近年来，关于捕食-食饵模型的动力学分析作为一个重要课题吸引了众多学者的广泛研究，尤其在捕食模型中考察年龄结构，引入时滞等.这些因素会引发许多复杂的的动力学现象，例如平衡点稳定性的改变以及分支周期解的产生等[1-6].在文[6]中，作者考虑了如下一类具有年龄结构的捕食模型：

 

(1)

其中x1(t),x2(t)分别表示幼年，成熟的食饵在t时刻的种群密度；y(t)表示捕食者在t时刻的种群密度.研究者给出了系统(1.1)正平衡点的全局吸引和系统具有持久性的充分条件.然而研究捕食系统不仅要考察平衡点的全局吸引性和持久性，同时也应考查其他的动力学性质，比如分支和周期解的存在性.系统(1.1)中的称为第二类功能反应函数，通常用来描述无脊椎动物中捕食者和食饵之间的关系.而对于脊椎动物，我们必须要利用第三类功能反应函数.在本文中，我们不仅考虑捕食者妊娠期这一时滞，同时考察食饵负反馈所造成的时滞.基于此，我们考察如下一类具有年龄结构的双时滞捕食模型：

 

(2)

其中x1(t),x2(t)分别表示幼年，成熟的食饵在t时刻的种群密度；y(t)表示捕食者在t时刻的种群密度.

作为国家层面的战略选择，要按照党中央部署，贯彻落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实行以增加知识价值为导向分配政策的若干意见》，加快实施绩效工资制度。要不断加大“普惠性”稳定支持力度，提高高校和科研院所运行保障水平，提高基本支出定员定额标准，在现有政策框架内尽最大努力缓解科技界多年来反映强烈的人员费保障不足问题；稳定支持高校科研院所自主选题的研究和科研条件建设，提高自主创新能力。

1 局部稳定性和Hopf分支

经过计算可知，系统(2)满足条件因此系统(2)至少存在一个正平衡点其中做平移变换，令则系统(2)在平衡点处可转换为

 

(3)

 

将系统(1)的非线性项在平衡点处泰勒展开，可以得到

 

(4)

其中

 

其中k=1,2,3;j=0,1,2,…,±ω1k是式(9)的一对纯虚根.令

 

(5)

其中由此可知系统(2)的特征方程为

λ3+p2λ2+p1λ+p0+(m2λ2+m1λ+m0)e-λτ1+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ2+(q1λ+q0)e-λ(τ1+τ2)=0,

(6)

其中p2=-(a11+a22+a33)，p1=(a11a33+a11a22+a22a33-a12a21)，p0=(a12a21a33-a11a12a33)，m2=-b22，m1=(a33+a11)b22，m0=-a11a33b22，n2=-b33，n1=a11b33+a22b33-a23b32，n0=a11a23b32+a12a21b23-a11a22b33，q1=b22b33，q0=-a11a22b33.

对于系统(2)的两个时滞τ1和τ2,我们分3种情况进行讨论.

依据衡水老白干酒业股份有限公司《酒水质量控制标准》Q/HJ.J 04.005—2009对酿酒试验班组所产原酒进行品评分析，为保证品评效果，请国家评委和省评委组成品评小组，见表1。

情形1：τ1=τ2=0

系统(2)的特征方程(6)变为

λ3+(p2+m2+n2)λ2+(p1+m1+n1+q1)λ+p0+m0+n0+q0=0，

根据Routh-Hurwitz准则，若

(H2) p2+m2+n2>0,且(p2+m2+n2)(p1+m1+n1+q1)>(p0+m0+n0+q0)>0，

系统(2)的正平衡点E是局部渐近稳定的.

情形2：τ1≠0,τ2=0

(2) 若并且有

ω3-m11ω=(n22ω2-n20)sinωτ+n21ωcosωτ1

-m22ω2+m20=(n22ω2-n20)cosωτ-n21ωsinωτ1.

(7)

上式等价于

 

(8)

令ω2=v,则式(8)等价于

 

(9)

令

 

(10)

F1=0，

 

(11)

由上述等式，有如下引理.

