0 引 言

20世纪30年代初, 人们开始关注集值映射的不动点问题, 将Brouwer不动点定理、Schauder不动点定理等结果推广到集值映射的情形。 近四十年来, 集值映射的不动点理论在近代变分问题、最优化问题、经济均衡问题等研究中发挥着极其重要的作用,数学家Debreu正是以集值映射的不动点定理为工具给出Walras完全竞争均衡存在定理的严格证明, 因此于1983年获得诺贝尔经济学奖。 1968年Markin[1]在Hilbert空间中将Brouwer定理推广到非扩张集值映射的情形, 1969年Nadler[2]将Banach压缩映射原理进行了推广, 1974年Lim[3]利用Edelstein方法给出了一致凸Banach空间中非扩张集值映射的不动点定理, 1990年Kirk[4]和 Massa将Lim定理进行了推广, 2003年Benavides利用非紧凸性模研究了非扩张集值映射的不动点等问题[5-7]。

1.2.2 排除标准 1型糖尿病、妊娠糖尿病、特殊类型糖尿病患者；排除其他可能引起神经病变的病因，包括：神经毒性药物、重金属中毒、滥用酒精、血管炎、遗传性神经病、慢性炎症性脱髓鞘性神经病、肾脏疾病、维生素B12缺乏、椎管狭窄症；有磁共振禁忌症：体内有金属植入物、假牙、幽闭恐惧症；有心脑血管意外、周围血管疾病、甲状腺疾病、恶性肿瘤、精神性疾病等病史。

为了分析系统(9)—(10)的稳定性,首先由投影算子的非扩张性及常微分方程解的可延拓性,得到如下引理。

集值映射作为一类特殊的多值映射, 在研究其不动点性质、算法的构造和收敛性条件及不动点序列的选取等问题相比于单值映射更为复杂, 目前对该理论的研究尚不完备, 对于平均非扩张集值映射的稳定点存在性等问题尚未解决。 研究发现稳定点的存在性问题很大程度上都依赖于集值映射是压缩的[8-11], 近年来, 该问题引起了国内外数学学者的关注, 开始尝试利用渐近稳定点序列等方法来解决广义非扩张集值映射的稳定点问题[12-14] (强渐近不动点序列在这里也称为渐近稳定点序列[14]),渐近稳定点序列在寻找稳定点时扮演了十分重要的角色[15-18]。 本文主要借助Banach空间的几何性质, 将非扩张集值映射的稳定点问题推广到平均非扩张集值映射的情形, 利用渐近稳定点序列、渐近中心、渐近半径等概念给出了平均非扩张集值映射具有稳定点的充分必要条件。

1 预备知识

设X是一完备的度量空间, C是X的非空子集, 集值映射T∶C→2C{φ}称为平均非扩张集值映射是指若∀x,y∈C, 满足

H(Tx,Ty)≤ad(x,y)+bd(x,Ty)+cd(x,Tx)

其中H(·,·)表示Hausdorff距离, a,b,c,≥0,且a+b+c≤1。若b,c=0,a=1, 称T为非扩张集值映射; 若b,c=0, 0<a<1, 称T为压缩集值映射。

则

 

其中

 

若x∈Tx, 则元素x∈C称为T的不动点。 若Tx=x, 则元素x∈C称为T的稳定点。

设X是Banach空间, C是X的非空有界闭凸子集。 Br[x]是以x为中心,r为半径的闭单位球。 F(X)表示X的非空闭子集的全体,K(X)表示X的非空紧子集的全体。 x到C的距离为

 

C关于x的切比雪夫半径为

 

C关于A的切比雪夫半径为

 

所以D是E的非空弱紧凸且T不变的真子集,可得D∈∑, 与E是∑中最小T不变的矛盾。

 

设T∶C→2C{φ}是平均非扩张集值映射, 我们称C中的序列(xn)是渐近稳定点序列, 若满足

 

(xn)称为渐近不动点序列, 若满足

 

