Burgers方程是一个重要的和普遍的非线性模型,在等离子物理、量子场论、非线性光学和通信技术等领域有着重要的地位和作用. Burgers方程是一个双曲—抛物型非线性微分方程,描述物理问题的对流和耗散的综合过程, 兼有一阶波动方程和热传导方程的特性. 应用有限差分方法研究Burgers方程主要分为两大类:一是当源项f=0时,对Burgers方程作Cole-Holf变换,将其转换成经典的热方程,再对变换后的热方程建立有限差分格式.文献[1-4]中基于Cole-Holf变换对Burgers方程建立的差分格式. 二是当f≠0时,Cole-Holf变换就失效了, 需要用其他数值格式来求解[5-10].目前,对于Burgers方程的差分格式的理论分析相对较少,特别是在L∞模下的稳定性及收敛性分析更少. 文中对Burgers方程建立一个三层的线性化的差分格式,并给出了L∞模下严格的收敛性分析，考虑Burgers方程

 

式中，φ(x)为给定的光滑函数，且φ(0)=0, φ(1)=0.

1 记号和引理

设m,n为两个正整数, 记xi=ih (0≤i≤m), tk=kτ,(0≤k≤n),Ωh={xi | 0≤i≤m},Ωτ={tk | 0≤k≤n},Ωh,τ={(xi, tk)|0≤i≤m, 0≤k≤n}

对∀ 定义：

 

设vh={u|u=(u0,u1,…,um), u0=um=0}是定义在Ωh上的网格函数空间, 对∀u,v∈vh, 定义内积和范数：

 

引理1[9] 对任意的网格函数v∈Vh, 有：

3.发现学习通过网络技术引导学生去观察、发现、探究，揭示数学知识的本质，掌握系统的方法，来达到举一反三的效果。

综上所述，随着社会经济的快速发展，对电力工程提出了越来越高质量与安全要求，因此，电力企业要提高对电力工程质量与安全的控制力度。在电力工程质量与安全控制的过程中，首先要做好施工方案及安全技术的检查指导工作，保证施工设计方案具有较强的科学性与合理性；其次，强化工程建设人员的质量与安全意识，使相关施工人员在整个施工过程中保持较强的安全意识以及认真的工作态度；最后，健全施工安全管理制度，真正做到安全施工。

 

引理2[9] 对任意的网格函数 v∈Vh, 有：

 

2 差分格式的建立

假设是式(1～3)的解. 设

 

及

地区集聚效应一直是各国创投发展的主要特征。创投主要以高新技术企业为投资目标，因此科技资源发达的地区大多也具备丰富的创投资源。统计显示，2017年，全国创投仍然主要集中在北京、江苏、广东、浙江，这4个地区集中了全国62.5%的资金。此外，安徽、山东、天津、湖南、湖北等地的创投机构也发展迅速，规模增长较快（见图5）。

 

在点处考虑方程式(1), 应用Taylor展开,得：

 

(4)

‖uk‖∞≤‖Uk‖∞+‖ek‖∞≤1+c0 1≤k≤l

 

略去式(4、5)中的小量项, 对式(1～3)可建立差分格式：

 

1≤i≤m-1, 1≤k≤n-1

和

(5)

且存在c2,使得：

所谓蓝牙(Bluetooth)技术，实际上是一种在较短的距离内可以使用无线电进行联系的技术，在没有互联网的情况下照样可以实现无线上因特网。现在的蓝牙技术已经是十分的娴熟，应用也非常的广泛，电话、笔记本电脑、手表、平板电脑和一些手持设备都在使用，在有限的区域内还可以组成一个巨大的无线通信网络。尤其是在手机和手持设备的普及更是方便了我们的日常生活，一些音频、视频和文件的传输对我们的日常工作提供了大大的便利。

 

注意到初边值条件,有：

 

(6)

 

(7)