引理1 对于式(9)，有如下结果：

(1) 若并且则式(9)无正根.

系统(2)的特征方程(6)变为λ3+(p2+n2)λ2+(p1+n1)λ+p0+n0+(m2λ2+(m1+q1)λ+(m0+q0))e-λτ1=0，令m22=p2+n2,m21=p1+n1,m20=p0+n0,n22=m2,n21=m1+q1,n20=m0+q0,则特征方程变为λ3+m22λ2+m21λ+m20+(n22λ2+n21λ+n20)e-λτ1=0，当τ1≠0时，不妨假设iω1是特征方程(6)的解，分离实部和虚部，则

 

f′(v*)≤0或者则(9)有正根.

假设式(9)有正根，不失一般性，假设它有3个正根，记v11,v12和v13,则式(9)有3个正根由式(7)，有

 

(12)

进而可以得到系统(2)在平衡点处的线性化方程为

根据Hopf分支理论[7],需要验证横截性条件.对特征方程(6)求导，可以得到

 

(13)

所以

 

 

由式(8)可知

除了上面的文化词语外，小说中还出现了表现鲁迅故乡乡土气息的“乡土语言”，包括成语、谚语、俗语、方言等。这种民间话语的最大特点便落在一个“俗”字上，这个“俗”字可以同时作“通俗”“低俗”“粗俗”等义解。这类话语形式鲜活，语域广泛，它们往往是简洁精练又通俗易懂，长期为汉民族所喜爱。因此，如何将这种雅俗共赏的话语传译过去，是译本能否有效地感染目的语读者和观众的一项重要因素(周领顺2016:79)。以下将具体考察两译本中关于乡土语言的翻译。

 

(14)

注意到与有相同的正负性，则

 

 

(15)

因此若成立，则即横截性条件成立.

通过以上分析，可得以下结论：

定理1 设τ2=0，

(1) 若(H21)成立，则对任意的τ1≥0,系统(1.2)的平衡点是局部渐近稳定的.

(2) 若(H22)或(H23)，且(H24)成立，则当τ1∈[0,τ10)时，系统(1.2)的平衡点局部渐进稳定；当τ1>τ10时，系统(1.2)的平衡点不稳定的，在τ1=τ10时，系统(2)在平衡点处出现Hopf分支.

情形3：τ1>0,τ2∈[0,τ20)并且τ1≠τ2

现阶段我国的幼儿教育发展已经到达一个瓶颈期，很多家长都十分想要孩子接受高质量的幼儿教育，但是与此同时幼儿教育产业的发展还不能够满足所有家长的需求。这样一来，尽快提升幼儿教育的质量和范围，是十分有必要的。从目前来看，将多媒体技术应用进来，是带动幼儿教育事业突破瓶颈期的一个重要机遇。多媒体的教学活动，往往可以更好地引起孩子们的兴趣，取得更好的教学效果。

考虑式(7)中的τ2在稳定区间，而将τ1视为参数.令iω1*为(7)的根，则得到

则(19)可以转换为对于φ∈C([-1,0], (R3)*),定义伴随算子A*如下：

14台注水泵的泵机组效率平均值66.96%，与标准GB/T 31453—2015《油田生产系统节能监测规范》指标大于或等于72%比对，仅有4台达到指标，泵机组效率偏低，偏低原因主要有负荷低、泵效率低的原因。针对注水机组效率低的原因具体进行分析。对10台低效率泵机组进行统计，其运行参数汇总如表3。

E11sinω1*τ1+E12cosω1*τ1=E13，

E21sinω1*τ1+E22cosω1*τ1=E23，

(16)

 

 

(17)

其中不妨假设(H25)方程(2.15)有有限个正根.记这些根为有

 

(18)

令而是对应于的根.接下来验证横截相交条件，如果条件成立，根据Hopf分支理论[7]，有如下定理.

