Kac和Moody在20世纪60年代分别独立建立了Kac-Moody代数理论(参见[1]).由于Kac-Moody代数在数学和物理方面具有广泛的适用性,Kac-Moody代数引起了许多数学家和物理学家的关注.目前Kac-Moody代数主要有有限维和无限维两种.有限维的研究成果较多,可参见文献[2-3].然而目前学术界对无限维李代数的研究很少(参见[4]).对任意有限维李代数L都存在一个最大的可解理想,称之为L的根.然而并不是每一个无限维李代数都有最大可解理想.因此，有必要对李代数(包括无限维李代数)引进根的理论及Bear根.基于文献[5-8]的方法，本文建立了李代数的一般根理论,介绍了李代数的Bear根,并证明了有限维李代数的Bear根就是它的最大可解理想.最后我们得到了非扭仿射李代数的Bear根.本文中令F为特征是0的代数闭域且Z为所有整数的集合.

1 一般根理论

若李代数为李代数L的同态象,则记作若I为L的理想,则记作I◁L.

假设r是李代数的一个性质.若李代数L具有r-性质,那么称L为r-李代数.若L的理想I有r-性质,那么称I为r-理想.若L没有非零的r-理想,那么称L为r-半单的.令R(r):={L|L是具有r-性质的李代数},S(r):={L|L是没有非零r-理想的李代数}.若r和r′为李代数的两个性质并且R(r)⊆R(r′),那么r≤r′.

对照组：男、女占比各为27：18；年龄段在50～83岁之间，经计算后中位年龄为（66.98±1.57）岁。

注 幂零为李代数的一个性质.幂零性质可记作r-性质.同样地,可解也是李代数的一个性质.可解性质可记作r′-性质.因此,R(r):={L|L为幂零李代数}和R(r′):={L|L为可解李代数}.显然有r≤r′.

例2 (i)假设Vm为量子向量空间,qi,i+1≠1,qij=1,i+1<j≤m,1≤i<m.令李代数及那么L不是可解李代数.(ii)L没有最大幂零理想以及最大可解理想.(iii)例1.1中的r和r′都不是根性质.(iv)rb(L)=L.

基于文献[5-8]，将环改成李代数，则可以用环的一般根理论的方法给出李代数的一般根理论.

一是本工程土洞的埋深在3～10 m范围内时，控制每轮循环进尺≤1.5 m；埋深大于10 m时，控制每轮循环进尺≤3 m；全断面开挖。

2 Bear 根

本节给出李代数Bear根的刻画.结合环Bear根为所有幂零环的下根;Bear根也为Bear理想LE.令(I,<)为良序集.若α∈I且存在γ∈I使得对任意β∈I有β<γ<α且β<α,那么α称为一个极限数.若α∈I且存在β∈I和β<α使得在α和β中间不存在任何元素,那么α称为一个非极限数(或者说α不是极限数).在这种情况下, β=α-1或者α=β+1.令为李代数的非空类.令I为一个良序集且α0为I的极大元.定义E1:={L|存在使得假设对于任意β<α,α,β∈I,Eβ是定义好的.若α为极限数,定义Eα:={L|存在β∈I,β<α使得L∈Eβ};若α不是极限数,定义Eα:={L|L的每个非零同态象在Eα-1中都有一个非零理想}.令EI:=∪α∈IEα.

引理1 对任意α,β∈I,α≤β,(i)Eα为封闭的同态.(ii)Eα⊆Eβ.

定理其中是非扭仿射李代数,Fc是它的中心.

证明 令β0是I′的极大元.假设L∈EI.则存在一个α∈I使得L∈Eα.现证明存在一个α′∈I′使得L∈Eα′.若α=1,则结论成立.假设α>1,若α为极限数,则存在β∈I,β<α使得L∈Eβ.则由归纳假设知结论成立.若α不是极限数,那么L的每一个非零同态象都有一个非零理想N∈Eα-1.由归纳假设知存在γ∈I′.令{Nμ|μ∈J}为L的所有理想的集合且J⊆I′β0,0≠Mμ◁L/Nμ,Mμ∈Eμ.若β0是极限数，则L∈Eβ0.若β0不是极限数，则对任意μ∈J有Mμ∈Eβ0-1.故L∈Eβ0.

定理1 令I和I′为两个良序集且有极大元.若card(I)> card(2L)且card(I′)> card(2L),那么L∈EI当且仅当L∈EI′.

(ii)由(i)知对任意γ,γ+1∈I有Eγ⊆Eγ+1.若β为极限数,则结论成立.现假设β不是极限数对α用超限归纳法证明(ii).对α=1和β>1,对β用归纳假设,由于1≤β-1则有E1⊆Eβ-1.故E1⊆Eβ.现假设α>1.若L∈Eα,则L的每一个非零同态象在Eα-1⊆Eβ-1都有一个非零理想.因此Eα⊆Eβ.

