早在1964年, Daley和Kendall[1]就运用传染病建模思想研究了谣言传播模型, 在该文中将谣言传播状态分为3部分: 还未听说谣言者, 积极传播谣言者和不再传播谣言者. 在此基础上, 马颖等建立了食品行业突发事件风险感知传递的传染病模型[2], 丁学君在文献[3]中建立了SCIR 模型. 在文献[4]中陈波等人考虑了泛在媒体环境下的网络舆情传播控制模型, 陈福集等人[5] 建立了SEIRS 模型对网络舆情衍生效应进行了研究. 上述模型虽然较好地反映了舆情传播情况但是均未考虑在传播过程中会出现复传播现象. 为了弥补以往工作的不足，本文建立了微博用户恒定, 具有双线性发生率的SEIR微博舆情传播模型, 且考虑了解舆情暂不传播者的复传播情况. 本文内容安排如下: 第1部分, 根据传染病动力学知识将舆情传播状态分为4个状态(舆情未知状态、已知舆情但不确定是否传播状态、已知舆情并且积极传播状态以及了解舆情暂不传播状态. 建立微博舆情传播模型, 通过分析得到模型解的正性和有界性, 并找出了模型的阈值和平衡点. 第2部分:通过Hurwitz判据和波动引理研究了舆情消亡平衡点的稳定性问题. 第3部分: 研究了暂未传播率为分段函数时舆情传播平衡点局部渐近稳定的充分条件. 第4部分: 数值模拟, 研究参数对阈值以及微博舆情传播情况的影响, 并为政府部门如何规范舆情传播提出建议.

1 模型的建立及解的相关性质

1.1 模型的建立

  

图1 微博舆情传播仓室图 Fig. 1 Micro-blog public opinion communication model warehouse room map

本节建立微博舆情传播模型. 通过对模型动力学性质的研究, 了解舆情随着时间变化的传播情况. 所有的微博用户量记作N(t), 不妨假定微博用户量N(t)=1. 并将所有微博用户分为4类: S(t)为t时刻还未听说舆情的微博用户(未知类), E(t)为t时刻了解舆情但不确定是否传播的微博用户(潜伏类), I(t) 为t时刻通过微博积极传播舆情的微博用户(传播类), R(t)为t 时刻了解舆情暂不传播的微博用户(移出类). 考虑到移出类会再次传播舆情的情形, 假定p(t)表示暂未传播率, 即t时刻了解舆情暂不传播者依旧不传播舆情的概率. p(t) 满足以下性质:

(1)p: [0，∞) → [0，1]是非增, 连续或分段连续的函数.

(2)p(u)du<∞且

建立如图1所示的仓室图，仓室图中各参数的定义如表1所示(模型中所有的参数均为正值):

该系统是由SRM（开关磁阻电动机）和SRD（控制器，包括信号处理与功率变换等）组成，并能将电功率与机械能互换输入输出的机电一体化装置，即将电能转换成机械能，也可将机械能转换成电能。实际系统由开关磁阻电动机（SRM）、功率变换器、微控制器、电流及位置检测器等5大部分组成［1-2］。

 

表1 参数含义

 

Tab. 1 Parameters meaning

  

参数传染病模型含义舆情传播模型含义b输入率/输出率单位时间微博注册率/微博注销率β接触率单位时间一个传播类的微博用户通过微博将舆情传播给未知类的比例系数a直接移出率单位时间从潜伏类到移出类的比率α传染率单位时间通过微博继续传播舆情的比率γ恢复率单位时间从传播类到移出类的比率

根据微博舆情传播过程, 建立如下模型:

乌梁素海退水渠全长24 km，退水口（入黄口）位于黄河三湖河口水文站上游左岸14.2 km处，年平均向黄河排水1亿m3左右。因此，乌梁素海对于黄河内蒙古河段及以下水体安全发挥着极为重要的作用。建立黄河流域和地方对乌梁素海水环境监测协调机制，其目的就是按照区域生态系统管理方式，逐步理顺流域与地方的关系，增强环境监管的协调性、整体性。当区域环境突发水污染事件时，启动相应应急预案，互通情报、信息共享，配合连动，共同应对，就能有效避免突发水污染事件发生或减少危害，保障乌梁素海水环境及黄河干流水质安全。

(4)选择合适胃管对患者做插管处理,插管过程中叮嘱患者做吞咽配合。插入后将胃管与洗胃机连接起来,开始自动冲洗;

 

(1)

分别对R(t)和I(t)求导得:

 

(2)

 

(3)

由于p(t)非增, 则(2)和(3)中dtp(t-ξ)≤0. 结合式(1), (2)和(3)可知式(1)的动力学性质等价于以下模型:

 

(4)

1.2 模型解的恒正性和有界性

在微博用户量恒定的微博舆情传播实际情况中, 可以知道4类微博用户量S(t),E(t),I(t),R(t)恒正且有界(这里假设在初始时刻4类微博用户量恒为正). 由此得出以下定理.

