拱轴线是拱桥研究的基本问题，它不仅保证了主拱圈受力最优，而且也是拱结构其他科学问题研究的基础之一。比如，在拱结构稳定研究的能量法[1]中，需要沿拱轴对应变能进行积分以得到能量的变分，不同拱轴线积分的结果也不同；拱结构非线性稳定问题中，基于沿拱轴弧长微元的分析得到应变表达式，进而推演平衡微分方程，而沿圆弧拱轴[2]与抛物线拱轴[3]的非线性稳定分析结果有着明显的不同[4]；拱结构振动问题中，需对沿拱轴弧长微元上进行受力平衡分析，同样，拱轴线不同也对结果影响巨大[5]。因此，针对拱轴线问题的研究，将会极大拓展拱桥其他力学问题的研究范围。

2013年，新兴铸管公司在南水北调工程河南段、河北段连续中标，尤其是10月16日，公司一举中标邯郸、邢台、石家庄、保定南水北调配套工程水厂以上输水管道工程，管道总长735km，中标金额13.65亿元，进一步扩大了公司在水利行业的影响力。

拱桥常用的拱轴线为圆弧线、抛物线、悬链线及悬索线。圆弧线对应于等深度静水压力，抛物线对应于水平均布荷载，悬链线是实腹式拱桥填料自重的合理拱轴，悬索线[6]是主拱圈自重压力线，这些拱轴线均对应于单一分布类型的恒载。而随着拱桥朝大跨、空腹方向发展，其恒载变得复杂且多源[7]，远不是特定的单一分布类型恒载。为解决多源荷载作用下合理拱轴线的求解问题，朱雯[8]在浅埋地下拱结构中，针对同时出现竖向力与水平力的复杂荷载，使用微元平衡分析，得到了近似的拱轴线；Chai和Wang[9]针对变深度水深压力与主拱圈自重的双重荷载作用下，基于微元平衡建立微分方程，再通过代数方程与椭圆积分的简化，得到极坐标下的近似解。这些研究工作，为多源荷载下合理拱轴的求解做出了贡献，但是所用的方法均较为复杂，且没有统一的通用方法，以至于难以应用到其他类似分析中。

OCTA是一种非侵入性的快速成像技术，可获取较清晰的视盘及黄斑区分层视网膜血流成像，并能量化分析视盘和黄斑的血流情况，已广泛应用于视神经疾病、视网膜疾病的诊治及病情监测[8]。NAION患者急性期视盘水肿，pRNFL增厚，6～12周后逐渐萎缩、变薄[2]，因此本研究纳入病程＞3个月的NAION患者，且患者的年龄、性别、SE、眼压与正常对照组均无明显差异，排除了年龄、性别、近视、眼压变化及视盘水肿对视盘和视网膜血流检测的影响。

为解决多源荷载作用下合理拱轴线求解的难题，本文提出了一个通用的方法——线型组合法。该方法从数学与力学的基本原理出发，在单一荷载函数分类的三个层次进行了证明，并通过三个典型的多源荷载作用下合理拱轴线求解的算例，验证了本文方法的精确性与通用性。

分析可知，实际触发角由锁相环输出的同步初相位及实际换相线电压共同决定，与直流侧电流无关，因此分别对不计谐波和计及三次谐波时计算实际触发角，与PSCAD运行结果进行比对，以YD侧为例，逆变器两侧的输入量如表4所示，实际触发角和换相角运行结果如表5和表6所示。

1　线型组合法的提出及证明

目前，拱桥的常用拱轴线是悬链线，其对应的荷载自拱顶至拱脚连续分布的填料自重，因此适用于实腹式拱桥。现代拱桥已经发展成为大跨、空腹、轻柔的结构，其恒载是由主拱圈、吊杆/立柱、桥面系、横撑等多种分布型式的综合体，是一个复杂的未知分布类型，如图1所示。

  