在点(xi,tk)处考虑方程式(2), 由Taylor展开,有：

伴随着产业的蓬勃发展，其中炒作概念、以假乱真、以次充好、夸大宣传的现象频频出现，也使得国内一部分消费者对富氢水失去了信心及兴趣。但同时也有一些企业为我国氢健康产业的发展做出了积极的贡献，比如，北京活力氢源饮品有限公司。北京活力氢源饮品有限公司拥有体动力式超声波雾化器技术的知识产权，相应国家资质齐备。从2013年起率先将富氢水健康理念引入中国，先后推出了富氢源、福氢品牌的袋装及罐装等多品类的富氢水。该公司因掌握纯物理特殊技术及使用特殊包材，在检测中发现，该公司氢水中的氢气含量及稳定性、以及安全性都处于世界领先水平。

 

对于格式中的ut(xi,0)可以利用方程式(1)和初值条件式(2)求得：

ut(xi,0)=φxx(xi)-φ(xi)φx(xi)+f(xi,0)

3 差分格式的唯一可解性和收敛性

记 则可得误差方程：

 

引理3 假设是式(1～3)的解, 则差分格式(8～11)是唯一可解的且是无条件收敛的, 存在和h和τ无关的常数C,使得：

‖ek‖∞≤C(τ2+h2) 0≤k≤n

(16)

证明: 应用数学归纳法证明此定理.

当k=0,由式(14～15), 有：

在我们学校，人人都喜欢董爷爷！他可不是个普通的园丁，在我们的心里，他不仅是一位充满了奇幻色彩的园艺大师，还是一个具有书香气的环保达人。

|e0|1=0, ‖e0‖=0

因此，结论对k=0是成立的.

首先：证明u1是由式(8、11)唯一确定,且式(16)对k=1是成立的.

(1) 考虑式(8、11)的齐次方程组, 有：

 

记 则存在正数使得 |ai|≤A, 1≤i≤m-1.

人类文明快速发展，科学技术的进步，帮助人类不断实现对自然的改造，“并逼迫其提供本身能被开采与储存的能量”[17]。过度的透支令自然没有丝毫的喘息之机，认识自然的目标是为了更好地向自然索取，此时的世界被客体化为人类索取与逼迫的对象。自然界作为被人类认识的客体掉落至无尽的深渊，肉体成为人类殖民扩张的工具。人类丢失了身体自然属性的内在制约，主体不断被拔高为无对象性的本体，在权力意志的掌控之下，一股绝对的力量让人类的生存变得岌岌可危。

式(17)两边乘以 并对i求和, 可得：

 

于是有：

 

因此,

当有

因而, 方程组(8，11)唯一确定u1.

(2) 式(12)两边与作内积, 可得：

 

则：

≤

 

 

于是有

由上面的不等式可得：

 

当有：

 

(19)

于是可得：

 

应用引理1, 得：

因此,式(16)对k=1是成立的.

Is the Italian restaurant nearby open on Mondays？（这附近的意大利餐馆星期一营业吗？）

其次，假设式(8～11)唯一确定 uk(1≤k≤l),且式(16)对1≤k≤l是成立的. 下面将证明ul+1可由式(8～11)唯一确定且式(16)对k=l+1是成立的.

因为式(16)对1≤k≤l是成立的, 于是当 有：

‖ek‖∞≤1, 1≤k≤l

因此,

且存在常数c1,使得：

(20)

(1) 假设已唯一确定. 考虑式(13、15)的齐次方程组, 有：

 

式(21)两边同时与ul+1作内积, 得：

(五)在可以预见的未来，我国经济的对外输出速率必然加快。而现阶段我国大型企业如阿里、腾讯等均走出了国门。政府有责任为企业的国际化发展及竞争奠定必要的基础，其中国际财经合作的广泛性是重要的指标之一。为此，开展国际财经合作有助于我国企业更好的适应未来的国际化竞争，并为转变为国际企业提供了必要的发展土壤与根基。

 

(23)

应用引理2, 可得：

畜牧养殖业疫情出现后，通常会对养殖环境以及农户的经济收入造成沉重的打击，大批量的捕杀以及处理使农户的经济受到严重损失。此外，其破坏性还表现在对人类生命健康的威胁方面，很多人畜共患疾病会对人类进行直接的传播，如曾危害人类的H7N9病毒，最初从鸡群中发现，后来传染了人类，使人类患病或者死亡，因此具有极强的破坏性。

 

(24)

由Cauchy-Schwarz不等式和式(20), 有：

 

 

(25)

将式(24、25)代入式(23), 得到：

 

(26)

当得：

 

于是,ul+1由式(8～11)唯一确定.

