固-液界面能(σT)是一个非常重要的物理量。没有固-液界面能，就无法对凝固过程中诸如形核率[1～10]、生长速率[5～13]和生长方式[14,15]等许多问题进行分析和研究，也就不能对由凝固特性所决定的材料组织与性能进行有效调控。

中国画有种门类叫界画，作画中使用界尺引线，用于描绘传统建筑中的宫室、屋宇、楼台等。陶瓷装饰绘画往往以中国传统绘画为参照，传统的界画在陶瓷装饰中也得到了很好的体现。陶瓷装饰中的界画相对于宣纸上的界画略显年轻，但所展露出的艺术魅力足以压倒群芳。陶瓷颜料特别是釉上彩料绘制的界画，立体感比宣纸上的界画更强烈，颜色也比宣纸界画的颜色更加绚丽。

实验测定固-液界面能的传统方法是均质形核过冷度(HU)法[1,16～19]、二面角(DA)法[20～22]、接触角(CA)法[23]和晶界凹槽(GBG)法[6～10,24～28]。均质形核过冷度法主要用于确定结晶相在过冷状态下的固-液界面能，其准确性取决于测得的过冷度是否为均质形核过冷度。二面角法、接触角法和晶界凹槽法主要用于确定结晶相在熔点温度下的固-液界面能。目前，除均质形核过冷度和熔点温度下的固-液界面能可以进行实验测定外，其它温度下的固-液界面能无法通过实验测定得到。所以，建立固-液界面能随温度变化的理论模型非常重要。

目前应用最为广泛的固-液界面能理论模型是Spaepen模型[29～33]，但人们没有研究过由该模型所获得的固-液界面能是否与实验测定结果和计算机模拟结果相吻合的问题。为此，本文作者[15,16,34～38]通过对金属材料(非小平面生长材料)和小平面生长材料固-液界面能的系统研究建立了固-液界面能随温度变化的理论模型；并将该模型所预测的固-液界面能、Spaepen模型所预测的固-液界面能和相应的实验测定与计算机模拟所得数据进行了分析对比。结果表明，由本文作者等[15,16,34～38]建立的理论模型所预测的固-液界面能与相应的实验值和模拟值完全吻合，而由Spaepen模型所预测的固-液界面能不能与相应的实验值和模拟值吻合。基于此，本工作结合作者长期以来对熔体-结晶相固-液界面能的研究工作，以金属材料(非小平面生长材料)和小平面生长材料为代表，论述了熔体-结晶相固-液界面能实验测定和理论模型研究方面的相关进展。

1 熔体-结晶相固-液界面能的实验测定

1.1 过冷状态下熔体-结晶相固-液界面能的实验测定

材料在过冷状态下的固-液界面能通常采用基于均质形核率的均质形核过冷度法来确定[1～5]。Turnbull[1]在1950年首次用均质形核过冷度法测定出了金属和半导体的固-液界面能。发现固-液界面能(σT)与熔点温度下的熵(ΔSf)、熔点温度(Tm)和结晶相的摩尔体积(Vs)相关，其关系式为σT=CΔSfTm/(NVs2)1/3，式中C是Turnbull系数(金属的Turnbull系数为0.45)，N是Avogadro常数。随着金属熔体净化方法的不断发展，人们发现金属熔体能够达到的过冷度大于Turnbull的测量结果，所以金属固-液界面能应大于Turnbull的测定结果。根据Ag[16,39]、Cu[40,41]和Ni[40,42]最大形核过冷度的研究结果，fcc金属的Turnbull系数被认为是在0.46～0.52之间。Kelton[3]通过对26种金属材料最大形核过冷度研究结果的综合分析，发现金属的Turnbull系数为0.49±0.08。此外，Lee等[19]通过实验和模拟发现，当合金熔体与其相应的准晶析出相具有相同的二十面体原子构型时，合金熔体与其相应的准晶析出相间具有低的Turnbull系数和界面能。

1.2 熔点温度下熔体-结晶相固-液界面能的实验测定

材料在熔点温度下的固-液界面能可利用二面角法、接触角法和晶界凹槽法来测量[20～28]。通过对固-液两相二面角的测量，Waseda等[20]和 Gránásy等[21]得出fcc金属的Turnbull系数约为0.6；根据接触角法测得的固-液界面能的结果，fcc金属的Turnbull系数被认为在0.63～0.68之间[23]；依据晶界凹槽法测得的固-液界面能的结果，铝合金(Al-Si[24]、Al-Cu[24]、Al-Mg[25]、Al-Ni[26]、Al-Ti[26] 和 Al-Ag[27])的Turnbull系数被确定在0.57～0.68之间。最近，Öztürk等[8]通过晶界凹槽法对晶界凹槽形貌的测量，得到在Sn-Ag-Bi三元合金体系中Sn固溶体析出相与相应的共晶熔体间的Gibbs-Thomson系数为(8.4±0.6)×10-8K·m；Billur和Saatçi等[9]通过晶界凹槽法对晶界凹槽形貌的测量，得到在Zn-Sn-Mg三元合金体系中Zn固溶体析出相与相应的共晶熔体间的Gibbs-Thomson系数为(10.98±0.88)×10-8K·m。此外，Wang等[6,7]通过晶界凹槽法对金属透明模型合金丁二腈和特戊酸的界面能各项异性研究，发现界面能大小与温度梯度线性相关，而界面能各向异性与之无关；凹槽形态和晶体取向对界面能各向异性的测量影响很大。

