1 引 言

经典弹性理论的主要研究对象是具有相同拉伸和压缩弹性行为的问题。然而，在实际工程中，许多材料与结构都在不同程度上表现出拉压不同的弹性性质。材料方面，如混凝土、石墨、玻璃钢和一些高分子聚合物[1-4]等，均具有拉压不同模量；除了材料本身具有拉压不同模量的特性外，某些结构自身的构型特征决定了即便使用拉压相同模量的材料，也会具有不同拉压性质，如已经在土建及航天航空等领域得到了广泛应用的索和膜结构[5-7]。当这类问题的拉压性质相差大到一定程度时，若仍采用经典的弹性理论和有限元方法进行分析计算，会产生误差甚至是错误。综上所述，针对这类典型问题进行准确计算分析及其精密设计时，迫切需要发展基于有限元的高效数值求解方法。

Ambartsumyan[8]将拉压不同模量材料的本构关系总结为双直线模型，系统地介绍了该问题的初始假定与基本方程，在此基础上提出了拉压不同模量的弹性理论[8,9]。近年来，由于工程问题求解以及理论发展的需要，不仅解析法[1,10-13]成功地应用到某些典型问题中，而且基于有限元法的数值求解技术也得到了相应的发展。其中，杨海天等[14，15]提出了基于初应力技术的有限元迭代格式，并建立了基于连续域蚁群算法的二维拉压不同模量反问题的数值求解模型；He等[16]利用一个平面应力数值算例，测试了一种针对拉压双模量问题的加速收敛方法；张洪武等[5，17]基于参变量变分原理与共旋法，建立一种高效的求解策略，用于双模量桁架结构与张拉整体结构几何非线性行为的分析。Ding等[6,7]同样基于参变量变分原理，分析了薄膜起褶这一现象。

拉压不同模量问题究其根本为材料本构方程的不连续性，从而导致此问题具有强非线性。牛顿-拉夫逊格式因其具有收敛速度快、收敛稳定及编程简单等优点，已在ANSYS和ABQUS等大型有限元软件中成功地应用于很多非线性问题的求解，无论在理论研究还是工程应用方面，均取得很好的效果。因此，本文为了快速准确地求解拉压不同模量问题，借鉴文献[18]的策略，采用改进的Heaviside函数将材料本构方程连续光滑化，并推导连续化后的切线刚度矩阵，最后基于牛顿-拉夫逊格式进行求解，并将相应的算法应用于大规模计算问题的分析与设计中。

本刊讯 为深入贯彻落实党的十九大和十九届中央纪委二次全会精神，进一步加强省人大机关廉政教育工作，12月5日上午，省人大机关邀请省委党校二级巡视员、机关纪委书记张传武为党员干部做了《中国共产党纪律处分条例》（以下简称《条例》）解读专题辅导。省人大各专门委员会负责同志，常委会机关党组成员，机关和珍珠泉宾馆党员干部共150人参加会议。省人大常委会副秘书长、机关党委书记王守涛主持会议。

2 拉压不同模量问题的数值求解

2.1 拉压不同模量问题的介绍

拉压不同弹性模量问题中，主应力和主应变的关系矩阵可表示为

 

(1)

式中 εI={,,}为主应变向量，向量中的元素,和分别为三个主应变为主应力向量，和分别为三个相应主应力；A与D0互为逆矩阵，分别为主方向柔度和刚度矩阵。

根据拉压不同模量的基本原理，柔度矩阵A的元素可表示

 

(2)

式中 Et,μt，Ec和μc分别代表拉压弹性模量和相应的泊松比，下标t代表拉，c代表压，且假设μt/Et=μc/Ec。不难看出,拉压不同模量问题的本构方程实质是一个非连续阶梯函数,为了便于采用牛顿-拉夫逊格式进行求解，本文采用如下改进的Heaviside函数来光滑连续化这一阶梯函数。

 

(3)

拉压不同模量本构关系及其光滑连续化如 图1 所示。可以看出，改进的Heaviside函数中，参数ξ越大，本构方程光滑性连续性越强，但是函数所表达的本构关系就会越不准确，因此在有限元迭代计算中，一开始选取数值比较大的ξ，随着迭代的进行，不断减小ξ，以保证本构方程不失真，并设置即为ξ的下限值，具体的迭代格式将在后文中作详细地介绍。

需要补充的是，主应力是全应力矩阵σM的特征值，其特征方程如下，

 

(4)

 

图1 采用改进Heaviside函数近似本构方程

Fig.1 Approximated material behavior using the modified Heaviside function

式中 全应力矩阵σM可表示为

 

(5)

