广义度量空间中次相容映象对的几个新的公共不动点定理
0 引言
G-度量空间的概念是由Mustafa和Sims[1]在2006年首次提出来的, 它是度量空间的一个推广. 之后, Abbas和 Rhoades[2]开始研究这一空间中的公共不动点问题. 2011年, Vats, Kumar和Sihag[3]把相容映象对[4]的概念引入到G-度量空间中, 并利用映象对相容和(A)型相容的概念证明了一些公共不动点定理. 后来, Popa和Patriciu[5]以及Mustafa[6]分别研究了G-度量空间中弱相容映象的一些公共不动点问题.
3) 阀芯密封圈为斜面密封,螺纹套固定在阀芯上,密封面很窄,定位长度浅,加工或安装稍有不慎就会导致密封面出现不完全吻合现象,从而导致阀门泄漏。
1999年, Pant[7]在度量空间中提出了映象对相对连续的概念. 2009年 Bouhadjera和Godet-Thobie[8]在度量空间中引进了次相容映象对和次序列连续映象对的概念. 2011年, Imdad, Ali和Tanveer[9]在度量空间中研究了次相容映象对和次序列连续映象对的公共不动点问题, 指出并修正了[8]中的一些错误. 本文的目的是将次相容映象对和次序列连续映象对的概念引入到G-度量空间中, 并将[8]和[9]中的结果拓展到G-度量空间之中.
在介绍主要结果之前, 先给出G-度量空间的一些相关概念.
1 预备知识
定义1[1] 设X是一个非空集合,G:X×X×X→R+为一函数,且满足以下条件:
(1) G(x,y,z)=0⟺x=y=z;
(2) G(x,x,y)>0,∀x,y∈X且x≠y;
为了应对采购工作的繁杂性,企业应尽可能引入合适的ERP软件系统提升管理工作的效率和有效性。通过ERP系统,可以对订单资需求、物资入库、生产物料损耗、物资库存等信息准确把握,便于采购部门及时有效制定采购计划,同时由于信息更新及时、数据准确容易获取,可以明显减少采购物资与需求之间不匹配情况的出现频率,从而降低采购成本,提高采购效率。
(3) G(x,x,y)≤G(x,y,z),∀x,y,z∈X 且z≠y;
(4) G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,z,x)=… ∀x,y,z∈X;
自从微电子技术的出现,为了提高芯片的性能,人们就一直追求在芯片上加装更多的晶体管。而在更新换代的过程中,价格的变动却很小。这是因为较高的集成度的提高降低了每一项的成本。衡量微电子技术发展水平的一项重要指标是大规模电路在芯片上的集成度,与最初的集成电路相比,现在的微电子技术已经将集成度提高了五百万倍。
(5) G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z), ∀x,y,z,a∈X.
则称函数G是X上的一个广义度量, 或简称为X上的一个G-度量, 并称(X,G)是一个广义度量空间,简称为G-度量空间.
定义2[1] 设(X,G)为一G-度量空间, {xn}为X中 的一个序列, X中的点x称为序列{xn}的极限或称序列{xn} G-收敛到x, 如果limm,n→G(x,xn,xm)=0.
定义3[1] 设(X,G)和(X′,G′)是两个G-度量空间, 函数f:(X,G)→(X′,G′). 称f在点a∈X处是G-连续的, 如果对任意的ε>0, 存在δ>0使得对任意x,y∈X, G(a,x,y)<δ, 有G′(f(a),f(x),f(y))<ε. 如果f在X上每一点处都是G-连续的, 则称f在X上是G-连续的.
命题1[1] 设(X,G)为一G-度量空间, 则函数G(x,y,z) 关于这3个变量连续.
命题2[1] 设(X,G)和(X′,G′)是两个G-度量空间, 则f:X→X′在点x∈X处G-连续当且仅当f在x处是G-序列连续的, 即若{xn}G-收敛到x, 那么{f(xn)}G-收敛到f(x).
定义4[3] G-度量空间(X,G)中的自映象对f与g称为是相容的, 若对任意的{xn}⊂X, 只要limn→fxn=limn→gxn=t, t∈X, 就有
下面将在G-度量空间中引入映象对相对连续、次序列连续和次相容的概念, 定义如下:
定义5 G-度量空间(X,G)中的自映象对f与g称为是相对连续的, 若对任意的{xn}⊂X, 只要limn→fxn=limn→gxn=t, t∈X, 就有limn→fgxn=ft,limn→gfxn=gt.
