0 引言

节能减排是现阶段我国的重点问题之一。经过“十二五”的努力发展，我国单位国内生产总值能耗下降18.2%，主要污染物排放量减少12%以上[1]。在“十三五”规划中，我国又提出了“提高能源利用效率，建设清洁低碳、安全高效的现代能源体系”的要求[2]。据统计，大多数能源消耗都来自工业生产，我国工业能源消费总量占能源消费总量的69.4%，排放出的二氧化碳占总排放量的83.1%[3]。如何节约使用能源，成为现代工业生产急需解决的问题。

就制造领域而言，微观上，为了实现节能减排目标，企业纷纷投入巨大的人力、物力和财力研发节能机器或者改进工艺。麻省理工Gutowski教授等[4]研究发现，在整个金属加工过程中，真正的金属切削过程所耗能量只占整个加工能耗的很少部分，85%的能耗用在了生产的辅助过程中。由此表明：除了花费巨资改造之外，还可以采用科学有效的运作方法大幅度实现节能减排。调度是生产运作的核心环节，如果在制定生产计划和调度策略上考虑节能因素，无疑是节能减排、实现绿色制造的一种有效的方式。

为此，近年来国内外很多学者从运作调度的角度开始了相关研究，并取得了初步成果。整体来看，这些研究可以分为3个分支：①以能耗为优化目标之一的低碳调度研究，如文献[5-7]。②设置开/关机调度，将闲置等待时间较长的机器及时关机，可以有效节约能耗，减少排放。沿着这条思路进行生产调度，除了传统的决定各个工序的加工机器和开始/完成时间之外，还需要考虑何时进行开/关机操作，如文献[8-9]。③及时调整机器转速，在不影响生产进度的前提下，尽可能低转速运转，从而达到节能减排的目的。

下面围绕本文的研究问题，重点对第3个分支进行文献综述。

(1)单机调度问题 Che等[10]研究了限制交货期的多转速单机调度问题，建立了以最小能耗为目标的混合整数线性规划模型，并采用CPLEX软件进行求解;Angel等[11]研究了能源有限的多转速动态单机调度问题，建立了以最大吞吐量为目标的优化模型，提出了一个动态规划算法。

家访过后，我急匆匆给侄女打电话，当晚拿到了几件半新的棉袄。洗好、晒干、熨平、打包，我哼着小曲，踏着晨曦来到了学校。看到“新衣服”的小宇有些难为情，小手牢牢抓住裤角不放。“拿着，你看你的棉袄都成这样了，脏兮兮的。”小宇低头扫了一眼胸前快要“结痂”的污渍，慌忙遮住，继而又放下手来。“每天干干净净上学，才能有一副新面貌啊！”我硬塞给他，他顿了顿还是收下了：“谢谢孙老师。”小宇走后，想起他那掩藏喜悦的眼神，我笑出了声。

(2)并行机调度问题 Cataldo等[12]研究了并行机调度中的能源效率问题，建立了混合逻辑动态调度模型，并采用MATLAB工具箱解决该问题;Wang等[13]研究了有最大功率上限的并行机调度问题，建立了以完成时间为目标的整数规划模型，采用遗传算法解决该问题，并认为在不超过最大电力负荷的情况下，应当使用高切削速度以尽可能减少完工时间;何彦等[14]采用禁忌搜索算法研究机械加工系统中的能耗问题，将其建模为并行机调度问题;何彦[15]还研究了面向绿色制造的机械加工系统问题，同样建模成并行机调度问题，并采用禁忌搜索算法求解;Albers等[16]研究了有截止日期的动态并行机调度问题，建立了以最小能耗为目标的变速模型，并采用多项式时间算法解决该问题。

(3)流水车间调度问题 Fang等[17]研究了多转速的流水车间问题，建立了以完工时间、峰值功率、碳排放量为目标的多目标整数规划模型，采用商业规划软件解决该问题。他不但探讨了离散转速问题，而且提出了连续转速的概念[18]。Mansouria等[19]研究了不同转速下的两机器流水车间调度问题，建立了多目标混合整数线性规划模型，并开发了一个启发式方法解决该问题。Dai等[20]采用遗传模拟退火算法解决了以完成时间和能耗为目标的柔性流水车间问题，用能耗差判断闲置状态时机器是关机还是空载。在考虑机器开/关机的基础上，Dai等[21]还采用选择机器主轴转速的方式研究柔性流水车间的机器能耗问题，建立了以完成时间和能耗为目标的混合整数规划模型，并采用遗传—模拟退火算法解决此问题。之后，Tang等[22]又研究了动态流水车间调度问题，建立了以完成时间和能耗为目标的节能模型，并采用改进的粒子群算法解决该问题。同时，Dai等[23]也研究了面向节能的柔性工艺规划问题和工艺规划与车间调度集成问题，同样以完成时间和能耗为目标，采用改进的遗传算法解决该问题。Ding等[24]研究了以总碳排放量和完工时间为目标的置换流水车间问题。