（3）超深超宽量影响。图2表明随着超宽超深的变大，土方量递增。外航道曲线斜率明显大于内航道，超深超宽的变化对土方量值影响巨大，这主要取决于航道长度。

L称为rE-李代数当且仅当存在满足card(I)> card(2L)的良序集和极大元α0使得L∈EI.

广西边贸特色小镇在“一带一路”建设中的发展研究 ……………………………………………………… 赵芳芳 龚顺利（5/36）

命题1 rE为一个根性质.

这时,rE被称为E的下根.若E={L|L为幂零李代数},那么rE称为Bear根,记作rb.

命题2.4 (i)若r(L)=0,那么L没有非零的幂零理想.(ii)若L没有非零的幂零可达理想,那么rb(L)=0.(iii)若L为可解李代数,那么L为rb-李代数.

命题2 rE(L)=LE.

定义2 令L为李代数,I为良序集且card(I)> card(2L), α0为I的极大元并且α0不是极限数.定义L1=∑{A|A◁L,A∈E1}.假设α>1,其中1为I的最小元.若α是极限数,定义Lα:=∑{A|A◁L,存在β∈I,β<α使得A∈Eβ}.若α不是极限数,定义Lα/Lα-1:=∑{A/Lα-1|A◁L,A/Lα-1∈Eα-1}.令{Ni|i∈J}为L的所有理想的集合且J⊆I,α0,α0-1∉J.由于card(I)> card(2L),因此,Lα0-1=Lα0.因此存在τ∈I使得Lτ=Lτ+1=Lτ+2=….记Lτ=LE,称为L的Bear理想.

证明 令LE=Lτ.首先对α用超限归纳法证明Lα⊆rE(L).显然有L1=∑{I◁L|I∈E1}⊆rE(L).假设α>1.若α是极限数,则由归纳假设知Lα=∑{A|A◁L,存在β∈I,β<α使得 A∈Eβ}⊆rE(L).若α不是极限数,则Lα/Lα-1=∑{A/Lα-1|A◁L,A/Lα-1∈Eα-1}⊆rE(L/Lα-1).故Lα⊆rE(L).接下来证明rE(L)⊆Lτ.由根性质知，只需证rE(L/Lτ)=0.若rE(L/Lτ)≠0,则存在α∈I,A◁L使得rE(L/Lτ)=A/Lτ∈Eα.若α≥τ,则A/Lα=A/Lτ∈Eα.故A⊆Lα+1,Lα+1≠Lα.矛盾.若α<τ,则A/Lτ∈Eα⊆Eτ.矛盾.故rE(L)=LE.若A为结合代数, 则(A-,[])为李代数,A-=A(作为向量空间),并且[a,b]=ab-ba,∀a,b∈A.对任意z1,z2,…,zk∈L,令σ(z1,z2):=[z1,z2],σ(z1,z2,z3,z4):=[σ(z1,z2),σ(z3,z4)],…,σ(z1,z2,…,z2k):=[σ(z1,z2,…z2k-1),σ(z2k-1+1,…,z2k)].

以某互联网金融机构所提供的个人信用信息数据为基础，本文首先从业务逻辑的角度出发，即根据个人信用信息的四个方面：个人基本情况、个人征信历史、个人资产状况以及个人其他情况，构建较为全面的评价个人信用的指标体系，如表1所示。

引理2 假设Vm为量子向量空间,qi,i+1≠1,qij=1,i+1<j≤m,1≤i<m.若x1,x2,…,xm为Vm标准基且k-s为2的方幂,那么对任意1≤s<k≤m+1有<ys,σ(xs,xs+1,…,xk-1)>≠0.

如果一些载货的货车或者三轮车在你前面行驶，很容易掉下一些东西来，对后面的车辆造成威胁，而后车一个不小心，就很容易撞上去。

令L-(V)为V在B(V)-中生成的李代数.类似地,有如下结论.

记B(V)表示辫子向量空间V的Nichols代数(参见[9]).

例1 (i)假设Vm为量子向量空间,qi,i+1≠1, qij=1, i+1<j≤m,1≤i<m.令结合代数及那么A-不是可解李代数.(ii)A-没有最大幂零理想以及最大可解理想.(iii)例1.1中的r和r′都不是根性质.(iv)rb(A-)=A-.

证明 (i)若A-可解,那么存在自然数m使得D(m)(A-)=0.因此D(m)(B(V2m)-)=0且σ(x1,…,x2m)∈D(m)(B(V2m)-),与引理2.7矛盾.(ii)～(iv)易证.

证明 现对k-s用归纳法证明对任意1≤s<k≤m+1,<ys,σ(xs,xs+1,…,xk-1)>≠0,其中k-s为2的方幂.若k-s=2,那么假设k-s>2.那么由归纳假设可知,且考虑Nichols代数上的受限制的PBW基(参见[9]),有即<ys,σ(xs,xs+1,…,xk-1)>≠0.

