对于任意正整数n，著名的Smarandache函数S(n)定义为最小的正整数m，使得n|m!，即S(n)=min{m:m∈N,n|m!}[1]。Smarandache LCM函数SL(n)定义为最小的正整数k使得n|[1,2,…,k]，即SL(n)=min{k:k∈N,n|[1,2,…,k]}[2]。Euler函数φ(n)定义为小于n且与n互素的正整数的个数。关于Smarandache函数的有关方程问题的研究，有许多学者已经取得了一些重要的结果，例如文献[3]给出了方程S(n)=φ(n)的所有正整数解为n=1,8,9,12,18。文献

[4]研究了方程SL(n)=φ(n)，并给出了它有且仅有n=1和形如n=3·2α(α≥2)的解。文献[5]研究了方程S(SL(n))=φ(n)，得出了它仅有解n=1,8,9,12,18。

为了避免伪回归，建立VAR和面板数据模型前，需用单位根检验方法对数据进行平稳性检验［17］。本文采用相同单位根假设的LLC方法和不同单位根假设下的IPS、ADF-Fisher方法对面板数据进行单位根检验，如果3种检验都通过，则认为数据是平稳的。在Eviews8.0的辅助下对面板数据进行单位根检验，各个变量的检验结果与平稳性判定如表2所示。表2的结果显示，4个变量的检验结果的P值都小于0.1，都通过了3种单位根检验，故4个变量序列都为平稳序列，且均为 I（0）序列。

本文在前人关于Smarandache函数和Smarandache LCM函数的有关方程问题的研究成果的基础上，主要研究方程S(SL(n2))=φ2(n)的可解性，具体结果如下。

1.教师要树立自我专业化发展意识。外因通过内因发挥作用，只有调动起教师自身的积极性，才能将专业化发展道路顺利长久走下去。教师首先应认识到自己存在的不足，然后主动参加到企业实践当中去，使自己努力成为复合型教师。同时，教师也可以到其他高校进行培训学习，通过考取商务英语专业证书及参加各种网络课程提高专业素质。此外，商务英语教师应该树立终身学习意识，多读书，了解本学科最前沿的知识，使自己始终处于学科前沿。

2.2 指导学生做好生涯规划，找准自己定位，树立正确就业观。对于大学生的就业指导应从新生入学便开始，帮助学生全面剖析自己、了解自己的能力、兴趣等，便于其在大学生涯中有计划的培养自己的专长。做为高校辅导员还应帮助不同层次的学生客观的认清自己的综合素质，在就业的过程中不应“眼高手低”、好高骛远。

S(SL(n2))=φ2(n)

(1)

有且仅有正整数n=28,36,40,64,75,100,150。

1　相关引理

引理1[6]：对于任意正整数(1≤i≤k)，其中为素数，特别的SL(pα)=pα。

引理2[7]：对于素数p和正整数k，有S(pk)≤kp成立，如果k<p，那么S(pk)=kp。

引理3[8]：Euler函数是积性函数，即对于任意互素的正整数m和n，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。

引理4：如果是正整数n的标准分解式，则有

引理5：如果是正整数n的标准分解式，则有

AAS被用于多种个人护理产品的配方。N-椰油酰甘氨酸钾被发现对皮肤温和并用于面部清洁，以除去污泥和彩妆。N-酰基-L-谷氨酸有两个羧基，因而水溶性更佳。在这些AAS中，基于C12脂肪酸的AAS被广泛用于面部清洁，以清除污泥和彩妆。具有C18链的AAS可被用作护肤品中的乳化剂。N-月桂酰基丙氨酸盐已知能制造出对皮肤无刺激性的膏状泡沫，因此可用来配制婴儿护理产品。用在牙膏中的基于N-月桂酰的AAS具有与肥皂类似的良好去垢能力，以及很强的酶抑制功效（enzyme-inhibiting efficacy）[102]。

引理6：当n>2是时，必有2|φ(n)。

1)当k=1时，即n=2α或n=pα，其中p是奇素数，要讨论S(SL(n2))=φ2(n)的解，首先讨论当n=2α时，有

2　方程求解

2.1　方程(1)的求解及证明

证明：当n=1时S(SL(13))=1≠φ2(1)=0，则n=1不是方程(1)的解。

下面证当n>1之前，先设其中p1<p2<…<pk，并且(pi,pj)=1(i≠j)。

五是创造性。在学生自学方法形成的过程中，虽始于模仿，但也不乏其可贵的创造性成分，小学生自己发现问题，分析问题，寻找与众不同的方法解决问题。

引理7：φ2(n)为广义欧拉函数，表示序列 1,2,…,n/2中与n互素的正整数的个数。 由φ2(n)的定义可知φ2(n)=1，当n>2时，φ2(n)=φ(n)/2。

