0 引 言

裂纹损伤是钢筋混凝土梁(RC梁)最常见的病害。裂纹的存在使RC梁的承载能力和力学特性受到严重影响，甚至会造成灾难事故[1]。为了探讨裂纹位置及其深度对RC梁固有频率的影响，王丹生等[2]提出利用弹簧铰对裂纹梁进行特征值分析，但忽略了钢筋约束和裂纹尖端效应的影响。罗青松等[3]利用ANSYS建立了含裂纹预应力钢筋混凝土梁模型，从预应力大小、钢筋布置方式、裂纹深度和位置角度出发，探讨了裂纹梁的第一阶频率。H.I.Yoon等[4]基于Euler-Bernoulli梁理论分析了裂纹位置和裂纹深度对梁振动的影响。陈得良等[5]结合柔度系数与裂纹应力强度因子的关系，分析了考虑钢筋约束效应开裂混凝土梁的自由振动问题，并与文献[2]中的结果进行对比。易伟建等[6]从非线性振动特征识别角度出发，对含裂纹RC梁的自由振动问题进行了相关研究。李学平等[7]基于传递矩阵方法提出了一种计算任意位置处裂纹梁固有频率的方法。上述文献研究表明，裂纹的存在对RC梁的承载力和振动特性有很大影响，因此，对含裂纹的钢筋混凝土梁加固也成为学者们研究的焦点。于天来等[8]以实际工程为依托，对黏钢加固T梁的抗弯承载能力和抗剪承载能力进行了计算分析，验证了加固效果。常正非等[9]通过试验方法对采用碳纤维加固的受损混凝土框架节点的破坏过程进行了研究与分析。楼梦麟等[10]利用模态摄动法分析了FRP包裹RC梁在几种边界条件下的自振频率，分析结果表明该方法精度较高。陈岩等[11]研究了裂纹对RC梁动力特性的影响规律，并引用非线性弹簧建立含裂纹梁的简化动力模型。胡白香等[12]通过有限元方法对碳纤维加固RC梁在集中简谐荷载下的动力响应进行了分析，并得到了含裂纹梁的动荷载幅值-频率曲线。

本文基于Euler-Bernoulli梁理论，引用文献[12-14]中提出的应力影响因子函数模拟裂纹对其附近应力、应变的影响，推导得到FRP加固含裂纹RC梁在简谐荷载作用下的动力学微分方程，并讨论在单激励或双激励简谐荷载下，裂纹深度、裂纹位置、钢筋约束效应以及FRP对RC简支梁动力响应的影响。

1 控制方程推导

如图1所示为FRP加固含裂纹RC简支梁模型，梁长l，梁高2d，梁宽2b。RC梁受压区钢筋面积为AS1，受拉区钢筋面积为AS2，其与中心轴的距离分别为ZS1和ZS2。

 

为便于分析，设所有材料为理想均匀弹性材料，且做如下假定：

(1)FRP应力沿厚度方向均匀一致。

(2)纵向应变沿截面高度呈线性变化，满足平截面假定。

(3)钢筋与混凝土、FRP与混凝土结合处的界面均无相对滑移。

(4)忽略剪切效应和黏接层效应对材料的影响。

(5)只研究微小裂纹情况，且裂纹为不闭合。

基于上述假定,FRP加固含裂纹RC梁的几何方程和物理方程为

 

(1)

式中：u，w为梁在x和z方向的位移；j=C，S，F，分别为混凝土、钢筋以及FRP。

对于有裂纹梁，裂纹影响因子TS为1；当梁上没有裂纹时，TS为0。因微小裂纹对混凝土的应力与应变的影响要远大于其对钢筋的影响，因此，考虑钢筋时的TS均为0。φ(x，z)为裂纹影响因子函数[12]，其表达式为

 

(2)

质量矩阵M、刚度矩阵K和广义力矩阵Q的表达式分别为

 

(3)

(4)

将式(5)-(7)代入钢筋混凝土梁的Hamilton能量变分方程

α2=ρCAC+ρS(AS1+AS2)+ρFAF。

 

(5)