定理1[2](Nadler定理)设X是Banach空间, C是X的非空有界闭凸子集,T∶C→F(C)是非扩张集值压缩映射, 则T在C中存在不动点。

设(xn)是X中的有界序列, ra(C,{xn})表示(xn)关于C的渐近半径, Za(C,{xn})表示(xn)关于C的渐近中心,ε0(X)是Banach空间X的凸系数, 它们有如下定义

ε0(X)=sup{ε>0∶δX(ε)=0}

δX∶[0,2]→[0,1]是Banach空间X的凸性模, 它的定义为

 

Banach空间X具有Opial性质是指若每个弱收敛于0的序列{xn}和任意非零向量x∈X,都有

 

成立。

设(xn)是X中的有界序列, 称C是正则的是指若(xn)的所有子列关于C的渐近半径都相同, 即

品读一方面要求学生把课文中的意境和情感通过抑扬顿挫的美读、赏读表达出来，达到熟读成诵的地步，最终实现课文语言的内化。另一方面，在品读中学生和文本之间要达到情感的交流、思维的碰撞。在读的基础上，学生要品出自己的味，品出自己的情，还品出自己的不同见解……这时的读已经不单纯是对课文语言的忠实再现了，而是能够表达自己情感与理解的“二度创作”了，达到“你中有我，我中有你”的读书最高境界。

ra(C,{xn})=ra(C,{xni}), ∀xni⊆xn

Banach空间X具有DL条件是指若存在λ∈[0,1)使得X中每个弱紧凸子集C及C中的任意有界序列(xn),(xn)关于C是正则的且满足

rC(Za(C,{xn}))≤λra(C,{xni})

X的有界子集D关于C的切比雪夫半径为

rC(D)=inf{rx(D)∶x∈C}

2 主要结果

定义1 设T∶C→2C{φ}, 则

1)C的子集D称为T不变集是指若

Tx⊆D,∀x∈D

2)C的子集D称为弱T不变集是指若

Tx∩D≠φ,∀x∈D

注: 对于单值映射这两个概念是一致的。

C的非空闭凸子集D称为最小T不变集(最小弱T不变集)是指不存在D的非空T不变(弱T不变)闭凸真子集。

我们首先研究具有正规结构的Banach空间中平均非扩张集值映射的稳定点存在性问题。

定义2 Banach空间X具有正规结构(弱正规结构)是指若X的任一非空有界闭(弱紧)集C,且diam(C)>0,存在x∈C使得

兰思仁(1963-)为本文通讯作者,男,教授,博士生导师,研究方向:风景园林规划与设计、旅游规划,email:lsr9636@163.com

rx(C)C)

Banach空间X的非空凸子集C具有正规结构是指若C的任一非空闭凸子集D,且diam(D)>0,存在x∈D使得

rx(D)D)

命题1[19] 设C是Banach空间X中的任一弱紧凸子集, 则C的切比雪夫中心Z(C)是C的非空闭凸子集。

命题2[19] 设X是Banach空间且具有正规结构,C是X的弱紧凸子集, 则

diam(Z(C))C)

下面的结果可以看成Kirk不动点定理的推广形式。

定理2 设X是Banach空间, 且具有正规结构, C是X的非空弱紧凸子集。 则平均非扩张集值映射T∶C→K(C)具有稳定点当且仅当存在C中的非空闭凸子集F是最小弱T不变和最小T不变的。

证明:必要性:显然,若T具有稳定点x,设F={x}, 则F是C的非空闭凸子集且F是最小弱T不变和最小T不变的。

充分性:设F是C的非空闭凸子集且是最小弱T不变和最小T不变的。若diam(F)=0, 则F中的元素为平均非扩张映射T的稳定点。 不妨设diam(F)>0,由命题1可知Z(F)是非空弱紧凸集,要证Z(F)是T不变的, 只需证

∀x∈Z(F),Tx⊆Z(F)

