Acrobot是一种在垂直平面上运动的欠驱动两连杆机器人[1]。这种机器人由于在肘部关节减少了驱动装置，使得系统在重量、成本及能耗等方面具有很大的优势；同时驱动装置的减少也使得机器人的动力学模型受到二阶的非完整条件约束，因此要对其进行控制设计具有很大的难度[2]。

近二十年来，为实现Acrobot在垂直向上平衡点处的稳定控制目标，学者们进行了深入研究，提出了多种控制方法。具有代表性的结果可概括为二类，一类是控制无约束条件下的连续控制律[3-5]，另一类是控制受限下性能指标最优控制律 [6-8]。由于Acrobot非线性复杂，构造合适的Lyapunov去寻找合适的控制律没有明确的方法，需要很高的技巧。在控制受限条件下，可以利用极大值原理来求得控制律，但极大值原理所求控制律仅是性能指标最优的必要条件，并不能保证性能指标最优。关于性能指标最优控制，文献中常见的是时间最短MTC（minimum time control)作为性能指标[6-7]，针对其它形式的性能指标的控制律设计鲜有报道，也少见最优性能指标下的控制律的稳定性分析。

取时间与控制能量均衡最小为性能指标，讨论控制律的设计问题。考虑到起始区控制律仅能保证系统收敛至最大不变集，同时考虑在垂直平稳点附近连杆的姿态调整要求，将最优控制律切换至LQR，以确保运动过程平稳性。运用LaSalle′s不变集原理讨论了控制量有无约束二种情形下的最优控制律的系统稳定性，全局稳定性由切换定理保证。

1 Acrobot控制问题描述

Acrobot的模型结构如图1所示。其中mi（i=1，2），表示第i杆的质量，li是第i杆的长度，lci代表从i关节到i杆质心的距离，Ii表示为第i杆相对于质心的惯性，q1表示第一杆相对于垂直向上y轴的角度，q2表示第二杆相对第一杆的角度，τ2是作用在第二连杆上的控制力，g为重力加速度。

  

图1 Acrobot的模型结构

令 q=[q1，q2]T，Acrobot的动力学方程满足[1]

 

以文献[3]为例，结构参数 θ1=1.333，θ2=1.33，θ3=1，θ4=14.7，θ5=9.8。摇起区采用最优控制律为τ2=-λTb，初始条件 λ（0）=[-9，-10，10，7]T。

见三毛回到案板前和面去了，傻姑从树后转出来，盯着蒸屉直直地走了过去。她把蒸屉的竹盖掀开，一阵白雾呛得她往后退了一下。雪白的包子像一个个熟睡的婴儿一样，躺在蒸屉里向她发出召唤。她呆了半天，把手伸向一个中间点了一粒红点的包子，手被烫了一下，慌忙拿到嘴边吹了吹，雪白的包子上现出三指黑手印。“干什么？！”三毛抬起头扔掉手里的面团走过来。

 

式（2）中，

 

f3（x），f4（x），b1（x），b2（x）为非线性函数，它们分别为

 

下面讨论连续控制律式（11）下的稳定特性。设有某bang-bang控制律τ2使系统收敛到不变集，即（x）=Exx4τ2≤ 0。由式（14）知，-λTb 与 τ2同号，故Exx4τ2≤ 0→λTbExx4≤ 0，此意味式（10）的控制律也能使系统收敛至不变集。

2 控制器设计

为实现这一目标，本文采用最优控制的思想来设计来设计控制律。取性能指标为：

 

对应的Hamilton函数为

结合自己的“下水”心得和做题情境，我倾向于第三类同学的做法，因为有的放矢确实可以让阅读的目光变得更敏锐，提笔标画更有方向性和侧重点（其实关于不动笔墨不读书的道理不难懂，问题是——非知之艰，惟行之艰），不会出现要么没重点，要么处处是重点而变成没重点，耗时耗力，答题效率低下。

 

则J取极值的条件为[8]：

状态方程：

定理1 设控制率无约束，则优化性能指标（8）的控制律为

教育学生，需要家庭、学校、社会形成合力，这早已成为人们的共识。五年制高职的学生，都是初中毕业就进入职校，年纪尚小，正处于青春期，思想波动大。而且现阶段，职校招收的都是中考成绩较差的学生，很多学生及其父母，都有点“破罐子破摔”，自暴自弃。因此，五年制高职更需要加强家校合作，了解学生的成长环境，获得更好的教育效果。

 

由式（18），沿运动轨迹（2）计算 V（x）的关于时间的全导数，利用式（18），有

 

将τ2代入正则方程有

 

将上述讨论概括为下列定理：

正则方程：

 

