1 引 言

变厚度板作为一种承载结构元件，在土木、海洋、机械、核工业和航空航天等工程中具有较为广泛的应用。变厚度板与等厚度板相比的优势是其能改善板结构元件的承载能力，减小其重量和几何尺寸，同时也可以改变其振动的固有频率[1]。因此，变厚度板或弹性地基上变厚度板振动问题的研究一直得到关注，已有许多研究成果[2-6]。工程实际中通常见到的弹性地基大多是均匀的[7]，但也会遇到非均匀弹性地基的情况，例如高层建筑筏基和含填充物弹性地基等。因此，对非均匀弹性地基上构件的静动力学行为进行研究是必要的。

无论是变厚度板还是非均匀弹性地基上的板，其自由振动问题的控制微分方程均是变系数偏微分方程，一般边界条件下很难求得其解析解，故目前大多采用近似方法求解，如有限元法[8]、Levy解法[9]、模态约束法[10]和Ritz法[11]等。但是上述方法中，有些需要较多的网格和较大的计算量才能达到需要的精度，有些则对边界的适用性较差。微分变换法DTM(Differential Transform Method)是一种有效的将线性或非线性微分方程变换成代数方程求解的半解析方法，最初用于对电路问题的分析[12]，近年来DTM也逐渐用于结构的静动力学响应求解，且具有较高的计算精度和计算效率，所得结果完全能满足工程方面的要求。Attarnejad等[13]采用DTM研究了转动变截面Euler-Bernoulli梁的自由振动，并给出了转速参数和锥度比对梁固有频率的影响。Kaya等[14]采用DTM分析了轴向载荷作用下闭截面复合材料Timoshenko梁弯扭耦合的振动特性，考察了弯扭耦合效应、轴向力和梁的细长比对固有频率的影响。Kaya[15]推导了旋转Timoshenko梁自由振动问题的运动控制微分方程，并用DTM进行求解，给出了轮毂半径、转动惯量、剪切变形和转速对梁固有频率的影响。滕兆春等[16]用DTM研究了弹性地基上变截面梁的自由振动。Yalcin等[17]用DTM研究了在简支、夹紧和自由边界条件下圆薄板的自由振动，并给出了具有较高精度的无量纲固有频率。Kumar[18,19]采用DTM分别分析了Winkler弹性地基上各向同性矩形板和晶体矩形板的自由振动，得出了前三阶无量纲固有频率。

本文采用DTM研究非均匀Winkle弹性地基上变厚度矩形板的自由振动特性。首先，通过经典薄板理论，推导非均匀Winkle弹性地基上变厚度矩形板自由振动的控制微分方程，并进行无量纲化。其次，通过DTM将无量纲化的控制微分方程及其边界条件转换为等价的代数方程，进行其代数方程的数值求解，并将退化后的数值结果与已有文献进行比较，验证DTM的正确性。最后，在不同边界条件下，分析地基变化参数、厚度变化参数和长宽比对矩形板无量纲固有频率的影响，并给出了非均匀Winkler弹性地基上对边简支对边固定变厚度矩形板的前六阶振型。

2 控制微分方程及参数的无量纲化

如图1所示，考虑一放置在非均匀Winkler弹性地基上的变厚度矩形板，并建立笛卡尔直角坐标系，板的长度和宽度分别为a和b，厚度为h，本文用k表示地基弹性刚度系数。

为了简化计算，该地基弹性刚度系数和矩形板的厚度只沿x方向线性变化，即

k(x) = k0[1+α(x/a)]

(1)

h(x) = h0[1+β(x/a)]

(4) 本文虽然只考虑了地基刚度系数线性变化的Winkler弹性地基上板的厚度沿单向线性变化的情况，但求解过程能完全推广用于各种边界条件下地基刚度系数任意变化的Winkler地基上厚度任意变化矩形板的自由振动问题或双参数等弹性地基上变厚度矩形板的自由振动问题，为矩形板的工程应用提供依据。

(2)

式中 k0为x= 0处地基弹性刚度系数，α为地基变化参数,h0为x= 0处矩形板的初始厚度，β为厚度变化参数。

根据经典薄板理论，变厚度矩形板在非均匀弹性地基上的小振幅横向自由振动的控制微分方程为

 

 

(3)

