0 引 言

图G的无循环边着色是一个映射c:E(G)→c={1，2，…，k}，满足：(1)c(uv)≠c(vw) (uv∈E(G))；vw∈E(G)；(2)图G不含双色圈。图G的无循环边色数是指对图G进行无循环边着色所用的最少颜色数，记作a′(G)，仅考虑有限，无向，简单图。设G=(V，E)是一个图,分别用V(G)，E(G)，Δ(G)，δ(G)，EG(v)，dG(v)，NG(v)表示图G的顶点集，边集，最大度，最小度，与顶点v关联的边集，顶点v的度以及与v相邻的顶点集合。未介绍的术语和记号见参见文献[1]。

图G的无循环边着色是在图的无循环着色基础上提出的,Alon等[2]提出了如下猜想：若G是任意图，则a′(G)≤Δ(G)+2，且Alon等[2]证明了a′(G)≤64Δ(G)，文献[4]给出了a′(G)≤16Δ(G)，Borodin[5]证明了一类图的无循环边色数a′(G)≤4.52Δ(G)，Basavaaraju等[6]证明当Δ(G)=3时，a′(G)=3或4。张卫标等[7]证明了对任意的伪Halin图G，当Δ(G)≠3，有a′(G)=Δ(G)。关于无循环边着色问题其他学者也取得了好的结果[8-12]。

签订“以师带徒协议书”后，“师傅”应制定年度学习培养计划及阶段性（月或季度）学习培养计划，并按学习计划指导、督促、考核培养对象的学习情况，阶段考核由企业或施工项目部考核小组组织实施，以确保考核的严肃性和真实性。只有通过阶段考核的人员才能在培养期满后参加公司统一的转正定级考核，对于不能通过阶段考核或不能通过公司组织的转正定级考核的人员，培养期将延长一年，“师傅”仍需无偿培养，同时“师傅”的职称评定、职务晋升将受到一定的影响。

本文从图的结构性质出发，对系列平行图进行分类，利用数学归纳法和换色技巧，给出系列平行图的无循环边色数上界，同时利用穷尽染法，确定Meredith图的无循环边色数。

5）输出调整：根据控制寄存器来实现对流水迭代单元计算出的结果进行调整，使任意象限的输入值计算后能恢复到该象限上。

1 预备知识

定义1[13] 在图G的边uw上插入一个顶点v(v∉V(G))，得到的图G*称为G的一个剖分图，其中V(G*)=V(G)∪v，E(G*)=E(G) uw∪{uv，vw}，如果H1，H2是同一个图的剖分图，则称这两个图是同胚的。

定义2[13] 若图G不含与K4同胚的子图，则称图G为系列平行图，简记为SP图的剖分图。

定义3 设(u，v)是图G以顶点u为起点，以顶点v为终点的一条路，若从顶点u开始依次用颜色α，β给(u，v)路上的边交替着色，这样的路称为u，α，β，v双色路，记为(u，α，β，v)。

(IV)G中存在含顶点y的3-圈xyux和zyvx，使得dG(x)=dG(z)=2，dG(y)=4且

(I)G中存在两个相邻的2度点。

定义5[13] 设Petersen图的外圈顶点集和内圈顶点集分别为{p0，p1，…，p4}和{t0，t1，…，t4}。与pi，ti相对应的完全二部图Kk-1，k(k≥2)的二分化分别为Xi，Yi和Ui，Vi，其中按如下方式用Kk-1，k(k≥2)取代Petersen图的每个顶点，连接得到的k正则图称为Meredith，记为Gk。

 

定义6[14] 在一个排列i1，…，is，…，it，…，in中，如果仅将其中的两个数is，it位置互换，其余数不动，得到另一个排列i1，…，it，…，is，…，in，这种变换称为一个对换。

EKk-1，k(x1)={e11，e12，…，e1k}，EKk-1，k(x2)={e21，e22，…，e2k}，…，EKk-1，k(xk-1)={ek-1，1，ek-1，2，…，ek-1，k}，完全二部图Kk-1，k的无循环边着色定义为f:E(Kk-1，k)→{1，2，…，k}。

定义4 设c是图G的无循环边着色，(u，v)是图G以顶点u为起点，以顶点v为终点的一条u，α，β，v双色路，若c(uu′)=c(v′v)=α或β，其中uu′，v′v是(u，v)路上的边，则称这条路为u，α，β，v关键双色路，记为(u，α，β，v)。

采用四向最小二乘改善迭代速度和填充效果，但其固有的过度平滑和迭代过程中误差的传递问题仍需进一步解决，将最大相位梯度质量图和相位导数偏差质量图相结合，为四向最小二乘法的相位数据设置权重.最大相位梯度质量图能测量一定区域内包裹相位数据的梯度最大值，具有一定的残差点敏感性, 但它有时会将没有残差点的坡度变化快的相位数据可靠区域标记为低质量.相位导数方差质量图利用一定模板内的统计信息克服最大相位梯度图的缺点, 是一种相对可靠的质量图[16-19].利用两种方法的优点，弥补原有单一方法的不足，得到了一种新的可靠的质量图法.