定理1 若t ∈ (-∞,0]时S(t)>0,E(t)>0,I(t)>0. 则模型(4)的解在t ∈ (0,+∞)上恒为正且有界.

证 使用反证法. 假设∃t1>0使得S(t1)=0, 则t∈(0,t1) 时S(t)>0. 由此条件显然可得S′(t1)≤0. 由模型(4)中第一个方程可得S′(t1)=b>0, 矛盾, 因此S(t)>0.

下证E(t)和I(t)的恒正性.假设∃t2>0使得min{E(t2),I(t2)}=0, 则当t∈(0,t2)时E(t)>0,I(t)>0. 接下来分两种情况来讨论:

且只需讨论模型(8)的渐近稳定性问题.此时η=-e-bτ,且舆情传播阈值为舆情传播平衡点为模型(8)在舆情传播平衡点P*处的特征方程为

产业结构的区域差异性是制约我国经济发展的重要因素，学术界关于我国产业结构区域特征的研究由来已久。中国产业结构的确存在区域差异性（Naughton，2003），但这种差异性在趋同作用下逐渐衰减且呈收敛特征（Poncet，2003）。三大产业的发展成本有所不同，其中第三产业的发展能降低加工成本和交易成本，有利于提高社会整体的经济效率（吴敬琏，2014）。

小徐说，我们拿他也没办法，他经常打电话给我们，都是些鸡毛蒜皮的小事，你说我们不管吧，又怕他说我们不作为。现在只要听到老陈的声音我就头大，真拿他没办法。

(b) E(t2)≥0, I(t2)=0.

λ2+(γ+b+α+b+a)λ+(α+b+a)(γ+b)-αβ=η1[-γλ-γ(α+b+a)-aβ].

其中A1(τ)=(α+b+a)+(γ+b)+βI*+b,A2(τ)=(α+b+a)(γ+b)+(βI*+b)(α+b+a+γ+b)-βS*α,A3(τ)=(βI*+b)(α+b+a)(γ+b)-bβS*α,B1(τ)=γe-bτ,B2(τ)=[(α+b+a)γ+βS*a+(βI*+b)γ]e-bτ,B3(τ)=[(α+b+a)γ(βI*+b)+bβS*a]e-bτ.当τ=0时,特征方程(9)可以转化为λ3+D1(τ)λ2+D2(τ)λ+D3(τ)=0,其中由于D1(τ),D2(τ),D3(τ)均为正,且有则由Hurwitz判据[8]知特征方程(9)的所有根均为负实部,舆情传播平衡点局部渐近稳定.

综上可知, 当t>0时, E(t)>0,I(t)>0恒成立.

由模型(1)的第四个方程易知R(t)>0,又S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1,则S(t),E(t),I(t)有界.定义D={(S,E,I)∈R3:S,E,I>0,S+E+I<1}.显然,区域D是模型(4)的最大不变集,因此我们将在区域D上研究模型(4)的相关动力学性质.

1.3 舆情传播模型的阈值与平衡点

本节讨论R0>1时,模型(4)舆情传播平衡点的稳定性问题.由于p(t)的不确定性增加了研究的难度,则在以下研究中讨论p(t)为分段函数时舆情传播平衡点的稳定性问题.取p(t)为分段函数

 

显然因此

在玉米的施肥管理中，要根据玉米的不同阶段施不同的肥料。从授粉至乳熟期是玉米吸收养料的第2高峰时期，玉米在这一阶段要大量施用氮元素和磷元素，氮元素的需要量占氮元素总量的1/3，磷元素的需要量也占总量的1/3。在玉米开花时要重视补追攻粒肥，保障玉米的生长速度和质量。高产的玉米田补追肥可以占追肥总量的15%-20%，此时要注意，如果在前期所施肥料较多的情况下，也可以不追肥。同时，对玉米施肥中的生长情况建立相应的数据库，加强对玉米的智能化管理。

定义模型(4)的舆情传播阈值为

 

其中,R0表示所有的微博用户均未知舆情时,一个舆情传播者在平均传播期所传播的微博用户量.通过简单的计算可知,当R0<1时,模型(4)仅有一个平衡点:舆情消亡平衡点P0=(1,0,0).当R0>1时,模型(4)有两个平衡点:舆情消亡平衡点P0,舆情传播平衡点P*=(S*,E*,I*),其中

2 舆情消亡平衡点的稳定性问题

这一部分将研究舆情消亡平衡点的稳定性问题,以此来分析微博舆情未来的传播趋势.