其中参数λ满足式（9）。

在传统肥料销售中，渠道是命脉，渠道是生命力，渠道的品牌忠诚度是生存前提。但是，时下新型肥料群高歌猛进、自由结盟，农药、特肥、新型肥料相互技术结盟。新锐企业异军突起，特种肥料体量膨胀、推广人员急剧增长，借助密集营销方式，市场覆盖逐渐增大。同时，一些收储企业直接面对农户，并裹挟着农药、植保方式汇聚在肥料渠道中。在皖北、苏北等土地流转集中区域，一些种子企业的介入，直接改变了传统的农户消费方式，他们直接面对大户，“买他们的玉米和水稻种子都不要钱，以货易货，就像烟草包销的种植模式。”

从式（11）容易得到下列结论：

中国民族的体育文化具有较为深厚的文化底蕴，其独特的文化魅力能够促进我国文化强国的进步，并能够对我国发展体育事业产生积极影响。目前，我国要有效的构建体育强国，不仅要提升竞技运动成绩，还应在世界体育舞台中展现独特的体育文化，以此提升我国体育文化的影响力，从而提升我国文化竞争力。因此，在文化强国战略背景下，应将体育文化作为核心内容进行发展，并利用传媒推广体育文化，通过学校教育发展体育文化，以此有效促进体育文化的发展，构建文化强国。

推论1 设控制受约束则最优控制律为

 

对于时间最短性能指标MTC，即性能指标为

 

在式（12）中取β→0+，便有下列结论:

定理2 设则MTC问题的控制律为

 

这是众所周知的bang-bang控制。

至此优化控制问题转化为解其初始条件为x（0）=[π000]T，λ（0）（为待定参数），求解微分方程组（2）和（10）的问题。

3 稳定性分析

系统在任一位置的能量

新洋分公司农业生产实行“统一经营、团队管理、权责明晰、目标考核、科学管控”的经营管理模式，充分发挥国有农场发展现代农业的优势，实施农业产业化经营，有效提高经营效益。

 

其中：

 

将上式改写为状态空间形式，有

 

计算E（x）关于时间的全导数，有

 

构造Lyapunov函数

 

许多文献的研究表明，一般情况下，系统的不变集包含了垂直顶部不稳定平衡点，但并不能保证系统运动至不稳点，系统将在不变集上做周期运动，这种情况下，须采取另一种控制律打破这种周期运动，这种切换控制的稳定性由开关定律得以保证。一种较为常见的处理方法是，在系统运动至不变集过程中，当系统的状态变量满足线性化条件时，将系统线性化，采用线性系统理论来设计控制器[3][5]。线性系统理论已经成熟，这里不做过多讨论，线性化带来的误差处理方法可参见文献[5]。

控制方程：

 

定义符号函数

取τ2=-Msign（Exx4），则有（x）≤0。换言之，存在bang-bang控制律，使V（x）单调不增。由拉萨尔不变集原理[9]可知，系统将收敛到不变集。

目前，中国已成为非专利产品制造大国，部分农药产品供过于求，大量产品用于出口。业界需要从常规产品的简单仿制升级为高端绿色产品的创制研发；农药零增长计划使业界在关注农药产品质量时，除了有效成分、含量、杀虫灭菌的效果外，还要延伸到农药产品使用后对自然环境、作物及使用者的影响；新修订的《农药管理条例》农药生产许可由过去的工信、质监等部门转变为省级农业部门发放生产许可证，这也对规范农药企业日常生产经营行为、提升行业质量管理水平提出了新要求。

Acrobot的摇起控制目标为：从垂直向下的稳定平衡点 x0=[π，0，0，0]T摇起到垂直向上的不稳定平衡点 xd=[0，0，0，0]T。

在调研、总结现有人才培养模式的基础上，探索复合型信息与计算科学人才多方协同培养的模式，分别研究协同式知识传授方式、协同式能力训练模式、协同式素质培养措施等3个方面的内容．

将上述结论概括如下：

ITCC控制整机测试仪进行整机自动测试。根据3.1所述，有大数据服务支撑模块返回的装置多维度数据集合映射出保护装置整机测试能力描述文件ID号，智能测试控制中心根据该ID驱动整机测试仪对保护装置进行各种功能接点的测试，整机测试仪实时传送测试过程到智能测试控制中心进行显示。如测试成功，智能测试控制中心将装置的整机测试报告上传到OA系统，并根据装置多维度数据驱动精度校准或校验模块进行测试；如测试失败，通知测试工程师及时处理。

定理3 最优化性能指标的控制律确保系统运动至系统的最大不变集。

Ex=E（x）-Ed，Ed为顶点处势能，δ为合适大小的正常数。

4 控制算法和实例

4.1 控制算法

确定控制律的关键是求解正则方程（10），以系统进入吸引区（可线性化区域）为目标，求解微分方程（10）的初值条件λ（0），其算法流程图如图2所示。

  

