0 引 言

1950年，J.F.Nash提出了著名的Nash均衡概念，并利用不动点定理证明了均衡点的存在性定理[1]，随后，许多学者对Nash均衡点的存在性做了大量研究。文献[2]首先给出了均衡对的概念，并证明了限制广义博弈均衡对的存在性。均衡对是均衡点的推广和补充，它与两种不同的策略集有关，但又不是两个独立的均衡点，而是一个有机组合的新向量。近来，出现了许多有关均衡对的研究成果[3-5]，如文献[3]在赋范线性空间中用逼近点定理，证明了自由n人博弈的均衡对的存在性。文献[5]用不动点定理证明了最佳逼近对的存在性和自由n人博弈的均衡对的存在性。本文首先定义了序压缩以及序单调完备概念，在偏序Hausdorff拓扑向量空间中，证明了最佳逼近点的存在性。然后应用此结果及极大元原理，证明了自由n人博弈的均衡对的存在性。

1 最佳逼近点的存在性

本文中E表示Hausdorff拓扑向量空间。设X是E的一个非空子集，用2X表示X的所有非空子集的族，由coY表示Y在E中的凸包。设X和Y都是可度量化的拓扑向量空间(E,d)的非空子集，其中d表示空间E上的距离。对每一个x∈X，定义d(x,Y)和d(X,Y)inf{d(x,y):x∈X,y∈Y}。

为方便起见，先回顾偏序集的概念。设(E,≤)为偏序集，若存在x0∈E使得对所有的y∈X，有y≤x0，则称x0为子集X在E中的一个上界；若x0∈X，则称x0为X的一个最大元，表示为maxX。同样，可以定义X的一个下界和一个最小元。

如果子集Z⊂E的每个全序子集在Z中有上界(或下界),则称Z为归纳(或逆归纳)的。

机械加工车间能量消耗大是企业面临的关键问题，在生产过程中，调度作为一种降低车间能耗的有效方式受到了广泛关注，合理的调度方案可有效减少车间的能量消耗[1]。然而，如何在不牺牲完工时间、延期成本等传统目标的同时，实现车间节能优化调度，是绿色制造背景下亟待研究的问题。

定义1 如果点列{xn}⊂E是增的(即xn≤xn+1，n=1,2,…)，且存在一个元素u0≥θ(即E中的零元)满足，对任意ε>0，所有m>n≥n0，存在一个自然数n0使得

xm-xn≤εu0，

则{xn}称为一个序增基本列。

对应地可以定义一个序减基本列。序增序减基本列统称为单调基本列。

如果每个单调基本列是收敛的，则称E为序单调完备的(简称OM-完备)。

定义2 集值映射X→2Y称为上渐近增(减),如果u,v∈X且u≤v以及x∈X满足d(x,Tu)=d(X,Y)，则存在y∈X满足d(y,Tv)=d(X,Y)且x≤y(x≥y).

T称为下渐近增(减)，如果u,v∈X且u≤v以及y∈X满足d(y,Tv)=d(X,Y)，则存在x∈X满足d(x,Tu)=d(X,Y)且x≤y(x≥y).

对任意自然数p，由以上不等式有

设X,Y⊂E，定义

 

 

本文假设X0和Y0是非空的。

定义3 子集D⊂E称为渐近的，如果对每一个x∈E,集值映射

ΨD(x)={y∈D:d(x,y)=d(x,D)}

有非空值。

集值映射T:X→2Y称为有渐近值，如果对每一个x∈X，Tx是渐近的。

设T:X→2Y，u∈X，记

T-1u={x∈X:d(x,Tu)=d(X,Y)}

引理1 设T:X→2Y有渐近值，则对所有u∈X，有以下结论：

(1)Tu∩Y0非空当且仅当T-1u非空；

(3)存在一个元素z∈X使得z≤T-1z。

θ≤un+p-un=(un+p-un+p-1)+(un+p-1-un+p-2)+…+(un+1-un)≤

定理2 设E是一个OM-完备偏序Hausdorff拓扑向量空间，X0是逆归纳的，X→2Y是一个上渐近减集值映射且满足以下条件：

(4)如果E是线性空间，则T-1u是X0的一个凸子集。

目前部分企业的管理模式落后，而抄核收的各项环节都紧密相关，前项工作的错误就将造成整个工作出现误差。因为管理模式落后，各项环节抄表、核算以及收费等没有统一的标准，并且不能对存在的数据进行核对，导致电力营销工作效率下降。管理人员应该有所针对，着重对薄弱环节进行加强，例如，优化用户耗电数据的总结环节，依据实际情况，辅之合理的梯度抄核收标准，规范各项工作的管理流程，改变落后管理模式的现状。