定义6 G-度量空间(X,G)中的自映象对f与g称为是次序列连续的, 若存在{xn}⊂X, 使得limn→fxn=limn→gxn=t, t∈X, 则有limn→fgxn=ft,limn→gfxn=gt.
定义7 G-度量空间(X,G)中的自映象对f与g称为是次相容的, 若存在{xn}为X中的序列, 使得limn→fxn=limn→gxn=t, t∈X,有
注1 易知, 连续的映象对一定是相对连续的, 反之不真. 连续或者相对连续的映象对一定是次序列连续的, 但是存在次序列连续的映象对既不是相对连续的也不是连续的. 反例如下:
再证ft=t, 假设ft≠t, 则Gp(ft,t,t)>0. 由式(1)可得
我们可以在X中找到序列和 由定义易得
由此可见映象对f与g是次序列连续的, 但不是相对连续的, 也不是连续的.
注2 易知, 相容的映象对一定是次相容的, 反之不真. 反例如下:
例2 令X=R, G是X上的任意一个G-度量. 定义映象f,g:X→X如下:
下证唯一性 假设h,k和f1有另外一个公共不动点z, 且t≠z, 则由式(5)及F的性质有
这说明映象对f与g是次相容的, 且是相对连续的, 但不是相容的, 也不是连续的.
2 主要结果
土壤综合肥力指数(IFI)一般划分为5个等级,即高(IFI≥0.8)、较高(0.6≤IFI<0.8)、中(0.4≤IFI<0.6)、较低(0.2≤IFI<0.4)和低(IFI<0.2)[21]。昌宁植烟区域土壤肥力综合指数在0.12~0.99,平均值0.60,绝大部分植烟区土壤处于中等水平(37.02%)和较高水平(24.26%),土壤肥力状况良好。
令F:R+→R+是一个下半连续函数, 且∀t>0, 有F(t)<t. 本文中提及的F都如上所述.
定理1 设f,g,h和k是G-度量空间(X,G)中的4个自映象, 若映象对(f,h)和(g,k)是次相容的且相对连续, 则
(a) f和h有重合点;(b) g和k有重合点;
此外, 如果∀x,y∈X, 有下述不等式成立
证明 在定理1中, 令g=f, k=h, 则可证得该结论成立.
(1)
其中0<a<1, {α,β}⊂(0,1], p∈N*(N*表示非零自然数全体,下同). 则f,g,h和k在X中有唯一的公共不动点.
由于志书时间跨度大,经过多方面艰苦地收集资料,各种资料庞大复杂,如何编好大事记就成为一项重要的工作。20世纪80年代第一轮修志时,由于电脑未普遍使用,编修大事记,多用卡片式,按时间顺序手工整理排序。第二轮修志已普遍使用电子文档整理大事记内容,方便快捷了许多。通过近年实践,笔者认为,编写大事记可以分三步走。
证明 首先证明f和h有重合点, g和k有重合点.
(1)运功对老年人影响研究的文献整体呈增长的趋势,其发文量受国家政策、重大事件等影响;研究机构比较分散,机构间的合作比较少且主要机构分布在高校。该领域的研究者以个人为主,团队之间的合作较少,仅有4个主要的团队。其中、杨光、高亮、于洪军等是较为突出的核心作者,他们都是来自于各高校的老师。而且我国老年人运动干预研究涵盖国内主要体育类核心期刊,其中《北京体育大学学报》是刊出相关研究文章最多的期刊,达到50篇,占19.01%。
因为映象对(f,h)和(g,k)是次相容且相对连续的, 所以存在两个序列{xn}和{yn}, 使得
“教师发展中心”是指学校建立的为本校教师专业发展提供服务的校本互助与培训组织。相关评价要素有分类培训计划、校内导师制、名师工作室、研究团队、外聘导师的有效性。其中,“名师工作室”的认可度为中等,“外聘导师的有效性”的认可度接近高,其他评价要素的认可度均为高。
2.2 两组患者并发症发生率对比 对照组肾结石患者并发症发生率为2.00%,观察组患者为20.00%,观察组患者并发症发生率显著增高,两组比较有统计学意义(P<0.05,表2)。
且
因此ft=ht,gt′=kt′. 即t是f,h的重合点, t′是g,k的重合点.