式中 w(x,y,t)为板的横向位移，t为时间，ν为各向同性板的泊松比，为质量密度，D=E h3/12(1-ν2)为板的弯曲刚度。由经典板振动理论，矩形板的横向位移可表示为

 

(4)

式中描述了板的振动模态，称为形函数,ω为板的固有圆频率，将式(4)代入式(3)可得

 

图1 非均匀Winkler弹性地基上变厚度矩形板

Fig.1 Rectangular plates with variable thickness resting on a non-uniform Winkler elastic foundation

 

 

(5)

式中 λ = a/b为矩形板的长宽比，再取为无量纲地基模量，为无量纲固有频率。将式(5)无量纲化为

 

 

 

K(1+αX)W = (1+β X)Ω2W

(6)

已知，在Y = 0，Y = 1处为简支边界条件(S),于是振型函数为

W = F(X)sin(m πY)

(7)

运用式(7)，控制微分方程(6)可简化为常微分方程

 

 

 

K(1+α X)F=(1+β X) Ω2F

(8)

在边界X = 0，X = 1处，可为固定边界条件(C)、简支边界条件(S)或自由边界条件(F)，其无量纲边界条件分别如下。

固定(C)边界条件：

F = 0， dF/dX = 0

(9)

简支(S)边界条件：

F = 0， d2F/dX2 = 0

(10)

自由(F)边界条件：

d2F/dX2-ν λ2m2π2F = 0

对dm(hkl)随1-3cos2ψ的变化关系进行线性拟合，拟合图见图3.可以看出，拟合结果符合晶格应变理论[14-15]提出的线性关系.

 

 

(11)

3 无量纲控制微分方程及边界

条件的DTM变换

本文运用DTM对非均匀弹性地基上变厚度矩形板的自由振动进行求解，首先需要将其控制微分方程和边界条件转化为等价的代数方程，具体变换规则可参考文献[12]。

运用DTM，控制微分方程(8)可变换为

 

 

 

(12)

式中

A0 = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

A6 = 3β2λ4m4π4， A7 = β3λ4m4π4

A2 = [3β2(k-1)k-2λ2m2π2+12β2k+6β2]×

(k+1)(k+2)

A3= [β3(k- 2)(k- 1)k-6β λ2m2π2k+6β3(k- 1)k-

6β λ2m2π2+6β3](k+1)

围术期医学，是指贯穿于包括术前优化、术中安全、术后康复在内的整个围手术期的医疗活动，其中心内容在于关注围术期患者的整体状况，特别是生命器官和生命系统的功能维护，以降低围术期并发症发生率和死亡率。

A4 = [-6β2λ2m2π2(k-1)k+λ4m4π4+K-Ω2-

父母在教育孩子的过程中更多要靠引导，引导的关键在于给孩子选择空间，但同时要让孩子明白：他必须为自己的选择承担责任。

12β2λ2m2π2k-6ν β2λ2m2π2]

A5 =- 2β3λ2m2π2(k-2)(k-1)+3β λ4m4π4-

近年来随着我国经济的发展，带动了科学技术水平的提高，我国的医学技术水平也有了较大的提升。同时电子计算机网络技术的巨大发展促进各行各业在技术上有了很大的突破，医学影像学在医学领域中的地位也显著提高[1]。由于近年来许多新兴的影像设备投入到医疗市场中，传统的放射技术已经被新兴的影像技术所取代，使得医学影像技术逐渐提高，为诊断医师提供了更加清晰明了的可用于诊断的图像。医学影像技术方面的改进，可以对疾病进行更加清晰的显示，提高疾病诊断的正确率，以期为患者带来更佳的疾病诊断治疗服务。

6β3λ2m2π2(k- 1)-6ν β3λ2m2π2+α K - β Ω2

翻开菜谱更是一股文艺气儿扑面袭来，不仅每页都有老北京的各种历史介绍、地名典故、过年习俗，连每道菜的名字下方都配有不同的诗词歌赋，尽显文艺气息，突然想起那句：“你吃的不是饭，是文化”。

A1 = 3β(k+1)(k+2)2(k+3)

为F(X)的微分变换式，其中再将式(12)转化为如下的递推形式。

 

 

 

 

(13)