证明 若存在y∈Tu∩Y0，则存在x∈X使得d(x,y)=d(X,Y)。注意到y∈Tu，有d(x,Tu)≤d(X,Y)；另一方面，d(x,Tu)≥d(X,Y)是显然的。因此d(x,Tu)=d(X,Y)，故x∈T-1u。因而T-1u非空。反之，若存在x∈T-1u，则d(x,Tu)=d(X,Y)。因T有渐近值，故存在y∈Tu使得d(x,y)=d(x,Tu)=d(X,Y)，这表明y∈Y0，即Tu∩Y0非空。引理1的结论1成立。引理1的结论2—4显然是成立的。证毕。

定理1 设E是一个OM-完备偏序Hausdorff拓扑向量空间，X0是归纳的，X→2Y是一个上渐近增集值映射且满足：

(1)存在一个常数β∈(0,1)使得T-1v-T-1u{y-x:x∈T-1u,y∈T-1v}≤β(v-u)，其中，u,v∈X0且u≤v；

(2)T有渐近值；

(3)存在一个元素z∈X使得z≤T-1z。

当前我国能源与环境问题日益突出，国家正在大力推进能源转型的发展。随着新一轮电力体制改革和能源供需格局的变化，我国的能源生产和消费革命势在必行。2017年10月，国家相关部委出台了《关于促进储能技术与产业发展指导意见》，明确了促进我国储能技术与产业发展的重要意义、总体要求、重点任务和保障措施。指导意见指出，储能是智能电网、可再生能源高占比能源系统、“互联网+”智慧能源的重要组成部分和关键支撑技术[1]。加快储能技术与产业发展，对于构建“清洁低碳、安全高效”的现代能源产业体系，推进我国能源行业供给侧改革、推动能源生产和利用方式变革具有重要战略意义。

则T至少有一个最佳逼近点x*。进而，存在一个增序列{xn}使得{un}收敛于x*，其误差估计为

且z≤ω。

证明 由定理1的条件3知，存在x0∈T-1z使得x0≥z。设u0=x0，则u0∈T-1z。因T是上渐近增，可知T-1是上增的。因此存在u1∈T-1u0使得u0≤u1。重复这个过程，可得一个增序列{un}使得un+1∈T-1un，n=0,1,2,…。

注意到X0是归纳的且{un}⊂X0，因此，{un}在X0中有一个上界ω。由定理1的条件1，有

θ≤un+1-un≤β(un-un-1)…≤β n+1(ω-z)

T称为渐近增(减)，如果它同时是上渐近增(减)和下渐近增(减)。

(2)T-1u⊂X0；

 

(1)

对ε>0，0<β<1，可以找到一个自然数n0使得对n≥n0，有β n+1<ε(1-β)。因此，对n≥n0以及任意自然数p，有

θ≤un+p-un≤ε(ω-z)

也就是说，{un}是一个序增基本列，又因E是OM-完备，故{un}是收敛的。设显然有un≤x*，所以对n=1,2,…，有T-1un≤T-1x*.因为un∈T-1un-1，则存在ωn∈T-1x*使得un≤ωn。由式(1)可知，对n=1,2,…，有

在此还应特别提及各级教研组织的力量．例如，中国特有的“教研员”在这方面就具有特别重要的作用：“中国有专门的包含省、地（市）、县（区）等各级教研室的教研工作管理系统，这个系统中的教研员通过有计划的、形式多样的教研活动，组织不同层级的课例研究，从而为中国教师专业发展提供有效支持．”[9]

θ≤ωn-un≤β(x*-un-1)