定理2 当R0<1时,舆情消亡平衡点P0=(1,0,0)在D上全局渐近稳定.当R0>1时,舆情消亡平衡点P0=(1,0,0)不稳定.

证 模型(4)在舆情消亡平衡点P0=(1,0,0)处的特征方程为

 

其中化简得:

(λ+b)[λ2+(γ+b+γη1+α+b+a)λ+(α+b+a)(γ+b+γη1)+aβη1-αβ]=0.

(5)

由方程(5)易知,-b为其一个负根.另外,令ψ(λ)=λ2+(γ+b+γη1+α+b+a)λ+(α+b+a)(γ+b+γη1)+aβη1-αβ.易知ψ(0)=(α+b+a)(γ+b+γη)(1-R0).则当R0>1时,ψ(0)<0,ψ(+∞)=+∞,此时方程(5)必存在一正根.则舆情消亡平衡点P0=(1,0,0)不稳定.当R0<1时,假设ψ(λ)=0时存在一个非负实部的根λ=x+iy,其中x≥0.由ψ(λ)=0可得

若(a)成立, 则E′(t2)≤0. 由模型(4)的第二个方程得E′(t2)=βS(t2)I(t2)>0,矛盾.

于是,|λ2+(γ+b+α+b+a)λ+(α+b+a)(γ+b)-αβ|2=|η1|2|-γλ-γ(α+b+a)-αβ|2≤|η|2|-γλ-γ(α+b+a)-αβ|2.将λ=x+iy代入上述不等式,且记不等式左端函数为F1(x,y),右端函数为F2(x,y).从而F1(x,y)≤F2(x,y),其中F1(x,y)=|x2-y2+2xyi+(b+γ+α+b+a)x+(b+γ+α+b+a)yi+(α+b+a)(γ+b)-αβ|2=[x2-y2+(b+γ+α+b+a)x+(α+b+a)(γ+b)-αβ]2+[2xy+(b+γ+α+b+a)y]2=y4+[2x2+2(b+γ+α+b+a)x+2αβ+(b+γ)2+(α+b+a)2]y2+[x2+(b+γ+α+b+a)x+(α+b+a)(γ+b)-αβ]2≥(γy)2+[(b+γ+α+b+a)x+(α+b+a)(γ+b)-αβ]2,F2(x,y)=[ηγx+ηγ(α+b+a)+ηaβ]2+(ηγy)2.

λ3+A1(τ)λ2+A2(τ)λ+A3(τ)=e-λτ(B1(τ)λ2+B2(τ)λ+B3(τ)),

记由I(t)∈(0,1)得I∞∈[0,1].由[6]中引理4.2可得,必存在一时间序列{tn}有且由模型(4)中第三个方程可得

 

由文献[7]中的法都-勒贝格引理得(γ+b+γη)I∞≤(α-aη)E∞.假设I∞≠0,则有

国内塑料管道行业中已经拥有几百项发明、新型专利技术，有的自主知识产权产品在国际处于领先地位。塑料管道的新品种、新结构、新材料、新技术、新工艺及专利项目越来越多，各种不同类型的塑料管道在不同的用途中发挥着各自的优势。在超高分子量聚乙烯（UHMWPE）管材、大口径排水用钢塑复合缠绕管材、塑料复合管材等方面已经具有国际先进水平。新产品的不断出现，既完善了使用性能，又扩大了产品的应用领域。行业的整体技术水平与发达国家的差距正逐步缩小。

 

(6)

由于E(t)∈(0,1)，则必有E∞∈[0,1].对E(t),存在时间序列{ρn}使得且由模型(4)中第二个方程可得结合(6)式得这与S∞∈[0,1]矛盾,因此I∞=0.这就得到因此,模型(4)的舆情消亡平衡点P0在D上全局渐近稳定.定理2说明当微博舆情传播模型的阈值R0<1时,微博舆情将随着时间的推移逐渐淡出微博用户的视野.