ABS树脂的增韧机理为多重银纹及剪切带，橡胶粒子诱发银纹并阻止银纹的发展，多个橡胶粒子互相作用形成多重银纹，吸收能量，材料表现出韧性。当温度提高到一定程度，高分子之间自由空间加大，分子链段运到能力提高，分子链更加容易取向，在外力作用下更多的分子参与形变，形成剪切带，提高材料抵抗外力的能力。

(6)

(7)

式中：Tj、Uj(j=C，S，F)分别为混凝土、钢筋和FRP的动能和应变能；ρj(j=C，S，F)为混凝土、钢筋和FRP的密度；Vj(j=C，S，F)为混凝土、钢筋和FRP的体积；V为外力势能，q(x，t)为分布荷载。

(18)

 

(8)

式中：xPi为第i个简谐荷载的作用位置;Pi为第i个简谐荷载的幅值;ωi为第i个简谐荷载的频率。

1.5 统计分析 统计处理采用SPSS 19.0统计软件。本研究描述性分析用频数、构成比表示，专家积极系数用问卷回收率(应答率)表示，专家权威程度用Cr表示，专家意见的协调程度用变异系数表示。

12岁生日那天，楚艳拿着自己积攒已久的零花钱买了一本《中国世界时装之苑》杂志，这是中国上世纪80年代第一本铜版纸彩色印刷的时装杂志。刚一翻开，那些世界级时装大师的作品就映入眼帘，独特新颖的设计，超强气场的模特，精美充满质感的礼服，给年幼的楚艳带来了极大的震撼。当时楚艳就暗下决心，长大后一定要成为一名服装设计师，亲手做出美丽的服装。后来，楚艳如愿考入北京服装学院，能够近距离地触碰梦想的影子，在身边人看来，这仿佛是天注定的。

FRP加固含裂纹RC梁各材料部分的动能、应变能和外力势能的表达式为

δ(T-V-U)dt=0，

(9)

式中：T，U，V分别为系统的动能、应变能和外力势能；t为时间变量。

T，U的表达式为

 

(10)

将式(10)代入式(9)，则可得到FRP加固含裂纹钢筋混凝土梁谐振微分控制方程

 

 

学者张维强在《解放区职业教育发展概论》中对解放区的职业教育进行了一定的研究。他按时间顺序从第一次国内革命战争时期、第二次国内革命战争时期、抗日战争时期、解放战争时期四个阶段，来阐述解放区28年职业教育发展史。解放战争时期，各新老解放区职业教育事业的较大发展，不仅为解放区培养了大批专门的建设人才，加快了解放战争的胜利进程，而且为新中国建设的发展奠定了较好的人才基础。[10]随着中华人民共和国的成立，各新老解放区的职业教育事业进入了一个新的发展阶段。

(11)

式中,EC ，ES，EF分别为混凝土、钢筋和FRP的弹性模量，且有

回热系统级数越多，汽轮机放热温度越低，汽热循环热效率就越高，一般而言，回热系统增加1级，汽轮机热耗率下降0.15%～0.25%[6-7]。维持锅炉给水温度不变，1000 MW超超临界汽轮机采用9级回热系统，THA负荷工况热耗较常规8级回热系统下降约19 kJ/kWh(0.26%)[8]。在实际应用中，随着回热系统级数不断增加，热效率的增长幅度逐渐放慢，相对收益逐渐减少，而运行却更加复杂，机组可靠性下降。1000 MW等级一次再热超超临界汽轮机的回热系统级数不超过9级[9]。

 

(12)

式中：zSi为钢筋到中心轴的距离，且i取1和2；zF为FRP到中心轴的距离。

2 问题求解

式(11)即为FRP加固含裂纹RC梁在外激励荷载作用下的动力学方程。对于简支梁，根据分离变量，可设式(11)的解为

w(x，t)=W(x)T(t)，

(13)

式(13)中

 

(14)

将式(13)和式(14)代入式(11)中，则有

2.1 一般护理 入院当天对患者、家属进行健康教育，保持创面清洁、避免受压、摩擦、搔抓、水洗等刺激，勿沐浴，加强营养摄入，给予高蛋白、高维生素饮食。

 

(15)

