布收敛于均值为0，且协方差阵为Σ的正态分布。对U(β0)中的函数g在μ0k(t)处线性展开，有

 

 

μ0k(t)}]Zik(t)dQ(t),

《周易·系辞下传》中讲“易穷则变，变则通，通则久”[11]246，指事物到了极点就会发生变化，变化才会使事情进展顺利，顺利则会长久。非洲独特的文化和思想禁锢在帝国殖民统治中久矣，殖民解放以后，如何挖掘并发展本土文化落到了新一代非洲知识分子的肩上。作为“非洲文学之父”的伊博族作家钦努阿·阿契贝，从始至终把伊博“变”的哲学思想贯穿其作品中。

(13)

其中介于和μ0k(t)之间。同样的，对(10)式函数g在β0线性展开，有

 

 

(14)

其中介于和μ0k(t)之间。由(13)式，(14)式和的一致收敛性，再经过简单的运算得

n-1/2U(β0)

×{Zik(t)-

 

(15)

由于(15)式右端是均值为0的独立独立同分布的随机变量之和，再结合多元中心极限定理可知n-1/2U(β0)渐进服从均值为0，且协方差阵为∑的正态分布。

构造作用的影响主要表现在新构造作用的影响上，新构造运动又主要表现为断裂构造，新断裂的形成，河谷不断下切、形成多级河床阶地。强烈的构造使得翠山南部形成陡坡陡崖，为崩塌、滑坡、泥石流的发生提供了条件。同时受断裂构造的影响在断裂构造两侧形成地势落差，从而使得地势较高一侧(翠山)地表侵蚀作用加强，地表冲沟发育(图1)。

下面证明的渐近分布。由的泰勒展开式，的一致收敛性和的强相合性，可得

 

(16)

其中Cz>0为常数，i=1,n,n;k=1,n,K。

定理3在正则条件(C1)-(C6)下，弱收敛于均值为0的Gauss过程，且在(s,t)处的协方差函数为

Γ(s,t)=E[ψik(s)ψik(t)],

其中

 

 

协方差函数Γ(s,t)的一个相合估计为

 

其中

 

 

证明由定理1的证明过程可知在t∈[0,τ]上几乎处处一致收敛于μ0k(t)。下证的弱收敛性，注意到

 

(17)

把(17)式右端第一项在β=β0处Taylor展开，并结合(12)式有

 

 

(18)

再由(15)式和(16)式得

 

 

 

(19)

另一方面，直接推导得

 

(20)

所以，最后由(17)-(20)式可得

 

(21)

对于任意的t，ψik(t)均为独立的以0为均值的随机向量，再由多元中心极限定理可知，依有限维分布收敛到一个均值为0的Gauss过程。由于ψik(t)是紧的，这样也是紧的，且弱收敛到一个均值为0的高斯过程，它在(s,t)处的协方差函数可以写为

Γ(s,t)=E{ψik(s)ψik(t)}。

它的一个相合估计由定理3给出的

3 结论

在本文中，我们对多类型复发事件数据提出了一类半参数变换模型，模型包含了一类重要的半参数模型，特别是Box-Cox变换模型，拓展了目前的一些研究成果，丰富了复发事件的统计研究内容。利用广义估计方程的思想，我们对模型中参数向量和非参数函数进行了估计，并证明了估计量的相合性和渐近正态性。

参考文献：

[1]Dai J J, He S. General additive-mulitiplicative rates models for multiple type recurrent event data[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2008, 25(6): 979-988.

[2]Cai J, Schaubel D E. Marginal means/rates models for multiple type recurrent event data[J]. Lifetime data analysis, 2004, 10(2): 121-138.

[3]Lin D Y, Ying Z Semiparametric analysis of general additive-multiplicative intensity models for counting processes[J]. Ann Stat ,1995, 23(5):1712-1734.

[4]Zeng D, Yin G, Ibrahim J G. Inference for a Class of Transformed Hazards Models[J]. Journal of the American Statistical Association, 2005, 100(471):1000-1008.

[5]Cook R J, Lawless J. The statistical analysis of recurrent events[M]. Springer Science & Business Media, 2007.

[6]何穗, 王芬. 成组复发事件下的半参数变换模型[J]. 应用数学学报, 2012, 35(4):728-736.

[7]Luo X H, Jiang F J, Sun L Q, et al. Marginal Regression of Multiple Type Recurrent Event Data Based on Transformation Models[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2008, 25(2): 326-332.

[8]Ye P, Zhao X, Sun L, et al. A semiparametric additive rates model for multivariate recurrent events with missing event categories[J]. Computational Statistics& Data Analysis, 2015, 89(C):39-50.

[9]Chen X, Wang Q, Cai J, et al. Semiparametric additive marginal regression models for multiple type recurrent events[J]. Lifetime data analysis, 2012, 18(4): 504-527.

[10]戴家佳, 何穗. 多类型复发事件下的加性乘积比率回归模型[J]. 工程数学学报, 2008, 25(6):979-988.

[11]Sun L, Zhao X, Zhou J. A class of mixed models for recurrent event data[J]. Canadian Journal of Statistics, 2011, 39(4): 578-590.

[12]Zeng D, Cai J. Additive transformation models for clustered failure time data[J]. Lifetime data analysis, 2010, 16(3): 333-352.

[13]Liu Y, Sun L, Zhou Y. Additive Transformation Models for Recurrent Events[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods, 2013, 42(22): 4043-4055.

[14]Luo X H, Jiang F J, Sun L Q, et al. Marginal Regression of Multiple Type Recurrent Event Data Based on Transformation Models[J]. Journal of Engineering Mathematics, 2008, 25(2): 326-332.

[15]Sun L, Kang F. An additive-multiplicative rates model for recurrent event data with informative terminal event[J]. Lifetime data analysis, 2013, 19(1): 117-137.

[16]Zeng D, Schaubel D E, Cai J. Semiparametric Transformation Rate Model for Recurrent Event Data.[J]. Statistics in Biosciences, 2011, 3(2):187-207.

[17]He S, Wang F, Sun L Q. A Semiparametric Additive Rates Model for Clustered Recurrent Event Data[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2013, 29(1):55-62.

[18]Zhang H, Yang Q L, Lianqiang Q U. A class of transformation rate models for recurrent event data[J]. Science China Mathematics, 2016, 59(11):1-18.