0 引言

CT成像是现代医学一种普遍的影像诊断技术，它通过获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像来反映病人的病症，具有密度分辨率高，无创伤等特点，因而被广泛用于临床.其中数据不完全性造成的不适定性一直是CT成像领域热点，也被各研发团队和各大CT生产厂家所关注[1,2].如研究表明，接受超过28次CT扫描的患者致癌几率比平均水平高12%，儿童在接受CT检查时所受的辐射影响会更大，目前如何减少CT辐射已成为一个重要课题.同时，CT扫描金属物体时，其对射线的高吸收率会加重射线硬化，造成对应的检测器区域所测数据部分缺失，本质上也属于不完全投影数据重建问题.而在数据不完全情形下，卷积反投影、代数重建法、联立代数重建法等传统CT重建算法所得到的图像往往无法令人满意.随着压缩感知理论的发展，稀疏约束的概念为不完全数据的CT图像重建提供了新的思路[1-6].压缩感知理论表明只要信号是稀疏的或在某个变换域是稀疏的，那么只需对信号进行少量采样就可通过求解一个优化问题而高概率地重建原信号[7].基于此，该文针对投影数据带噪音和不完全情况，将探讨基于稀疏约束的不完全数据的CT重建算法；并将所提算法用于收集到的实际医学数据，重建出清晰、完整的图像.

1 CT重建算法

1.1 传统CT重建算法

CT重建算法主要是以检测目标为中心，通过旋转扫描，采集目标在不同视角下的投影数据，利用图形重建算法还原出检测目标的断层图像.国内外现有的CT重建算法大致分为两类[7]：一类是解析法，即利用几何变换构造图像重建，包括：直接傅里叶变换算法，卷积反投影算法和滤波反投影算法.解析法由于其实现简单、快速，并且能够重构出高质量的图像，在CT系统中得到广泛应用，尤其在医疗CT系统，其中滤波反投影算法(FBP)用的最多，然而它对数据的完备性要求较高.另一类是迭代法.它是基于迭代法完成图像重建技术，一步一步地靠近真实图像，其中可将待重建图像的先知信息转化为约束来限制或优化条件，使CT图像重建问题转化为求解具有约束条件的优化问题.

当下中国公共服务资源相对较缺乏，尤其是在有些公共服务领域出现市场化的过程中，出现了“有形之手”和“无形之手”之间的争夺，给社会的进步带来了诸多障碍。随着利益格局的深刻变化和公共服务需求的快速增长，客观上对政府必须加快推进公共服务的质量和水平，提升创新公共服务的步伐提出了更高要求。

迭代法首先需要确定系统矩阵，系统矩阵的物理意义是矩阵中的一个元素代表射线穿越图像中某个像素后的衰减值.设系统矩阵为A，则系统矩阵的第i行是第i条射线在一定角度穿越待建区域时，待建区域中所有的像素点对其所贡献的衰减值.CT成像模型则可表示为如下形式的线性方程组

 

其中xj为重建图像中第j个像素点的灰度值，bi为第i条射线的测量值.写成矩阵形式，即线性方程组

Ax=b

注意到Landweber迭代(2)在进行数值模拟中所需的迭代步数较多，收敛速度较慢.考虑应用前两步迭代信息来构造快速的迭代格式(SART)[10]

由于测量值一般是含有噪音的，记为bδ，且满足‖b-bδ‖≤δ，称δ为噪音水平.

为了处理不完全数据情形，该文引入稀疏约束，如结合l1范数来求解约束问题

 

所谓的代数重建算法[9](ART)可以表示为

 

(1)

一般代数重建算法运行时间较长，需要存储空间也很大.因此，作为代数重建算法的一种改进，同时代数重建算法(SART)获得了广泛应用.其基本思想是在修正某个像素值之前，计算该像素单元有贡献的(射线穿过该像素单元)所有投影估计值和真实投影值之间的差别来对图像值进行修正.其中经典的如Landweber迭代

 

(2)

从优化的角度，Landweber迭代可以看作是用最速下降法求解函数

 

的极小值，μ是下降步长，可以选取为

s.t.min‖x‖1.

1.2 带稀疏约束的CT重建算法

若记ai是AT的第i个列向量，采用分块矩阵的形式表示，即：

甲洛洛深深地吸了一口烟，好半天才跟一声长长的叹息吐出烟雾：哎——都怪我多事，我愧对大家对我的敬重！潘美丽剜着甲洛洛：愧对管个屁用，那么多东西都拿哪儿去了？拿你的脑袋都赔不起。西西的语气里明显地带着挑衅：什么东西比脑袋还管钱？我可从来没见识过，你今天说来听听。这时大家才注意到西西脸色发紫，好像随时都会扑上去咬一口。

Ax=b

μ=1/‖ATA‖.

因此应用代数重建算法(1)的框架与l1约束可以构造ART-l1算法[9]

 

 

类似的，可以构造SART-l1迭代方法

 

 

这一格式又被称为线性化Bregman迭代[8].文献[11,12]指出如果应用广义偏差原则

 

为停止准则可以有效地处理带噪音的情况.

1.3 快速CT重建算法

引理1 (Blundon不等式)[3]设a,b,c,s,r,R分别是△ABC的边长、半周长、内接圆半径与外接圆半径，则

 

 

特别的，结合稀疏约束构造快速SART-l1方法：

 

 

 

 

2 重建算法的数值模拟

这一节，针对简单的图像来对传统的CT重建算法：滤波反投影算法(FBP)、代数重建算法(ART)、同时代数重建算法(SART)，带稀疏约束的迭代算法：ART-l1、SART-l1，及相应快速算法进行测试.