当n→∞，对以上不等式两边取极限，有又因T-1有闭值，故x*∈T-1x*。也就是说，x*是一个最佳逼近点。

对式(1)，当p→∞,可得误差估计。证毕。

下面的结论对应于定理1。

有闭值，即对u∈X，T-1u是X的闭值；

(1)存在一个常数β∈(0,1)使得T-1v-T-1u{y-x:x∈T-1u,y∈T-1v}≤β(v-u)，其中，u,v∈X0且u≤v；

(2)T有渐近值；

晓渊砚兄曩以吾师《梅岭课子图》属题，余阅之珠玑满幅，自名公巨卿以及一时诸名士题咏殆遍，复何用不文者为，故迟迟未有以应命也。不料十余年间，世局沧桑，时变无穷。晓渊遂解组归里，以继先人遗志，吟诗撚稿，挂瓢枝上，优游梅岭下。以是知吾师之教泽长也，爰缀数语以志景慕。

则T至少有一个最佳逼近点x*。进而，存在一个减序列{xn}使得{un}收敛于x*，有误差估计为其中，ω∈X0且z≤ω。

定理2的证明过程与定理1的证明过程类似，所以不再叙述定理2的证明过程。

注：如果用“下渐近增(减)”代替“上渐近增(减)”，定理1和定理2的对应结果显然是成立的，仅仅是将一些假设作出相应的改变。

2 均衡对的存在性

回顾自由抽象经济和均衡对的概念[1]。设I是有限(无限)集，表示地点或参与人,对i∈I，设Xi和Yi均为非空集，分别表示生产商品和销售商品；定义自由广义博弈Γ=(Xi,Yi,Ai,Pi)i∈I四元对(Xi,Yi,Ai,Pi)之族，其中，Xi和Yi是E的非空子集；为约束函数，为效益函数；点对称为Γ的一个均衡对，如果对有且Ø.

当Xi=X,i∈I时，在自由广义博弈Γ=(X,Yi,Ai,Pi)中，可以简单地假设Ai:X→2Yi而不是当I={1,2,…,n}，可称Γ为自由n人博弈。

设I是有限(无限)集，i∈I，设策略集Xi是拓扑向量空间的非空子集，为效益函数，则称(Xi,Pi)i∈I为定性博弈[3]。如果对i∈I，有Ø，则称点为此博弈的一个均衡。

在证明自由n人博弈的均衡对的存在性之前，需要下面的引理，它只不过是文献[6]中定理3的一个特殊情况；

3.发挥专业优势，做强外部市场。要对模板台车、防水板铺设台车、管棚钻机、挖装机等产品市场进行认真分析，筛选具有竞争优势的专业化产品，通过自主经营和代理销售等营销手段，积极参与外部市场竞争，扩大外部市场占有率；要利用钢结构施工一级资质的优势，加强与集团公司内部施工单位的合作经营，拓展外部市场。

引理2 设Γ=(Xi,Pi)i∈I是一个定性博弈，给定i∈I，假设

来自华夏幸福基业股份有限公司产业发展集团的副总裁关玮雅女士做了“打造产业集群，服务智能制造”的主题演讲，她热情欢迎与制造业的企业家寻求共同发展之道，华夏幸福正以产城融合的新模式不断赋能制造业。

1.1 制定农机作业质量标准和建立严密的监督检查制农机作业的加工对象是作物、土壤、种子、肥料、农药等，各种机械作业因地、因时、因作物等客观条件的不同。必须依据各农艺技术要求，制定相应的“农机作业规程”或“农机作业质量标准”。以此满足一定的质量规范制定“农机作业质量标准”有利于农机作业质量的管理和统一。同时也便于群众监督。农业机械在生产作业中受“农机作业质量标准”的制约。不仅有利于农机作业质量的提高。同时可以使农机、农艺达到最佳结合，满足农业生产的需要，达到增产增收的目的建立严密的监督检查制度，是执行“农机作业质量标准”的有利保证。

是集值映射满足对x=(xi)∈X，有xi∉coPi(x)，且对在X上是开的。

则Γ有一个均衡点，也就是说，存在一个元素使得对i∈I，有Ø

本文的主要结果是定理3。

定理3 设E是OM-完备Hausdorff拓扑向量空间，X和Y是E的非空紧凸子集，X0是归纳的，设自由n人博弈Γ=(X,Yi,Ai,Pi)满足以下条件：

(1)Ai:X→2Yi是一个上渐近增集值映射且Ai有渐近值；

(2)对u,v∈X0,u≤v，设非空，若则存在常数β∈(0,1)使得(y-x)≤β(v-u)；

一般来说，考虑到人和动物的差异以及人与人之间的“体质不同”，用这个剂量的1%来作为人的“安全剂量”。再根据人们每天可以吃到食物的最大量，来制定食物中的“安全上限”。可以说，基于目前科学对于农药的认识，只要不超过这一上限，那么可以认为没有健康风险。如果有新的科学数据出现，显示在更低的剂量下“也可能有害”，那么就会修改安全标准。