运用DTM，边界条件变换如下，

在X = 0处，

简支(S)边界条件：

1.1.2 5771R 2002年春以埃塞俄比亚芥细胞质的甘蓝型油菜品系572R为母本，与甘蓝型油菜双低品种湘油13Y(从湖南省大面积油菜生产区引进的湘油13中的1个选系)进行杂交，采用常规杂交育种程序经过8代的连续定向选择，于2007年育成埃塞俄比亚芥细胞质的甘蓝型油菜双低优质常规品系(隐性核不育的恢复系)5771R，其为贵州省农业科学院油菜研究所自育材料。

 

(14)

固定(C)边界条件：

 

(15)

自由(F)边界条件：

where the diagonal matrices consist of the 2K largest and the Me?2K smallest eigenvalues of,respectively.is the signal subspace matrix which corresponds to the 2K largest eigenvalues of.Whenis of full rank,also spans the column space of the GAM matrix ,which yields

 

 

(16)

在X = 1处，

简支(S)边界条件：

 

(17)

固定(C)边界条件：

因此在一些法律技术的具体操作上，应有一个统一而细致的规定。嫖宿幼女罪是指行为人对长期多次从事卖淫活动的幼女实施的性交易行为。这里我们细究来看:对“长期”的认定，可以是指从事卖淫活动在1～5个月或以上时间;“多次”可以是从事卖淫5次或5次以上;“性交易”指以物质手段为交换进行的卖淫活动，而卖淫中的性行为应作扩大解释，除阴道性行为以外，还包括边缘性行为和非阴道性交以获得性快感的类似性行为。

 

(18)

自由(F)边界条件：

 

 

 

 

(19)

将式(13)分别代入边界条件式(14,17)、式(14,18)和式(14,19)，分别求解SSSS，SSCS和SSFS边界条件下的无量纲固有频率，则

 

 

(20)

式中 X(n)11，X(n)12，X(n)21和X(n)22为迭代n次得到的含有未知量无量纲固有频率Ω的多项式，写成矩阵的形式为

 

(21)

要使式(21)有非零解，则

本文通过对现阶段自动气象站在农业发展中所起到的作用入手，结合相关防雷措施，对自动气象站的防雷技术进行研究发现，只有通过采取合适的措施，提高自动气象站的防雷效果，才能实现农业的进一步发展。

 

(22)

通过式(22)，可求得无量纲固有频率Ω。

在CSCS，CSSS和CSFS边界条件下，同理可得含有未知量无量纲固有频率Ω的特征方程，写成矩阵的形式为

 

(23)

在FSCS，FSSS和FSFS边界条件下，同理可得

 

(24)

式中

 

要使式(23，24)有非零解，必须有

从图4可以看出，翠绿色样品的主要矿物组成为伊利石和绢云母[3]，对应的XRD半定量含量分别为90.89%和9.11%。

 

(25)

为了控制求出的无量纲固有频率Ω的精度，有

|Ω(n)-Ω(n -1)|

(26)

式中 为迭代误差限，本文取 =0.000001。

4 计算结果及分析

通过编写MATLAB程序，可获得由DTM求解非均匀Winkler弹性地基上变厚度矩形板自由振动特征值问题的无量纲频率。首先，为了验证计算方法的正确性和精度，给出了两个算例，一是Winkler 地基上矩形板的自由振动(α = 0，β = 0)；二是变厚度矩形板的自由振动(K = 0，α = 0)。然后，分析地基变化参数α、厚度变化参数β以及长宽比λ对无量纲固有基频Ω的影响。

在我国社会经济不断发展的背景下，新农村建设项目成为了人们关注的重点。在农村建设的过程中，村庄的外貌等成为了建设的重要内容。农村建设要重点关注村庄的环境，还要关注乡村的具体特点。现阶段，我国的乡村地区建设的过程中缺乏合理和科学的规划指导，在具体实践的过程中衍生出了比较多的问题。这不仅不能进行合理的建设，也会出现资源的浪费，最终影响了农村的可持续发展。

表1给出了K =0，100和1000，λ =1，α= 0，β= 0时，9种边界条件下Winkler弹性地基上等厚度矩形板的无量纲基频Ω1，计算中迭代次数在 n =28时可达到所需精度，并在同样情况下与文献[9]的Levy法结合域分解技术解和文献[20]的精确解进行对比，其结果一致。表2给出了β=0.2和0.4，λ=1，K=0，α=0时，四边简支(SSSS)、一边固定三边简支(CSSS)和对边固定对边简支(CSCS) 边界条件下，变厚度矩形板前六阶无量纲固有频率Ω，计算中迭代次数在n= 65时可达到所需精度，并与文献[21]基于特征正交多项式的Rayleigh-Ritz法的解进行比较，结果也一致。表1和表2的计算结果验证了本文求解方法的正确性和适用性，又由于计算过程为代数方程的迭代求解且迭代误差限值很小，故DTM的计算效率和计算结果的精度较高。