图1　主拱圈受力简图Fig.1　Diagram of main arch force balance analysis

在如图1所示的坐标系下，合理拱轴的基本平衡微分方程及边界条件为

 

式中：（·）″=d2（·）/dx2；（·）′=d（·）/dx；y 为多源荷载作用下的合理拱轴线坐标； q（x）为外荷载 q 的具体函数表达式；H为多源荷载对主拱圈产生的水平总推力；L为跨径；f为矢高。该微分方程形式虽然简单，但只在q（x）表达形式较为简单的情况下才有解析解，如：径向均布荷载、水平均布荷载、填料自重及主拱圈自重。除此之外，式（1）均难以找到方程的解析，因而阻碍了拱轴线研究朝着现代拱桥方向的发展。

离散的集中力不能满足如式（1）所示微分方程的可微条件，是合理拱轴分析中最难处理的部分。拱桥中典型的离散集中力，是由立柱或吊杆传递的桥面系重量或立柱自重并最终加载至主拱，如图2所示。

1.1　多源荷载可表达为自变量函数的和时

当拱桥恒载可拆分为若干个可以表达为自变量函数的单一类型荷载的和时，即

 

式中：qi（x）为第i个单一类型荷载的函数；n为单一类型荷载的总数。假设每个单一类型荷载作用下的拱轴方程，都可以得到解析解，即如式（3）所示的n个方程有解

1360 Establishment of streptozotocin-induced diabetic retinopathy model in mice

 

式中：yi为第i个单一类型荷载作用下的拱轴方程；Hi为第i个单一类型荷载对主拱圈产生的水平推力。根据非齐次线性微分方程解的叠加原理，式（1）的解可精确的表示为

 

即得到线型组合法的基本表达式

1.2　多源荷载可表达为拱轴坐标函数的和时

拱桥的恒载可表达为拱轴坐标的函数，如实腹式拱桥填料自重为拱轴坐标的线性函数、主拱圈自重可表示为拱轴弧长的线性函数等。此种情况下，多源荷载可表示为

 

将式（5）代入式（1）可得

 

对式（6）两端沿水平坐标积分可得

 

式中：t为中间变量，与水平坐标意义相同。若令

 

式中：Mq，Mqi的物理意义为外荷载 q，qi沿拱轴线 y（x）引起主拱圈截面（x，y）处的弯矩。那么，式（7）可表示为

多年后，当我每次带人去勃艮第，我都会去到一个只有当地人才知道的地方。谢瓦利-蒙哈榭（Chevalier-Montrachet）葡萄园的背面，有一条向上的小路。虽然不好走，但每一个来到这里的人都会深深体会到这片土地多样的风土条件和种植的不易。大概半个多小时后，我们就来到了小山的中间。遥看远处，整个山谷的风景尽收眼底，是眺望普里尼-蒙哈榭（Puligny-Montrachet）、夏沙尼-蒙哈榭（Chassagne-Montrachet）和圣多班这三个勃艮第最具有特色的白葡萄酒村庄的最佳位置。

 

假设每个单一类型荷载作用下的拱轴方程，都可以得到解析解，即如式（10）所示的n个方程有解

 

那么，对式（10）两端沿水平坐标积分可得

 

式（11）右端项的物理意义为外荷载qi沿拱轴线yi（x）引起主拱圈截面（x，y）处的弯矩。实际上，在已知解析的各种线型中，拱轴线坐标、弧长微分等相差很小[10-11]。据此，有以下表达式近似成立

 

将式（12）代入式（9）可得

 

式中：H为多源荷载对主拱圈产生的水平总推力。式（4）即为线型组合法的表达式，此时为精确解。

 

由于在式（12）的积分中使用了近似替换，因而式（14）是近似解析。

1.3 统计学分析 采用SPSS 20.00进行统计学分析。计量资料以（±s）表示，两两比较行t检验，计数资料采用%表示，行χ2检验。P＜0.05为差异有统计学意义。