对任意 x∈Z(F),y∈F及z∈Tx,w∈Ty有

‖z-w‖≤H(Tx,Ty)≤

ad(x,y)+bd(x,Ty)+cd(x,Tx)≤

arx(F)+brx(F)+crx(F)=

(a+b+c)rx(F)≤

则D是T不变的。

因为F是T不变的, 故w∈F。 因此,Br(F)[z]∩F∩Ty≠φ。 由y的任意性, 得Br(F)[z]∩F是弱T不变的。 另一方面, F是最小弱T不变的, Br(F)[z]∩F是非空弱紧凸集且是弱T不变的,所以Br(F)[z]∩F=F。 从而F⊆Br(F)[z],故‖x-z‖≤r(F), ∀x∈F,从而rz(F)≤r(F), 则z∈Z(F)。 由z的任意性, 可得Tx⊆Z(F), 所以Z(F)是T不变的。 由命题2可知

diam(Z(F))F)

与F是最小T不变的矛盾。

brxn(Txn)+c‖x-xn‖+cd(xn,Tx)≤

 

证明:设∑是C的所有非空弱紧凸且T不变子集的全体, 则∑≠φ,因为C∈∑。 通过集合的包含关系可定义偏序, 由Zorn引理可知, E是∑中的最小元。

特朗普政府提升美台关系的举措对于心怀“台独”梦想的蔡英文当局来说，既是风险又是诱惑。一方面，蔡英文当局怕引起大陆反制台湾，毕竟提升美台关系实质上是不断触碰“一中”红线，大陆方面维护领土主权完整的决心会随之增长。另一方面，蔡英文当局不得不把“台独”目标寄望于美国的某种认可，因为在大陆实力不断增长的时期，唯一有实力和可能“帮助”台湾当局的国家只能是美国。两相权衡之下，蔡英文当局做出全面倒向美国而完全拒绝修复两岸关系的决策。

证明:由定理3可知, 存在α>0和C的非空弱紧凸子集D使得D中的任意渐近稳定点序列(xn)和任意z∈D有

若对任意α>0,存在z∈E和E中渐近稳定点序列(xn)使得

 

选取r>0使得

依照现阶段的刑法有关规定，生产、销售有毒、有害性食品罪行指的是行为人将某些毒害性的非食用原料掺入食品内部。此外，某些食品制售企业或者行为人在已经知晓该食品本身具备毒害性的前提下，对其仍然予以销售。从目前来看，刑法针对上述两类行为都将其纳入了制售毒害食品的管控范围内[2]。具体而言，针对有毒、有害食品予以销售或生产的罪行体现为如下表征。

2rE)

存在z0∈E和E中渐近稳定点序(xn)使得

 

令

 

则D是E的非空闭凸子集。 要证D是T不变的, 往证对任意x∈D, 有Tx⊆D。 即对任意的z∈Tx, 下证z∈D。

对任意的y∈Txn, 有

经过一轮又一轮的“厮杀”，艾热在《中国新说唱》舞台上逆风翻盘，冠军争霸之夜一路八杀，成功拿下属于冠军的金戒指和金话筒。面对走红，他表示：“《星球坠落》播出后，我在大街上会被人认出来合影。那时候我开始意识到我的生活不一样了，以后要低调一些，少去人多的地方。而且我不想让我的作品被遗忘，希望十年后有人听到还会被惊艳到。”

‖xn-z‖≤‖xn-y‖+‖y-z‖≤

rxn(Txn)+‖y-z‖

由y的任意性, 有

‖xn-z‖≤rxn(Txn)+d(z,Txn)≤

rxn(Txn)+H(Tx,Txn)≤

对拉杆进行静态强度有限元分析。对拉杆施加相应的边界条件，边界条件如前面所述的拉杆受力分析。得到拉杆的应力云图和变形云图(图6)。

rxn(Txn)+a‖x-xn‖ +

对于疫情的防治，需从思想上进行观念的转变，减少由于集中于重大疫病而出现的疫情盲区，另外，应增大对疫病的监测范围，提高对突发疫情的应急处理能力，通过建立和完善相关的机制，预防疫病出现的可能[4]。

