引言

混沌是非线性动力学系统中所特有的一种运动形式，是一种复杂的动力学行为，其对初始条件具有高度的敏感性。自从20世纪60年代 Lorenz提出第一个混沌系统以来[1]，混沌理论的研究和应用在许多领域取得了较大的成就。1999年，陈关荣教授等发现了Lorenz系统的对偶混沌系统即Chen系统[2]。2002年，吕金虎等提出了一类过渡系统即Lü系统[3]以及连接上述三个系统的统一混沌系统。2004年，刘崇新教授等提出了一类含有平方非线性项的Liu系统[4]；2005年，齐国元等人提出了具有三个交叉非线性项的Qi系统。另外，近年来，各种新混沌系统不断被发现和提出[5-11]，如分数阶混沌系统[5]、纠缠混沌系统以及含有隐藏吸引子的混沌系统等。新的混沌系统不断涌现，为混沌理论在图像加密[11]、通信保密、激光系统等方面的应用奠定了基础，构造混沌系统依然是系统应用的重点与热点[5-12]。

本文在已有三维混沌系统的基础上，增加一个常数项，重新构建了一类含有常数项的新三维混沌系统，分析了系统的平衡点及其稳定性。同时，通过对系统的Lyapunov指数谱、分岔图的数值仿真，研究了系统的混沌特性，发现该系统随参数的变化能在混沌和周期之间交替演变，且系统是通过倍周期分岔进入混沌状态的。本系统的提出与分析为新混沌在视频以及图像等多媒体领域的加密应用奠定了基础。

1 混沌系统模型与分析

1.1 混沌系统

本文重新构建一类新的含有常数项的三维混沌系统的动力学方程为：

 

(1)

其中x，y，z为三个基本状态变量，a，b，c，d为系统(1)参数，当a=38，b=6，c=20，d=15时，通过计算可得出系统(1)的三个Lyapunov指数分别为LE1=1.78，LE2=0.0，LE3=-14.36，因最大Lyapunov指数大于0，则系统(1)存在混沌特性，通过Matlab数值仿真，绘制出系统(1)的吸引子相图如图1所示。

 

(a)x-y相图 (b)x-z相图

 

(c)y-z相图 (d)x-y-z相图

图1 系统混沌吸引子

1.2 平衡点稳定性分析

令即

采用Bradford方法测定样品在595 nm处的OD值。检测标准蛋白在595 nm处的OD值，绘制成标准曲线(图 1)，得到线性方程 y=0.740 5x+0.458，R2=0.996。根据此方程测得对虾血细胞蛋白浓度为3.820 4 μg/μl，据此推算双向电泳的蛋白上样量。

 

(2)

其中a=38，b=6，c=20，d=15，从而解式(2)得系统(1)的两个平衡点为

 

 

Basketball was invented by a Canadian doctor named James Naismith，who was born in 1861.（篮球是一个名叫詹姆斯·奈史密斯的加拿大医生发明的，他出生于1861年。）

 

(3)

[1]Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos.Science，1963，20(2)：130-141.

[5]Liu C X，Liu L，Liu T，et al.A new butterfly-shaped attactor of Lorenz-like system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2005，23(5)：1671-1682.

同理，可求出平衡点s2所对应的特征值分别为λ1=-29.5，λ2=2.75+16.21i，λ3=2.75-16.21i。由于λ2、λ3为具有正实部的，根据劳斯判据可知平衡点s2为不稳定的鞍点。

2 Lyapunov指数谱和分岔图

为了进一步研究参数对系统的影响，本文通过系统Lyapunov指数谱与分岔图对系统(1)的动力学特性进行分析研究。

固定b=6，c=20，d=15，参数a变化时系统(1)的Lyapunov指数谱与关于状态变量x的分岔图如图2所示。从分岔图可以观察出，当a∈[26.8，40.4)时，系统处于混沌状态，此区间系统(1)的最大Lyapunov指数大于0；当a∈[40.4，45)时，系统处于周期状态，此区间系统(1)的最大Lyapunov指数等于0；图2(a)Lyapunov指数谱与图2(b)相一致。从图2(a)分岔图也可观察出系统(1)具在混沌和周期之间交替演变，且系统是通过倍周期分岔进入混沌状态的，脱离混沌的方式一样。为了进一步验证通往混沌的道路，将其参数a变化下相图进行仿真，如图3所示。图3(a)为单周期，图3(b)(d)为二周期，图3(c)为多周期。

 

(a)Lyapunov指数谱 (b)关于x的分岔图

图2 a变化时系统(1)的Lyapunov指数谱与关于x的分岔图

 

(a)a=25 (b)a=28

 

(c)a=38.2 (d)a=41

图3 参数a变化下的相图

固定参数a=38，c=20，d=15，参数b变化的Lyapunov指数谱与关于状态变量x的分岔图如图4所示。从图4(a)可观察出，当b∈[3.2，16.2)时，系统的最大Lyapunov指数大于0，则系统处于混沌状态；当b∈[16.2，20)时，系统的最大Lyapunov指数等于小于0，系统处于周期状态。图4(b)的分岔图与图4(a)Lyapunov指数谱相一致，从图4(b)可知系统是通过倍周期分岔进入混沌状态的。

 