式中：α1为含变量x的函数;α2为常数。

α1=ECf(x)+ES[fS1(x)+fS2(x)]+EFfF(x)，

表7为重砂5产品通过浮选分离出云母和非云母两类的结果，目的是查明铷在这两类产品分离过程中的走向趋势。由表7数据可以看出，铷主要富集于云母精矿中。由于本次研究中重砂5的浮选分离目的是研究铷的走向趋势，属于大致分离，云母精矿中杂质较多，云母精矿中铷含量并不代表铷精矿中铷含量。

将式(15)两边同乘以其中j=1，2，…，n。同时沿梁长积分，并以矩阵形式表达，则有

运用IBM SPSS 19统计软件进行分析，计量资料以均数±标准差表示，教学效果评价采用两独立样本Wilcoxon秩和检验，考核成绩采用两独立样本t检验，以P<0.05为差异有统计学意义。

 

(16)

式中，T=[T1，T2，…，Tn]，为n阶的列向量。

式中：xC为裂纹位置;a为裂纹深度;α为裂纹尖端应力的衰减率，常数，取1.276[15]；m为裂纹处应力沿横向线性变化的斜率；u(d-a-z)为Heaviside函数[13]。

综上所述，可以看到，我国银行业的高利润既有合理因素，也有不合理因素。本人认为，其主要原因还是我国金融制度的不完善和市场竞争的不充分，所以银行业的高利润是一种“畸高”，存在着诸多隐患。

(17)

对于作用简谐荷载，q(x，t)的表达式为

(19)

式中，[I]为n×n单位矩阵。

3 数值算例

从图2可以看出，在同一激励荷载作用下，裂纹深度的扩展将使梁跨中的位移响应随之变大。此外，a=0.02 m和a=0.04 m时，加固梁的位移响应增加相对较快，a=0.06 m时明显变缓。

3.1 单激励荷载作用时的动力响应

考虑在FRP加固RC梁跨中1/2处施加幅值P=8 kN、频率10 Hz的正弦荷载，且裂纹位置为梁跨中1/2处。当裂纹深度a分别在0，0.02，0.04，0.06 m时，加固梁跨中1/2处的位移响应如图2所示。

三是通过移动应用程序推广。该渠道适应了移动网络普及的新形势，但对技术要求相对较高，在移动应用数量大规模增长的条件下，单一景区旅游应用使用率普遍较低。

 

根据图1对含裂纹RC简支梁模型进行数值计算。梁参数：长l=2 m，高2d=0.2 m，宽2b=0.1 m。混凝土弹性模量Ec=2.8×104 MPa，混凝土密度ρC=2 000 kg/m3；钢筋弹性模量ES=2.1×105 MPa，钢筋密度ρS=7 850 kg/m3；FRP材料的弹性模量EF=2.4×105 MPa，FRP材料的密度ρF=1 550 kg/m3；梁内钢筋采用同一规格型号，2r=10 mm，钢筋距中性轴的距离zS1=zS2=0.06 m。裂纹距离支座左端距离为xC，裂纹深度为a，FRP材料厚0.23 mm。

3.2 双激励荷载作用下加固梁的动力响应

考虑在FRP加固RC梁的l/4和3l/4处均施加幅值P=8 kN、频率10 Hz的同频双激励正弦荷载，且裂纹位置为梁跨中l/2处。当取裂纹深度a为0，0.02，0.04，0.06 m时，加固梁跨中l/2处的位移响应如图3所示。而施加幅值P=8 kN、频率分别为10，20 Hz的异频双激励正弦荷载时，梁跨中l/2处的位移响应如图4所示。

 

比较图3和图2可知，在同频双激励正弦荷载和单激励正弦荷载作用下梁的位移响应基本相同，但由于荷载增加，同频双激励作用时的位移响应幅值要大于单激励时的位移响应幅值。图4中，因作用不同频率的双激励荷载，从而使得梁的位移响应曲线为不同于图3的异形正弦曲线。此外，对比图3和图4可知，在相同幅值荷载的激励下，FRP加固含裂纹RC梁对不同激励频率的响应不同，异频双激励工况时的响应要小于同频双激励工况时的响应。

 