bd(x,Txn)+cd(x,Tx)≤

rxn(Txn)+a‖x-xn‖+b‖x-xn‖+

定理3 设X是Banach空间,C是X的非空弱紧凸子集,T∶C→2C{φ}是没有稳定点的平均非扩张集值映射, 其中a,b,c,≥0,且a+b+2c≤1,C是T不变的。则存在α>0和T的最小非空弱紧凸且T不变子集E,使得对任意z∈E和E中任意渐近稳定点序列有

rxn(Txn)+a‖x-xn‖+b‖x-xn‖+

brxn(Txn)+c‖x-xn‖+c‖xn-z‖

得到通过最小二乘法可得到通道特性曲线如图4，取5倍码速率带宽作为参考带宽，GEO-1卫星通道幅频抖动约为6.44dB，群时延抖动约为17ns.图5(a)给出辨识前后信号功率谱对比图，图5(b)为I支路信号相关曲线图形，从功率谱对比图中可得知辨识后信号功率和接收信号功率谱符合度非常高.由于通道群时延特性对信号测距影响较大，通过检验辨识前后相关曲线能够有效地判断通道群时延估计的准确度，在相关曲线对比图中可得知，辨识后信号和接收信号的相关函数在一个码片内重合度达到了99.83%，由此可知最小二乘法通道估计方法能够真实反映信号通道特性.

H(·,·)的定义为

《茉莉》的创新还体现在作者对于剧目的时间设置上。50年的时间跨度如果平铺直叙的话它将既庞大又复杂，这一定不是音乐剧所擅长表现的。为了保证故事的完整剧情的连贯，曾先生在剧中大胆使用蒙太奇手法打破了时间与空间的界限，两条情感纽带时而穿梭于1941年的抗日烽火、时而穿回2017年的三坊七巷，两代人突破时空的对望、穿越地域的交流，无一不是信手拈来、游刃有余。这恐怕是得益于曾先生多年来从事戏曲文学的创作打下的坚实基础。《茉莉》的导演谢南先生看完剧本后感慨：这将是一部在视觉上全新样式的音乐剧，因为剧本的大胆与创新，给导演和舞台设计提供了二度创造的广阔空间。

(1-c)‖xn-z‖≤rxn(Txn)+a‖x-xn‖+b‖x-xn‖+

brxn(Txn)+c‖x-xn‖

在对设计质量进行管理的过程中，需要确保装饰设计与建筑功能、建筑结构等要求相符，还要满足建筑需求。不同建筑含有不同的功能，因此也要设计出相符的装修风格，在设计工作的开展初期，需要对设计进行高效管理，使设计方案更加有深度、合理，避免发生二次返工的情况，从根本上杜绝质量问题的发生。

从而

‖xn-z‖≤

 

故

 

由a+b+2c≤1, 得

 

rx(F)=r(F)

又

diam(D)≤2rE)

C的切比雪夫中心为

我们立即有了下面的结果:

平面设计汲取了中国传统文化中的各种养分，如果说，中国传统文化是底蕴的话，那平面设计一定是对传统文化的继承和延伸。对平面设计的不断探索让我们感觉到中国传统文化对平面设计的意义重大。中国的平面设计无法脱离中国的传统文化，只有加入了中国古老艺术文化的精髓，才会出现更加夺目的平面设计。

推论1 设X是Banach空间, C是X的非空弱紧凸子集且T∶C→2C{φ}是不具有稳定点的平均非扩张集值映射, 则存在α>0和C的非空弱紧凸T不变子集D, 使得对D的任意紧子集A和D中的渐近稳定点序列有

 

不妨设diam(E)>0,否则由E是T不变的, 可得T具有稳定点矛盾。

 

假设对任意的α>0和C的任意非空弱紧凸子集D, 存在D的紧子集A和D中的渐近稳定点序列有

 

由于A是紧的,故对任意n∈N,存在yn∈A,使得rxn(A)=‖xn-yn‖。 又由A是紧的, 我们可以找到(yn)的子列(ynk)收敛于z, 且z∈A。 因此

 