ⅰ)当α=1时，S(SL(22))=4≠φ2(2)=1，则n=2不是方程(1)的解。

ⅱ)当α=2时，S(SL(24))=6≠φ2(22)=1，则n=4不是方程(1)的解。

1948年冬，因家庭生活困难，经组织同意，汤甲真停学到家乡附近的宗一中学（现湖南省宁乡五中），以教学为掩护，任地下中共湖南省工委直属宗一特别党支部组织委员，并兼任地下武装组织员、农运指导员等职，冒着危险做了大量地下工作。

ⅲ)当α=3时，S(SL(26))=8≠φ2(23)=2，则n=8不是方程(1)的解。

ⅳ)当α=4时，S(SL(28))=10≠φ2(24)=4，则n=16不是方程(1)的解。

ⅴ)当α=5时，S(SL(212))=12≠φ2(25)=8，则n=32不是方程(1)的解。

ⅵ)当α=6时，S(SL(214))=16≠φ2(26)=16，则n=64是方程(1)的一个正整数解。

ⅶ)当α≥7时，S(SL(22α))=S(22α)≤4α,φ2(2α)=2α-1，那么要使方程(1)成立，即需要2α-1≤4α，但当α≥7时2α-1≤4α不成立，故方程(1)无解。

再来讨论当n=pα(p为素奇数)则有：

ⅰ)当α=1时，此时方程(1)显然无解。

ⅱ)当α=2时,

当p=3时，则此时方程(1)无解。

当p=5时，则此时方程(1)无解。

当p=7时，则此时方程(1)无解。

当p>7时，即无符合此方程的素奇数p的解，则此时方程(1)无解。

（1）某保障性住宅小区C14#楼由某国有房地产公司开发建设，建筑面积为4157m2，L=58.72m，W=11.3m结构型式为框架结构，半地下一层，上部六层。

鼻出血在耳鼻喉科是非常常见的一种急性病症，并且治疗较困难，给患者及家属也造成了不小的困扰。而对于鼻出血的患者，较为常用的治疗方法是对出血的部位用凡士林纱布填塞，让鼻腔血管能够被压迫止血。还有用血管收缩剂的方式进行止血，用电灼、激光等方式，对鼻出血患者进行治疗。但这些方法会给患者带来较大的痛苦，而且止血效果较差。在鼻内镜技术不断发展的现在，应用鼻内镜对鼻腔内出血部位准确查找，并应用分子运动产生热量，让蛋白质能够快速凝固形成血栓让血管进行闭塞，利用这种方式对鼻出血患者进行治疗效果更好，并且针对性更强。我们在本文中就对鼻内镜下射频治疗方法进行研究和分析，对临床诊疗效果进行研究。

2018年，国内复合肥市场遭遇初冬。所有大宗原料都在上涨，而市场价格却一直走跌，销量持续下滑。丁振军告诉记者：“国内复合肥市场跟欧美市场有一定的差异，但也存在大同小异的地方。如有机肥使用量大、种植规模调整、种植方式改变。”此外，通过配方升级，对传统大肥产品进行换代升级，海藻肥、生物肥等也正通过差异化思路与一线梯队复合肥企业进行错位竞争。

ⅳ)当α≥3，且2α≥p时，由引理2知S(SL(p2α))≤那么要使方程S(SL(p2α))=φ2(pα)成立，即需要4pα≥pα-1(p-1)成立，由伯努力不等式有pα-2≥2+2(α-2)(p-1)这与2α≥p矛盾，则此时方程(1)无解。

综上所述，当k=1时，只有n=64是原方程的解。

2)当k≥2时，由引理5可知，设

 