(4)作业车间调度问题 Zhang等[25]在作业车间中采用加工速度的变化来节能，建立了以总加权拖期和总能耗为目标的数学模型，提出了带局部搜索策略的混合遗传算法解决该问题。Salido等[26]研究了有速度缩放的作业车间调度问题，建立了以完工时间和能耗为目标的数学模型，提出遗传算法求解该问题。张利平[27]以能耗与调度效率为目标，采用带精英策略的遗传算法求解作业车间动态调度问题。同时，Zhang等[28]也解决了柔性制造系统内的静态调度和动态调度问题，建立了以最小完工时间和最小或最大能耗为目标的数学模型，采用线性规划软件解决该问题。张国辉等[29]建立了考虑机器速度的低碳柔性作业车间调度问题模型，采用改进遗传算法求解以完成时间为目标的该问题后，再用调整非关键工序的方法降低碳排放量。

(2)选择本工序加工能耗最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(3)，否则转步骤6。

综上所述，在传统调度模型中考虑节能减排目标的研究刚刚开展，而且主要集中在单机调度、并行机调度和流水车间调度中，在柔性作业车间调度问题中的相关研究非常少。为此，本文研究机器多转速的柔性作业车间问题，并在以下方面进行探索性研究：①提出多目标调度优化模型，建立加工机器能耗计算模型；②提出同时优化时间和能耗的低碳调度算法。

1 机器多转速的柔性作业车间调度优化模型

1.1 问题描述

一个新的理论体系的提出和实践，必然需要突破旧理念和旧习惯的藩篱和禁锢。当前，基层监狱在践行“五大改造”新格局中，主要存在以下问题：

峤字挺生僻，苏楠第一次见到。要不是对方自己念出来，苏楠还不知道该怎么发这个音。李峤汝也是郑州的，教育报编辑。这报纸苏楠见过，老公是大学老师，有时候带回来的书啊烟啊就用这报纸裹着。苏楠从桌上取出自己的名片，做了交换。

当机器处于空载状态时，机器的能耗主要来自维持主传动系统[15]。理论上用于机器空载的能耗为空载功率与空载时间之积。空载时间是机器上当前加工任务和临近加工任务间的间隙。而空载功率会因为选择的加工转速q的不同而不同，需要通过前序加工任务的加工转速q确定空载功率。在同一加工转速q下，机器的空载功率基本保持恒定[14]。因此，机器k的空载能耗Qdk可用式(2)计算。分别计算每一转速下的空载能耗，求和得到机器k的空载能耗Qdk：

 

表1 FJSP描述

  

工序1工序2工序3机器各档加工时间机器各档加工时间机器各档加工时间工件1114,11,9211,9,7114,11,9212,10,8414,11,946,5,4工件215,4,329,8,613,2,239,8,636,5,425,4,3411,9,7——32,1,1

 

续表1

  

工件335,4,3114,11,939,8,648,6,5512,10,858,6,5工件429,8,645,4,312,1,155,4,3511,9,755,4,3工件528,6,519,8,626,5,4511,9,726,5,433,2,2——48,6,5——

 

表2 机器参数表

  

档位功率(W)机器123加工空载加工空载加工空载开/关机能耗/(W·min)待机功率/W11230230151032022703702600202116018015002801820350253022311501901390300188035025602541380230192033023403902740305104022015003102220380264025

1.2 考虑机器多转速的多目标FJSP优化模型

步骤6 完成本工序机器及档位选择，返回步骤1继续循环，直至完成r中每一位基因的机器和档位选择。

 

表3 符号定义表

  

符号定义m机器数n工件数ni工件i的工序总数mij工序Oij的可用机器i,h工件号索引,i,h=1,2,…,nj,l工序号索引,j,l=1,2,…,max{ni}k机器号索引,k=1,2,…,mq档位号索引Oijkq工序Oij选择在机器k的第q档位上加工Pkq机器k的第q档位的加工功率Zkq机器k的第q档位的空载功率Zfk机器k的待机功率Pk(t)时刻t机器k的输入功率Oij第i个工件的第j道工序Xijkq工序Oij是否在机器k的第q档位上加工,为0-1变量Yijhl工序Oij与工序Ohl的加工先后顺序,为0-1变量Cijkq工序Oij在机器k的第q档位上的完工时间Tijkq工序Oij在机器k的第q档位上的加工时间Cmax完工时间Q总能源消耗

 

续表3

  

Qk机器k的总能耗Qij工序Oij的加工能耗Qck机器k的加工能耗Qdk机器k的空载能耗Qgk机器k的开/关机能耗Tk1机器开机时间Tk2机器关机时间Qfk机器k的待机能耗