产生矛盾。

定理4[19] 设(xn)是Banach空间X中的有界序列,C是X的非空弱紧凸子集, 则Za(C,{xn})是非空凸集。

定理5[19] 设C是Banach空间X中的非空闭凸子集且(xn)是X中的有界序列, 则

diam(Za(C,{xn}))≤ε0(X)ra(C,{xn})

定理6[7] 若ε0(X)≤1,则X具有正规结构。

定义3 设X是Banach空间,C是X的非空闭凸子集,T∶C→2C{φ}是平均非扩张集值映射, 则称T在C中具有渐近稳定点序列性质是指若T在C的任意T不变非空闭凸子集中都有一渐近稳定点序列。

定理7 设X是Banach空间, 它的凸系数ε0(X)≤1,C是X中的非空弱紧凸子集,T∶C→2C{φ}是平均非扩张集值映射,其中a,b,c,≥0, 且a+b+2c≤1, 则T具有稳定点当且仅当T在C中具有渐近稳定点序列性质。

证明:必要性: 显然成立。

充分性: 假设T没有稳定点, 由定理7可知C有一非空弱紧凸最小T不变子集E,设(xn)是E中的渐近稳定点序列,由定理11得X具有正规结构。 因此, 固定x0∈E使得

rx0(E)∈diam(E)

由定理9知Za(E,{xn})是非空的。下证Za(E,{xn})是T不变的。往证对任意x∈Za(E,{xn}), 有Tx∈Za(E,{xn}),即对任意z∈Tx, 有

z∈Za(E,{xn})

显然

 

往证

 

对任意y∈Txn, 有

‖xn-z‖≤‖xn-y‖+‖y-z‖≤

rxn(Txn)+‖y-z‖

由y的任意性, 可得

‖xn-z‖≤rxn(Txn)+d(z,Txn)≤

rxn(Txn)+H(Tx,Txn)≤

rxn(Txn)+a‖x-xn‖+bd(x,Txn)+

cd(x,Tx)≤

rxn(Txn)+a‖x-xn‖+b‖x-xn‖+

brxn(Txn)+c‖x-xn‖+cd(xn,Tx)≤

rxn(Txn)+a‖x-xn‖+b‖x-xn‖+

brxn(Txn)+c‖x-xn‖+c‖xn-z‖

则

(1-c)‖xn-z‖≤rxn(Txn)+a‖x-xn‖+b‖x-xn‖+

brxn(Txn)+c‖x-xn‖

从而

‖xn-z‖≤

 

故

 

由a+b+2c≤1, 得

ra(E,{xn})

故Za(E,{xn})是T不变的。

又

ra(E,{xn})=

 

rx0(E)E)

由定理10和ε0(X)≤1,可得

diam(Za(E,{xn}))≤ra(E,{xn})

因为

ra(E,{xn})E)

所以

diam(Za(E,{xn}))E)

且Za(E,{xn})是弱紧凸T不变子集, 从而与E是最小T不变的矛盾。

定理8[20] X是具有Opial性质的Banach空间, 则X具有弱正规结构。

定理9 设X是具有Opial性质的Banach空间,C是X中的非空弱紧凸子集,T∶C→2C{φ}是平均非扩张集值映射, 其中a,b,c,≥0, 且a+b+2c≤1, 则T具有稳定点当且仅当T在C中具有渐近稳定点序列性质。

证明:必要性:显然成立。

充分性:假设T没有稳定点, 由定理3知,C有一非空弱紧凸最小T不变子集E。设(xn)是E中渐近稳定点序列, 且(xn)弱收敛于x。

因为是E的非空弱紧凸子集且是T不变的(可由定理7的证明过程得)。因为E是最小T不变的,所以Za({xn},E)=E。因此,对任意z∈E,有

 

X具有Opial性质, 且(xn)弱收敛于x,对任意z∈E且z≠x, 有

ra(E,{xn})=

 

ra(E,{xn})

产生矛盾。

定理10 设X是Banach空间,C是X中的有界闭凸子集, (xn)是C中有界序列, 则(xn)关于C的渐近中心是非空紧的。设T∶C→2C{φ}是平均非扩张集值映射且C弱紧, 其中a,b,c,≥0, 且a+b+2c≤1,则T具有稳定点当且仅当T在C中具有渐近稳定点序列性质。