(II)G中存在一个3-圈xuvx，使dG(x)=2，dG(u)=3，dG(v)≥3。

(III)G中存在一个4-圈uxvyu，使得dG(x)=dG(y)=2，且min {dG(u)，dG(v)}≥3。

行业精神是“一个行业在长期的发展实践中逐步提炼和培育形成，并为行业全体成员所认同的价值取向、理想信念、心理特征和精神风貌的总和”［3］。受互联网时代的冲击，传统行业间的界限正在日趋模糊，但各行业精神却在随着时代发展而不断充实新的内涵。“双一流”建设强调高校教师要有较高的思想政治素质和业务素质，并特别强调要“传承创新优秀文化”。我国行业特色型大学作为承担行业人才培养和供给的高等教育载体，必须承担“行业精神”传承的历史使命和责任，这也是各行业特色型大学“特色一流大学精神和大学文化”建设的重要组成部分和内容，因此，行业特色型大学教师要注重行业精神的培育与宣传。

min {dG(u)，dG(v)}≥3。

引理2[16] (Ving定理)设G是非空简单图，则Δ(G)≤χ′(G)≤Δ(G)+1。

2 主要结果

定理1 设Gk是一Meredith图，则a′(Gk)=Δ(G)。

证明 由于完全二部图Kk-1，k是Gk的一个子图，故a′(Kk-1，k)≤a′(Gk)。设X，Y是完全二部图Kk-1，k的二分划，其中X={x1，x2，…，xk-1}，Y={y1，y2，…，yk}。设

引理1[15] 设G是最小度不小于2的SP图，则下述情况至少有一种成立：

只需给出Gk的一个无循环边着色c:E(Gk)→{1，2，…，k}，对Meredith图中的每一个完全二部图Kk-1，k均用同样方式进行着色，然后对Kk-1，k中的k-1度顶点关联的一个边e进行着色，着色方式如下。

语文和传统文化的关系非常紧密。教师作为语文教学的引导者，肩负着培养学生的语文综合素养，传播中华传统文化的责任。教师一定要认识到传统文化中的精髓，自觉加强语文和文化修养，使语文课堂不但成为学生学习语文知识的课堂，而且也是学生接触和认识中华传统文化的重要课堂。

 

 

矩阵B第一行的元素是k个自然数的一个自然排列1，2，3，…，k-1，k，将第一行元素中的第一个元素1与它后面的元素依次对换，得到第二行；将第二行中的第一个元素2与它后面的元素依次对换，得到第三行；依次类推，将第k-2行元素中第一个元素k-2与它后面的元素依次对换，得到第k-1行。

主动调查取证。强化与公安机关以及生态环境等行政执法部门的联动，建立检察机关提前介入环境损害调查机制，充分发挥各自职能优势，共同开展现场勘查等调查工作。通过询问证人、现场勘查、暗中走访等方式进行明察暗访，听取群众意见，调查环境受损第一手资料。强化科技引领，积极探索运用便携式污染检测设备、无人机航拍，借助卫星遥感等新技术进行调查，获取、保全技术性证据，提高线索比对和取证固证水平。

在图Kk-1，k中，边aij用颜色bij进行着色，可以得到图Kk-1，k的一个无循环边着色。

设A=(aij)k-1×k，B=(bij)k-1×k，其中

设Meredith图中的任意一个完全二部图Kk-1，k的任意的一个k-1度顶点为w，令c(e)={1，2，…，k}c(EG(w))。在Meredith图中的任意以两个这样的边为起始边和终边的路之间至少有两条着不一样颜色的边，故不会形成双色圈。这样得到Meredith图的一个无循环边着色，再由Vizing定理，所以a′(Gk)=Δ(G)。

定理2 设图G是最大度为5的SP图(δ(G)≥2)，则a′(G)≤6。

证明 对图G的边数|E(G)|做数学归纳法，设c={1，2，…，6}，由引理1知，|E(G)|≥7。当|E(G)|=7，从图的结构可知，结论成立。设|E(G)|<m(m≥7)时，结论成立，下面验证|E(G)|=m时，结论成立。