1.2.2 假设条件

机器多转速的柔性作业车间调度问题(Flexible Job Shop Scheduling Problem, FJSP)描述如下：n个工件在m台机器上加工；每台机器有若干个档位，机器每个档位对应不同的转速和功率;工件i共有ni道工序，每道工序可以在一台或多台机器上加工，能使用机器上的所有档位，使用不同档位时加工时间不一定相同；机器每个档位对应不同的转速，其功率不同，工件可以选择档位进行加工;转速越高，功率越高，能耗越高，但加工时间越短;调度的目标是在满足约束的基础上，选择工件在每道工序上的加工机器和档位以及在加工机器上的加工顺序，同时优化完工时间和能耗两个目标。本文的能耗以机器从开工到完工的耗电量计算，单位为kW·h。

(1)所有机器在t=0时刻均已就绪。

(2)所有原材料在t=0时刻已准备完毕。

(3)所有工件工序的加工顺序在加工过程中不发生变化。

(4)每道工序在可用机器上的各个档位都可以加工。

(5)每台机器在某一时刻只能加工一个工件。

(6)某一时刻，工件只能被一台机器加工。

(7)加工一旦开始，就不能中断。

1.2.3 能耗计算模型

1947年鲁南战役中，李家才担任支前大队长。鲁南战役结束后，解放军又发起莱芜战役。李家才带领小车队没有回家，从鲁南战场直接北上参加莱芜战役。前后奋战45天，出色地完成了支前运输任务，小车队受到华东野战军第八纵队嘉奖：大队受奖旗一面，上面写着“奖给沂南县模范支前民工李家才小车队”。李家才本人立一等功。

在机器加工中，必然伴随着能量的流动和消耗[33]。在多转速柔性作业车间问题中，机器具有不同的转速，不同转速下的功率不同，一台机器可能出现的功率变化如图1所示[23]。机器的主要状态分为开/关机状态、加工状态、空载状态和待机状态4个状态，每个状态的能耗不同。

 

(1)开/关机状态

当机器处于开/关机状态时，机器的能耗主要体现在机器部件激活动作或停止动作上[23]。只有当机器被安排加工任务，即时，才会启动机器并消耗能源，完成全部加工任务时，需要关闭机器，也会消耗能源。机器k的开/关机能耗

 

(1)

式中：

基于泰勒级数展开的信号分辨算法可以得到非理想采样相对理想采样的采样时延,获得目标信号更精确的时延,以此更好地解决临近信号的分辨问题[7]。假设只有一个脉冲信号,则收到的信号可以表示为

(2)空载状态

为便于讨论，表1所示为一个5工件3工序5机器3档位的多转速FJSP。表中数据为每一道工序可用机器及在此机器上使用不同档位时所需的加工时间。例如，工件1的第一道工序O11可以在机器1和机器2上加工，机器1上3档的加工时间分别为14,11,9，机器2上3档的加工时间分别为12,10,8。表2所示为机器功率参数表，包括所有机器上的3个加工档位的加工功率、空载功率、机器的开/关机能耗和待机功率。从表中可以看出，机器1有3个档位，加工功率分别为1 230 W,1 510 W,2 270 W，其空载功率随主轴转速变化，分别为230 W,320 W,370 W，开/关机能耗为2 600 W·min，待机功率为20 W。

当时，我的父亲就在石头口门水库战地广播站工作，他和同事们亲眼目睹了这神奇的一幕。父亲每每讲起这个故事，所有聆听者的心总被万灵弥合而激动不已。

 

XijkqXhlkq]}。

(2)

(3)加工状态

当机器处于加工状态时，机器的能耗主要来自切削加工。理论上用于加工的能耗为加工时间与加工功率之积。Stute等[34]通过大量实验指出，总输入和输出功率之间存在近似的线性关系，即实际上的加工能耗与理论上用于加工的能耗具有一定线性关系。因此，机器k的加工能耗Qck采用式(3)进行计算：

 

(3)

式中系数β通常在1.15～1.25之间[33]，加工功率和加工时间都要通过工序已确定的加工转速q确定。分别计算每一转速下的加工能耗，求和得到机器k的加工能耗Qck。

(4)待机状态

机器的待机状态主要指机器在非工作但通电的状态，其能耗主要来自维持待机状态所消耗的能源[35]。如图1所示，在机器开机前和关机后还有部分能源消耗，这部分能耗即为待机能耗。一般而言，机器处于待机状态时，待机功率为一个恒定值。机器k的待机能耗

Qfk=CmaxZfk。

(4)

式(1)～式(4)计算了单台机器的开/关机能耗、空载能耗、加工能耗和待机能耗，因此单台机器中总能耗

Qk=Qgk+Qdk+Qck+Qfk。

(5)

1.2.4 调度优化模型

时间是企业追求的最重要的生产目标，为此本文建立了机器多转速的FJSP的优化模型，优化目标是完工时间Cmax和能耗Q。

f=min(Cmax,Q);

(6)

 

(7)

 

(8)

s.t.