1.3　多源荷载由更一般的复杂恒载组成时

推而广之，当多源荷载由更为一般的恒载组成时，会出现以下情况：难以建立如式（1）所示的平衡微分方程，或微分方程没有解析。这个难题给合理拱轴分析带来非常大的困难，如：恒载由直角坐标系、极坐标系等多种坐标系下的函数组成，则难以建立平衡微分方程；恒载极度复杂或有集中力，难以表达为常用的自变量及拱轴坐标函数，则微分方程基本没有解析。

即使在这样的情况下，合理拱轴线基本概念中所包含的力学平衡关系仍旧是成立的，它并不随着数学表达型式的变化而变化，即式中Mqi的表达式及物理概念如式（8）所示。为使Mqi中的积分能够得到显示结果，必须满足以下两个基本条件：

 

1）恒载中的集中力，必须根据能量原理对其进行等效膜张力简化，以满足可积可微的条件；

2）恒载能够拆分为若干个单一类型荷载的和，且每个单一类型荷载均能求得解析或近似解析的拱轴线方程。

③健康教育:选择自制问卷方式对患者的相关病情和知识的认知情况进行调查,要结合调查的结果对患者开展相关干预,根据患者的文化程度和性格特点等,为患者制定合乎患者自身实际的健康教育方案。灵活的选择健康教育的形式,比如为患者进行面对面的交流,帮助患者发放健康教育手册,通过QQ和微信等方式推送,也可为患者选择采用讲座的形式进行健康教育。健康教育的内容,须使患者了解病情出现的机制,对于患者进行管理方法、行为矫正等相关的宣教,要是患者明确对于鼻出血的相关预防措施,做好相关用药指导,还要积极构建良好和谐的护患关系,以便于可以最大程度上促进患者的康复和保健。

若多源荷载满足以上两个基本条件，那么必然有下式成立

 

将式（16）代入式（7）及（12），有

 

若Mqi中的积分使用了近似条件，则式（18）即为近似解析；若Mqi是精确积分，则式（18）为精确解析。

1.4　离散集中力的连续化

为解决多种荷载源下合理拱轴线的求解难题，本文提出了线型组合法，以下从三个方面从易至难分别来论述与证明。

即可得线型组合法的基本表达式

 

  

图2　离散集中力连续化Fig.2　Continuous transformation of discrete concentrated force

通过对离散集中力的数值计算研究结果显示，基于能量原理将其连续化为等效膜张力，仅产生局部弯矩而不影响整体弯矩[12]，而合理拱轴正是以整体弯矩为主要分析对象[13]。数值计算研究结果显示，当立柱数量超过10个时，局部弯矩不起控制作用[13]。基于此原则，立柱或吊索传递的桥面系自重（如图2（a）所示）可连续化为均布荷载，立柱自重（如图2（b）所示）可连续化为自拱顶至拱脚连续分布的填料自重。

1.5　线型组合法的一般步骤

通过以上四个部分的论述，可以得到基于线型组合法的基本步骤为：

由表2可以看出，当q1/q2为1.0时，H1/H为0.46且 H2/H为0.54，表明此时的拱轴方程实际上为介于圆弧线与抛物线之间的某个线型；随着q1/q2从10.0变化至0.1，H1/H从0.89降低至0.08，H2/H从0.11增加至0.92，说明圆弧线的比例在下降、抛物线的比例在上升，表明拱轴方程逐步从圆弧线过渡至抛物线。力学分析结果表明，当q1/q2为无穷大时拱轴方程实际上是圆弧线，当q1/q2为零时拱轴方程实际上是抛物线，表2的结果也与之吻合。从表2可以看出，本文方法计算推力的相对误差为零，表明在连续分布荷载工况下本文方法的推力是精确解。