 

表1 Winkler弹性地基上等厚度矩形板的无量纲基频Ω1(α =0,β =0,λ=1)Tab.1 Dimensionless fundamental frequency Ω1 for rectangular plates with constant thickness on Winkler foundations (α =0,β =0,λ=1)

  

K求解方法无量纲基频Ω1SSSSCSCSFSFSCSSS/SSCSFSCS/CSFSFSSS/SSFS本文DTM19.739228.95099.631423.646312.687411.68450文献[9]19.737428.94419.6295723.642812.680811.6801文献[20]19.7428.959.6323.6512.6911.68本文DTM22.127730.629313.883925.673916.154515.3795100文献[9]22.126030.622813.878225.670616.134815.3665文献[20]22.1330.6313.8825.6716.1515.38本文DTM37.277842.873733.05739.486134.07333.71241000文献[9]37.276342.868633.037339.484334.018433.6670文献[20]37.2842.8731.6239.4934.0733.71

 

表2 变厚度矩形板的前六阶无量纲固有频率Ω(K=0,α =0,λ=1)Tab.2 First six dimensionless natural frequencies Ω for rectangular plates with variable thickness (K=0, α=0,λ=1)

  

边界条件β求解方法ΩΩ1Ω2Ω3Ω4Ω5Ω60.2本文DTM21.692054.160654.203886.7516108.0987108.3783SSSS文献[21]21.692054.160754.204786.7528108.761108.9320.4本文DTM23.609258.768558.926494.3755116.7343117.7453文献[21]23.609258.768758.928394.3773117.441118.1150.2本文DTM25.873157.019164.167394.7167110.4783124.0307CSSS文献[21]25.873157.019364.168294.7185111.138124.2060.4本文DTM28.038962.154569.5001103.0627119.9971134.4385文献[21]28.039062.154869.5016103.065120.708134.5120.2本文DTM31.786960.087776.1115103.8624112.0735141.7216CSCS文献[21]31.787060.087676.1121103.863112.719141.9000.4本文DTM34.523765.213682.6463112.8339121.3219153.8701文献[21]34.523765.213882.6479112.836122.016153.978

 

图2 不同边界条件下厚度变化参数β与无量纲固有基频Ω的关系曲线(λ=0.5，α=0.5，K=1000)

Fig.2 Dimensionless fundamental frequencies Ω versus the varied thickness parameter β for different boundary conditions(λ=0.5，α =0.5，K=1000)

图2给出了λ=0.5，α =0.5，K=1000时，四边简支(SSSS)、对边自由对边简支(FSFS)、对边固定对边简支(CSCS)、一边固定三边简支(CSSS或SSCS)、一边自由三边简支(FSSS或SSFS) 以及一边固定一边自由对边简支(CSFS或FSCS)边界条件下，无量纲固有基频Ω与厚度变化参数β的关系曲线。可以看出，在相同参数条件下，对边固定对边简支(CSCS)的无量纲固有基频Ω最大；对边自由对边简支(FSFS) 的无量纲固有基频Ω最小；不同边界条件下无量纲基频随厚度变化参数的下降趋势越来越缓慢，但是对边固定对边简支(CSCS)和一边固定三边简支(SSCS)的无量纲固有基频随β的增大在下降后又有上升的趋势。图3分别给出了在K=1000，λ=0.5和不同α时，四边简支(SSSS)、一边固定三边简支(CSSS或SSCS)以及对边固定对边简支(CSCS)边界条件下，厚度变化参数β与无量纲基频Ω的关系曲线。可以看出，四边简支(SSSS)和一边固定三边简支(CSSS)的无量纲固有基频Ω呈现下降趋势，且随β的增大，下降趋势越来越缓慢；一边固定三边简支(SSCS)和对边固定对边简支(CSCS)的无量纲基频Ω随β的增大先下降然后缓慢上升；当K，λ和β不变时，所有边界条件下的无量纲基频Ω均随α的增大而增大。图4分别给出了在K=1000，β =0.5和不同λ时，四边简支(SSSS)、一边固定三边简支(CSSS或SSCS)以及对边固定对边简支(CSCS)边界条件下地基变化参数α与无量纲基频Ω的关系曲线。可以看出，当K，β和λ不变时，无量纲基频Ω随α的增大而增大；当K，β和α不变时，无量纲基频Ω也随λ的增大而增大。