表1为各支流生态需水量和生态景观用水流量表。从表1可知，通过分析流域面积大的大岸冲、八尺江、良凤江、四塘江，天然来水量是满足要求的，其余支流虽然生态用水满足要求，但是保证率90%的来水量难以满足景观水量要求。

3 舆情传播平衡点的稳定性问题

阈值是决定微博舆情消亡与否的关键因素,而平衡点是研究微博舆情模型解渐近稳定性的关键.因此本小节将对微博舆情传播模型(4)的阈值和平衡点进行研究.定义

 

这表明经过一段时间R类再次传播舆情,其中常数表示移出者R(t)决定再次传播舆情的平均考虑时间.当t∈[0,τ]时,模型(1)转换为

我妈勒令我不许去看刘佳，打扰他静养。可是我在医院里一天都呆不住，静躺三个月，那简直没有人道。于是，第二天我就去医院陪刘佳，我把收集的虫子标本给他看，在病房里甩陀螺给他看，还表演弹弓打鸟给他看，医院里的鸟格外笨，动也不动地站在树枝上，“啪”的一声就掉了下去。

 

(7)

对R(t)求导则有

 

此时模型(7)等价于以下模型

（4）公犬的去势。治疗前列腺脓肿的最为常用的方法。具体操作过程为阴囊部剪毛、清洗、消毒。左手沿着阴囊颈部握住犬的睾丸，将其轻轻压向阴囊底部，使两个睾丸正好位于阴囊缝际的两侧，固定住睾丸；切口分别位于阴囊缝际的两侧0.5 cm处，后手持刀平行于阴囊缝切开阴囊的皮肤和总鞘膜，且勿伤及睾丸实质，切口长3～4 cm，将睾丸轻轻的挤出阴囊。在睾丸上方的4 cm左右处，贯穿结扎精索，结扎要确实，以防术后出血。在结扎线下方1～2 cm处切断精索，除去睾丸，精索断端用碘酊消毒，伤口不用缝合，消毒即可。

 

当t∈(τ,+∞)时,模型(1)转换为

 

(8)

(a) E(t2)=0, I(t2)>0,

 

化简得

当R0<1时,|(b+γ+α+b+a)x|>|ηγx|,|(α+b+a)(γ+b)-αβ|>|ηγ(α+b+a)+ηaβ|,|γy|>|ηγy|.则F1(x,y)>F2(x,y),这与F1(x,y)≤F2(x,y)矛盾,即方程(5)的根均为负实部.因此R0<1时,舆情消亡平衡点P0=(1,0,0)是局部渐近稳定的.下证舆情消亡平衡点P0=(1,0,0)在D上全局吸引.

(9)

若(b)成立, 则I′(t2)≤0. 由模型(4)中第三个方程得I′(t2)=αE(t2)-(γI(ξ)+aE(ξ))e-b(t2-ξ)dtp(t-ξ)|t=t2dξ>0,矛盾.

用利多卡因进行局部麻醉,常规消毒铺巾并做好术前准备工作,实施定点逐级扩孔。在做切口的过程中用盐水进行清洗使其冷却后再植入相关材料,植入后进行缝合,注意保持严密缝合。植入3个月后进行随访,检查患者骨结合情况,制作永久性修复体,如发现患者骨宽度或者骨高度不足时,则需要采取相关手术进行治疗。

当τ>0时,对式(9)两边同时取模得|λ3+A1(τ)λ2+A2(τ)λ+A3(τ)|=|e-λτ(B1(τ)λ2+B2(τ)λ+B3(τ))|.若λ=ωi(ω>0)满足设式，代入化简得G(K)=0,其中G(K)=K3+C1(τ)K2+C2(τ)K+C3(τ),K=ω2,且

由于阈值R0,舆情传播平衡点P*及方程G(K)=0的系数均依赖时滞τ,这给处理特征方程带来了困难.当方程G(K)=0有正实根时,特征方程(9)有纯虚根,P*的稳定性发生改变,但很难得到方程有纯虚根时的τ.在[9]中,作者给出了平衡点稳定性不发生改变的充分条件.同样,本文仅研究舆情平衡点P*的稳定性不发生改变的情况.

当C2(τ)≥0时,显然不存在正实数K,使得G(K)=0.则有式(9)不存在纯虚根,故此时舆情传播平衡点局部渐近稳定.