证明:必要性:显然成立。

充分性: 假设T没有稳定点, (yn)是C中任意序列, 且(yn)是有界的, 由已知条件得Za({yn},C)是非空紧的, 由先前的证明可知, 渐近中心Za({yn},C)是X的非空弱紧凸T不变子集,由T具有渐近稳定点序列性质得

 

再由Za({yn},C)是紧的, 可得Za({yn},C)中存在收敛于x的渐近稳定点序列(xn)。

下证x是T的稳定点。

对任意z∈Tx, 有

‖x-z‖≤‖xn-x‖+‖xn-y‖+‖y-z‖≤

‖xn-x‖+rxn(Txn)+‖y-z‖

固定n∈N, 对任意y∈Txn,有

‖x-z‖≤‖xn-x‖+rxn(Txn)+d(z,Txn)≤

‖xn-x‖+rxn(Txn)+H(Tx,Txn)≤

‖xn-x‖+rxn(Txn)+a‖x-xn‖+

bd(x,Txn)+cd(x,Tx)≤

‖xn-x‖+rxn(Txn)+a‖x-xn‖+

b‖x-xn‖+brxn(Txn)+c‖x-z‖

则

(1-c)‖x-z‖≤‖xn-x‖+rxn(Txn)+a‖x-xn‖+

b‖x-xn‖+brxn(Txn)

从而

‖x-z‖≤(1+a+b)‖xn-x‖+

 

由z∈Tx是任意的, 则

rx(Tx)≤(1+a+b)‖xn-x‖)+

 

当n→∞时得,rx(Tx)=0。

从而TX={x}矛盾。

推论2 设X是一致凸Banach空间, 则定理10的结论成立。

定理11[21] 满足(DL)条件的Banach空间具有弱正规结构。

命题3[22] 设C是Banach空间X中的非空有界子集,{xn}是X中的有界序列,则{xn}有一子列关于C是正则的。

定理12 设X是满足(DL)条件的Banach空间,T∶C→2C{φ}是平均非扩张集值映射, 其中a,b,c,≥0, 且a+b+2c≤1,C是非空弱紧凸集, 则T具有稳定点当且仅当T在C中具有渐近稳定点序列性质。

证明:必要性:显然成立。

充分性: 假设T没有稳定点, 由定理3可得, 存在C的非空弱紧凸且最小T不变子集E和α>0,使得对E中的任意渐近稳定点序列(zn)和z∈E有

 

设(xn)是E中渐近稳定点序列,由命题3可知,该序列关于E有一正则子列,不妨仍记为(xn)。 因为X满足(DL)条件, 故

rE(Za(E,{xn}))≤λra(E,{xn}),λ∈[0,1]

又

(∀z∈E)因此

λra(E,{xn})<ra(E,{xn})

因为Za(E,{xn})是非空弱紧凸且T不变的, 且Za(E,{xn})⊆E。由E是最小T不变的,可得Za(E,{xn})=E。

因此, 由

rE(Za(E,{xn}))≤λra(E,{xn})

可得

rE(E)≤λra(E,{xn})<ra(E,{xn})

产生矛盾。

3 结 语

本文主要解决了平均非扩张集值映射的稳定点问题, 讨论了满足各种几何性质的Banach空间中平均非扩张集值映射具有稳定点的充分必要条件。 我们可以在此基础上继续利用Banach空间的几何性质研究平均非扩张集值映射具有稳定点的其它充分必要条件。

参 考 文 献:

[1] MARKIN J. A Fixed Point Theorem for Set Valued Mappings[J]. Bull. Amer. Math. Soc.,1968(74): 39-640.

[2] NADLER S B. Multi-valued Contraction Mappings[J]. Pacific J. Math, 1969(30): 475-488.

[3] LIM T C. A Fixed Point Theorem for Multivalued Nonexpansive Mappings in a Uniformly Convex Banach Space[J]. Bull.Amer. Math. Soc,1974(80):1123-1126.