图1给出了从故障开始到重合闸的设备操作顺序，如保护继电器、断路器、重合闸继电器等。在继电保护动作和断路器跳闸后，断路器重合闸之前还需要电去离子时间。在此期间，次级电弧应灭弧。根据断路器的断开与断路器重合闸以恢复电力传输之间的间隔定义重合闸间歇时间：

Cij-Tij≥Ci(j-1);

(9)

(Yijhlk/2)(Yijhlk-1)(Chl-Cij-Thlkq)

XijkqijXhlkqhl+(Yijhlk/2)(Yijhlk+1)(Cij-Chl-Tijkq)

赵忠尧回到母校加州理工，他利用一切条件，对加速器的操作台和零部件进行研究，为了掌握加速器的设计和制造细节，赵忠尧成了实验室里最勤奋的人，在完成科研项目的同时，他拼命掌握着有关加速器制造的技术资料和零件参数，每天，他的工作时间都在16小时以上。

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XijkqijXhlkqhl≥0;

(10)

 

(11)

 

 

(12)

 

XijkqXhlkq]};

(13)

 

(14)

Qfk=CmaxZfk;

(15)

 

(16)

 

(17)

Cijkq≥0;

(18)

Tijkq≥0。

(19)

其中：式(6)是总的优化目标，包括完工时间Cmax和能耗Q，完工时间Cmax通过式(7)计算，决策变量是Xijkq和Cijkq；能耗Q通过式(8)计算，决策变量是Qgk、Qdk、Qck和Qfk。式(9)表示紧前工艺约束，本道工序的开工时间必须晚于上道工序的完工时间；式(10)表示同一机器上，只有上道工序完成后，下道工序才能开始；式(11)表示一道工序只能由一台机器加工；式(12)～式(15)为能耗计算相关公式；式(16)～式(19)限定变量取值范围。

2 基于带精英策略的非支配排序遗传算法的调度优化方法

2.1 整体框架

研究证明，超过两个工件的FJSP是NP难题[36]。为了用较小的计算量得到近优解或者满意解，一般用启发式或元启发式方法近似求解[37]。遗传算法是基于“适者生存”的一种高度并行、随机和自适应的优化算法，它将问题的求解表示成“染色体”的适者生存过程，通过种群的一代代不断进化，包括复制、交叉和变异操作，最终找到“最适应环境”的个体，从而求得问题的最优解或满意解[38]。在求解多目标问题时，带精英策略的非支配排序的遗传算法(Non-Dominated Sorted Genetic Algorithm，NSGA-Ⅱ)具有良好表现[39]。为此，本文借助NSGA-Ⅱ的基本思想，通过以下流程求解机器多转速的FJSP：首先，随机产生初始种群，设计低碳调度算法评估染色体，通过交叉变异产生下一代，并采用低碳调度算法评估子代种群，合并父代与子代种群，进行快速非支配排序并计算个体的拥挤度，根据支配等级和拥挤度，采用精英保留和末位淘汰的策略选择合适的个体进入下一代，迭代至终止条件满足后，输出最终的Pareto解。

 

2.2 算法详细步骤

2.2.1 编码方式

编码可以将问题空间转换成算法空间，通过研究编码达到研究问题的目的。本文采用文献[40]提出的扩展的基于工序的编码方式，即工件i出现的第j次即为工件i的第j道工序。例如表1描述的FJSP可以用如下染色体表示，箭头所指为其对应的工序。

  

染色体:125434215332154↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓工序:O11O21O51O41O31O42O22O12O52O32O33O23O13O53O43

2.2.2 低碳调度算法

本文所采用的编码方式，并未对每道工序的机器和档位进行选择，因此在解码产生调度方案时，需要设计算法为每一道工序选择具体的机器和档位。在提出调度算法前，先简要介绍间隙挤压法的思想。

间隙挤压法[40]的核心是充分利用已安排工序的加工间隙。在每道工序全部可选机器中，当紧前工序完成时间小于该机器的前道工序完成时间时，要考虑在这段时间上，该机器上是否有间隙，如果能在间隙中插入当前工序，则优先使用间隙。

你说什么都白搭。你根本不可能说服我，一点希望也没有。西双摊开两手，说，她病了，我去看她，这件事就算完了。她以后再有什么事，都与我无关……如果你想把这顿饭吃得不痛快，你就继续劝我，我反正充耳不闻。不过，如果你能让我安安静静把这顿饭吃完，我会很感激你。

城市副中心为居民出行的最强吸引点，西南部地区台湖、马驹桥组团经济的发展，也为该地区带来了部分交通需求，随着产业结构的调整，这部分需求将逐渐增加.