1）分析多源荷载的构成，将其拆分为若干单一分布类型荷载的和；

2）若某单一分布荷载中有集中力，使用等效膜张力假定将其连续化；

3）对每个单一分布荷载，求解其满足边界的拱轴线方程yi及推力Hi的解析或近似解析表达式；

Berliner（1988）提出了教学中的专长发展五阶段，即新手阶段（novice level）、后期新手阶段（advanced beginner）、称职阶段（competent level）、熟手阶段（proficient level）以及专家阶段（expert level）。在这五个阶段的分析中，Berliner进行了解释界定，处于新手阶段的教师主要是师范学校的实习生和从事教学第一年的教师，在本文中，为了区分参与实践教学的学生和从事教学第一年的教师，将统一将本文的研究对象即参与实践教学的学生称为实习教师。

空腹上承式拱桥的主拱圈，除承担主拱圈自重外，还承担由多根不连续立柱传递的立柱自重及桥面系自重，该类型拱桥的合理拱轴问题一直难以解决，目前主要采用五点重合法来拟合拱轴线。由于悬链线是实腹式拱桥填料的合理拱轴，而空腹式拱桥的恒载与之明显不同，所以该方法的理论基础是脆弱的。

1.4 统计学方法 采用SPSS 21.0统计学软件对数据进行处理。计量资料以均数±标准差表示，组间比较采用t检验；计数资料以例(百分率)表示，组间比较采用χ2检验。肝癌患者TACE术后复发危险因素采用多因素Cox模型回归分析；采用Kaplan-Meier 法计算生存率；采用log-rank 法进行统计学检验。以P<0.05为差异有统计学意义。

5）计算多源荷载的总推力

6）对单一分布荷载的拱轴方程yi进行线性组合即得到多源荷载作用下合理拱轴线的近似解析。

2　典型多源荷载工况算例验证

为验证本文提出的线型组合法，选取三个典型多源荷载工况作为算例，从压力线坐标、主拱圈弯矩及水平推力三方面，来验证本文方法的通用性与精确性。

2.1　上承式空腹拱桥算例验证

4）若步骤3）中的微分方程难以求解，则返回1），直至能够得到解析或近似解析为止；

基于线型组合方法，将上承式空腹拱桥的恒载分为桥面系自重、立柱自重及主拱圈自重，基于能量原理将各部分恒载等效膜张力连续化并求得各自合理拱轴，最终通过推力贡献线性组合得到合理拱轴的近似解析。本算例主要验证多源荷载由自变量函数与拱轴坐标函数共同组成、且其中具有离散集中力的工况下，本文方法的通用性与精确性。一上承式空腹拱桥[14]，跨径，矢跨比1/6，拱肋截面面积0.77 m2，惯性矩0.004 7 m4，材料容重为78.5 kN/m3；假定该拱桥的立柱均匀布置，且立柱数有mclm=11，mclm=13，mclm=15，mclm=17四种工况，每工况的拱顶处立柱高均为hd=8.2 m，拱脚处立柱高均为hj=50.7 m，立柱每延米重量γclm=4.95 kN/m；桥面系每延米重量305.2 kN/m，如图3所示。

  

图3　跨径255 m上承式拱桥示意图Fig.3　Deck arch bridge with 255 m span

基于等效膜张力假定，桥面系恒载可等效为连续的均布荷载，其压力线为抛物线；立柱自重可等效为连续的填料自重，且连续荷载与集中力的总荷载大小不变，其中拱顶处等效填料恒载集度为（hbγclm）/（L/mclm），拱脚处等效填料恒载集度为（hjγclm）/（L/mclm），该荷载的合理拱轴为悬链线；主拱圈自重本身就是连续荷载，其压力线为悬索线。根据线型组合法，此时合理拱轴线的近似解析为抛物线y1、悬链线y2及悬索线y3的线性组合，即

 

式中：系数H1/H，H2/H，H3/H如表1所示。将得到的拱轴线导入三铰拱有限元模型，有限元模型选用ANSYS平台，单元类型为可释放节点转动约束的梁单元Beam44，在拱顶处形成铰接并在拱脚处约束线位移以形成三铰拱模型，单元个数510。本文方法与有限元方法水平推力结果比较如表1所示。

 

表1　不同立柱数工况下线型组合表Tab.1　Arch axis combination under the conditions of different column number

  

?