式中 相应的特征向量{l1,l2,l3}T,{n1,n2,n3}T 和{m1,m2,m3}T分别为三个主方向角{α,β,γ}与初始笛卡尔直角坐标轴{x,y,z}的余弦。

与应力矩阵相对应的全应力向量为

σ= {σx x,σy y,σz z,σx y,σy z,σz x} =

{σ1,σ2,σ3,σ4,σ5,σ6}

(6)

为了公式的简明，下标一律采用阿拉伯数字，全应力向量σ与主应力向量之间的关系还可表示为

σ =T σI

(7)

相应地，全应变向量可表示为

根据牛顿-拉夫逊迭代格式，方程(17)的求解格式可表示为

{ε1,ε2,ε3,ε4,ε5,ε6}

(8)

且全应变ε和主应变εI = {,,}的关系为

εI = TTε

(9)

因此，将式(1,9)代入式(7)可得，全应力向量和全应变向量之间的关系为

σ =T D0TTε =D(σI)ε

(10)

式(7,9)的转轴矩阵T定义为

 

(11)

式中 li,mi和ni(i=1,2,3)分别为式(4)特征向量的元素。

2.2 切向刚度矩阵

基于有限元方法的基本原理，拉压不同模量问题的非线性方程组可表示为

σi = Di j εj =T k iT l j εj

(12)

式中 自由指标i =1,2,…,6，哑指标j=1,2,…,6，k,l=1,2,3。推导切线刚度张量，即推导式(12)关于应变张量的导数，结果如下，

 

 

(13)

式中 自由指标i,m =1,2,…,6，哑指标j=1,2,…,6，k,l =1,2,3。∂/∂εm为主方向刚度张量关于应变张量的导数，∂Tl j/∂εm为转角张量关于应变张量的导数，接下来将着重介绍这两项具体的计算列式。

第一项∂D0k l/∂εm可表示为

 

(14)

式中 自由指标，k,l,m =1,2,3，哑指标p，q=1，2，3；D0为柔度矩阵A的逆矩阵，可以根据式(1,2)采用复合求导法则求得表示上一个迭代步的材料刚度矩阵中的元素。

第二项∂T l i/∂εm可表示为

 

 

(15)

式中 自由指标，i,m =1,2,…,6,k =1,2,3，哑指标p =1,2,3，q =1,2,…,6；∂T k i/∂lp和∂T k i/∂mp和∂T k i/∂np可以直接根据式(11)求得；与式(14)相同，式(15)中表示上一个迭代步的材料刚度矩阵中的元素。

SHY-2改造后钾钙基钻井液配方1#4%BTJ+0.2%TSN+0.3%QYHN+7%LHJ+0.8%MAN101+0.8%MAN104+0.5%FN-2+2%SHY-2+0.2%XY-27+0.5%DYGRHJ+0.5%SMF+3.5%KR-n+0.2%YHG+2%QCX-1+1%WC-1+BA；

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(i= 1,2,…,6) (16)

式中 σM为式(5)的全应力矩阵，E为6×6的单位矩阵。剩余的和 {∂mp/∂σq,∂np/∂σq}的计算列式与式(16)完全相同。

2.3 牛顿-拉夫逊求解格式

拉压不同模量情况下，应力的计算式(10)的张量形式为

K(U)U =F

(17)

式中 K(U)为结构整体非线性刚度矩阵，U为位移向量，F为外载荷向量。

利用VR技术虚拟环境（见图2），分析方案的合理性与科学性，并进行重点、难点、高风险点方案的决策。BIM设计可以进行可视化分析，还可以优化决策、降低风险、减少成本以及提高竞标方案的可行性[1]。

ε= {εx x,εy y,εz z,εx y,εy z,εz x} =

ΔU =- K -1t(P- F)

(18)

式中 ΔU为节点位移增量向量，P为结构整体节点内力向量，Kt为结构整体的切线刚度矩阵。整体切线刚度阵与整体节点内力向量分别由单元切线刚度阵与单元节点内力矢量组集而成，具体计算列式如下，

 

(19)

式中 Ket为单元切线刚度矩阵，Pe表示单元节点内力矢量，B为单元应变矩阵，ΔD为当前材料切线刚度矩阵。ΔD可依据式(13～16)进行计算，D为当前材料刚度矩阵，D可依据式(10)进行计算。