对引理1分3种情况讨论，其中情形1和情形2中，a′(G)=5；情形3中，a′(G)=6。

情形1 图G中存在两个相邻的2度顶点x，y，NG(x)={u，y}，NG(y)={v，x}，构造新图G*=G-x+uy。显然|E(G*)|<m，由归纳假设和Vizing定理，G*可以用5种颜色进行无循环边着色，即c*：E(G*)→c*，下面将c*：E(G*)→c*扩充为图G的一个无循环边着色c，即c:E(G)→c。

令c(ux)=c*(uy)，c(xy)=α(α∈{{1，2，3，4，5}{c(ux)，c(yv)}})，由于c(ux)≠c(yv)，因此 ，边ux，xy，yv不着双色，故在图G中不存在(u，c(ux)，c(yv)，v)关键双色路，即得图G的一个无循环边着色，故a′(G)≤5，又由Vizing定理a′(G)≥Δ(G)=5，故a′(G)=5。

为了做好船舶轮机检验工作，需要明确船舶轮机检验相关内容：一是底层甲板的检查，在进行轮机这一部位检查时，要求检查人员将最下层机舱版打开，观察其中是否含有大量积水。如果出现积水问题时，表明海底阀存在不密实问题，或者机舱有关通路、尾轴密封系统等位置可能出现渗透现象，这种情况下会造成底层甲板有大量积水，会对船舶正常航行造成不利影响，是需要重点检查的部位。二是舵机房的检查，实际检查过程中，应首先对地板表面设置的防滑设备进行检查，确保其能起到安全防护作用，通常规定防滑设备包括安全扶手和围栏等。需要将舵机放置在储存柜中对其进行保护，要保证液压舵机容量满足动力系统运行需求量。

事实上，由归纳假设和Vizing定理，G*可以用5种颜色进行无循环边着色，即c*：E(G*)→c*，下面把c*：E(G*)→c*扩充为图G的一个无循环边着色c，即c:E(G)→c。

正断层是常见的断层形式，指断层上盘在重力或水平张力作用下沿着断层面向下运动。当周围土质硬度较低，管子在正断层斜拉作用下易发生拉伸破坏。该项研究利用ADINA有限元软件模拟管子在正断层位移错动及管道内压共同作用下的破坏变形，以此来研究不同内压对输液管道抗震性能的影响。

令c(ux)=μ(μ∈{{1，2，3，4，5}{c*(uv)，c*(vx)，c*(uy)}})，因为u是一个3度顶点，y是与u相邻的另一个顶点。因此，在G中无双色圈，即得图G的一个无循环边着色，故a′(G)≤5，又Vizing定理a′(G)≥Δ(G)=5，故a′(G)=5。

情形3图G中存在一个4-圈uxvyu，使得dG(x)=dG(x)=2，且min{dG(u)，dG(v)}≥3。如果uv∈E(G)，则与情形2类似；如果uv∉E(G)，令G*=G-y+uv。显然Δ(G*)=5，下面证明dG(u)=5，且dG(v)=5时，结论成立，当dG(u)<5或dG(v)<5时，结论亦成立。

工作在升压模式:DC-DC变换器输入为锂电池端,输出为直流电机,电机额定电压为30 V,额定电流为1.2 A。待锂电池较长时间放电后,两端电压降低,取整数电压点测量。测试结果如表4所示。

帝手策问曰：“吴兴徐馥为贼，杀郡将，郡今应举孝廉不？”坦对曰：“四罪不相及，殛鲧而兴禹。徐馥为逆，何妨一郡之贤！”又问：“奸臣贼子弑君，污宫潴宅，莫大之恶也。乡旧废四科之选，今何所依？”坦曰：“季平子逐鲁昭公，岂可以废仲尼也！”竟不能屈。[2](P2054)

事实上，由归纳假设，G*存在一个6种颜色的无循环边着色c*：E(G*)→c*，下面将c*：E(G*)→c*扩充为图G的一个无循环边着色c:E(G)→c。

令c(vy)=c*(vu)，c(uy)=γ(γ∈{{1，2，3，4，5，6}{c*(uz)}})，其中uz∈EG(u)。因为c(ux)≠c(uy)≠c(vy)，即在G中无法形成双色圈，即得到图G的一个无循环边着色，故a′(G)≤6。