由表1可以看出，随着立柱数量从11变化至17根，抛物线的组合系数H1/H基本为0.82，悬索线H3/H的组合系数基本为0.17，由立柱自重形成悬链线的组合系数从0.006变化至0.011，表明立柱数量的变化仅对自身荷载影响较大，对其他部分影响较小。由表1还可以看出，在立柱数11至17根的各工况中，本文方法计算的水平推力，最大相对误差为0.21%，表明本文方法的推力具有较好的精度。进一步计算表明，推力的相对误差是由离散的立柱集中力连续化造成的，若没有此部分，本文方法的推力是精确解。

为了进一步说明本文方法的精度，在17根立柱工况下将本文方法与五点重合法进行比较，分别按式（19）与拱轴系数1.167悬链线建立三铰拱有限元模型，并计算其主拱弯矩，其中有限元模型建立方法如前所述。本文方法与悬链线法的主拱圈弯矩的比较，如图4所示。

由图4可以看出，悬链线拱的弯矩极大值约为12 MN·m，而本文方法的弯矩极大值约为0.5 MN·m，比悬链线弯矩小一个数量级，表明本文方法比五点重合法具有更好的适用性。

  

图4　两种方法的主拱弯矩比较Fig.4　Comparison of bending moment of two methods

综合表1及图4可以看出，本文方法可以快速便捷地计算出上承式空腹拱桥恒载工况下的拱轴线近似解析，所得拱轴线与实际的合理拱轴线误差较小，精度比五点重合法高。

2.2　等深静水压力与水平均布荷载工况验证

本荷载工况主要验证当多源荷载分别在两个坐标系，且可表达为自变量的函数情况下，本文方法的通用性与精确性。而在常规的平衡分析方法中，建立该工况无法建立微分方程，是非常困难的荷载工况。一拱结构，跨径L=50 m，矢高f=10 m，拱圈截面为高0.77 m、宽1 m的矩形，承担等深静水压力q1（θ）及沿水平的均布荷载q2（x），荷载大小如表2所示，不考虑主拱圈自重。基于线型组合法，在此种荷载工况下拱轴线方程的近似解析可统一表达为

甲辰（1904年）秋七月，上海南洋中学及上海民立中学并演新剧。南洋、民立中学，每于孔子诞日，开纪念会。是岁则媵以自排新剧，代迎送神曲，演者、观者并兴会飙发，目为旷古未有之盛举，然仅赠券恳亲，无猎资者。自此以往，素人演剧之风日炽，二中学既习以为常例，岁一举行，更煽其余焰，傍及各界，一时幕友立社，经营新剧者，皆其滥觞，几成风雨 。 ”[2]48

 

为验证式（20）的精确性，基于通用有限元软件ANSYS平台，使用与2.1节同样的方法建立包含400个单元的有限元模型，计算并提取结果，其中水平推力如表2所示。

分阶段地展示学生的进步在教学环节中尤为重要。当聋生掌握了一种新知识的时候就可以到教师机上利用广播展示给全班同学看；当聋生学会一级简码时，就可以全班同学比一比，看谁能最快并正确输入一级简码；当聋生能完整的用五笔输入一篇文章时，就可以邀请班主任等其他任课教师，还可以邀请家长来欣赏他们的学习成果，并督促他们更上一层楼。

 

表2　不同荷载比的线型组合表Tab.2　Arch axis combination at different load ratios

  

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这是前所未有的沧桑巨变，是毕节人民艰苦奋斗的精神写照，是乌蒙山集中连片贫困地区脱贫攻坚的一面旗帜，为贫困地区全面建成小康社会闯出了一条新路子。

