自抗扰控制(active disturbance rejection control，ADRC)是韩京清老师提出来的一种先进控制算法。其核心思想是将系统的外部扰动以及内部未建模动态合在一起看成总扰动，然后对总扰动进行实时估计和补偿[1-2]。自抗扰控制既可以有效的抑制扰动的影响，又可以减弱算法对模型的依赖，有很强的鲁棒性[3-5]。

广义预测控制(generalized predictive control，GPC)是1987年Clarke等提出来一种先进控制算法。它以受控自回归积分滑动平均模型(CARIMA)为预测模型，对开环不稳定、带输入输出约束、非最小相位的系统或大时滞过程有很好的控制效果[6-7]。但GPC算法对被控对象精确的数学模型有较强的依赖性，且对模型参数较敏感，在线计算量大，限制了其应用范围。

本文将ADRC算法与GPC算法结合在一起，提出了一种改进的GPC算法。与传统的GPC算法相比，改进的算法可以离线求得丢番图方程的通解，且无需辨识被控对象的参数，因此算法在线计算量大大减少。针对一阶线性定常系统，推导了其闭环反馈结构，给出了闭环系统稳定的条件。然后利用离散域的开环传递函数频率特性，分析算法中各参数的变化对算法性能的影响，获得了控制器参数调整的原则与规律，并通过仿真验证了本文算法相对于β-GPC算法的优越性。

研究区土壤类型以棕色针叶林土为主，土体内含有石砾多，质地较轻，土层浅薄，一般在30～40 cm，表土疏松，腐殖质含量高。由于土壤滞水性强，土壤呈现高度湿润状态。该区土壤冻结期较长，冻层深度达3 m，并有岛状永冻层存在，土壤呈酸性。

腕表擒纵的摆轮轴是一个关键核心部件。传统都是用可淬火硬化的钢条制造。摆轮轴尖面积很小应力集中还要承受佩戴者的冲击，为了达到需要的硬度和韧性，需要经过多次的淬火以及用于提高韧性的一次或多次回火。还要对轴尖进行滚压抛光。硬度小于600HV（维式硬度）的材料，根本做不了轴尖，一般用来作摆轮轴的都是加有铅和锰的20AP马氏体碳钢。这种钢作轴尖此类型材料的优点在于易加工，硬度可以达到超过700HV的硬度。但是这种材料具有强磁感性，还容易生锈。手表上防磁的瓶颈就在这里了，因为硅游丝的制造使用很成熟和普遍了，作摆轮框架对于材料金属强度要求并不高。防磁上就是这里突破不了。

1 自抗扰广义预测控制算法的设计

1.1 自抗扰广义预测控制的结构图

其中ωo为LESO的带宽。

谭刚[1]系统地总结了当前海上风电工程领域用来评估风机基础疲劳强度的主流方法，提到波浪理论和疲劳损伤理论等因素都影响疲劳损伤的计算精度，同时由于材料特性和风浪联合模型的不确定性，引入了疲劳可靠性概念。

2003年，张兰花盈利二万元，那是她来兵团从土地里“刨”到的第一桶“金”。2007年，种植的77亩棉花，经专家测验，皮棉单产达到179.6公斤，张兰花成为了兵团级植棉高产状元。2008年7月2日，她承包的棉田，遭遇了一场罕见的冰雹，原本枝繁叶茂的棉花，瞬间变成光杆“秃头”，惨不忍睹。张兰花擦干眼泪，不等不靠，连续四天用工130多个，把受灾的棉花一棵棵重新扶起，把残枝碎叶打整出来。其他受灾户在她的带动下，积极投入抗灾自救。辛劳的汗水换来了丰收的喜悦，她的77亩承包地获籽棉单产456公斤，个人纯收入六万余元。同条田的其他四个承包户平均籽棉单产均达到400公斤以上。

  

图1 ADRC-GPC的结构图Fig.1 The control structure of the ADRC-GPC algorithms

1.2 自抗扰广义预测控制的原理

考虑如式(1)所示的一阶控制系统：

 

(1)

根据GPC的原理[6]，可以计算出其控制律为

对于系统(1)， 在估计和补偿总扰动后，原系统可被简化成一阶积分器的形式[1]:

图4展示了上述模型的实验结果。曲线为实验得出的结果，从结果中发现最大的抗拔强度为5.1 N。然而根据之前部分对于理论最大值的描述，可以计算出理论抗拔强度为6 N。这个实验值同理论值的差异经过多次系数测试，被证实为泊松效应。另一个测试模型用以测试这个假设，其中泊松比被设为0.01，之后结果为5.96 N，非常接近理论值。

 

(2)