证毕。

情形2 图G中存在一个3-圈xuvx，使得dG(x)=2，构造新图G*=G-ux。显然，Δ(G*)=5，下面证明dG(v)=5时，结论成立，当dG(v)<5时，结论亦成立。

定理3 设图G是Δ(G)≥5的SP图(δ(G)≥2)，则a′(G)≤Δ(G)+1。

农户资信掌握难度大，不利于小额农贷的推广。在一些地方，政府对农行健康发展参与程度低，村级组织职能弱化，加上农村社会信用服务体系建设滞后，农户资信评估机构缺位，农民居住分散，交通不便，导致银行对农户资信的了解相当困难。信息不对称，信贷人员相对不足，制约了小额农贷的全面深入开展。

赵大刚说：“昨天秦队让我去查那个标识的事，我跑了很多地方，发现这东西虽然不是很普遍，但是市场上还是有的，我在汉正街专卖一些流行饰品的小商店看到一些类似的，买了几个回来。”他掏出一大把饰物放在桌上。都与死者身上发现的那个类似，但都又不完全是，一是材质多数为铁制和塑料制品，二是标识上的纹路也不符合。秦明月想想说，这条线还要跟下去，建议送到省厅去检验一下再说。

证明 对图G的边数|E(G)|和最大度Δ(G)做双重数学归纳法。设c={1，2，…，Δ(G)+1}，由图的结构性质可知，|E(G)|≥Δ(G)+2。当|E(G)|=Δ(G)+2时，结论显然成立；当Δ(G)=5时，由定理1，结论成立。设当|E(G)|<m(m>Δ(G)+2)或Δ(G)<n(n≥6)时，定理成立。下面证明|E(G)|=m或Δ(G)=n时，定理成立，根据引理1，分3种情况证明：

情形1图G中存在两个相邻的2度顶点x，y，NG(x)={u，y}，NG(y)={v，x}，设G*=G-x+uy。显然Δ(G*)=Δ(G)且|E(G*)|<m，由归纳假设G*可用Δ(G)+1种颜色进行无循环边着色，即c*：E(G*)→c*，将c*：E(G*)→c*扩充为图G的一个无循环边着色c，即c:E(G)→c。

令c(ux)=c*(uy)，c(xy)=ρ(ρ∈{{1，2，…，Δ(G)+1}{c(ux)，c(yv)}})，由于c(ux)≠c(yv)，因此，边ux，xy，yv不着双色，故在图G中不存在(u，c(ux)，c(yv)，v)关键双色路，即得到图G的一个无循环边着色，故a′(G)≤Δ(G)+1。

情形2中G存在一个3-圈xuvx，使得dG(x)=2，令G*=G-ux。显然Δ(G*)=n且|E(G*)|<m，由归纳假设，G*可以用Δ(G)+1种颜色进行无循环边着色，即c*：E(G*)→c*，将c*：E(G*)→c*扩充为图G的一个用了Δ(G)+1种颜色的无循环边着色c，即c:E(G)→c。证明dG(v)=Δ(G)时，结论成立，当dG(v)<Δ(G)时，结论亦成立。

事实上，令c(ux)=τ(τ∈{{1，2，…，Δ(G)+1}{c*(uv)，c*(vx)，c*(uy)}})，因为u是一个3度顶点。y是与u相邻的另一个顶点。在图G中无双色圈，即得到图G的一个无循环边着色，故a′(G)≤Δ(G)+1。

情形3中G存在一个4-圈uxvyu，使得dG(x)=dG(x)=2，且min{dG(u)，dG(v)}≥3。如果uv∈E(G)，则与情形2类似；如果uv∉E(G)，令G*=G-y+uv。显然Δ(G*)=n且|E(G*)|<m，证明dG*(u)=Δ(G)且dG*(v)=Δ(G)时，结论成立，当dG*(u)<Δ(G)或dG*(v)<Δ(G)时，结论亦成立。

由归纳假设，G*存在一个用了Δ(G)+1种颜色的无循环边着色c*：E(G*)→c*，将c*：E(G*)→c*扩充为图G的一个用了Δ(G)+1种颜色的无循环边着色c:E(G)→c。

令c(vy)=c*(vu)，c(uy)=φ(φ∈{{1，2，…，Δ(G)+1}{c*(uz)}})，其中uz∈EG(u)。因为c(ux)≠c(uy)≠c(vy)，在G中无双色圈，即得到图G的一个无循环边着色，故a′(G)≤Δ(G)+1。

证毕。

//socket_read函数会一直读取客户端数据,直到遇见
, 或者字符.PHP脚本把这写字符看做是输入的结束符.

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