随着我国医疗技术水平的不断提高，在极大的降低了急性脑卒中患者病死率的同时，也给患者的肢体造成了不同程度上的肢体功能障碍。处于急性脑卒中初期的患者，大多数都需要进行长期的卧床休息[3]，在卧床阶段，患者采取什么样的体位来进行卧床休息就显得尤为重要。特别是对于偏瘫较为严重的患者来说，正确的肢体摆放与保持可以有效减少痉挛的发生，并能减少一系列的并发症，从而提高患者的生活质量。

5、6、7号井因地质构造原因，成井后一直水质超标，无法正常抽水运行，经多方探测及地层地质研究论证，深井在断裂构造区内，断裂构造将O2f及地表污染水源连同与O2s及O2x地层，经井下电视探测，污染水源对亮甲山组地层无污染，故采用用水泥封堵的工艺进行压水泥浆封堵，确保娘子关泉域地下水的安全。

定理2 对于系统(2)而言，设τ1>0,τ2∈[0,τ20)并且τ1≠τ2,若条件(H25)和(H26)成立，则对任意的系统(2)的平衡点局部渐近稳定；当时，系统(2)的平衡点不稳定.在时，系统(2)在平衡点处出现Hopf分支.

2 Hopf分支方向及其稳定性

因此根据Riesz表示定理，存在一个3阶有界矩阵变差函数η(θ,μ),θ∈[-1,0]使得Lμφ=dη(θ,μ)φ(θ),φ∈C,事实上，可以选择

令记系统(2)可以表示为

u′(t)=Lμ(ut)+F(μ,μt)，

另一方面，智能家居产品也提供了一种新型的早教形式。近两年，智能家居产品在科技的推动下逐渐渗透至年轻家庭生活的方方面面，其中母婴亲子类智能家居产品不仅能提供母婴知识，还能帮助宝宝学习知识，进行简单早教，因此广受欢迎。各类产品中最受追捧的智能家居产品是智能电视，家庭拥有比例为51%，远高于智能体重秤、智能可穿戴设备等其他智能产品。

(19)

其中

u(t)=(x1(t),x2(t),y(t))T并且ut(θ)=u(t+θ)=(x1(t+θ),x2(t+θ),y(t+θ))T，

 

 

其中

φ(θ)=(φ1(θ),φ2(θ),φ3(θ))T,

孔守真一生都想进孔庙认祖归宗，但由于家谱失传，查无实据，认祖的事费了些周章，最后也就不了了之。但无论能不能认祖归宗，孔守真是铁心认定自己就是孔家血脉，所以如玉豆腐坊的壁上祭拜的就不是豆腐祖师爷刘安的画像，挂的却是孔夫子像。孔守真也不希望子孙子承父业，三个儿子志浩、志源，志新从小便送私塾念了学堂。对外，自己介绍孔姓宗源，也不再躲躲闪闪，大方以孔子嫡孙自居，后来，有好事者把孔守真的话传到孔庙当家人处，主持家庙的嫡孙笑笑，不否认也不承认，只淡淡说：“子日，为仁由己已，而由人乎哉？”

 

则

 

 

 

 

在这一节我们将运用Hassard在文献[7]中介绍的中心流形定理和规范型理论计算系统(2)在时出现Hopf分支的分支周期解的稳定性和方向的公式.不失一般性，假设

1.6.2 统计分析 将可能的预后影响因素纳入SPSS 19.0进行统计分析，并将统计分析结果定义为以P＜0.05为有统计学意义，以P＜0.01为有显著统计学意义。

 

定义

 

 

在跨接线缆的固定点位置，线缆除受到P、T与G之外,还受到线缆固定接头的锁紧力，该锁紧力垂直于线缆轴线方向。因此,在固定跨接线缆时，通常应保持线缆的轴线与线缆固定处的平面垂直，并保证线缆在固定点附近只受到线缆自身重力引起的弯曲应力，而未受到固定点施加的额外应力。

 

定义双线性内积其中η(θ)=η(θ,0),A=A(0).

