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有关初等矩阵的定理教学设计——基于“知识可视化”理念

更新时间:2009-03-28

在有关初等矩阵定理之前的相关知识储备是矩阵的乘积运算,矩阵的初等变换以及初等矩阵的概念这三个基本模块[1-2],在探究新的知识之前,这三者之间的关系并不十分清晰。而有关初等矩阵的定理正是矩阵理论中探究这三者之间关系的桥梁。但有关初等矩阵的系列定理一直以来就是教学的难点,这些定理的来源很难讲解清晰,定理本身又高度抽象,且定理与定理之间的联系也显得不够紧密。因此,在教学中如何将有关初等矩阵的定理的来历、内容、定理内部的关系等直观的解释清楚是一个值得探究的问题。“知识可视化”[3-4]是将抽象和复杂的事件、过程、关系用图形、图画等形式,形象图解的展现出来的理念,是信息时代提高群体知识的创造和传递的高效途径。基于这种理念,本文将借助图形变换和类比实例的可视化方法,采用问题驱动教学,对有关初等矩阵的定理这一课时的教学设计进行探究,利用初等矩阵建立矩阵乘积与矩阵的初等变换之间的紧密联系,实现知识的直观化、体系化。此外,本文的教学设计也进一步体现了线性代数在实际生活中的应用,比如手机拼图游戏的设计等,同时,利用统一的案例贯穿教学始末,可以极大地实现教学连贯性,激发学生的发散联想,提高学生分析、解决问题的能力。

1 有关初等矩阵的定理内容分析

有关初等矩阵的定理有多个,其中最基本的定理有两个:1) 初等矩阵左(右)乘已知矩阵相当于对该矩阵施行一次同样类型的初等行(列)变换(即后文中定理1);2) 对任意矩阵A都存在有限个初等矩阵P1,P2,…,PsQ1,Q2,…,Qt使得PsP2P1AQ1Q2QtA的标准形(即后文中定理2)。后面的有关初等矩阵的定理和结论,如可逆阵可以写成有限个初等矩阵的乘积、如何利用初等变换求方阵的逆等,都是建立在这两个定理之上的,均可看成是这两个定理的推论。有关初等矩阵的相关定理的教学重点是定理1和定理2,而教学难点是初等行变换与初等矩阵左乘之间关系的探究、归纳过程以及矩阵化标准形这个动态过程与矩阵左(右)乘若干初等矩阵之间的等价转化。

2 基于知识可视化理念的有关初等矩阵的定理教学过程设计及思考

2.1 创设情境引出内容

对于高度抽象的数学理论课,创设一个恰当的生活案例作为课堂的引入非常关键。引言中提到的手机拼图游戏是生活中常见的一个案例,具有高度的可视性和直观性。分块的图像可以看成是一个矩阵,而图形的复原需要对图形进行行互换和列互换,这恰又对应了矩阵的初等行变换和初等列变换 。故手机拼图游戏的复原问题作为引入是一个既有趣又恰当的案例。基于此,课堂教学的第一个问题可设计如下。

【问题1】 如何将图1中三个打乱的合肥学院Logo复原成原图?作为一个图形复原游戏,其数学原理是什么?

  

图1

在抛出问题1后,学生容易看出,在图1的三个图像中,最左边的图像复原需要施行行互换,中间的图形复原需要施行列互换,而最右边的图形复原既要施行行互换又要施行列互换,此时教师提问“其中的数学原理是什么”,带着这个问题学习本节课,可以极大的提高学生的好奇心和求知欲。

2.2 追溯概念根源

实际上,结论1的形成过程是本节课的核心,因为后续的大部分的结论形成过程都是建立在结论1的基础上了,或为类比(初等列变换与初等矩阵右乘之间的关系),或为应用(定理2,逆矩阵的初等变换求法,解矩阵方程等)。对结论1的理解深度直接决定了后续内容的学习效果。故此时需要设计一道例题巩固对结论1的理解。例题设计如下。

为了引出定理1,基于学生已经学习过矩阵的初等变换,可选择两个简单的行等价矩阵,通过观察法比较两矩阵之间的关系和变化规律,设计如下的探究1。

这里需要强调的是,在问题2 的复习过程中务必要强调三类初等矩阵的“来源”是什么?即从单位矩阵通过何种初等变换得到的(比如强调初等交换阵Em(i,j)源于单位矩阵Em交换第i行和第j行)。因为在后续探究定理1的过程中,需要不断的利用这种“来源”来理解和记忆相关的结论。

2.3 探究规律 类比推广 形成定理1

【问题2】什么是初等矩阵?它有哪些类型?它们分别是单位矩阵通过何种变换得来的?

【探究1】探究如下两个矩阵之间的关系? 如何将行等价这种描述性关系进行数学公式的等式表示?