对C2(τ)<0,取G′(K)=3K2+2C1(τ)K+C2(τ)=0的两根为K1,K2且满足K1>0>K2.则当G(K1)>0时,在K∈[0,+∞)上G(K)>0恒成立.也即不存在正数K使得G(K)=0.则有式(9)不存在纯虚根,故此时舆情传播平衡点局部渐近稳定.

上述论述可总结为以下定理.

定理3 当R0>1,(i)C2(τ)≥0或(ii)C2(τ)<0且G(K1)>0成立时(其中K1是C2(τ)<0时G′(K)=0唯一的正根),舆情传播平衡点局部渐近稳定.微博舆情将在一定条件下随着时间不断传播.

4 数值模拟

理论分析显示阈值是影响微博舆情传播与否的关键因素.当p(t)为分段函数时,舆情传播阈值为显然参数β对阈值影响是正向的,γ和b对阈值影响是反向的.则只需要研究α,τ对阈值的影响即可(a对阈值的影响与α对阈值的影响类似).首先研究α对阈值和模型解的影响.参考文献[5]与[10]对参数进行取值,取β=0.3,γ=0.5,a=0.3,b=0.1,τ=1.利用Matlab对进行数值模拟如图2,图3.(注：此后记c2=C2(τ),且图形中用α代替a)

由图2和图3可知,当β=0.3,γ=0.5,a=0.3,b=0.1,τ=1时,c2>0,R0>1恒成立.由定理3知舆情传播平衡点P*局部渐近稳定.接下来取不同的α对模型的解进行研究.方案一:α=0.2,此时R0=1.597 3,P*=(0.626 1,0.062 3,0.199 1).方案二:α=0:5,此时R0=1.742 4,P*=(0.573 9,0.047 3,0.247 5).方案三:α=0.8,R0=1.815 0,P*=(0.551 0,0.037 4,0.271 7),数值模拟如图4.由以上分析知道,当β=0.3,γ=0.5,a=0.3,b=0.1,τ=1时,舆情将持续传播.但是可以对参数α即传播率进行一定的控制使得微博舆情的传播量适当升高或降低.接下来,研究时滞对模型的影响.取参数β=0.8,α=0.6,γ=0.5,a=0.3,b=0.1.此时可以得到c2随着时滞变化的图像.由图5知τ=10时R0=1.365 9,平衡点P*=(0.732 1,0.026 8,0.045 7),c2=0.007 7<0,K1=0.001 9,G(K1)=0.001 2>0,由定理3得舆情传播平衡点局部渐近稳定.图6数值模拟验证了我们的结论.

东北四省区节水增粮行动是一项系统工程，水资源论证则是这项系统工程的核心环节。经统计，已批复水资源论证的100个项目县规划实施总面积3 283万亩，总取水规模为26.5亿m3；规划地下水源井13.5万眼，其中规划新打井数为7.4万眼。通过水资源论证，核减实施方案中灌溉面积40万亩，调整地块面积520万亩；核减地下水开采量近2亿m3，核减地下水水井数4.5万眼。

综合以上可知参数对微博舆情传播具有重要的作用,政府部门可以通过对参数的控制来规范舆情传播情况.对于网络舆情的管理提出以下两点建议:

(5)当发生了紧急事件时动物园的事后补救措施是否完善。动物园应配备麻醉捕捉用品，专人保管，定期检查。且设立医务室且安排具有急救、止血知识的医务人员，因对突发事件等进行急救。

  

图2 c2随α变化图Fig. 2 The change chart of c2 with α

  

图3 阈值R0随α变化图Fig. 3 The change chart of R0 with α

  

图4 三种方案分别对S(t), E(t), I(t)的影响Fig. 4 The influence of three schemes on S(t), E(t), I(t)

  

图5 c2随τ变化图Fig. 5 The change chart of c2 with τ

  

图6 S(t),E(t),I(t)数量比随时间变化图Fig. 6 The change of S(t),E(t), I(t) with time

(1)政府部门应加强对网络用户知识,道德教育,增强网络用户辨别是非的能力,通过增大或减少传播率达到积极传播正面消息,抵制负面消息的效果.(2)政府部门应充分发挥网络舆情监管部门的效率,对一些负面消息进行网络拦截,从而降低对此类消息的接触率,以达到遏制其大面积传播的效果.

参考文献：

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