0　引言

本文研究含非线性源的非牛顿渗流耦合方程组的初边值问题，即：

 

(1)

其中Ω为RN(N≥1)中具光滑边界的有界区域，问题(1)可用于描述自然界中广泛存在的扩散现象，其中1<pi<2对应快扩散情形，解可能在有限时刻发生熄灭现象。称解在有限时刻熄灭，是指存在一个时刻T>0，使得非平凡解u(x,t)≡0在Ω×(T,∞)上几乎处处成立。当问题(1)用来描述可燃混合物的燃烧和生物种群的繁衍扩散等过程时，熄灭对应着物质燃烧的停止或是物种的灭绝等。

解的熄灭性质由Sabinina于1962年在文献[1]中第一次给予关注，此后抛物型方程解的熄灭性质吸引了越来越多数学工作者的研究兴趣，参见文献[4-10]。1994年，顾永耕[11]对有界域上具有吸收项的半线性问题。

 

(2)

解的熄灭进行研究，证明了问题(2)的非平凡解u(x,t)在有限时刻熄灭的充分必要条件为0<q<1。Gu[3,7]对下面问题：

稻鸭共育是以水田为基础，在水稻田进行家鸭野养的一项生态农业技术，具有除草吃虫、增肥控蘖、提高品质、增加效益、减少污染等优点，是目前较为理想的优质高效技术之一。同时，稻鸭共育技术的实施及示范减少了农药和化肥用量，保护了环境，提高了农民的收入，也满足消费者对绿色食品、无公害农产品的需求。为有效控制水稻虫害，提高水稻害虫的控制水平，减少农药在稻米和环境中的残留，保障稻米质量安全，于2007～2011年推广实施稻鸭共育技术，取得了显著的社会、经济和生态效益。

 

(3)

当a<0与q>0时，该问题的熄灭现象进行了研究，其得到结果：若p∈(1,2)与q∈(0,1)，问题的任意解会在有限时刻熄灭；若p≥2与q>1，该问题无熄灭解。

由Han，Gao[2]对下面快扩散的抛物型方程组初边值问题

 

(4)

解的熄灭性进行研究。作者们证明：当mn>(p-1)(q-1)时，初值u0与v0满足一定的关系，则问题(4)的任意解都会在有限时刻熄灭；当mn=(p-1)(q-1)时，若Ω适当小，则问题(4)存在小初值的熄灭解。

文献[2]中是研究含非线性源的非牛顿渗流耦合方程组初边值问题的2个方程耦合的情形。在这篇文章中，是研究含非线性源的非牛顿渗流耦合方程组初边值问题的多个方程耦合的情形，将文献[2]的结果推广至更一般的情形，由于耦合情形更复杂，克服了更多的计算困难。具体安排如下：在第1节中将介绍问题(1)弱解定义与弱比较原理，并给出了弱解存在性与唯一性的证明；在第2节中，将根据非线性指数的不同情形，分别证明了问题(1)的解会发生熄灭现象的结论。

1　解的存在与唯一性

由于问题(1)当1<pi<2具有奇异性，一般不存在古典解，通常对其弱解开展研究。作为准备工作，本文首先介绍弱解的定义与弱比较原理，然后利用正则化方法证明弱解存在性，并在一定条件下给出问题(1)解的唯一性。

为了方便，首先引入如下标记。对∀T∈(0,∞)，0<t1<t2<∞，记

QT=Ω×(0,T),ΓT=∂Ω×(0,T),

Q=Ω×(0,∞),Q(t1,t2)=Ω×(t1,t2),

w∈Lpi+1(QT)},i=1,2,…,n-1,

综上所述，在建筑工程行业建设水平不断提升的背景下，混凝土浇筑技术的应用重要性愈发突出，这不仅使混凝土建筑施工技术的施工要求更为复杂，也在一定程度上规范了混凝土浇筑施工技术的实施水平。为此，为避免混凝土浇筑施工技术出现质量不合格的情况，更好达到现阶段建筑行业对混凝土浇筑施工技术提出的要求，需要在进行混凝土浇筑施工技术运用时，根据建筑工程的实际建设需求，合理选择混凝土浇筑施工技术方式进行施工，以使得建筑工程的混凝土浇筑质量能够得到有效保障。

w∈Lpn(QT)},

从我国刑法的发展过程来看，自从新中国第一部刑法典诞生以来，我国刑事立法在总体上就呈现出扩张刑法惩罚范围的态势，并且，在很长的一段历史时期内，可以预见，我国刑法的发展方向依然是犯罪化。近年来刑法修正案对金融犯罪、有组织犯罪、环境犯罪、食品安全犯罪、贪污贿赂犯罪以及侵犯公民人身和财产权利的诸多罪名的入罪标准和构成形态的修改足以说明，我国刑事立法呈现出大规模的犯罪化的趋势，以积极而充分发挥刑罚对社会基本安全和秩序的塑造和保护作用。