对比过冷状态下与熔点温度下金属固-液界面能的实验测定结果可以发现，均质形核过冷度法所测得的金属在过冷状态下的固-液界面能小于用二面角法、接触角法和晶界凹槽法测得其在熔点温度下的固-液界面能。这说明金属的固-液界面能随温度的降低而减小，也就是说金属的固-液界面能是随温度变化的。

2 熔体-结晶相固-液界面能的理论模型

2.1 Spaepen模型

目前用来描述固-液界面能和温度间相关性的常用模型是由Spaepen等[29,30]提出的模型，该模型认为金属的固-液界面能随温度的降低而线性减小：

 

  

图1 金属Ag、Cu和Ni的均质形核过冷度ΔTV随V/Rc的变化规律[37]Fig.1 Dependence of the homogenous nucleation undercooling(ΔTV)on the ratio of sample volume(V)to the cooling rate(Rc)for Ag(a),Cu(b)and Ni(c)(MU—maximum nucleation undercoolings,HU—homogeneousnucleation undercoolings,σT—solid-liquid interfacial energy of melt-crystal)[37]

式中，αT为结构因子(fcc和hcp金属的结构因子为0.86，bcc金属的结构因子为0.71)，T是温度。该模型是目前应用最为广泛的固-液界面能模型。但是，在Spaepen的模型中，固-液界面被看成是完全光滑的界面，而金属的实际固-液界面是粗糙的。因此，这将会对固-液界面能相关研究结果产生一定的影响。图1[37]为基于此所得到的金属Ag、Cu和Ni的均质形核过冷度(ΔTV)随金属试样的体积(V)与其凝固冷却速率(Rc)比值(V/Rc)的变化规律。图中虚线是由Spaepen固-液界面能模型[29,30]所得到的这3种金属材料的ΔTV随其V/Rc的变化规律，该结果表明由Spaepen固-液界面能模型所得到的ΔTV明显大于由最大形核过冷度(MU)法所获得的实验值[16,40～43]和由HU法所获得的模拟值[44～47]。图中点线是采用Turnbull[1]的实验测定结果将固-液界面能看成定值而得到的这3种金属材料的ΔTV随其V/Rc的变化规律，该结果表明其在V/Rc值较小时ΔTV明显大于实验和模拟结果，而在V/Rc值较大时ΔTV又明显小于实验和模拟结果。这说明将固-液界面能看成定值不能解释ΔTV随V/Rc的变化关系，也就是说固-液界面能应该是随温度变化的。

中国改革开放40年来的农村扶贫开发，是在从计划经济体制转向社会主义市场经济体制、从传统农业社会转向工业和现代化社会的双重转型重叠期，在中国既有的政治、经济、社会和文化基础上，由党和政府规划、领导、协调和支持，贫困人口通过自身的努力增加收入、提高福祉与发展能力、提高分享国家改革和发展成果能力，进而实现脱贫致富的过程。改革开放以来，中国农村扶贫开发取得了举世公认的巨大成就，7亿多农民摆脱了贫困，创造了世界减贫史上的一大奇迹，被国际社会广泛视为人类社会扶贫的一个成功样板。与此同时，扶贫开发，也成为中国道路、中国经验和中国发展模式的重要组成部分。

2.2 基于界面结构的熔体-结晶相固-液界面能的理论模型

式中，φ0是熔点温度下完全光滑界面的无量纲固-液界面能。在式(7)和(8)中，σT、φ0和xT为未知量，其它均为可通过文献获得的常见物理化学参量。如果能确定出φ0，则式(7)和(8)中只有σT、xT和T 3个变量，求解式(7)和(8)的方程组就可以确定出不同温度下的固-液界面能。而如果能确定出某一温度下固-液界面上的结晶相原子分数xT，则将xT和相应的温度T带入式(8)中即可确定出φ0。

 

与正常对照组相比，GM模型组小鼠体质量减少（P＜0.01），肾质量及肾指数均显著增加（P＜0.01），表明GM对小鼠具有肾损伤作用，造模成功。与GM模型组相比，SVPr 50，100，200 mg·kg-1和阳性药均显著降低小鼠肾质量与肾指数（P＜0.05，P＜0.01），升高小鼠体质量（P＜0.05，P＜0.01）（表1）。