定义1 若r满足下列3个性质:(R1)r-李代数的每个同态象也是r-李代数;(R2)每个李代数L有一个L的r-理想r(L)使得r(L)包含L的所有r-理想；(R3)L的商李代数L/r(L)是r-半单的,即r(L/r(L))=0.则性质r称为根性质.

张容年于2004年在《情报资料工作》发表的文章“在把握媒体音像资料的内容价值——基于媒体资产管理平台的标引思路”中指出：20世纪80年代及以前的专题片，尽管题材和样式单调，程式化的表现方式，艺术手法幼稚。但它体现了当时的社会风貌和观众取向，还凝结着广电人的智慧和才华，是从事电视行业多年来劳动和经验的体现，仍不失为珍贵文献资料。另外，对于媒体来说最根本的资产就是节目版权，尽管一些年年代久远的资料，磁带老化，霉变脆裂，但以版权资产的视角，这些都是可以挖掘出增值效益的珍藏。

证明 (i)假设L∈Eα且现用超限归纳法证明若α=1,则存在使得则有故假设α>1.若α为极限数,则存在β∈I使得β<α且L∈Eβ则有若α不是极限数,那么L的每一个非零同态象在Eα-1都有一个非零理想.于是的每一个非零同态象在Eα-1都有一个非零理想,则有

证明 令显然有Fc⊆若那么I⊆Fc.则结论成立.若那么I≠Fc.令则由命题2.4可知存在0≠A1◁A2◁…◁An◁使得A1是幂零的.于是存在0≠B1◁B2◁…◁Bn◁使得对任意1≤i≤n都有Ai=Bi/Fc且对于确定的⊆Fc.则B1是的非零的幂零可达理想.又由于存在0≠B◁F[t,t-1]使得B⊗⊆I.又B⊗作为的子集是非幂零的.则B⊗作为的子集是非幂零的,命题得证.

使用DEA软件，查找2014-2016年相应的数据，测度并分析中国31个省市农副食品加工业的效率状况。其中，ZX表示综合效率、JX表示技术效率、GX表示规模效率，具体结果如表1。

3 Levi分解

这一节我们证明若L为有限维李代数,那么rb(L)是L的最大的可解理想且L=S⊕rb(L),其中S为一个半单李代数.

命题1 若L为半单李代数,那么rb(L)=0.

命题2 若李代数L=⊕i∈ILi为直和且r为一个根性质,那么r(L)=⊕i∈Ir(Li).

证明 由于r(Li)◁L,故对任意i∈I有r(Li)⊆r(L).又对任意i∈I有πi(r(L))πi(r(L))⊆r(Li),故r(L)⊆⊕i∈Ir(Li).

命题3.3 若L为有限维李代数,那么rb(L)是L的最大的可解理想且L=S⊕rb(L)(作为向量空间),其中S为一个半单李代数.

从2008年除险加固工程完工到2017年，水库年平均来水量1 219.31万m3，年平均弃水量为937.55万m3，水利用率只有23%。虽然存在因工程建设需要放空水库的情况，但总体看来水库水资源利用率低。

证明 作为向量空间L=S⊕R,其中S为一个半单李代数,R为L的最大可解理想(参见[10]).由于rb(L/R)=0,故rb(L)⊆R.显然有R⊆rb(L).故R=rb(L).

假设G为有限交换群.那么第1节与第3节中的所有结论在所有G-色李代数组成的范畴与所有辫子m-李代数(参见[11])组成的范畴中都成立.

参考文献：

[1] KAC V G. Infinite dimensional Lie algebras[M]. London: Cambridge University Press, 1985.

[2] HUMPHREYS J. Introduction to Lie algebras and representation theory[M]. New York: Springer-Verlag, 1972.

[3] 万哲先.李代数[M].北京：科学出版社,1978.

[4] DIVINSKY N. Rings and Radicals[M]. London: Allen, 1965.

[5] SZASZ F A.Radicals of rings[M]. New York: John Wiley and Sons, 1982.

[6] ZHANG S. The radicals of Hopf module algebras[J].Chinese Ann Math, Ser B, 1997,18(4):495-502.

[7] ZHANG S. The Baer and Jacobson radicals of rossed products[J]. Acta Math Hungar, 1998,78:11-24.

[8] 刘绍学.环与代数[M].北京:科学出版社,1983.

[9] HECKENBERGER I. Nichols algebras of diagonal type and arithmetic root systems[M]. Leipzig: Habilitation Pree, 2005.

[10] Jacbson N. Lie Algebras[M]. New York: Wiley,1962.

[11] WU W, ZHANG S, ZHANG Y Z. Relation between Nichols braided Lie algebras and Nichols algebras[J]. Lie Theor,2015,25:45-63.