 

探究1的过程: 显然从A3×4变成B3×4只需将A3×4第二行和第三行互换就可以了,但是这种互换只能建立A3×4B3×4之间的行等价关系,并不能建立A3×4B3×4之间的等号关系,为此,必须对A3×4进行一些矩阵运算,而矩阵的乘法运算具有复杂的运算规律,结合从A3×4变成B3×4是将A3×4第二行和第三行互换这一事实,联想到初等矩阵

 

并做如下的实验

 

(1)

对于等式(1),从形式上看其结果可以表述为:“用初等交换阵E3(2,3)左乘矩阵A3×4就相当于对矩阵A3×4施行了一次同样类型的初等行变换”,这里“同样类型”就是在2.2小节中提到的复习初等矩阵时要强调的初等矩阵E3(2,3)的“来源”。探究1的探究过程及其结果的抽象过程和表述可以看成是本节课的重点内容和教学难点之一, 因为这个表述尽管是针对E3(2,3)左乘矩阵A3×4这种特殊情况的,但为后面的定理1的精确表述奠定了规范语言的基础。探究1的过程是一种直观的引导式的探究过程,学生参与到其中,自然体会深刻,不自觉的引发深思,在头脑中建构出基本的结论雏形。此时提出更一般情况下的初等交换阵左乘矩阵的运算规律就顺理成章了。

1985年在广饶县五村遗址出土了一件陶鼓,属新石器时代大汶口文化时期遗物,距今已有5 000多年的历史。该器物为泥质红陶,侈口,器身中部略细,呈桶状,下腹折收为小平底。口沿外均匀地饰有13个排列有序鞔鼓皮用的凸状钮,腹部及底饰有11个不均匀的直径约0.7厘米的圆形出音孔。折棱处饰一周锥刺纹,器壁较厚,坚硬,全身施红陶衣。高50.5厘米,口径27厘米[4]。

一般地,设

 

例1的解答:

性质

在性质1抛出之后,自然要问初等倍乘阵和初等倍加阵左乘已知矩阵的是否也有类似的计算规律,可设计如下的的探究。

目前我国针对足球教练员具备资质认证的培训基本上是中国足协开展不同资质级别的教练员培训班,每次培训班参训学员名额有限。并且参加培训班的学员多来自足球俱乐部及其梯队、业余足球俱乐部、足球学校等,中小学体育教师难以参加此类培训[8]。

【探究2】计算下式并类比性质1总结计算规律。

 
 

探究2的结论可以类似的表述为“用初等交换阵E3(2(k))(E3(23(k)))左乘矩阵A3×4就相当于对矩阵A3×4施行了一次同样类型的初等行变换”。将这种表述一般化并公式化即可得到下面的性质2和性质3。

高纯度的氧气或干燥的空气可用于产生臭氧。通常,电晕放电发生器产生用于食品应用的臭氧,这些发电机需要高压供电单元。在食品的水臭氧处理中,气态臭氧水应融于水中。臭氧从气态到液态的转移效率是影响消毒可行性的重要因素。待处理的臭氧和基质(例如食物)在处理容器中聚集在一起,允许臭氧和基质之间的有效接触。自动控制器与过程流量计和监视器结合使用,以维持处理过程中的目标臭氧浓度并控制臭氧的产生。臭氧浓度和暴露时间是决定处理过程中臭氧效率的关键参数。

性质

性质

将性质1、2、3统一在一起,就是本节课的第一个结论。

结论1A是一个 m×n 矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵。

苗木修剪在反季节种植中必不可少,及时科学的修剪处理能有效提升米苗木的成活率,在对苗木进行修剪处理时需要注意以下要点:(1)在进行栽植前对苗木进行修剪处理,对苗木的树干、根系、枝叶进行全面修建,如果苗木枝叶存有病虫害,一定要将这部分减去,以此来遏制病虫害的生长,其次,剪口一定要平滑齐整,不能影响苗木的整体效果,最后,苗木修剪完后要及时栽植。(2)根据具体的栽植季节做好苗木的修剪与养护工作,例如在冬季栽植时,就要做好苗木的保暖工作,而在夏季栽植时,则要做好苗木的保湿工作,通过喷水保证苗木树冠的湿润度,同时在反季节种植区域搭建遮阳棚,避免苗木受到暴晒而影响成活率。

装置设计初期,初馏塔和常压塔均未设有直接退油线。停工退油时,只能从前往后间断退油,在停工退油和吹扫期间耗时较长。此次停工期间新增塔底退油线,从初馏塔底泵出口和常压塔底泵出口分别接线甩至减压渣油外甩出装置冷却器前。通过此流程可以直接从初馏塔和常压塔向罐区甩油,避免了从前往后退油和吹扫的限制,大大缩短停工退油和吹扫时间。