其中

再设下面讨论方程S(SL(n2))=φ2(n)在k≥2的解。

ⅰ)当α=1时，因为p|(p-1)φ(n1)不成立，所以此时方程(1)无解。

ⅱ)当α=2时，

当p=2时，S(246)=6=φ(n1)，则φ(n1)=6,n1=7,9,14,18。

方程

又因为(pα,n1)=1,所以n1=7,9n=28,36是方程(1)的解。

当p=3时，S(34)=9=3φ(n1)，解得φ(n1)=3，所以此时方程(1)无解。

当p=11时，S(118)=88=6 655φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

又因为(pα,n1)=1,所以n1=3,4,6n=75,100,150是方程(1)的解。

当p>7时，因为此时(p-1)|8不成立，所以方程(1)无解。

ⅲ)当α=3时，

当p=2时，S(26)=8=2φ(n1)，则φ(n1)=4，n1=5,8,10,12,又因为(pα,n1)=1,所以n1=5,n=40是方程(1)的一个解。

当p=3时，S(36)=15=9φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

当p=5时，S(56)=25=50φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

当p=7时，S(76)=42=147φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

当p≥11时，因为此时p(p-1)|12不成立，所以方程(1)无解。

ⅳ)当α=4时，

当p=2时，S(218)=10=4φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

当p=3时，S(38)=18=27φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

当p=5时，S(58)=35=250φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

当p=7时，S(78)=49=1 029φ(n1)，解得φ(n1)不是整数，所以此时方程(1)无解。

综上所述，OPC可能通过抑制PI3K/AKT途径的活化而诱导死亡的自噬流，可以降低喉癌TU686细胞的增殖活力。结合前期研究成果，即OPC通过自噬途径促进顺铂对喉癌TU686细胞的凋亡作用，从细胞自噬流角度说明OPC对喉癌TU686细胞的抑癌机制，并深入研究了在TU686细胞中，OPC介导的自噬流通畅的调控机制与分子途径。本研究为天然化合物介导喉鳞状细胞癌自噬流的研究进行了勇敢的尝试，为探索喉癌临床治疗策略提供新的方向。但本研究也存在一定的局限与不足之处，OPC在TU686细胞中引起的自噬流与喉癌细胞迁移、侵袭和耐药性等生物学特性之间的关系，也是下一步研究的重点。

当p=5时，S(54)=20=10φ(n1)，则φ(n1)=2,n1=3,4,6。

ⅲ)当α≥3，且2α<p时，由引理2知那么要使方程S(SL(p3α))=φ2(pα)成立，即需要4pα=pα-1(p-1)成立，这与2α<p矛盾，则此时方程(1)无解。

当p≥13时，因为此时p2(p-1)|16不成立，所以方程(1)无解。

1.3 观察指标 对患者的临床疗效和术后恢复情况进行观察分析。⑴临床疗效的判断标准为[4]：治疗15d内，患者的临床体征和症状彻底消失，不存在阴道流血和腹痛，血β-hCG水平进行性降低到正常值范围则表示显效；治疗30d内患者的临床体征、症状彻底消失，不存在阴道流血和腹痛，血βhCG水平进行性降低到正常值范围则表示有效；治疗后患者依然存在阴道淋漓流血、腹痛等临床体征、症状，血β-hCG水平存在异常，或者再次出现手术指征则表示无效。⑵术后恢复情况的相关指标包括月经恢复正常时间、β-hCG水平恢复正常时间、术后1周血β-hCG降低幅度。

ⅴ)当α≥5时，由引理2知S(p2α)≤2pα，即pα-1(p-1)φ(n1)≤4pα，但是pα-2(p-1)φ(n1)>pα-2>2α-2>2α，则方程(1)无解。

综上所述定理1得证。

参考文献：

这个部分的主要目的是寻找一种方法来模拟根土相互作用。当树根从土壤中拔出时，阻止树根拔出的抗力主要是摩擦力。而每一时刻的摩擦力又同围压相关。经典库伦摩擦模型描述了两个相互接触的平面如何传递摩擦力和接触压力，如图1所示。图1中横坐标是接触压力，纵坐标是等效剪应力，在单方向滑动模型下等于滑动摩擦力[2]。

[1]　　　　张文鹏.关于F. Smarandache函数的两个问题[J].西北大学学报:自然科学版,2008,38(2):173-176.

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[5]　　　张利霞.关于数论函数方程S(SL(n))=φ(n)[J].纯粹数学与应用数学:自然科学版,2015,31(5):533-536.

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孙芝杨[38] 开发出南瓜、淮山复合型酸奶，即在新鲜牛奶中加入8%南瓜汁、8%淮山汁、6%木糖醇、之后接种5%菌种(保加利亚乳杆菌与嗜热链球菌比为1∶1)进行发酵而成。Kim等[39]报道，添加不同量的淮山粉末(质量体积比为0.2%，0.4%，0.6%，0.8%)到鲜奶中，经巴氏杀菌、43℃发酵6 h后贮藏16 d，对其理化、乳酸菌和感官特性进行评价，发现随着贮藏时间的延长，其pH逐渐下降、粘度值和乳酸菌数量逐渐增加，而L*和a*色差值无明显变化，认为添加质量体积比为0.2%～0.6%的淮山粉末到鲜奶可以用来生产淮山功能性酸奶。