牛顿-拉夫逊迭代格式为

(1) 给定初始参数ξ,κ,Z和假设E=Ec或E=Et或E=(Ec+Et)/2。

(2) 计算结构整体刚度矩阵K，形成结构外载荷向量F，求解K U=F。

(3) 根据U计算每个单元的切线刚度矩阵和Pe，并计算求解ΔU=-K-1t(P -F)。

西地那非是欧洲泌尿外科协会(European Association of Urology，EAU)指南推荐治疗勃起功能障碍(erectile dysfunction，ED)的一线治疗药物，能安全有效的改善各种ED患者的勃起功能[1]。早泄 (premature ejaculation，PE)是临床上最常见的男性性功能障碍，其患病率高达20%～30%[2]。有研究表明，30%～50%的ED患者同时存在PE[3]。为探究西地那非治疗合并PE的ED患者的临床疗效及安全性，我们对合并PE的ED患者应用按规律联合按需服用西地那非疗法进行了临床观察，现报告如下。

(5) 判断是否成立，成立则终止迭代计算；否则，ξ= ξ/Z，回到步骤(3)。

3 算 例

算例1 受水平载荷的平面应力问题

选取文献[17]的经典算例以验证本文方法的有效性。该算例属于平面应力问题，且本文均采用二维平面问题作为算例。本文所有计算公式均以三维空间问题为研究对象，只需将计算式中三维问题的矩阵与向量更换为二维问题的矩阵与向量即可。

为了形成鲜明的对比，本文采用与文献[16]相同的几何和物理参数以及有限元网格参数设置等，如图2所示，抗拉模量Et=2.2 GPa，抗压模量Ec=3.32 GPa，相应的泊松比分别为μt=0.22与μc=0.332，以满足μt/Et=-μc/Ec。

将ξ初始值设置为1.0，随着迭代计算的进行，不断更新ξ，使得ξ= ξ /Z，直到迭代终止。可以看出，参数对于计算结果具有至关重要的影响。因此，以6号节点的水平位移作为观测对象，讨论不同的对计算结果的影响，列入表1。可以看出，随着不断减小，本文方法所得的解趋近于文献[17]的解析解，验证了本文方法的有效性。需要补充的是，从迭代终止步数的增加可以看出，参数的值与求解计算量密切相关，因此应足够小。本算例迭代参数设置列入表2。

 

图2 受水平载荷的平面应力问题

Fig.2 Plane -stress problem under the horizontal load

分别采用文献[17]与本文方法求解图2所示有限元模型，两个方向的位移和各单元主应力的计算结果分别列入表3和表4。可以看出，本文所得解与文献[17]吻合，从而证明了本文方法的正确性。表5 给出了在选取不同控制误差时，文献[17]中所述的求解策略和本文方法所需的迭代次数。可以看出，本文方法具有良好的收敛性，且效率较高。虽然采用本文方法求解此算例所需迭代终止步数稍多于文献[17]的方法，但本文方法每一迭代步只需求解线性方程组即可，而文献[17]需要求解计算规模较大的线性互补问题，因此本文方法更加适用于大规模问题的求解。

表1 不同下的6号节点位移

Tab.1 Displacement of node 6 with varying

  

ξ-迭代次数ux(本文)ux(文献[17])1×10-12-0.283981×1021×10-23-0.324754×1021×10-33-0.376413×102-0.425152×1021×10-44-0.406229×1021×10-55-0.415338×1021×10-66-0.425147×102

表2 迭代参数

Tab.2 Iteration parameters

  

ξ(初始)ξ-Z11×10-620

 

表3 节点位移Tab.3 Displacements of nodes

  

节点水平位移/μm竖直位移/μm文献[17]本文文献[17]本文100002-0.247327×10-1-0.247335×10-1-0.201055×101-0.201036×101300004-0.101218×102-0.101224×102 0.872082×101 0.872068×1015-0.109312×102-0.109319×102-0.408509×101-0.408521×1016-0.425152×102-0.425147×102-0.392228×101-0.392216×101

 

表4 单元主应力和主方向Tab.4 Principal stress and principal direction of elements

  

单元第一主应力/kPa第二主应力/kPa主方向角度/(°)文献[17]本文文献[17]本文文献[17]本文1-1.06680-1.066687.865427.8676728.728.621.114561.11474-8.20702-8.20695-30.1-30.331.200581.20046-2.53778-2.5358138.738.746.948706.947956.396086.3948943.843.6

表5 不同控制误差下求解所需迭代次数

Tab.5 Iterative numbers for different control error

  

κ迭代次数文献[17]本文κ迭代次数文献[17]本文1×10-1361×10-711155×10-2461×10-813151×10-2581×10-914165×10-36101×10-1016161×10-36111×10-1117181×10-59141×10-1218191×10-610141×10-132022

算例2 拓扑优化设计(单纯受压)

以计算规模最大拓扑优化设计问题为例，验证本文方法计算效率高和求解速率快的特性。

式(14，15)中主应力关于全应力的导数∂/∂σq与主方向余弦关于全应力的导数{∂lp/∂σq,∂mp/∂σq,∂np/∂σq}涉及特征值与特征向量求导，利用文献[19]的求导方法，列式如下,