根据上一节讨论可知，是A(0)的特征值，故它们也是A*的特征值.有如下引理：

引理与分别为A(0)对应的和A*对应的的特征值，其中

 

 

 

其中

具有分泌功能的上皮被称为腺上皮，腺则是由一个或多个腺上皮细胞构成的，具有分泌功能的结构单位。生物体在胚胎时期所生长出的腺上皮属于原始上皮，原始上皮向其深层的间充质增生，通过细胞的分裂增殖形成细胞索，长入深层的结缔组织中即分化为腺。在演变的过程中，如果深陷的上皮细胞与表面上皮的联系消失，腺体没有导管，其分泌物直接进入腺细胞周围的毛细血管或淋巴管，这种腺体即被称为内分泌腺，如甲状腺和肾上腺；如果细胞索与表层上皮的联系被保存下来，并发育成导管，腺的分泌物可以经由导管排出到身体表面或器官腔面，即称为外分泌腺或导管腺，如唾液腺和汗腺，如图1。

 

下面计算相关系数：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

其中这里E1,E2满足以下等式

其中

于是可得如下参数值：

在CFS ISAR成像过程中，方位像主要由成像持续时间内目标的转动引起.因此为便于方位向成像机理分析，将经过子脉冲脉压后的回波信号(式(3))表示为

 

 

由此可得如下系统(2)Hopf分支方向和分支周期解的稳定性的计算公式.

定理3 若μ2>0(μ2<0),那么Hopf分支是超临界的(次临界的)；若β2<0(β2>0),那么分支周期解是稳定的(不稳定的)；若T2>0(T2<0),则周期是增大的(减小的).

3 数值模拟

考察如下系统

 

(20)

通过计算，可以得到系统(4.1)的平衡点为

(1) τ1=0,τ2≠0

可以计算τ20≈1.599,由定理(2.2)可知，若τ20∈(0,1.599),平衡点E*渐近稳定.系统(20)在τ20≈1.599处产生Hopf分支，见图1和图2.

  

图1 当τ1=0,τ2=1.25<τ20,平衡点E*渐近稳定Fig. 1 E* is asymptotically stable for τ1=0,τ2=1.25<τ20

  

图2 当τ1=0,τ2=1.85>τ20,平衡点E*不稳定，并且在τ2=τ20时产生Hopf分支Fig. 2 E* is unstable and undergoes a Hopf bifurcation for τ1=0,τ2=1.85>τ20

(2) τ1≠0,τ2≠0

选取计算出则由定理2.4可知，若平衡点E*渐进稳定.系统(20)在处产生Hopf分支.见图3和图4.

  

图3 当平衡点E*渐近稳定Fig. 3 E* is asymptotically stable for

  

图4 当平衡点E*不稳定并且在时产生Hopf分支Fig. 4 E* is unstable and undergoes a Hopf bifurcation for

参考文献：

[1] SUN G Q, LIN Z, LIN L. Self-organized wave pattern in a predator-prey model[J]. Nonlinear Dyn，2010，60:265-275.

[2] LI F, LI H W. Hopf bifurcation of predator-prey model with time delay and stage structure for the prey[J]. Math Comput Model，2012，55：672-679.

[3] AKKOCAOGLU H, MERDAN H, CELIK C. Hopf bifurcation analysis of a general non-linera differential equation with delay[J]. J Comput Appl Math，2013，237(1)：565-575.

[4] ZHOU S R, LIU Y F, WANG G. The stability of predator-prey system subject to the Allee effect[J]. Theor Popul Biol,2005，67：23-31.

[5] WANG X D, PENG M, LIU X Y. Stability and Hopf bifurcation analysis of a ratio-dependent predator-prey model with two time delay and Holling type three functional response[J]. Appl Math Comput，2015，268：496-508.

[6] XU R. Global dynamics of a predator-prey model with time delay and stage structure for the prey[J]. Nonlinear Anal Real World Appl，2012,12:2151-2161.

[7] HASSARD B, KAZARIONFF N, WAN Y. Theory and applications of Hopf bifurcation[M]. Cambridge：Cambridge University Press，1981.