抗逆力理论为研究孤儿教育与就业提供的理论支撑是，孤儿救助的社会政策作为外部支持因素，同孤儿个体内在优势帮助他们提升其抗逆力；内在优势则包括自立人格、家庭责任和感恩情感、兴趣和特长，以及积极思维⑥。这一视角无疑为孤儿教育和就业社会政策的制定提供了新的介入点。

 

本文作者等[15,34～36]通过研究温度对小平面生长材料熔化熵、固-液界面能与固-液界面结构的影响，确定出了2个临界过冷度ΔT*和ΔT**(ΔT*=Tm-T*，ΔT**=Tm-T**，T*和T**为2个不同的临界温度)：

基于这一固-液界面结构模型，本文作者等[37]得到了金属材料(非小平面生长材料)在固-液界面上Gibss自由能变化最小时固-液界面能的表达式：

  

图2 金属Ag、Cu和Ni的固-液界面能与温度之间的关系[37]Fig.2 Dependence of the crystal-melt interfacial energy on the temperature(T)for Ag(a),Cu(b)and Ni(c)(DA—dihedral angle,CA—contact angle)[37]

当过冷度小于ΔT*时，小平面生长材料以其本来的小平面方式生长；当过冷度大于ΔT**时，小平面生长材料以连续方式生长；当过冷度介于ΔT*和ΔT**之间时，小平面生长材料以中间方式生长(介于小平面生长方式与连续生长方式之间)。

【案例2】A公司2017年1～12月在国税局缴纳的增值税为229万元，但是在2018年初国地税大数据比对时，地税局发现该公司各项附加税费仅缴纳4.65万元，漏缴了近17.85万元的附加税费。

2.2.2 小平面生长材料固-液界面能的理论模型本文作者等[15,34～36]研究了熔化熵、固-液界面能与固-液界面结构之间的关系，得到了小平面生长材料在固-液界面上Gibss自由能变化最小时固-液界面能与温度之间的关系：

 

 

表1 Ag、Cu和Ni的固-液界面能随温度的变化规律Table 1 Dependence of the solid-liquid interface energy on temperature forAg,Cu and Ni

  

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2.2.1 金属(非小平面生长材料)固-液界面能的理论模型 本文作者等[37]研究了熔化熵、固-液界面能对固-液界面结构的影响，得到了一个新的固-液界面结构判定因子αT：

式中，As是结晶相的摩尔表面积；b为结晶相的结构常数，其值可由文献[37]中相应公式求得(对fcc结构该值约为1.0911，对bcc结构该值约为1.1223)。式(2)～(6)中的参量除ξ外均为常见的物理化学参量，可通过文献获得；而ξ可由模拟计算获得。本文作者等[37]通过分子动力学模拟发现，Ag、Cu、Ni等金属的ξ近似为0.5，也就是说固-液界面层的摩尔体积等于Vl和Vs的平均值。ξ的值确定后，式(5)的固-液界面能公式中除σT和T外，则不含其它待定参数。也即由温度T可求得该温度下的界面能。图2[37]是本文作者等[37]利用式(5)对Ag、Cu和Ni这3种典型fcc结构金属材料的固-液界面能的预测结果。图中黑色曲线是由本文作者等[37]利用上述固-液界面结构假设推导的固-液界面能模型所预测的Ag、Cu和Ni的固-液界面能随温度的变化规律；▶和▷表示由MU法通过实验得到的固-液界面能[16,40～43]；▲和▼分别表示由DA法和CA法通过实验得到的固-液界面能[20,23]；◁和◀表示由HU法通过模拟计算得到的固-液界面能[44～47]。从图中可以看到，由该模型所得出的金属Ag、Cu和Ni的固-液界面能随温度呈非线性的变化规律；同时，以该模型所预测的金属Ag、Cu和Ni的固-液界面能不仅与用DA法、CA法和MU法所测得的实验值高度吻合，而且也与用HU法模拟计算得出的值非常接近。另外，从图1[37]中可以看到，基于本文作者等的固-液界面能模型所获得的ΔTV随V/Rc变化的关系与相应的实验结果和模拟结果(图1)也高度吻合。这就表明由本文作者等[37]基于固-液界面结构所建立的固-液界面能模型能够准确地预测金属材料(非小平面生长材料)的固-液界面能。