如图3所示，60 m×71 m的矩形结构作为初始设计区域，4个角点均约束固定。根据结构几何形式、载荷分布情况以及边界条件的对称性，本文设计时只取右半边作为设计域，中间一层单元作为非设计区域，用于承受均布的压力载荷1 kN/m。设计目标函数采用结构柔顺性最小化，以获得刚度最大化的设计，材料用量不超过整个设计域15%；抗压模量Ec =210 GPa，泊松比μc=0.3，为了避免数值奇异性，令Ec = Et/106，因此μc = μt/106，且迭代求解参数仍选用表2的数据。

如图4所示，单纯受压结构的拓扑在设计过程中的演化，仅需45步即可得到非常清晰的拓扑形式。可以看出，由于采用了单纯受压的材料模型，在整个设计过程中承载面之上的区域材料基本为空，几乎所有的材料都布置在承载面之下来承受压力。最优的拓扑形式如图5所示，设计结果为经典的下承式拱桥结构，与文献[20]中设计结果的拓扑形式基本相同。且根据表6的数据对比可知，本文所提出的方法很大程度上提高了计算效率与求解精度。

 

图3 初始设计区域

Fig.3 Initial design domain

 

图4 单纯受压结构拓扑随迭代步演化过程

Fig.4 Iteration histories of structural topology with compression-only material

 

 

图5 单纯受压结构最优拓扑

Fig.5 Optimal topologies of the structure with compression-only material obtained by using different methods

表6 不同方法所获得的计算结果

Tab.6 Results obtained by different method

  

方法迭代次数单步运算时间/s目标函数本文452816.84e-2文献604267.27e-2

4 结 论

本文基于牛顿-拉夫逊求解格式，提出了拉压不同模量有限元求解方法，主要策略在于光滑连续化了本构方程，在此基础上利用特征值与特征向量的求导方法推导了切线刚度矩阵的列式。数值算例证明了本文方法的正确性，并采用拓扑优化设计算例进一步验证了本文方法在稳定性和效率上的优势。

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图像截获：在图像获取过程中，电动数字化三维C型臂X线机的抓帧器以约10帧/s来截获图像，受试者在上述两种运动过程中可被截获的图像数量约为400幅。

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A compact difference scheme for the coupled nonlinear Klein-Gordon equations

(4) 判断‖Δ U‖ <κ是否成立，成立则进行步骤(5)；否则，U = U+ΔU，回到步骤(3)。

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这类词在现代汉语中被称为“离合词”，离合词在现代汉语中为数不多，因为许多词是不能插入其他成分的。“A了个B”就相当于在离合词中间插入了动量成分。然而，在网络用语中，许多网络词语或日常用语，依靠于“A了个B”这一个能产性非常强的成词结构格式，产生了大量的网络新词。如“不勒个是吧”“果了个然”“善了个哉”“喵了个咪”等等。

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观察组护理问题的提出评分（46.32±2.96）分，护理措施方案评分（45.38±3.21）分，均高于对照组护理问题的提出评分（40.08±3.17）分、护理措施方案评分（40.26±2.95）分，差异均具有统计学意义（P＜0.05），见表2 。

[11] He X T,Chen S L,Sun J Y.Applying the equivalent section method to solve beam subjected to lateral force and bending-compression column with different moduli [J].International Journal of Mechanical Sciences,2007,49(7):919-924.

(5)对各种需要预先准备的管材等，要求施工单位提前加工制作；对进场材料进行现场验收，检查材料的质保书、检测报告、合格证。

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经调查，大部分学生课余时间会利用微信看一些娱乐新闻，但有的甚至利用微信传播暴力和色情等信息，严重危害了大学生的身心健康。因此，高校应引导大学生正确使用“微媒体”，应利用“微媒体”建立学习平台或做一些有意义的事情。

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3.1.1 LCC模型[9]土地资源承载力反映的是区域人口与粮食的关系，可以用一定粮食消费水平下，区域粮食生产力所能供养的人口规模来度量，公式如下：

洋桔梗喜欢温暖、霜期短、稍干燥的环境条件，最适温度15～25 ℃，低于5 ℃或高于42 ℃几乎停止生长，属长日照植物，要求每天日照16 h为佳[2]。闽西北年平均气温17.9 ℃，最热月(7月)平均气温24.9 ℃，极端最高温为38.5 ℃，最冷月(1月)平均气温5.6 ℃；常年平均日照时间为1603.9 h；≥10 ℃的年积温在5015～5157 ℃之间；全年无霜期253～280 d，基本适合洋桔梗生长。