如图3，在排完工序O51，O52，O41，O42，O53后，需要对工序O31进行排序。如果工序O31在机器3加工，则查看工序O31之前是否有间隙；如有间隙，则查看间隙大小是否能插入工序O31；如果能插入，则工序O31排在O53之前，如图3所示。

 

在间隙挤压法的基本原则下，本文设计了低碳调度算法。低碳调度算法是综合考虑完工时间和能耗的一种低碳调度方式，其核心思想是在保证不影响加工进度的前提下，尽可能选择低能耗的机器及相应档位，以达到节能减排的目的。为此，调度每道工序时，应遵循以下规则：

(1)优先判断已安排的工序在各个机器上产生的间隙是否能够插入本道工序，如果在满足各种约束的前提下可以插在某个间隙，则尽可能在可用机器集合里选择低能耗机器及档位。

(2)如果由于加工时间较长，无法插入到任何一个间隙，则需要在已安排的部分调度方案后安排该工序，并且安排在能让该工序最早完工的机器上。

在这两个原则的基础上，设计出的低碳调度算法步骤如下：

输入：一个染色体的编码r，长度为len(r)。

输出：一个调度方案，包括各道工序的开始时间和完工时间、选定的机器及档位。

步骤1 依次取r中的每一位基因，转换成Oij。

步骤2 遍历所有机器，找出所有可用机器，即满足Xijkq=1的所有机器。

步骤3 在每台机器上利用间隙挤压法，根据机器的档位设置计算本工序的完成时间、加工能耗、总工序完成时间、能耗变化、机器负载等参数。

步骤4 如果在可用机器集合中存在可以在其已有间隙中插入当前工序的机器，则优先选择这些机器及档位，转该步骤(1)；否则，只能在这些可用机器的现有排序队列的尾部安排当前工序，具体的机器选择和档位选择在步骤5中确定。

(1)选择能耗变化最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(2)，否则转步骤6。

对于未考虑能耗的机器多转速的作业车间调度问题，Song[30]研究了在柔性制造单元中如何确定最优机器转速、加班、单元间工件的转移方式以及工艺路线,他们的优化目标为增量成本最小;Liang[31]提出一种两阶段法解决在柔性制造系统中考虑机器负载和机器转速的问题;Sodhi等[32]考虑加工速度对刀具寿命的影响以及可装载刀具数量等约束，研究了柔性制造系统中调度问题。这些研究多是考虑机器转速对加工成本、加工时间和加工机器的影响，对机器转速与能源消耗的关系考虑较少。

(3)选择机器负载最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(4)，否则转步骤6。

(4)随机选择一机器及档位，转步骤6。

步骤5 在可用机器的末尾追加当前工序：

(1)选择本工序完成时间最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(2)，否则转步骤6。

(2)选择本工序加工时间最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(3)，否则转步骤6。

(3)选择总加工时间最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(4)，否则转步骤6。

(4)选择机器负载最小的机器及档位，如果机器及档位不唯一，则转(5)，否则转步骤6。

(5)随机选择一机器及档位，转步骤6。

方案二：公路—汽车—固定式破碎站—胶带联合开拓运输方案，场内公路汽车运输至破碎站平均运距3.2km，场外平均运距5.3km，年剥离总量1 408.4万m3需新增108t 级矿用卡车52 辆。固定破碎站在露天采场出口标高1 805 m处，岩石场内采用公路汽车运输至破碎站，岩石经破碎系统破碎后，通过转运胶带接力运输至落家井排土场由排土机排土，其余岩石由矿用汽车直接运输排土场。

1.2.1 符号定义

2.2.3 交叉

在NSGA-Ⅱ中，需要通过交叉操作组合出新的染色体并探索解空间。本文采用线性次序交叉[41]的方式，在两个体中，随机产生交叉位置，并交换交叉点之间的片段；之后在原先父代染色体中删除与从另一父代染色体交换过来的基因相同的基因，再从第1个基因位置开始在两交叉位置外填入剩余基因。

从实验数据中容易看到，如果将气泵打开，则调音器不能准确地测到音响发出的标准音，总是比标准音偏小，并且气泵的档数越高，偏置程度越明显。

2.2.4 变异

在NSGA-Ⅱ中，需要通过变异探索新的解空间，不同的变异方式在搜索解空间的过程中，向各个方向搜索的力度不一样，如果单纯采用一种变异方式，可能漏掉对解空间某些区域的探索。为此，本文采用交换基因法、插入基因法、反转基因序列法和位移相邻基因序列法4种变异方式[41]。其中交换基因位和插入基因位对染色体的扰动较小，因此采用多点交换和多点插入的方法进行改进。反转基因序列和位移相邻基因序列对染色体的扰动较大。算法搜索过程中会随机选择一种方式产生新的染色体。

2.2.5 确定非支配等级和计算拥挤度

在NSGA-Ⅱ中，非支配等级代表在群体中个体与其他个体的支配情况。拥挤度表示个体与同一支配等级下的两相邻个体间全部目标函数的相对距离之和。通过拥挤度判断同一支配等级下个体的优劣程度。非支配等级和拥挤度决定个体能否进入下一代。利用低碳调度算法评估子代后，将父代种群R和子代种群R″合并成R‴，以确定各个体支配等级，再根据非支配等级求拥挤度，以确定个体是否进入下一代。