Epi0={w∈Epi;w|∂Ω=0},i=1,2,…,n。

定义1：设非负函数ui(x,t)∈Emi,i=1,2,…,n，称函数(u1,u2,…,un)是问题(1)在QT上的弱下解，如果对∀0≤φi≤Epi0，i=1,2,…,n，都有

 

类似地，若(u1,u2,…,un)满足与上面相反的不等式，则称(u1,u2,…,un)是问题(1)在QT上的弱上解。如果(u1,u2,…,un)既是弱上解又是弱下解，则称其为问题(1)的弱解。

命题1(弱比较原理)：假设分别是问题(1)的非负弱上解与弱下解。若存在常数≥δ>0或≥δ>0，i=1,2,…,n，则≤

证明：由弱上解和若下解的定义，可以得到，对∀0≤φi≤Epio，i=1,2,…,n，都有

φ1dxdτ≤

歌言的末尾补叙葛天明女儿与杨国忠妹妹的故事。杨国忠妹妹因家道没落，改名杨梅香，出家为尼，但心里却时刻想着钟景祺；葛天明的女儿在家国破碎之际，欲赴四川投奔钟景祺，历尽艰险，一日夜宿庵堂巧遇杨梅香，互诉衷肠，互知身世及与钟景祺的关系，方知钟景祺已调回京城，身侍帝王侧，“巡司调转皇帝门，天下阔来无处问”，侯门深似海，如今山河破碎，家国板荡，容不下儿女情长，遂芳心冷似灰，与杨梅香一起归依了青灯古佛。

φ2dxdτ≤

φ2dxdτ,

…,

φndxdτ≤

φndxdτ,

及物性系统(transitivity)是韩礼德三大“元功能”中概念功能的主要体现。它涉及人们如何用语言来表达和感知这个世界，主要包括六个过程：物质过程、行为过程、心理过程、言语过程、关系过程、存在过程。(Halliday 2000)不同的过程有不同的参与者和环境成分，构成了不同的意识形态意义。

标记对∀t∈(0,T)，选取可以得到

 

(|≤≤m1

 

其中χ[0,t]是定义在[0,t]上的特征函数，s+=max{s,0}。通过计算可以得到

|≤

 

类似地，有

首先证明当m1,m2,…,mn≥1时，结论成立。

|≤

 

……

|≤

 

由p-Laplace的单调性及Gronwall′s不等式，可得

≤0。

新规则对档号的编制原则、档号结构及编制要求更为详细。档号是档案实体的主要标识，赋予档号的过程也是档案从无序到有序的过程。规范、稳定、唯一的档号可以实现档案的规范化管理、提升检索效率，因此将“DA/T 13-1994档号编制原则”作为规范性引用文件有其必然性。

则可推出

左前分支区域起源室早的体表12导联心电图特征如下:① 电轴右偏，QRS波呈现右束支阻滞+左后分支阻滞图形；② V1导联QRS为右束支阻滞样图形，时限0.11～0.14 s。

类似的其他情形同样证明。

定理1：若0≤则存在某个T=T(u10,u20,…,un0)>0，使得问题(1)至少有一个非负有界弱解(u1,u2,…,un)。并且如果m1,m2,…,mn≥1，则弱解是(u1,u2,…,un)唯一的。

乌龙矶水库除险加固设计方案为拦河坝上游实施贴面混凝土，防渗效果较好，主体工程加固措施本身已经起到了一定的水土保持作用。另外在主体工程区设计了完善的施工导流方案，选用了合理的建筑材料、规划了明确的施工总布置，这些措施均起到了较为明显的水土保持作用，保证了在施工结束后也不会对当地水土产生不利的影响。

定理的证明可参见文献[2]，此处略。

2　解的熄灭性质

本节中将应用比较原理与积分估计，给出关于问题的解在有限时刻熄灭的充分条件。下面2个引理在接下来的证明过程中将起重要作用。

记

Q={(W1,W2,…,Wn)∈Rn|W1≥0,W2≥0,…,Wn≥0，

盛爱萍教授对瓯越语的相关研究成果进行了梳理和归纳，在前人未曾涉及的领域进行了大胆的摸索和探讨，在此基础上进行了新的研究并有所创新。因此，使得该书立论基础厚实，其对瓯越语语汇的研究具有开拓性和前沿性，具有很高的学术价值和研究意义。

≤W1≤

≤W2≤

综上所述，本文通过梳理巨灾经济影响的全球性和复杂性特征，以期对巨灾的全球性经济影响问题有全面的认识.一方面在全球尺度上检验巨灾是否对国际经济系统产生了显著影响；另一方面分析巨灾产生全球性经济影响的过程和机理，从而为世界各个国共同应对巨灾风险提供理论基础和科学依据.