3.3 正弦荷载作用时的幅频响应曲线

当裂纹深度a为0，0.02，0.04，0.06 m时，FRP加固含裂纹RC梁在单激励和同频双激励荷载激励下的幅频曲线分别如图5和图6所示，其中频率为10 Hz。从图5-6中可知，当外激励荷载频率接近基频时，加固梁会发生共振；且在不同裂纹深度时，梁的刚度不同；在发生共振的频率区间，裂纹深度的变化对梁动力响应的影响较大，随着裂纹深度增加，梁的共振频率减小。当外激励荷载频率远离基频时，裂纹深度的影响变小直至达到一致。此外，图5和图6对比显示，单激励荷载作用下加固梁的共振频率要小于双激励荷载作用下的加固梁共振频率。

 

 

3.4 裂纹位置对加固梁的动力响应的影响

为讨论裂纹位置对FRP加固含裂纹RC梁的动力响应的影响，考虑在梁跨中l/2处施加幅值P=8 kN、频率10 Hz的外激励正弦荷载，且裂纹深度a=0.02 m，裂纹位置对梁跨中l/2处位移响应的影响如图7所示。

 

由图7可知，在外激励正弦荷载作用下，裂纹位置向梁两端变化，FRP加固含裂纹RC梁跨中的位移响应随之减小，裂纹位置xC= l/3和xC= l/5时，裂纹梁跨中的位移相比裂纹位置xC= l/2时的位移分别减小了2.94%和5.75%。由此可知，当裂纹位置xC位于梁跨中l/2时，梁的位移响应幅值最大，当裂纹位置xc=l/3处时次之，而在xC=l/5时最小。

3.5 钢筋和FRP对加固梁的动力响应影响

为进一步探讨钢筋和FRP对梁动力响应的影响，考虑在梁跨中l/2处施加P=8 kN、10 Hz的外激励正弦荷载。图8-11给出了当裂纹位置在梁跨中l/2处，裂纹深度a分别为0，0.02，0.04，0.06 m时，考虑钢筋和FRP影响、不考虑钢筋影响、不考虑FRP影响3种情况下的梁跨中l/2处的位移响应图。

此类试题，在学生已经掌握一定的思维方法后，通过阅读、理解和分析文字素材或图表等形式，获取题干的信息，充分考查学生思维的灵活性、敏捷性和批判性。无论是“科学故事”还是科技论文，在命题时还关注学生的生命观念和社会责任的评价，联系社会生活实际或热点，渗透价值观教育，理解生物学于社会发展的意义。

 

 

 

 

由图8-11可知，在不考虑钢筋约束效应和FRP影响时的位移相比于同时考虑钢筋和FRP影响，a=0 m时，分别增大12.48%和2.20%；a=0.02 m时，分别增大为13.76%和2.13%；a=0.04 m时，分别增大为13.77%和2.01%；a=0.06 m时，分别增大为1.44%和1.95%。由此可知，当考虑钢筋时，加固梁的刚度将增大，当不计入钢筋时，FRP加固梁的位移响应相比其他两种情况要大；而忽略FRP影响时，加固梁的位移响应幅值与同时考虑钢筋和FRP作用时相近，且明显小于不计入钢筋时的位移响应幅值。由此可见，在对FRP加固含裂纹RC梁进行谐振动分析时，不能忽略钢筋约束效应的影响。

4 结 论

(1)在外荷载激励下，裂纹深度的扩展将使FRP加固梁的位移响应增加；裂纹位置在梁跨中l/2处时，FRP加固梁的位移响应值最大，且随着裂纹位置向梁端靠近时位移响应值逐渐变小。

参与方主要划分为三类:一是物流服务提供商;二是金融机构;三是链上的节点企业。这些企业包括上下游供应、经销商等。

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(2)在外激励荷载频率与FRP加固梁的基频相近时，梁会发生共振，裂纹深度的变化对荷载响应的影响较大，随着裂纹深度的增加，梁的共振频率减小。当外激励荷载频率远离基频时，裂纹深度对荷载响应的影响变小直至一致。加固梁在单激励荷载作用下的共振频率要小于双激励荷载作用下的共振频率。

(3)钢筋约束效应对FRP加固含裂纹RC梁的动力响应影响较大，对FRP影响相对较小。

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