 

 

 

 

图3 不同边界条件下厚度变化参数β与无量纲基频Ω之间的关系曲线(K=1000，λ=0.5)

Fig.3 Dimensionless fundamental frequencies Ω versus the varied thickness parameter β for different boundary conditions (K=1000，λ=0.5)

 

 

 

 

图4 不同边界条件下地基变化参数α与无量纲基频Ω之间的关系曲线(K=1000，β=0.5)

Fig.4 Dimensionless fundamental frequencies Ω versus the variable foundation parameters α for different boundary conditions(K=1000，β=0.5)

[10] Horenberg J A G,Kerstens J G M.Transverse vibrations of rectangular plates on inhomogeneous foundations,part II:modal constraint method [J].Journal of Sound and Vibration,1985,101(3):317-324.

 

图5 对边简支对边固定板的前六阶振型

Fig.5 First six mode shapes for CSCS plates

5 结 论

本文通过运用微分变换法(DTM)研究非均匀Winkler弹性地基上变厚度矩形板的自由振动特性，并通过MATLAB编程计算出无量纲固有频率Ω。当地基变化参数α=0或厚度变化参数β=0时，将数值结果与已有文献结果进行对比，证明本文方法研究该问题可行并能达到较高的计算精度。最后，计算并分析了不同边界条件下地基变化参数α、厚度变化参数β和长宽比λ对矩形板无量纲固有频率的影响，并给出了非均匀Winkler弹性地基上对边简支对边固定(CSCS)变厚度矩形板的前六阶振型。得到以下主要结论。

(1) DTM求解非均匀Winkler弹性地基上变厚度矩形板的自由振动具有较强的适用性，又由于计算过程为代数方程的迭代求解且所选迭代误差限η值很小，故DTM的计算效率和计算结果的精度相对较高。

(2) 当无量纲地基刚度系数K、矩形板长宽比λ和地基变化参数α一定时，对边固定对边简支板(CSCS)的无量纲固有基频Ω最大；对边自由对边简支(FSFS) 的无量纲固有基频Ω最小。不同边界条件下无量纲固有频率基频Ω一般随厚度变化参数β增大而下降，且趋势越来越缓慢，但是对边固定对边简支(CSCS)和一边固定三边简支(SSCS)的无量纲基频在下降后又有上升的趋势。

3.1.6 手术结束时的护理 有些患者在麻醉苏醒时躁动明显，此时应固定好患者，适当约束其肢体，不让患者拔出中心深静脉导管或扯脱连接管。患者送出手术室前，应检查中心静脉置管处有无血肿、有无渗血渗液，输液是否通畅，导管固定是否妥善，是否重新更换敷料等，并给护送的护士和医师交接。

四川美丰化工股份有限公司总裁陈利，四川美丰化工股份有限公司副总裁、农资公司董事长王文，四川美丰农资化工有限责任公司总经理程东，四川美丰农资化工有限责任公司党委书记王琦翔和副总经理张子辉等美丰公司高层领导出席，与经销商一道共叙厂商发展新未来。峰会由农资公司副总经理张子辉主持。

参考文献(References):

(3) 四边简支(SSSS)、一边固定三边简支(CSSS或SSCS)和对边固定对边简支(CSCS)边界条件下，当无量纲地基刚度系数K和厚度变化参数β一定时，地基变化参数α越大，无量纲基频Ω越大；矩形板长宽比λ越大，无量纲基频Ω越大。

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在计算出非均匀Winkler弹性地基上变厚度矩形板的各阶无量纲固有频率Ω后，可根据无量纲固有频率Ω运用DTM反求出板的振型函数W(X,Y)= F(X)sin(mπY)。图5给出了在K=1000，ν =0.3，α =0.5，β =0.4和λ=1时，对边简支对边固定(CSCS)边界条件下非均匀Winkler弹性地基上变厚度矩形板的前六阶振型。

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