…，

≤Wn≤

在百分比覆盖环境下,为了在算法中提供连通度的保障,本算法提出可变参的适应值函数,当染色体所对应的节点子集C1,C2,…,Cgimax-1满足连通条件式(2)时,则ω1=1,ω2=1否则ω1=0,ω2=1,即本算法的适应值函数定义为式(4)

引理1：假设(W1,W3,…,Wn)是问题：

 

(5)

的非负解，如果(W1(0),W2(0),…,Wn(0))∈Q，则(W1,W2,…,Wn)∈Q，其中ai，bi，pi，mi都是正实数，且满足1<pi<2,0<δi<1,i=1,2,…,n，m1m2…mn>(p1-1)(p2-1)…(pn-1)。

≤un0≤

4月1日，水利部部长陈雷主持召开部务（扩大）会议，传达贯彻落实国务院第五次廉政工作会议和温家宝总理重要讲话精神，全面部署水利系统廉政工作。水利部副部长矫勇传达温家宝总理重要讲话。水利部党组成员、中纪委驻部纪检组组长董力，副部长周英、胡四一、李国英，总工程师汪洪等出席会议。

推论1：假设(W1,W2,…,Wn)是问题

 

(6)

的一个解，则对任意(W1(0),W2(0),…,Wn(0))∈Q，问题(6)的任意非负解都会在有限时刻熄灭，其中ai，bi，pi，mi都是正实数，且1<pi<2,i=1,2,…,n，m1m2…mn>(p1-1)(p2-1)…(pn-1)。

定理1：假设m1m2…mn>(p1-1)(p2-1)…(pn-1)，并且满足

1)若m1m2…mn≤1，且初值(u10,u20,…,un0)满足对0<δi<1，i=1,2,…,n，有

≤u10≤

≤u20≤

……

≤

引理2：假设引理1的条件成立，则对(W1(0),W2(0),…,Wn(0))∈Q，问题(5)的任意非负解在有限时刻熄灭。

则问题(1)的任意解均在有限时刻熄灭。其中0<δi<1，ai，bi，i=1,2,…,n，均为正实数。

2)若m1m2…mn>1，且初值(u10,u20,…,un0)满足对0<δi′<1，i=1,2,…,n，有

φ1dxdτ,

≤u10≤

≤u20≤

……

≤un0≤

则当初值充分小时，问题(1)的任意解均在有限时刻熄灭,其中ai′，bi′>0，0<mi′<mi，i=1,2,…,n。

证明：先讨论n=3的情形。

几名特务进入黄家后，不顾黄家人的阻拦、警告，耀武扬威，翻箱倒柜，弄得到处乱七八糟，却连敌伪人员的毛都没捞到一根。

1)若m1m2m3≤1，此时存在常数s1，s2，s3>0，将问题(1)的方程分别乘以和再将所得的等式在Ω上积分可得

 

(7)

 

(8)

 

(9)

此时分为2种子情形讨论。

子情形(a)：N≥2，因p1<N，取si≥由可嵌入到根据Hölder不等式及嵌入定理，可得

≤≤

(10)

又因

≤≤

 

(11)

其中γ1>0为嵌入常数。将式(10)、式(11)代入到式(7)可得

≤

 

 

(12)

令

 

上式可变为

J1′(t)≤

 

(13)

类似地，可以得到

≤

 

(14)

≤

 

(15)

其中γ2，γ3>0均是常数，

令

 

 

 

 

则有

 

(16)

应用推论1知，(W1,W2,W3)在有限时刻熄灭，故(u1,u2,u3)也在有限时刻熄灭。

子情形(b)：N=1。

因为1<p1<2，取s1≥2，由可嵌入到L2(Ω)，根据Hölder不等式及嵌入定理，可得

≤≤γ4

≤≤

 

类似地，对s2≥2,s3≥2可得

≤≤γ5

≤≤

 

≤≤γ6

≤≤

 