(a)Lyapunov指数谱 (b)关于x的分岔图

图4 b变化时系统(1)的Lyapunov指数谱与关于x的分岔图

固定参数a=38，b=6，d=15，参数c变化的Lyapunov指数谱与关于状态变量x的分岔图如图5所示。从图5(a)的Lyapunov指数谱可知，当c∈[10，12.8)时，系统最大Layunov指数小于0，可以判定系统处于稳定态(平衡态)；当c∈[12.8，28.6]时，系统的最大Lyapunov指数大于0，则此区间系统处于混沌状态；当c∈(28.6，35]时，系统的最大Lyapunov指数等于0，系统处于周期状态。图5(b)分岔图与Lyapunov指数谱相一致，从c值减小的方向看系统通往混沌的道路为倍周期方式。

在平衡点s=(x0，y0，z0)处线性化，得系统的Jacbian矩阵为

 

(a)Lyapunov指数谱 (b)关于x的分岔图

图5 c变化时系统(1)的Lyapunov指数谱与关于x的分岔图

3 结论

本文在已有三维混沌系统的基础上，增加一个常数项，构造了一个含有常数项的新三维混沌系统，分析了系统的平衡点及其稳定性。同时，通过对系统的Lyapunov指数谱、分岔图的数值仿真和分析可知，参数a，b，c，d的变化影响着系统的状态，系统随参数的变化能在混沌和周期之间交替演变，系统的动力学特性十分丰富，本系统的提出与分析为新混沌在视频以及图像等多媒体领域的加密应用奠定了基础。

植株样品：将田间植株样本剪切成1 cm以下的小段或切碎，在不锈钢盆中充分混匀，用四分法缩分样品，分取2份200 g的样品，分别装入封口样品容器中，粘好标签，贮存于-20 ℃冰柜中保存。

[6]G Tigan．Analysis of a 3D Chaotic System[J]. Chaos，Solitonsand Fractals，2008，36：1315-1319．

把平衡点代入式(3)，得到三个特征值分别为λ1=-29.5，λ2=2.75+16.21i，λ3=2.75-16.21i。由于λ2、λ3为具有正实部的，根据劳斯判据可知平衡点s1为不稳定的鞍点。

[2]Chen G.Ueta T.Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and chaos，1999，9(7)：1465-1466.

互望了一会后，我觉得在略显空旷的公车中当唯一站着的人实在很怪，便继续往车尾跨出一步，然后把书包和袋子放上行李架，在她右侧5 0公分处坐下。

主爆孔：孔径90mm、间排距4m×3m，单耗0.4g/m3，堵塞长度 3.0m，单孔装药量 40kg。

[3]L J H，Chen G R. A new chaotic attractor coined [J].International Journal of Bifurcation and chaos，2002，12(3)：659-661.

[4]Liu C X，Liu T，Liu L.A new chaotic attractor[J].Chaos，Solitons and Fractals，2004，22(5)：1031-1038.

集体备课可以有效提升教师的专业素养，特别是对青年教师群体业务能力的锻炼.集体备课的主要目的就是发挥教研组全体教师的集体智慧，老教师提供经验方法，年轻教师贡献教学新思路，共同优化教学设计，提高教学质量.与此同时，集体备课可以为教师提供交流的平台，便于课程教学策略与改革方案的实施.

以“人才共育，过程共管，责任共担，成果共享”为原则，该专业根据行业发展变化，依托合作企业不断优化专业培养模式、拓展专业工作领域。经过几年建设，在夯实原有合作企业(联想、神州数码、思科等)的基础上，开拓出众多新的合作企业(上海云轴、福立盟、中佳、华为、浪潮、普华基础软件等)。开设了“网络管理”“网络工程”“网络优化”“计算机外设维护”“云计算”共五个专业方向。专业方向、岗位与合作企业关系如表1所示。

参考文献：

[7]周小勇.一种具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统及电路仿真[J].物理学报，2010，59(1)：131-139.

[8]李春来，禹思敏，罗晓曙.一个新的混沌系统的构建与实现[J].物理学报，2012，61(11):127-136.

[9]Zhen Wang，Wei Sun，Zhouchao Wei，et al. Dynamics and delayed feedback control for a 3D jerk system with hidden attractor[J]. Nonlinear Dynamics，2015，82(1-2)：577-588.

根据CH/T 9008.3—2010《基础地理信息数字成果1∶500、1∶1 000、1∶2 000数字正射影像图》的规定，山地高山地数字正射影像图平面精度为0.8 mm(图上)，即实地精度要求为1.6 m。通过各个像控点布设方案的精度统计情况可以看出，像控点布设最密集的方案二精度统计情况最好，没有坐标差超限的检查点。方案四的精度统计情况最差，且有一个检查点坐标差超限。按各个像控点布设方案进行测量和生产数字正射影像图，其成果均能保证精度要求。

[10]Wei Z C. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J]. Physics Letters A，2011，376(2)：102-108.

[11]彭再平，王春华，林愿，等. 一种新型的四维多翼超混沌吸引子及其在图像加密中的研究 [J].物理学报，2014，63(24):101-110.

[12]黄沄，罗明伟，张鹏.一种含有常数项的新超混沌系统及其FPGA实现[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2015，32(1)：116-120.