初等矩阵的概念是离初等矩阵的相关定理的最近的知识储备,但初等矩阵有三种不同的类型(初等交换阵Em(i,j),初等倍乘阵Em(i(k)),初等倍加阵Em(ij(k))),容易混淆,故在问题1抛出以后,在讲解主要内容之前,应该对上一节课所学的初等矩阵的概念及类型做一个复习。故本课第二个问题可设计如下。

【例题1】如何利用初等矩阵建立如下两个矩阵之间的等号关系?

ii)(…,βi,…)En(i(k))=(…,i,…);

 

类比(1),容易总结出一般的初等交换阵左乘已知矩阵与该矩阵的初等行变换之间的关系。

从那以后我再没听过老太太去催婚,倒是经常跑我们几个这里来唠叨:“有好的就给她介绍……万一将来她真要在飞机上生了,你们一定别管她的死活,把孩子给我抢下来……”

则由定理1可知

 

在例1完成之后,即可返回到本课开篇的第一个手机拼图游戏的复原问题上来,设计如下的探究。

那护手的造型是一簇翠绿的竹叶,精致而坚固,原是为了保护持刀者的手,此刻却成了累赘,使女尸的刀刃无法触及他的身体。随后,他缓过劲来,手臂猛地向外一推,直将女尸从身上推翻了出去。

【探究3】如何将图1(a)复原?

 

在教师的引导下学生可以独立的完成探究3,容易得到问号处应该填写矩阵E3(1,2)。探究3的设计一方面可以进一步巩固结论1,另一方面让学生真切的体会到结论1可以解决手机拼图1(a)的复原,感受到抽象的线性代数原来离日常生活并不遥远。在完成图1(a)的探究后,学生自然就会想到图形1(b) 怎么复原呢?为此设计如下的探究4。

【探究4】如何将图1(b)复原?

 

显然,为复原探究4中的图形,在左图的左侧乘以任意初等矩阵都已经不能满足复原要求,这时引导学生思考是否有可能是在右边乘以初等矩阵,学生不难猜到上图问号处填写E3(2,3)即可完成图形复原。由于初等列变换与初等矩阵右乘之间的关系的探究与前面结论1的探究过程完全类似,可以留作课下自主探究内容。

【探究5(课下自主探究)】初等列变换与右乘初等矩阵之间的关系。

类比结论1,不难得到如下的结论2

柴油发电机烟气余热丰富,柴油热值的30%用于机械做功发电,30%被烟气带走,即可利用的烟气余热与柴油机额定发电功率相当,如1台1 000 kW柴油发电机工作1 d,理论上产生烟气的热量约为8.7×107kJ,而目前海岛普遍没有合理利用这部分余热。

Am×n=(β1,β2,…,βn),则结论2对应如下的三个计算式:

多出现在六至七叶期,发病初期在心叶基部的中脉两侧出现透明的虚线斑点,逐渐扩展到整个叶片,并在叶背、叶鞘和苞叶的叶脉上出现长短不一的蜡白色突起,后变黑褐色,用手触摸时有粗糙不平的感觉。发病后的玉米植株生长受到抑制,节间粗肿缩短,严重矮化,一般病株高度只有健株的1/3~1/2。叶片密集,顶端簇生,叶片厚硬僵直,浓绿。根系少而短,不足健株的1/2,很容易从土中拔起。轻病株一般能结果穗,但果穗小,花丝不发达,结实率很低,雄穗轴短,常半包在喇叭口内不能全部抽出。重病株雌穗、雄穗不能抽出,个别雄穗虽可抽出,但分枝极少,常提前枯死。

i)(…,βi,…,βj,…)En(i,j)=(…,βj,…,βi,…);

“原则”的捍卫者——理论家们决不允许你随随便便地“搔痒”。 既然你想要以“瘙痒”的事实(或绝对正确性)对抗理论、击破理论,理论的事实(或绝对权威性)就一定想办法治疗你的“瘙痒”。 但理论治疗“瘙痒”的方法非常笨拙,那就是监狱和镣铐。 罗扎诺夫和陀思妥耶夫斯基一样,反对用监狱和镣铐对付地下人及其“瘙痒”:

iii)(…,βi,…,βj,…)En(ij(k))=(…,βi+j,…,βj,…).

结论2A是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一次初等列变换相当于A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。

综合结论1和结论2,可以得到本课定理如下。

定理1A是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一次初等行(列)变换相当于在A的左(右)边乘以相应的初等矩阵。

为了方便定理1的记忆,定理1可以简述为“左行右列”。

2.4 类比图形变换并应用定理1形成定理2

至此,图形1(a)、(b)的复原问题已经解决,只剩下图形1(c)的复原问题了,故设计如下的探究6。

【探究6】如何将下图复原 ?