定理 设A(z-1)T(z-1)Δ在单位圆外的根的个数为P，被控对象的开环传递函数G(z-1)H(z-1)的奈式曲线逆时针包围(-1，j0)的圈数为R，则离散系统稳定的充要条件是P=R。

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+ζ(k)/Δ

(3)

式中：Δ=1-z-1表示差分算子；ζ(k)是扰动信号，z-1表示后移算子；A(z-1)、B(z-1)是后移算子z-1的多项式:

据了解，仅2017年共组织人员外出取证、复审培训8次，司炉、电工、焊工、危化品、起重机械工等特种作业人员培训及取复证248人次，特殊工种持证上岗率100%，开展技能知识的相关培训1000多人次。

 

(4)

简化后的系统(2)传递函数为

 

(5)

采用零阶保持器可以得到式(5)的脉冲传递函数：

杨头村：土壤中全钾、硫、硒为丰富水平，全磷、全氮、钼、锰为中等水平，镁、铜、钙为缺乏水平，营养元素较均衡。

 

(6)

忽略扰动信号，将式(3)写成：

阿强天不怕地不怕，可就是怕狗怕得厉害，他说：“还是你自己牵出来吧。”不一会儿，狗就被牵了出来，男子再三表示歉意后牵着狼狗下了楼。阿强这才嘘了口气，他在门外找了半天，还是没有找到信封。他回到屋里，忽然见到桌上又是一张白纸条，上面写着：“阿强先生，这次我又偷了你的电视遥控器，三个回合我都赢了，看来你这个防盗大王也不过如此。江城神偷。”

y(k)=G0(z-1)u(k)

(7)

其中传递函数G0(z-1)可以表示为

 

(8)

因此，为分析ADRC-GPC算法的性能，只需考虑

A(z-1)=1-z-1,B(z-1)=T

(9)

考虑丢番图方程：

 

(10)

将式(9)代入式(10)可以得到一阶系统丢番图方程的通解：

ej=j， f1j=j+1, f2j=-j

gj=jT， Hj(z-1)=0

(11)

广义预测控制有如下性能指标函数：

 

 

(12)

式中：Δu(k+j)=0,j表示在Nu步后控制量不再变化，N表示预测时域，Nu表示控制时域；‘λ(λ>0)表示控制加权因子。为了使得输出y(k)可以平稳的到达设定值yr(k)，设定值的柔化序列w(k+j)表示为

W=[w(k+1),…,w(k+N)]T=

 

(13)

式中：α(0≤α<1)称为柔化因子，

式中：分别是系统的输入、输出和外部扰动，b为系统的放大系数。为将其转化标准的串联积分器的形式，设代表总扰动，假设f可导，且

U=(GTG+λI)-1GT[W-Fy(k)]

(14)

取U的第一个元素作为Δu(k)，则针对式(2)所示的积分器串联型系统所施加的控制律为

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(15)

2 自抗扰广义预测控制闭环离散形式

根据式(13)和式(14)可得：

T(z-1)Δu(k)=Ryr(k)-S(z-1)y(k)

(16)

式中：

将式(7)两边同时乘以TΔ并代入式(16)可以得到

 

(17)

式中：

因此GPC算法可以转化成如图2的形式。

  

图2 广义预测控制下的闭环控制系统Fig.2 Close-loop control system of GPC

文献[8]提出了一种LESO的内模控制结构，如图3所示。

  

图3 ESO的内模控制结构Fig.3 IMC-structure of ESO

ADRC-GPC的结构图如图1所示。ADRC-GPC算法由三个部分组成：扩张状态观测器(extended state observer, ESO)、动态补偿以及广义预测控制器。首先该算法将被控对象不同于串联积分型的部分看成总扰动，并引入ESO对总扰动进行实时估计，利用动态补偿部分对总扰动进行反馈补偿，从而将图1虚线框内的部分简化成标准的串联积分器的形式，针对其设计广义预测控制器u，以达到系统控制目标。从结构图中可以看出，只需要知道系统的阶数 n以及对总扰动的估计信息zn+1,就可以完成ADRC-GPC控制器设计。

因此，ADRC-GPC下的闭环离散系统的结构图如图4所示。

  

图4 自抗扰广义预测控制下的闭环离散控制系统Fig.4 Simplified close-loop discrete system of ADRC-GPC

其中G(s)为图3所示的ESO内模结构下的闭环传递函数：

 

(18)

根据离散系统的稳定性条件，设

G(z-1)=

(19)

则闭环系统的特征方程为

1+G(z-1)H(z-1)=0

(20)

将式(6)和式(8)相对应，可以得到

 

(21)