图2 确定λ（0）的算法

4.2 仿真实例[3]

取式（1）改写为[9]

线性化系统为[5]

 

其中

 

取吸引区性能指标[3]为

此外，为力争将工业区建成具有国际影响力的精细化工园区，公司正在制订相关方案，将对园区进行整体转型，并同时对投产企业进行评估，那些在安全环保、产业发展、节能减耗方面不能达标的企业将被要求腾笼换鸟，为园区的发展提供新的空间。

 

其中Q=I4，R=0.6。控制律取为状态反馈τ2=Kx，控制增益为K=-BTR-1P，其中P是下列Ricatti方程的解。

 

由此可得

 

设置10-3为吸引区，使用MATLAB中常微分方程数值解的函数ODE45按算法进行分区控制律计算，仿真结果如图3所示。

作为Sarah的同龄人，有时确实会感觉挺郁闷的。这位目前亚洲最年轻的葡萄酒大师，简直就是“别人家的孩子”：不提葡萄酒大师这一头衔带来的光环，很多人还忽略了她耶鲁大学毕业的背景，以及曾拿过WSET Diploma全球最高分的Vintners' Cup大奖。事业有成之余，去年还喜获麟儿。家庭事业双丰收的她，在将要过去的2018年都经历了什么呢？

  

图3 平衡区范围为π/6的仿真结果

为方便比较，列出文[3]的结果如图4所示。

  

图4 文献[9]仿真结果

本文结果系统在3.25 s处切换，在5 s附近稳定，文献[3]中系统在7.66 s处切换，在9 s处稳定，本文结果优于文献[3]。

1.清除感染源。应加强引种检疫，避免将病引入，及时治疗病鸡，及时清扫粪便并进行生物热发酵处理。放养时应将成鸡与雏鸡分开喂养，以免带虫的成年鸡散播病原导致雏鸡暴发球虫病。

财政部要求，各地要继续支持深入推进贫困县涉农资金整合工作，按照《国务院办公厅关于支持贫困县开展统筹整合使用财政涉农资金试点的意见》等文件要求，开展贫困县涉农资金整合试点的省（自治区、直辖市），安排贫困县的资金增幅不得低于该项资金平均增幅。分配给贫困县的资金一律采取“切块下达”，资金项目审批权限完全下放到县，不得指定具体项目或提出与脱贫攻坚无关的任务要求。各地要严格按照有关文件精神和要求，提前谋划，切实管好用好财政专项扶贫资金，确保资金精准高效使用。

5 结论

提出了一种基于性能指标的Acrobot机器臂的控制方法，控制策略是使用最优控制律驱动系统向不变集运动，当系统运动至可线性化区域时，切换控制至LQR，使系统稳定在垂直向上平衡点。讨论了最优控制律下系统的局部稳定性和切换控制的全局稳定性，建立了控制器的算法。值得一提的是，文中控制律可能出现奇异非平凡问题（即某时段内开关函数恒为0）是将来需要进一步解决的问题。

参考文献

［1］SPONG M W.The swing up control problem for the Acrobot［J］.IEEE Control Systems Magazine，1995，15（11）:49—55.

［2］孙宁，方勇纯.一类欠驱动系统的控制方法综述［J］.智能系统学报，2011，6（3）:200—207.

［3］ZHANG A，SHE J，YANG S，et al.Comprehensive unified control strategy for underactuated two-link manipulators［J］.IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，Part B，2009，39（2）:389—398.

［4］ZHANG Deng-feng，ZHANG Zhi-fei，LIU Shi-ya，et al.An improved departed domain control strategy for acrobot[C]//IEEE International Conference on Control Science and Systems Engineering.IEEE，2017:5—9.

［5］潘昌忠，徐城涛，周少武.基于线性矩阵不等式的Acrobat鲁棒镇定控制［J］.计算技术与自动化，2016，35（4）:6—10

［6］CHEN Y，DESROCHERS A A.A proof of the structure of the minimum-time control law of robotic manipulators using a Hamiltonian formulation［J］.IEEE Transactions on Robotics&Automation，1990，6（3）:388—393.

［7］BANAVAR R N，MAHINDRAKAR A D.A non-smooth control law and time-optimality notions for the acrobot［J］.International Journal of Control，2005，78（15）:1166—1173.

［8］胡寿松，最优控制理论与系统［M］.北京：科学出版社，2010.

［9］SHEVITZ D，PADEN B.Lyapunov stability theory of nonsmooth systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1994，39（9）:1910— 1914.