由图5可以看出，以圆弧为拱轴线的主拱圈弯矩的极大值约为120 kN·m，而本文方法在3个工况下的弯矩极大值约25 kN·m，比圆弧拱少一个数量级，表明本文方法得到的拱轴线更接近合理拱轴线。数值计算结果还表明，在如表2所示的工况中，若使用其他拱轴线则主拱圈弯矩更大，相差2个数量级以上。由此可以看出，本文方法得到的拱轴线近似解析更接近实际的合理拱轴线。

  

图5　主拱弯矩比较图Fig.5　Comparison of bending moment under different load conditions

选取如表2所示的3个工况的主拱圈弯矩，如图5所示。为更好的展示本文方法的有效性，选取q1/q2=10工况下圆弧线弯矩与本文方法结果进行比较，而前述分析可知，该工况的拱轴线与圆弧线相差极小。

综合表2与图5可以看出，本文方法可以快速便捷地计算出等深静水压力与水平均布荷载工况下拱轴线的近似解析，与实际的合理拱轴线误差较小。

液压油管由于油压变化频繁和油温高，致使管壁张弛频繁，极易出现疲劳折损酿成事故。为有效延长液压油管的使用寿命，最好是用细铁丝烧成弹簧放入油管内作支撑。

2.3　变深度静水压力与主拱圈自重荷载工况验证

本荷载工况主要验证当多源荷载为更一般的函数情况时，本文方法的通用性与精确性。对于变深度静水压力，荷载大小可以表达为拱轴坐标的函数，但荷载的方向无法确定，加上主拱圈自重后更加复杂，属于更一般的函数情况。对于该问题方面，Gavin与Reilly[15]提出了变深度静水压力下的合理拱轴问题；Wang与Wang[16]在对此问题进行了深入研究后，得到了笛卡尔坐标系下的拱轴方程表达型式；Fung[17]得到了采用椭圆积分表述的变深度静水压力合理拱轴的解析解；Chai和Wang[9]在此基础上考虑了自重，得到了近似解析，并进行了算例验证。

该系列论文的推演，需要对椭圆积分的微分方程进行求解，非常复杂且难以推广。本文以此为例，验证本文方法的简易性。一拱结构[9]，跨径L=69.202 m，矢高f=6 m，拱圈截面为高0.3 m宽1 m的矩形，承担由3 m变化至9 m的变深度静水压力及主拱圈自重，水的重度取γw=9.81 kN/m3，拱圈材料重度取γa=24 kN/m3，得到的合理拱轴近似表达式[9]为

 

式中：E1（·），E2（·）分别为第一类及第二类不完全椭圆积分函数，其余变量意义见文献[9]。现以本算例为研究对象，使用线型组合法可得到其合理拱轴的近似解析表达式为

 

式中：ch（·）为双曲余弦函数；y1（x）为变深度静水压力下的合理拱轴方程[17]，其可以表示为

 

式中变量意义见文献[17]。本文方法与文献[9]的拱轴坐标比较，如表3所示。

 

表3　两种方法的合理拱轴坐标比较Tab.3　Ration arch axis coordinates comparison of two methods

  

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由表3可以看出，文献[9]与本文方法的拱轴坐标相对误差都较小，文献[9]结果的最大相对误差为1.834%，而本文方法结果的最大相对误差为0.602%，显然本文方法与实际的合理拱轴线更加接近。推力计算的结果表明，本文方法的推力是精确的。通过比较本文方法式（22）与文献[9]的推演过程可知看出，文献[9]需要通过求解椭圆积分的微分方程来得到近似拱轴线，非常复杂且难以推广，而本文方法仅需要对两个曲线进行线性组合，显然本文方法计算更加简单实用。

3　结论

通过理论分析推演与3个典型工况算例的验证，可以得出以下结论：

1）本文提出的线型组合法，可以简易的得到多源荷载下合理拱轴的高精度近似解析；

2）本文方法得到的拱轴线近似解析与实际的合理拱轴线误差很小，主拱圈弯矩也较小；

3）在连续荷载工况下，本文方法的推力是精确解；当有离散集中力时，推力的微小误差主要来自离散集中力的连续化。

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