的频率响应就可以。根据离散系统奈式判据，可得ADRC-GPC的控制下，闭环系统稳定的条件[9]。

因此，在ADRC-GPC算法中，GPC是针对式(2)所示的积分器串联型系统施加控制作用，其从输入u(k)到输出y(k)之间的脉冲传递函数的CARIMA模型表达式为

3 ADRC-GPC算法的性能分析

设有如式(22)所示的一阶系统：

 

(22)

式中：采样时间T=0.1,b0=b=1。

由上述分析可知，ADRC-GPC算法的性能主要受到N、ωo、α、λ、Nu五个参数的影响。分别对其进行调整，利用Bode图来观察参数变化对算法的性能的影响。

汤甲真14岁时，得知伯父送儿子到离家10多里的一所小学寄宿读高小。他羡慕极了，再三请求祖父也送他上学。得到同意后，他满心欢喜地在开学过了20多天后入校。“当时是抗日战争初期，我开始接受爱国抗日的思想教育，激起了为抗日救国而读书的极大热情。”他说。

3.1 观测器带宽ωo对系统性能的影响

ωo的值分别取2、5、8、12、15、20、30、40时，取N=10,α=0.2,λ=0.005,Nu=1，开环系统的Bode图如图5所示。

借港大的教室上课，上课下课挤得黑压压的挨挨蹭蹭，半天才通过，十分不便，不免有寄人篱下之感。香港一般人对国事漠不关心的态度也使人愤慨。虽然同学多数家在省城，非常近便，也有流亡学生的心情。有这么几个最谈得来的就形成了一个小集团。汪精卫一行人到了香港，汪夫妇俩与陈公博等都是广东人，有个副官与邝裕民是小同乡。邝裕民去找他，一拉交情，打听到不少消息。回来大家七嘴八舌，定下一条美人计，由一个女生去接近易太太——不能说是学生，大都是学生最激烈，他们有戒心。生意人家的少奶奶还差不多，尤其在香港，没有国家思想。这角色当然由学校剧团的当家花旦担任。

  

图5 ωo变化时的Bode图Fig.5 Bode diagram when ωo changes

λ是用来限制控制增量Δu的剧烈变化，以防止对被控对象造成过大冲击。从图中可以看出，λ对系统的影响效果最明显。λ的减小使得系统的截止频率升高，响应速度加快，但是系统的相角裕度减小，稳定性降低，系统逐渐的开始出现超调，增大λ会使得相角裕度增加，可以实现无超调的控制，但是也会使得控制作用减弱。因此实际选择时λ取值较小。

3.2 N改变对系统性能的影响

N分别取值为5、8、10、15、20、30、40时，取ωo=10,α=0.2,λ=0.005,Nu=1。开环系统的Bode图曲线如图6所示，相应的相角裕度和截止频率的值见表1所示。

  

图6 N变化时系统的Bode图Fig.6 Bode diagram when N changes

 

表1 N变化时的相角裕度和截止频率

Table 1 Crossover frequency and phase margin under different N

  

N相角裕度/(°)截止频率/(rad·s-1)548.2311.91854.4111.341056.6411.121557.0310.822058.4610.673059.9810.514060.7710.44

从图6以及表1中可以看出，预测时域N的改变会同时改变系统的截止频率和相角裕度。当N取值较小时，截止频率的值相对较大，系统具有较快的响应速度，但是相角裕度较小，系统稳定性会相对较低。当N取较大值的时候，截止频率的值相对较小，系统的响应速度减慢，降低了算法的实时性。但是N的增加提高了系统的相角裕度，改善了系统稳定性。因此，应选择合适的N，使控制系统既具有较快的响应速度，又能达到稳定性的要求。

3.3 Nu改变对系统性能的影响

在Nu的值分别取1、3、5、6、7、8、9时，其他可调参数不变，即N=10,ωo=1,λ=0.005,α=0.2。开环系统的Bode图如图7所示。

BAPI接口技术是一种面向对象的技术，以RFC技术为基础，可以完成一些比如说上传交易数据等别的技术不能完成的任务。BAPI接口技术既可以由SAP系统自带，也可以由开发人员自主研发。

在广义预测控制中应满足Nu≤N。从图7和表2中可以看出，当Nu>1时，系统的截止频率比Nu=1时的截止频率大，即系统的响应速度比Nu=1时的响应速度快。但是相角裕度与Nu=1时相比下降很多，系统的稳定性降低。表2中可以看出，对于一阶系统，当Nu=2时，系统的响应速度最快，但是稳定性最差。当Nu>2时，系统的截止频率开始减小，稳定裕度开始上升。在Nu≥0.5 N的时，系统截止频率和相角裕度不会随着Nu的增大而发生改变。从GPC的原理可以看出，Nu的增大会使得G矩阵的维数增加，增大了算法的在线计算量，从而使得算法的实时性降低，因此，在选择Nu时，应该综合考虑。