再证t=t′. 否则有Gp(t,t′,t′)>0, 则由式(1)得
令n→, 由F的性质可得
Gp(t,t′,t′)≤ F(aGp(t,t′,t′)+(1-a)Gp(t,t′,t′))=
F(Gp(t,t′,t′))<Gp(t,t′,t′).
(2)
式(2)与事实矛盾, 所以t=t′.
例1 设X=[0,), (X,G)是一个G-度量空间. 定义映象f,g:X→X如下:
分析:因x→0时,则待求极限分母为零。根据极限四则运算法则——分母的极限不为零。因此,可首先应用三角公式sin2x=-(cos x-1)(cos x+1)与分子cos x-1约分,使待求极限分母不为零,求出极限值。
令n→, 由F的性质可得
Gp(ft,t,t)≤ F(aGp(ft,t,t)+(1-a)Gp(ft,t,t))=
F(Gp(ft,t,t))<Gp(ft,t,t).
(3)
式(3)与事实矛盾, 所以ft=t.
同理可证gt=t. 所以有t=ft=ht=gt=kt, 即f,g,h和k有公共不动点.
下证唯一性 假设f,g,h和k有另一个有公共不动点z, 且z≠t, 则Gp(t,z,z)>0. 由式(1)可得
化简可得
同理可证h,k和f2有唯一公共不动点.
Gp(t,z,z)≤ F(aGp(t,z,z)+(1-a)Gp(t,z,z))=
F(Gp(t,z,z))<Gp(t,z,z).
(4)
式(4)与事实矛盾, 所以f,g,h和k有唯一的公共不动点.
推论1 设f,h是G-度量空间(X,G)中的两个自映象, 若映象对(f,h)是次相容的且相对连续, 则f和h有重合点. 此外, 如果∀ x,y∈X, 有
其中0<a<1, {α,β}⊂(0,1], p∈N*. 则f和h在X中有唯一的公共不动点.
12点丁主任开始回家做饭了,在家里进进出出,潘美丽坐在家门口的一截木桩上,懒洋洋地晒太阳。丁主任唤一声吃饭了,潘美丽伸个懒腰,扭着肥肥的屁股回去。
推论2 设f,g和h是G-度量空间(X,G)中的4个自映象, 若映象对(f,h)和(g,h)是次相容的且相对连续, 则
下面给出本文的主要结果.
(a) f和h有重合点; (b) g和h有重合点.
继电保护装置中的继电箱,电压切换箱等都是装置中的辅助设备,虽说它们都是辅助性设备,但在电力系统中,同样发挥了重要作用。
进一步, 如果∀ x,y∈X, 有
其中0<a<1, {α,β}⊂(0,1], p∈N*. 则f,g和h在X中有唯一的公共不动点.
证明 在定理1中, 令 k=h, 则可证得该结论成立.
定理2 设h,k和{fn}n∈N*是G-度量空间(X,G)中的自映象, 若映象对(fn,h)和(fn+1,k)是次相容的且相对连续, 则
(a) fn和h有重合点; (b) fn+1和k有重合点;
进一步, 如果∀ x,y∈X, 有
(5)
其中0<a<1, {α,β}⊂(0,1], p∈N*,F∈F. 则h,k和{fn}n∈N*在X中有唯一的公共不动点.
证明 当n=1时, 由定理1可得h,k,f1和f2有唯一的公共不动点, 设为t. 则t是h,k和f1的公共不动点, 也是h,k和f2的公共不动点.
我们可以在X中找到序列和 由定义易得
此结论与事实矛盾, 所以Gp(z,t,t)=0, 即t=z. 因此假设不成立, h,k和f1有唯一公共不动点.
玳安是贯穿全书的影子人物,他最常见的活动就是替西门庆打点风月之事,西门庆每一次的偷香窃玉几乎都带着玳安。作为西门庆的贴身小厮,玳安就像是一个忠诚的守卫者,替西门庆把住一切见不得光的事。
当n=2时, 由定理1可得h,k,f2和f3有唯一的公共不动点, 重复上面的方法可证得h,k和f3有唯一公共不动点. 以此重复下去可证得h,k和{fn}n∈N*有唯一的公共不动点.
注3 在本文的所有定理和推论中, 将条件中的次相容和相对连续分别换为相容和次序列连续, 结论依然成立.
参考文献:
1.2.3 咳嗽运动训练 患者可采用坐姿或半卧位,将手掌轻按胸部,当咳嗽时以手支撑,教会患者做一深吸气,自肺部深部咳嗽;连续3次短吸气后,咳嗽1声。
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