[4] KIRK W A, MASSA S. Remarks on Asymptotic and Chebyshev Centers[J]. Houston J. Math., 1990, 16(3): 357-364.

[5] DOMNGUEZ Benavides T, LORENZO Ramírez P. Fixed Point Theorems for Multi-valued Non-expansive Mappings Without Uniform Convexity[J]. Abstr .Appl .Anal, 2003(6): 375-386 .

[6] DOMNGUEZ Benavides T, LORENZO Ramírez P. Fixed Point Theorems for Multivalued Nonexpansive Mappings Satisfying Inward Ness Conditions[J]. Math. Anal. Appl, 2004, 291(1):100-108.

[7] ESPNOLA R, LORENZO Ramírez P, NICOLAE A. Fixed Points, Selections and Common Fixed Points for Nonexpansive-type Mappings[J]. Math. Anal. Appl., 2001, 382(2): 503-515.

[8] AUBIN J P, SIEGEL J. Fixed Points and Stationary Points of Dissipative Multivalued Mappings[J]. Proc. Amer. Math. Soc., 1980(78): 391-398.

[9] MORADI S, KHOJASTEH F. Endpoints of Fweakand Generalized F-weak Contractive Mappings[J]. Filomat, 2012, 26(4): 725- 732.

[10] WODARCZYK K, KLIM D, PLEBANIAK R. Endpoint Theory for Set-valued Nonlinear Asymptotic Contractions with Respect to Generalized Pseudodistances in Uniform Spaces[J]. J. Math. Anal. Appl, 2008(339): 344-358 .

[11] WODARCZYK K, KLIM D, PLEBANIAK R. Existence and Uniqueness of Endpoints of Closed Set-valued Asymptotic Contractions in Metric Spaces[J]. J. Math. Anal. Appl, 2007(328): 46-57.

[12] BUTSAN T, DHOMPONGSA S, TAKAHASHI W. A Fixed Point Theorem for Pointwise Eventually Nonexpansive Mappings in Nearly Uniformly Convex Banach Spaces[J]. Nonlinear Analysis, 2011,74(5): 1694-1701.

[13] DHOMPONGSA S, NANAN N. Fixed Point Theorems by Ways of Ultra-asymptotic Centers[J]. Abstr. Appl. Anal., 2011:1-21.DOI: 826851.

[14] GARCA Falset J, LLORENS Fuster E, MORENO GLVEZ E. Fixed Point Theory for Multivalued Generalized Nonexpansive Mappings[J]. Appl. Anal. Discrete Math, 2012, 6(2): 265-286.

[15] PANYANAK B. Endpoints of Multivalued Nonexpansive Mappings in Geodesic Spaces[J]. Fixed Point Theory and Applications, 2015(147): 1-11.

[16] SAEJUNG S. Remarks on Endpoints of Multivalued Mappings on Geodesic Spaces. Preprint.

[17] RAFA E, MERAJ H, KOUROSH N. On Stationary Points of Nonexpansive Set-valued Mappings[J]. Fixed Point Theory and Applications, 2015(236): 1-13.

[18] KHAMSI M A, KIRK W A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory[M]. Pure and Applied Mathematics,New York, Wiley-Interscience, 2001.

[19] AGARWAL R P, O’REGAN D, SAHU D R. Fixed Point Theory for Lipschitzian-Type Mappings with Applications[M]. New York,2009.

[20] GOSSEZ J P, LAMI D E. Some Geometric Properties Related to the Fixed Point Theory for Nonexpansive Mappings[J]. Pac. J.Math,1972(40): 565-573.

[21] DHOMPONGSA S, DOMNGUEZ Benavides T, KAEWCHAROEN A, et al. The Jordan-von Neumann Constans and Fixed Points for Multivalued Nonexpansive Mappings[J]. Math. Anal. Appl, 2006,320(2): 916-927.

[22] GOEBEL K. On a Fixed Point Theorem for Multivalued Nonexpansive Mappings[J]. Ann. Univ. Mariae Curie-Skodowska Sect. A,1975(29): 69-72.