其中λ4,λ5,λ6为嵌入常数。再按上面同样的讨论，可知(u1,u2,u3)也在有限时刻熄灭。

2)若m1m2m3>1，因为m1m2m3>(p1-1)(p2-1)(p3-1)，则存在常数l1，l2，l3，使得l1(p1-1)<l2m1，l2(p2-1)<l3m2，l3(p3-1)<l1m3。当h>0充分小时，可以证明(hl1ψp1(x),hl2ψp2(x),hl3ψp3(x))是问题(1)的一个上解，其中ψp1(x),ψp2(x),ψp3(x)是下列线性椭圆问题

i=1,2,3

的唯一正解。其中(hl1ψp1(x),hl2ψp2(x),hl3ψp3(x))≥δ0，则对∀x∈Ω，都有(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))≤(hl1ψp1(x),hl2ψp2(x),hl3ψp3(x))≤(hl1Mp10,hl2Mp20,hl3Mp30)。

由定理1，如果(u10(x),u20(x),u(30(x))≤(hl1ψp1(x),hl2ψp2(x),hl3ψp3(x))，令

Mpi0=‖ψpi(x)‖L∞(Ω)，i,1,2,3,则由式(7)～式(9)可以得到

 

(16)

 

(17)

 

(18)

其中0<mi′<mi,i=1,2,3，并且(p1-1)(p2-1)(p3-1)<m1m2m3≤1，由情形1)的证明即知结论成立。

类似地，对于n>3的情形，分别讨论m1m2…mn≤1与m1m2…mn>1情形，利用与上面平行的讨论即得结论。定理证毕。

定理2：假设(p1-1)(p2-1)…(p3-1)=m1m2…mn，当区域Ω充分小时，问题(1)存在小初值的熄灭解。

证明：本定理的证明将通过构造熄灭的上解来完成。设区域Ω0，满足Ω⊂Ω0，φpi0(x),i=1,2,…,n为下面椭圆问题的解：

-div(|φ|pi-2φ)=1,x∈Ω0;φ=0,x∈∂Ω0;i=1,2,…,n

(19)

令

 

其中g1，g2，…,gn是n个单调不增的光滑函数。

记通过计算有：

≥

类似地，可得

≥

……

≥

设(g1(t),g2(t),…,gn(t))是下面常微分方程组的解：

 

(20)

其中δ>0，满足

≤

 

(21)

由常微分方程理论知，(g1(t),g2(t),…,gn(t))在有限时刻T0处熄灭。

若Ω充分小，存在Ω0使得Ω⊂Ω0，M<1满足式(21)。当u10，u20，…,un0适当小，且∀都有：

u10(x)=g1(0)φp10(x),u20(x)=g2(0)φp20(x),…,un0(x)=gn(0)φpn0(x)。

易见是式(1)的一个上解，且在有限时刻T0处熄灭，则问题(1)的解(u1,u2,…,un)也在有限时刻熄灭。定理证毕。

参考文献：

[1]　　　　Sabinina E S.On a class of nonlinear degenerate parabolic equations[J].Dolk Akad Nauk SSSR,1962,143:794-797.

[2]　　　Han Y Z,Gao W J.Extinction of solution to a class of fast diffusion systems with nonlinear sources[J].Math Meth Appl Sci,2016,39:1325-1335.

[3]　　　Gu Y.Necessary and sufficient conditions of extinction of solution on parabolic equations[J].Acta Mathematical Sinica,1994,37:73-79.

[4]　　　Borelli M,Ughi M.The fast diffusion equation with strong absorption:the instantaneous shrinking phenomenon[J].Rend Istit Mat Univ Trieste,1994,26:109-140.

[5]　　　Friedman A,Herrero M A.Extinction and positivity for a system of semilinear parabolic variational inequalities[J].J Math Anal,1992,167:167-175.

[6]　　　Han Y Z,Gao W J.Extinction for a fast diffusion equation with a nonlinear nonlocal source[J].Arch Math,2011,97:353-363.

[7]　　　Li Y X,Wu J C.Extinction for fast diffusion equations with nonlinear sources[J].Electron J Differ Equ,2005:1-7.

[8]　　　Yin J X,Li J,Jin C H.Non-extinction and critical exponents for a polytropic filtration equation[J].Nonlinear Anal,2009,17:347-357.

[9]　　　Yin J X,Jin C H.Critical extinction and blow-up exponents for fast diffusive polytropic filtration equation with sources[J].Proc Edinburgh Math Soc,2009,52:419-444.

[10]　　　Anderson J R.Local existence and uniqueness of solutions of degenerate parabolic equations[J].Comm Partial Differential Eguations,1991,16:105-143.

[11]　　　顾永耕.抛物方程的解的熄灭的充要条件[J].数学学报,1994, 37: 73-79.