(1)Xi是Hausdorff拓扑向量空间的非空紧凸子集；

(3)支付函数Pi:Yi→2Yi满足:对y=(yi)i∈I∈Y且yi∈Yi<FounderNode name="WT" value="HX"/>非空，其中为非空集,这里

(4)存在一个元素z∈X使得

(5)对y∈Y,有yi∉coPi(x)且在Yi中开。

那么，Γ存在均衡对也就是说，对有

且Ø

证明 对i∈I,由定理3的条件2知，非空，从而存在x∈X使得d(x,Aiu)=d(X,Y)。由Ai有渐近值，故存在y∈Aiu，使得d(x,y)=d(x,Aiu)。因此，Ai满足定理1的所有条件，从而存在Ai的一个最佳逼近点即,其中⊂Yi，于是集合非空。容易看出是的闭凸子集。

采用常规护理干预。病人住院期间护理人员进行伤口处理、饮食指导、药物使用、镇痛护理、健康宣教等基础护理，出院后每2周电话随访1次，主要了解其康复近况并解答相关护理问题。

接下来证明存在点满足Ø，对y=(y1,…,yn)∈Y，定义集值映射

Φi(y)

为了验证Φi满足引理2的条件，本文将证明对在Y中开。注意到对任意y∈Yi,

 

 

因此考虑以下情况：

以血栓发生率及肺栓塞、血栓相关死亡率及放疗完成率为近期观察指标。3年、5年生存率及局部控制率为远期观察指标。参照 WHO 实体瘤客观疗效评定标准进行评价，治疗前及放化疗结束后每3个月行彩色多普勒超声、盆腔MR等影像学检查，进行效果评估，分为完全缓解（CR）、部分缓解（PR）、稳定（SD）和进展（PD）。局部控制率=CR+PR+SD。

当有

 

 

当y∉有

 

因为是闭的且是开的,所以在两种情况下，对是开的。由定理3的条件5，对y∈Y,yi∉coPi(y)使得yi∉coΦi(y).因此，Φi满足引理2的所有条件，故对i∈I，存在一个最大元使得Ø。因为对y∈Y<FounderNode name="WT" value="HX"/>非空，所以存在使得对Ø。证毕。

《饥饿艺术家》更像是关于拯救的一个恰如其分的喻体。饥饿艺术家把自己像一只动物一样关在笼子里不吃不喝，以这种自虐展览作为自己的饥饿艺术。刚开始，好奇的人们还像举行盛大仪式那样围在他笼子前观看。很快，热情褪去的人们就开始对他熟视无睹，没有几个人愿意在他的笼子前停留；即使是专门为他饥饿艺术记数的工作人员都忘记了他的存在，直到他死去了才被人发现。

综上所述，高血压合并非永久性房颤患者采用缬沙坦联合氟伐他汀治疗，可有效降低房颤负荷，抑制心肌重构，减少永久性房颤的发生，改善预后。

3 结束语

本文主要研究了在偏序Hausdorff拓扑向量空间中最佳逼近点的存在性，并证明了Hausdorff拓扑向量空间中自由n人博弈的均衡对的存在性，使自由n人博弈有更广泛的应用。除此之外，还可以考虑非紧情况下自由n人博弈的均衡对的存在性。

参考文献

[1] NASH J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of The National Academy of Sciences, 1950,36(1):48-49.

[2] SRINIVASAN P S, VEERAMANI P. On existence of equilibrium pair for constrained generalized games[J]. Fixed Point Theory and Applications, 2004,2004(1):21-29.

[3] KIM W K, LEE K H. Existence of best proximity pairs and equilibrium pairs[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006,316(2):433-446.

[4] KIM W K, KUM S, LEE K H. On general best proximity pairs and equilibrium pairs in free abstract economies[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2008,68(8):2216-2227.

[5] KIM W K. Existence of generalized equilibrium pair in best proximity settings[J]. Applied Mathematical Sciences, 2015,9(93):4643-4652.

[6] DING X P, KIM W K, TAN K K. Equilibria of non-compact generalized games with L*-majorized preference correspondences[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1992, 164(2): 508-517.