式(13)与Δtek作内积, 可得：

 

由引理1.2, 有：

 

注意到，

 

于是，

 

1≤k≤l

(27)

由Cauchy-Schwarz不等式, 引理1和式(20), 得：

 

(2) 证明式(16)对k=l+1是成立的.

 

[2] Bruce Stokes, “China’s New Red Line At Sea”, National Journal, July 3, 2010.

1934年，鲁迅在《引玉集》的后记中，写了这样一段话：“我已经确切地相信：将来的光明，必将证明我们不但是文艺上的遗产的保存者，而且也是开拓者和建设者。”过去，我只知鲁迅是文学创作者，却不知他也是一个书刊的设计者。他搜集古籍，引进外国版画，其富有艺术气息的书籍设计，影响了一代又一代的艺术家。

 

将以上两个不等式代入式(27), 得：

 

于是有：

 

当有：

 

于是，

 

设 则有：

 

h2)2,1≤k≤l

应用Gronwall不等式和式(19), 得：

 

由上面的不等式, 可得：

|el+1|1≤c3(τ2+h2)

其中

由引理1, 有：

 

其中，

因此，式(16)对k=l+1也是成立的，定理证毕.

4 数值试验

应用差分格式(8～11)来计算一个例子，验证文中建立的差分格式的精度和有效性.

例: 设T=1,f(x,t)=e-tsin(πx)(-1+

πe-tcos(πx)+π2),且φ(x)=sin(πx),问题(1～3)有精确解 u(x,t)=sin(πx)e-t.

根据Q系统支护图给出的支护建议如上所述，在具体拟定支护参数过程中参考了初步设计、同时咨询在审核阶段出于保守设计的考虑又在此基础上增强了加固措施，最终引水隧道支护参数如表10所示。

记最大模误差：

 

时间方向的收敛阶定义为order1=log2(E∞(

h,2τ)/E∞(h,τ)),当h足够小.

空间方向的收敛阶定义为order2=log2(E∞(

2h,τ)/E∞(h,τ)),当τ足够小.

定义 order3=log2(E∞(2h,2τ)/E∞(h,τ)) 为差分格式的收敛阶.

 

表1 当h=1/800时，时间方向的最大模下的误差和收敛阶Table 1 Maximum norm errors and the temporalconvergence orders with h=1/800

  

τE∞(h,τ)order11/109.7003e-4*1/202.1243e-42.19111/406.7993e-42.39191/809.5260e-62.0871

 

表2 当τ=1/1 000时，空间方向的最大模下的误差和收敛阶Table 2 Maximum norm errors and the spatialconvergence orders with τ=1/1000

  

hE∞(h,τ)order21/106.3938e-3*1/201.5929e-32.00501/403.9654e-42.00611/809.8050e-52.0159

 

表3 差分格式的最大模误差和收敛阶Table 3 Maximum norm errors andconvergence orders

  

hτE∞(h,τ)order31/101/106.3938e-3*1/201/201.5929e-32.00501/401/403.9654e-42.00611/801/803.9152e-42.0182

从表1～3可以看出，差分格式(8～11)在时间和空间方向上的收敛阶都是二阶的, 与文中的理论结果相吻合.

5 结论

对Buegers方程建立了一个三层线性化的差分格式, 并应用离散能量法和数学归纳法对所建立的差分格式的唯一可解性和在最大模意义下的收敛性给出了严格的理论证明, 数值试验验证了理论结果.

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