 

在综合利用定理1解决图1(c)的复原过程中,再次体会初等矩阵与初等变换之间“左行右列”的关系,加强记忆。更为重要的是,这里有一个巧妙的类比,探究6图中左侧打乱的logo相当于是矩阵的一般式,而右侧的原图相当于是矩阵的标准形,将图形复原的过程也就是将矩阵化为其标准形的过程。利用“任意矩阵都可以通过有限次初等行变换和有限次初等列变换化为标准形”这一已知结论。结合定理1即可自然的利用初等矩阵建立一般矩阵与其标准形之间的等式关系,得到定理2。

目前,中国有一批计算机辅助的人才,这些审计人才可以在有关的审计部门使用计算机采集技术收集电子数据,然后将这些数据进行分析处理,近几年来,人们对于审计的相关软件的研发也越来越重视。国家也在加强对这类软件的研发,而且已经有了显著的成效。我国的信息管理系统和办公自动化系统已经被广泛使用,为了适应管理业务发展的需要。

定理2A是一个 m×n 矩阵,其标准形为则存在m阶初等矩阵P1,P2,…,Psn阶初等矩阵Q1,Q2,…,Qt , 使得

碳源是酵母生长及维持生命活动的最基本物质,发酵液中的糖含量能够改变酵母细胞在适应活化阶段的生长及代谢过程,从而影响后续发酵进程[11]。氮源是酵母生长代谢所需的重要营养元素,活化基质中氮源的类型(有机氮或无机氮)及含量能够提高酵母菌生物量、细胞活力及其在严苛环境下的生长生存能力[12],从而影响二次发酵过程和产品品质[13]。

在完成定理1、2的内容讲解之后,需要再次强调有关初等矩阵的两个定理的重要性及其在线性代数知识体系中的作用(矩阵的逆的初等变换求法、求解线性方程组、解矩阵方程、研究有关矩阵秩的性质),并将下几次课的学习目标告诉学生,促使学生注重知识的连贯性。

2.5 进一步的思考

作为一个重要的应用,在下一次课中将学习如何利用初等变换求解逆矩阵,为了能够做到从本节课到下一节课的自然过渡,可设计如下的自主探究作为结语。

【探究7(课下自主探究)】下图是一个打乱的照片和一个原照片合在一起的一张大图,如果在该图的左侧输入两个如图所示的初等矩阵,那么这一张大图将会变成什么样的图形呢?

 

通过探究7的自主探究过程,可以进一步巩固定理1的内容,为矩阵理论中利用初等行变换求逆矩阵做好铺垫。后面所学的求逆矩阵的过程可简述为:利用初等行变换化增广矩阵(A,E)为(E,A-1),从而求得A-1,这与探究7的思路不谋而合,同时该知识点以手机拼图游戏开始,再以手机拼图游戏结束,做到了首尾呼应。

3 有关初等矩阵的定理知识可视化框图

有关初等矩阵的定理的探究过程从手机拼图游戏(图1)开始,通过例子探究初等矩阵左乘矩阵与初等行变换之间的关系,并进行一般化,得到结论1(初等行变换相当于左乘初等矩阵);再通过第二个拼图游戏的探究引出初等列变换与初等矩阵右乘之间的关系探究的必要性,并类比结论1得到结论2,并形成定理1;类比第三个图的复原,得到利用初等矩阵建立的一般矩阵与其标准型之间的等式关系, 即定理2。这一探究过程可以用以下的可视化框图2来呈现。

 

图3 有关初等矩阵的定理可视化框图

4

“可视化思想”贯穿有关初等矩阵的定理这节课的探究始末,可视化的图形变化引出并连接所有的结论和定理的探究过程,同时这些图形之间联系紧密,均是一个图形的各种变形,利用这些图形将本来不可见的思考方法和思考路径呈现出来,这种将形象化的视觉体验与晦涩的矩阵抽象理论相结合的探究方式达到了良好的教学效果,值得推广和借鉴.

“十二五”期间广东能源消费总体呈增长趋势,增速较“十五”、“十一五”期间明显减小,由“十五”和“十一五”期间10%以上的年均增长率下降至“十二五”期间2.8%的年均增长率;能源利用效率逐步提高,单位GDP能耗逐年下降;能源结构不断优化,向更加清洁、高效的方向发展。

参考文献

[1] 北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].4版. 北京:高等教育出版社,2013:204-214.

[2] 同济大学数学系.线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社,2007:57-71.

[3] 陈必坤. 学科知识可视化分析研究[D].武汉:武汉大学,2014.

[4] 赵慧臣,王淑艳.知识可视化应用于学科教学的新观点——访瑞士知识可视化研究开拓者马丁·爱普教授[J].开放教育研究,2014,20(2):4-10.

 
王磊,牛欣,张霞
《合肥学院学报(综合版)》2018年第02期文献

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