2.2.6 选择

选择操作用于实现优胜劣汰，在计算完合并种群R‴内各个体的支配等级和拥挤度后，选择其中的部分个体进入下一代。选择步骤如下：

步骤1 最小支配等级的个体直接进入下一代，剩余个体根据步骤2进行选择。

步骤2 在剩余个体中，进行规模为2的锦标赛选择。支配等级不同时选择支配等级小的个体，支配等级相同时选择拥挤度大的个体。选出的个体在步骤3中进行再一步选择。

步骤3 按照支配等级从高到低进行淘汰，如果支配等级相同，则淘汰拥挤度小的个体，直到淘汰后留下的个体数等于种群数与Pareto解个数之差。

步骤4 将Pareto解的个体和步骤3选择出的个体合并，即为下一代种群。

2.3 计算复杂度分析

算法对时间的需要量称为算法的时间复杂度[37]，它对计算机的求解能力有重大影响，是衡量算法可行性的重要指标。根据NSGA-Ⅱ算法的步骤，分别分析每一块的计算复杂度，以评定NSGA-Ⅱ算法的计算复杂度。

根据低碳调度算法的伪代码，可以求出最坏的情况下，低碳调度算法的复杂度为

O(1+nmax{ni}(1+1+1+m(1+1+1+

(nmax{ni}-2)+4+1+1+(nmax

{ni}-1))+6+1)

=O(2n2max{ni}2m+6mnmax{ni}+

10nmax{ni}+1)；

交叉的复杂度为

变异的复杂度为O(N(1+3nmax{ni}))=O(3Nnmax{ni}+N)；

确定非支配等级的复杂度为O(3N(2N-1)+1+N(1+1+3(N+1)+1))=O(9N2+3N+1)；

拥挤度计算的复杂度为O(N(ϖ(1+(N+1))+(N+1)))=O(ϖN2+2ϖN+N2+N)；

选择的复杂度为O(3+3N+1)=O(3N+4)。

算法总流程的复杂度为

O(1+N(2n2max{ni}2m+6mnmax{ni}+10n

max{ni}+1)+S((Nnmax{ni}/2+3N/2)+

(3Nnmax{ni}+N)+N(2n2max{ni}2m+6mn

max{ni}+10nmax{ni}+1)+1+(9N2+

3N+1)+(ϖN2+2ϖN+N2+N)+

(3N+4))+1)

=O(2+N+2Nn2max{ni}2m+6Nmnmax{ni}+

10Nnmax{ni}+10SN2+21SN/2+6S+SϖN2+

2SϖN+7SNnmax{ni}/2+2SNn2max{ni}2m+

6SNmnmax{ni}+10SNnmax{ni})。

取最高阶O(2SNmn2max{ni}2)，算法的复杂度与迭代次数、种群个数、机器数、工件数、最大工序数有关。

3 数值实验

3.1 实验设计

3.1.1 环境配置

NSGA-Ⅱ在Intel Core i3-3 240、3.40 GHz CPU、4.00 G RAM、Win7 64位操作系统和MATLAB2013a编程环境下编译运行。

3.1.2 数据来源

以文献[42]中的标准算例作为测试算例。

对于机器档位和与之对应的加工时间和功率，给定档位系数[1.5 1.2 1]。将机器分为3个档位，其加工时间为标准算例的时间乘以档位系数并取整。机器加工功率、空载功率、开/关机能耗和待机功率的取值范围如表4所示。

 

表4 机器加工功率表

  

档位功率/W机器123加工空载加工空载加工空载开/关机能耗/(W·min)待机功率/W112302301510320227037026002021160180150028018203502530223115019013903001880350256025413802301920330234039027403051040220150031022203802640256127023015602702260370260027711702201510300216040025702281000170121029016903502550209130025017703202510400286030101360250196031025103802840281113502401850340244039028002212103019014802801920320263021131310230186031022903902860281410602001450300196040027602915145030020903502970400305030

3.1.3 参数配置

NSGA-Ⅱ的参数设置如下：交叉概率0.8，变异概率0.1，运行代数10 000，种群规模100。

3.1.4 实验目的

本实验的主要目的包括：①验证NSGA-Ⅱ算法寻优性能；②分析所提出的低碳调度算法的科学性；③仿真能耗计算模型。

3.2 实验结果

3.2.1 标准算例实验结果

表5所示为文献[42]中10个标准算例的运行结果。表中给出每个算例Pareto解的个数及Pareto解，每个Pareto解的第1个数字表示完工时间，第2个数字表示能源消耗量。

 

表5 文献[42]算例的运行结果表(NSGA-Ⅱ)

  