各类迭代算法中的初始值取零矩阵，SART与SART-l1中选择松弛因子μ为

 

 

其中MSE指均方根误差.

采用大小为256×256的的圆模型进行仿真重建，在0～180°角度范围内每隔5°和10°均匀采样，并对投影数据添加满足高斯分布的随机噪音，使得投影数据具有1%的相对误差.为了检测算法的精度，定义重构图像与真实图像x*的相对误差与信噪比

多数学校制定了较完善的实习管理制度，通过计划、引导、监督和评价等多种手段保障野外实习顺利完成．但是，由于重视程度不够，造成实习经费紧张，实习人数过多，师资队伍短缺，仅以维持教学计划实施，难以完成实践教学任务，教学质量不高．这样不利于专业课程教学及学科建设与发展，而且不利于学生解决实际问题能力的培养与提高．另外，学生在实践教学中参与度不足，个别学生把实践教学当做游玩，不认真对待．

 

迭代过程中如果偏差原则

 

得以满足，则迭代结束，τ=1.05.

在角度间隔为5°和10°的情况下，各类重建算法的数值结果见表1、表2.图1记录了真实图像，角度间隔为10°的投影数据，各方法的重构结果.从表1、表2可见随着投影数据的减少(角度间隔从5°到10°)，各重建算法的相对误差和信噪比都有所影响，其中带稀疏约束的算法(ART-l1、SART-l1)影响较小，相较于传统重建方法重建效果要好得多，图像的信噪比(PSNR)较高，相对误差(RelErr)较小.可见稀疏约束的引入可以有效地对处理不完全数据的CT图像重建，然而计算机运行时间可能增加.而构造的快速SART-l1方法重建图像的质量和SART-l1方法重建图像的质量差不多，却大大缩短了计算时间.

 

表1 角度间隔为5°数值结果

  

算法PSNRRelErr时间/sFBP25.170.50550.01669ART30.060.2905302.00SART29.980.29420.88快速SART30.010.29430.54ART-l1 43.560.062375.50SART-l143.630.061910.63快速SART- l144.180.05651.92

 

表2 角度间隔为10°数值结果

  

算法PSNRRelErr时间/sFBP21.280.83280.00887ART27.560.39803.23SART27.510.39900.34快速 SART27.550.39880.28ART-l140.030.096666.87SART-l140.180.09538.78快速SART-l140.910.09161.19

  

图1 角度间隔为10°的数值结果

3 实际医学图像重建

最后针对嘉兴某医院的实际牙齿图片进行图像重建.重建图片大小为512×512，投影数据角度间隔为10°，相应真实图片，投影数据，及各方法的数值结果如图3、表3所示.可见在处理实际问题中，带稀疏约束的算法对不完全投影数据重构依然具有较好的效果.

  

图2 牙齿角度间隔为10°的数值结果

 

表3 牙齿角度间隔为10°数值结果

  

算法PSNRRelErr时间/sFBP17.841.60040.033ART22.860.6198170.50SART22.880.61854606.86快速 SART22.880.618388.43ART-l132.730.25131644.93SART-l132.860.2491134.50快速SART-l132.860.24589.12

4 结论

该文针对不完全数据CT图像重建，在传统重建算法的基础上引进了带稀疏约束和快速的重建算法.数值结果表明，带稀疏约束的算法对不完全投影数据重构具有较好效果，快速的重建算法明显提升了重建速度.

随着我国公路桥梁技术的发展，利用桥梁技术连接了山区的高速交通网，打破了山区公路交通不便的限制，山区高速公路桥梁施工对于发展我国高速交通网有着非常重要的作用，同时，对于加快区域经济交融，促进经济发展也起到了积极作用。

参 考 文 献

[1] 王艺淳. 基于压缩感知的CT重建算法研究[D]. 北京交通大学, 2015.

[2] 赵可. 基于稀疏表示的不完全投影重建算法研究[D]. 中北大学, 2014.

[3] 齐宏亮. 稀疏角度下的CT图像重建迭代算法研究[D]. 南方医科大学, 2013.

[4] Chen M, Mi D, He P, et al. A CT Reconstruction Algorithm Based on L1/2 Regularization[J]. Computational and mathematical methods in medicine, 2014, 2014(3):862-910.

[5] Yin Wotao, Osher Stanley, Goldfarb Donald, et al. Bregman Iterative Algorithms for l1 Minimization with Applications to Compressed Sensing[J]. Siam Journal on Imaging Sciences, 2008, 1(1):143-168.

[6] 郭威. CT不完全投影数据重建算法研究[D]. 吉林大学, 2011.

[7] Donoho D L. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4):1289-1306.

[8] Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography[J]. Medical Physics, 2002, 29(1):107-108.

[9] Guan H, Gordon R. Computed tomography using algebraic reconstruction techniques (ARTs) with different projection access schemes: a comparison study under practical situations[J]. Physics in medicine and biology, 1996, 41(9):1727.

[10] Hubmer S, Ramlau R. Convergence analysis of a two-point gradient method for nonlinear ill-posed problems[J]. Inverse Problems, 2017, 33(9).

[11] Engl H W, Ramlau R. Regularization of Inverse Problems[M]. Regularization of inverse problems. Kluwer Academic Publishers, 2000.

[12] Jin Q, Wang W. Landweber iteration of Kaczmarz type with general non-smooth convex penalty functionals[J]. Inverse Problems, 2013, 29(8):1400-1416.