  

图7 Nu变化时的Bode图Fig.7 Bode diagram when Nu changes

 

表2 Nu变化时的频域性能指标

Table 2 Crossover frequency and phase margin under different Nu

  

Nu相角裕度/(°)截止频率/(rad·s-1)154.4111.12233.8113.74337.6712.50438.8412.035～938.9111.98

3.4 控制加权常数λ的变化对系统性能的影响

当λ的取值分别为1、 0.5、 0.1、0.05、 0.01、0.005、 0.001、0时, 为更明显看出λ的变化对系统的性能的影响，取N=10,α=0.2,ωo=10,Nu=2，采样周期T=0.1，开环系统的Bode图如图8所示。

  

图8 λ变化时的Bode图Fig.8 Bode diagram whenλchanges

从图5中可以看出，当ωo增加时，系统的截止频率和相角裕度几乎不变，而ESO的精度随着ωo的增大而提高。但是ωo越大，系统的输入和输出对噪声就越敏感，因此ωo需要限制在一定范围内，起到滤波的作用，且保证一定的观测精度，从而获得满意的控制效果。

3.5 柔化因子α的变化对系统性能的影响

当α的取值为0、0.1、0.2、0.4、0.5、0.6、0.7、0.9时，取N=10,λ=0.005,ωo=10,Nu=2,采样周期T=0.1，开环系统的Bode图如图9所示。

  

图9 α变化时的Bode图Fig.9 Bode diagram when α changes

α为柔化因子。从图9可以看出，α的增加降低了系统的截止频率，减缓了系统的响应速度，对系统的动态性能有很大影响。但是却提高了系统的稳定性。因此，在实际进行参数选择时，若确定了预测时域N的值，为了保证闭环系统的稳定性，α应充分接近1。

从上述分析中可知，ADRC-GPC算法与GPC算法的参数调整原则基本一致。其中，N、α、λ是ADRC-GPC算法动态性能的主要影响因素。在实际选取参数时，对于简单系统， N等于系统的上升时间，Nu选为1，而α选取接近于1，就能得到比较满意的控制效果。此时，矩阵G为列向量，算法的在线计算量减少，算法的实时性提高。当控制系统的性能要求较高时，Nu的值应该选的稍微大一些。 λ应该从0或者一个很小的数开始缓慢增加，直至获得满意的性能且控制律的变化满足设计要求为止。ωo与ESO的估计性能有关，ωo选择较小，则ESO估计性能不好，过大的话，抑制噪声能力弱，系统对噪声更敏感。因此ωo需要限制在一定范围内，既要保证ESO的估计性能，又能有较好的滤波作用。

3.6 实例验证

对于式(23)所示的系统，根据上述分析，设ADRC-GPC算法的参数为：N=5,Nu=1,λ=0,α=0.1,ωo=10,b0=1,T=0.1此时，离散系统的开环传递函数为

G(z-1)H(z-1)=

(23)

离散系统的Nyquist曲线如图10所示。

  

图10 一阶系统的奈式曲线Fig.10 Nyquist diagram of a first-order linear system

从图10可以看出，系统的Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点的圈数为0，它的开环传递函数没有单位圆外的特征根，由定理可知，离散系统稳定。

为了更好地体现ADRC-GPC算法的性能，将ADRC-GPC算法与β-GPC算法的控制性能进行对比。β-GPC算法是一种改进的GPC算法,主要通过引入控制增量增益β来提高系统的鲁棒性[10]。两种算法的输出响应如图11所示。其中，ADRC-GPC算法的参数不变，β-GPC算法的参数为：

N=10,Nu=1,λ=0,α=0.1,β=0.36,T=0.1。

  

图11 两种算法的阶跃响应曲线Fig.11 Step response of these two GPC methods

从图11可以看出，与β-GPC算法相比，在其他参数取值相同时，ADRC-GPC算法在较小的预测时域下，就能得到更快的输出响应。在GPC及其改进算法中，预测时域N越大，计算量也就越大，因此ADRC-GPC能在有效减少计算量的情况下，具有更好的动态性能。

4 结论

1)与传统的GPC算法相比，ADRC-GPC算法在线计算量大大减少。

2)利用频域法对离散-连续型混合控制系统进行分析；针对一阶非线性不确定系统，推导了ADRC-GPC算法的闭环反馈结构，证明了算法的稳定性。

3)利用Bode图得出了算法的参数调节原则，增强了算法的实用性。

4)通过和β-GPC的动态性能进行对比，验证了新算法的优越性，为新算法的推广应用提供了基础。

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