算例Pareto解个数Pareto解MK016(42,6.88),(44,6.55),(43,6.68),(46,6.38),(45,6.48),(52,6.20)MK027(30,5.86),(31,5.74),(34,5.65),(39,5.56),(29,5.91),(28,6.03),(36,5.63)MK034(213,37.65),(204,38.46),(209,37.97),(206,37.99)MK044(72,14.52),(73,13.88),(70,14.68),(68,14.77)MK0512(182,28.10),(186,27.77),(189,27.77),(190,27.72),(184,27.91),(196,27.60),(183,27.96),(198,27.57),(185,27.78),(197,27.57),(191,27.61),(181,28.21)MK0611(72,15.69),(75,15.52),(69,16.08),(67,16.12),(74,15.62),(83,14.83),(77,15.31),(82,14.90),(78,15.10),(71,16.03),(81,14.93)MK075(149,28.43),(147,28.50),(146,28.54),(153,27.78),(150,28.13)MK083(523,110.74),(534,109.93),(531,110.02)MK0921(336,99.65),(382,94.27),(378,94.63),(326,102.00),(365,96.16),(348,98.13),(340,98.80),(389,93.94),(358,96.33),(357,96.34),(385,94.13),(332,100.62),(395,93.90),(367,95.44),(351,96.58),(327,101.80),(376,95.36),(328,101.32),(333,99.88),(398,93.11),(386,94.05)MK109(253,86.02),(247,86.90),(249,86.12),(241,88.38),(265,84.37),(263,85.40),(240,88.64),(255,85.64),(257,85.58)

为了清楚展示NSGA-Ⅱ算法的求解效果，图4给出了MK01问题的Pareto解分布图，横坐标是完工时间指标，纵坐标是能源消耗指标。从图4可以看出形成的Pareto边界分布比较均匀，证明设计的低碳调度算法很好地平衡了完工时间和能源消耗两个指标，给决策者提供了一组优秀的Pareto解来选择。具体实施过程中，决策者可以采用多指标决策方法如层次分析法进行决策[37]。

 

图5所示为MK01问题的第1个Pareto解的甘特图。其中：横坐标表示时间，纵坐标表示机器，每个小方块表示一道工序;方块中第1行数字表示工件号，第2行数字表示工序号;深灰色表示最高档位，浅灰色表示中间档位，白色表示最低档位。如左上角的小方块，表示工件7的第一道工序在机器6的第三个档位上加工。由低碳调度算法可知，瓶颈机器(如机器2)上的工序排列紧密，为了尽快完成加工任务，优先选择最高档位3进行加工；而加工任务比较稀疏的机器(如机器1，5)，为了降低能耗，则尽量使用较低档位。

 

3.2.2 低碳调度算法性能验证

为了探究低碳调度算法的科学性，又分别按时间和能耗指标单独解码，即在第2.2.2节步骤4和步骤5中分别以时间和能耗为唯一准则进行解码，运行结果如表6所示，得到的Pareto解结果如图6所示。由图6可知，单一指标解码方式所求出的Pareto解在分布上不如采用低碳调度算法求得的Pareto解。相比采用按时间解码算法求得的解，采用低碳调度算法的结果消耗能源更少，更符合低碳原则;而采用按能耗解码算法求得的解虽与采用低碳调度算法求得的解互相支配，但是其完工时间过长，不符合生产要求的高效原则。

 

表6 MK01问题运行结果表

  

解码算法Pareto解个数Pareto解按时间解码算法6(50,6.59),(43,6.90),(46,6.63),(44,6.81),(42,6.98),(45,6.66)按能耗解码算法5(92,5.93),(85,5.94),(89,5.93),(70,5.99),(76,5.95)

 

续表6

  

低碳调度算法6(42,6.88),(44,6.55),(43,6.68),(46,6.38),(45,6.48),(52,6.20)

为了进一步分析这3种解码算法，本文分别选取每种方法下的典型Pareto解进行对比。按时间解码算法力求找到最高效的调度方案，选择完工时间最早的方案1；按能耗解码算法力求找到总能耗最低的调度方案，选择能耗最低的方案3;本文提出的低碳调度算法力求在两个目标之间寻求平衡，因此选择了方案2。图7所示为3种方案的能耗对比结果，按照总能耗、加工能耗、空载能耗、开/关机能耗分别对比。其中纵坐标表示能源消耗。可以看出，低碳调度算法在保证时间进度的前提下有效降低了总能耗：通过合理选择机器转速，降低了加工能耗；通过合理选择机器，降低了空载能耗；而开/关机能耗没有差别。

 

 

为了进一步对比空载能耗部分，表7给出了3个方案的每台机器上非加工能耗占比分析饼图，因为待机能耗占比较小且为常量，且每台机器的开/关机能耗为常量(如式(1))，所以通过分析空载能耗与开/关机能耗的占比，可以看出不同调度方案的空载能耗的差别。从表中可以看出，3种解码算法在机器1上都有一定的空载能耗，相比于按时间解码算法，低碳调度算法降低了部分空载能耗；而机器2属于瓶颈机器，加工任务繁重，3种解码算法都未在机器2上出现空载状态；在机器3上，采用低碳调度算法和按时间解码算法都未产生空载能耗，而按能耗解码算法所求结果中，机器3上产生了大量空载能耗，说明机器3有大量时间处于空载状态；3种解码算法在机器4,5上的表现恰巧相反，低碳调度算法和按能耗解码算法都在机器4上出现了一定的空载状态，在机器5上未出现空载状态，但按时间解码算法在机器4上未出新空载状态，在机器5上有大量的时间处于空载状态中，原因是机器选择不同导致空载状态出现在不同的机器上，进而导致空载能耗不同；和机器1类似，3种解码算法都在机器6上出现了空载状态，但是相比于按时间解码算法和按能耗解码算法，低碳调度算法的空载能耗更低。总之，机器选择结果会影响空载能耗，低碳调度算法通过机器选择能够有效降低空载能耗。

 

表7 非加工能耗占比分析

  

算法机器1机器2机器3机器4机器5机器6低碳调度算法按时间解码算法按能耗解码算法

注：表示空载;表示开/关机。

3.2.3 NSGA-Ⅱ性能分析

为了评估NSGA-Ⅱ的寻优性能，采用多目标并行模拟退火(Multi-Objective Parallel Simulated Annealing，MOPSA)算法对多转速的FJSP进行求解，并与NSGA-Ⅱ进行对比。

MOPSA算法中的初始温度W0和终止温度Wz由式(20)和式(21)确定：

W0=max((Tmin-Tmax)/(ln pc)，

(Qmin-Qmax)/(ln pc));

(20)

Wz=min((Tmin-Tmax)/(ln pf)，

(Qmin-Qmax)/(ln pf))。

(21)

式中：Tmin表示种群内最小完成时间，Tmax表示种群内最大完成时间，Qmin表示种群内最小能源消耗，Qmax表示种群内最最大能源消耗。

在MOPSA算法中，选用温度更新函数[38]

Ws=α·Ws-1。

(22)

式中：Ws为第s代的温度，α为常数。

在MOPSA算法中，采用如下接受准则接受新状态。在计算新状态的目标值后，先与原解进行对比，如果被原解支配，则根据两解之间的距离，通过式(23)计算接受概率pe，判断新解是否被接受；如果支配原解，则直接替换原解；如果和原解互相支配，则与Pareto解比较，如果新解是Pareto解则替换原解，否则随机选择一个解，进入下一次循环。

 

(23)

式中：Δ为两解之间的距离；λ为接受系数；s为代数；α为温度更新系数。

依据内循环次数和原解是否被替换两种判断准则控制内循环，如果内循环次数达到最小次数且新解替换原解，则内循环结束；如果内循环次数达到最大次数，则无论新解是否替换原解，内循环都结束。

MOPSA算法的主要参数包括并行数量30、初始接受概率0.99、终止接受概率10-15、降温系数0.99、内循环最大次数100、内循环最小次数10、接受系数0.02等[43]。

图8所示为NSGA-Ⅱ算法与MOPSA算法对文献[42]中的10个问题求解后的Pareto解结果对比图。从图中可以看出，在大部分问题中，NSGA-Ⅱ算法的求解结果优于MOPSA算法，其求得的Pareto解支配了MOPSA算法求出的Pareto解。在MK04和MK06问题上，两种算法求得的Pareto解互相支配，仅在MK03问题中，NSGA-Ⅱ算法所求结果不如MOPSA算法。

 

表8所示为NSGA-Ⅱ与MOPSA算法在Pareto解个数和质量上的对比。其中：每个指标左列表示NSGA-Ⅱ算法的结果，右列表示MOPSA算法的结果。同时，采用Hypervolume指标[44]对两种算法进行对比。为了更准确地计算两者的Hypervolume指标，不因时间指标和能耗指标的数量级不同而产生较大的偏差，计算时将两目标值分别归一化后再求解。通过Hypervolume指标可以看出，相比于MOPSA算法，NSGA-Ⅱ算法求得的Pareto解质量更好。

 

表8 NSGA-Ⅱ算法与MOPSA算法在文献[41]算例中的结果对比

  

算例Pareto解个数min(Cmax)min(Q)Hypervolume指标NSGA-ⅡMOPSANSGA-ⅡMOPSANSGA-ⅡMOPSANSGA-ⅡMOPSAMK016842416.206.590.22590.4341MK027728285.565.830.25580.532MK034120420437.6537.580.35310.0100MK0445686713.8814.160.33500.4536MK0512618117827.5728.280.19590.4974MK06119676714.8316.580.22590.3985MK075514614527.7827.970.29560.2962MK0838523523109.93113.030.04790.6968MK09211632633893.1198.670.31630.6209MK109924024184.3787.500.27200.5207

4 结束语

本文采用NSGA-Ⅱ算法求解多转速机器的柔性作业车间低碳调度优化问题。分析了机器的能耗分布，建立了能耗计算模型，提出了高效节能的双目标调度优化模型，设计了低碳调度算法，利用NSGA-Ⅱ算法寻找到了全局最优Pareto解。综合实验结果证明，所提算法能够很好地求得一组综合权衡了完成时间和能源消耗两个指标的Pareto解集，便于决策者做出最利于企业利益的决策。但本文仅考虑了机器转速作为节能措施，还有其他措施如适时开/关机等，这将作为下一步的研究内容。此外，生产现场出现的动态情况也是非常值得研究的内容。

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