式中，xT是温度为T时固-液界面上Gibss自由能变化最小时结晶相的原子分数，ΔST是温度由Tm变到T时熔体熵变与结晶相熵变的差值，ΔSvi是熔点温度下固-液界面处原子振动熵与固相原子振动熵的差值，Zi是固-液界面层原子与同层原子的配位数，Zn是固-液界面层原子与固-液界面相邻层原子的配位数(典型金属的Zi/Zn等于2[37])，R是气体常数，cl是熔体的定压比热容，cs是结晶相的定压比热容，γ是Grüneisen常数，Vl是熔体的摩尔体积，ξ是固-液界面层的摩尔体积与Vl+Vs的比值。与Jackson[48]结构因子相比，该结构因子不仅考虑了熵对固-液界面结构的影响，而且也考虑了界面能对固-液界面结构的影响，因而其能够更准确地判定固-液界面的结构特性，进而有利于对固-液界面能的全面解析。

 

对于典型金属，其xT近似取0.5[37]，将xT和金属的其它物性参数[31]代入式(5)，可以得到金属固-液界面能随温度的变化关系。表1为由此所得到的金属Ag、Cu和Ni的固-液界面能的表达式。从中可以看到其是以温度为变量的多项式，这表明金属的固-液界面能随温度非线性变化。

如果能确定出小平面生长材料的生长方式转变临界过冷度ΔT*或ΔT**，就可以根据式(9)或(10)确定出对应的xT，将xT和与之对应的温度T代入式(8)就可以确定出φ0，进而再结合式(7)即可确定出相应温度下的固-液界面能。基于此，本文作者等[15,34～36]给出了基于凝固时的再辉界面形貌、生长中的结晶相形貌及凝固后的组织来确定小平面生长材料的生长方式转变临界过冷度ΔT*或ΔT**的方法，并根据所确定的ΔT*或ΔT**，用式(7)和(8)对 Si[34]和Si-Al[35]合金的固-液界面能进行了预测，结果见图3～5[34,35]。图3[34]中实线和虚线分别是由实验测得Si的ΔT*为100 K和ΔT**为210 K时所预测的Si的固-液界面能；☆和◇分别是由HU法和GBG法通过实验所测得的Si的固-液界面能。图4[35]中实线和虚线分别是由ΔT*为131 K时和ΔT**为239 K时所预测的Si-Al合金在其液相线温度下的固-液界面能；△和▽是由临界过冷度(CU)法获得的Si的固-液界面能，◇是由GBG法通过实验所测得的Si的固-液界面能。图5[35]中实线和虚线分别是由ΔT*为131 K时和ΔT**为239 K时所预测的Si-Al合金在温度为850 K下的固-液界面能；△和▽是由CU法获得的Si的固-液界面能，◇是由GBG法通过实验所测得的Si的固-液界面能。该结果显示，由本文作者等所建模型预测的Si和Si-Al合金在ΔT*下的固-液界面能分别与其在ΔT**下的固-液界面能近似相等，同时该预测结果也分别与它们相应的实验测试结果高度吻合。这表明由本文作者等基于临界过冷度ΔT*或ΔT**[15,34～36]所建立的固-液界面能模型能够准确地预测小平面生长材料的固-液界面能。

  

图3 由ΔT*和ΔT**所预测的Si的固-液界面能与温度间的关系[34]Fig.3 Dependences of the solid-liquid interface energy on temperature for silicon predicted from ΔT*(the critical undercooling(CU)for Si growing from lateral mode to intermediary mode)and ΔT**(The CU for Si growing from intermediary mode to continuous mode)(☆result obtained from HU method,◇result obtained from grain boundary groove(GBG)method)[34]

  

图4 由ΔT*和ΔT**所预测的初生Si与Si-Al合金熔体在液相线温度下的固-液界面能[35]Fig.4 Dependences of the predicted interface energies between silicon crystal and Si-Al melt with the equilibrium composition at the liquidus temperature on the mole fraction of silicon(XSi)in the melt according to ΔT*=131 K and ΔT**=239 K obtained in Si-20%Al(atomic fraction)alloy(◇is the result obtained from t he G BG m et hod;△and▽are results obtained from the CU method in terms of ΔT*=100 K and ΔT**=210 K obtained in pure silicon,respectively)[35]

  

图5 由ΔT*和ΔT**所预测的初生Si与Si-Al合金熔体在850 K下的固-液界面能[35]Fig.5 Dependences of the predicted interface energies between silicon crystal and Si-Al melt with optional composition at the temperature of 850 K on the XSiin the melt according to ΔT*=131 K and ΔT**=239 K obtained in Si-20%Al(atomic fraction)alloy(◇is the result obtained from the GBG method;△ and▽ are results obtained from the CU method in terms of ΔT*=100 K and ΔT**=210 K obtained in pure silicon,respectively)[35]

3 结论与展望

熔体-结晶相固-液界面能是影响其凝固行为的关键因素，对熔体-结晶相固-液界面能的深入解析可以实现对其凝固过程准确表征和对凝固行为有效控制，进而获得所需的结晶相组织和性能。基于此，本文对熔体-结晶相固-液界面能实验测定和理论模型研究方面的相关进展进行了综述。通过对不同固-液界面能实验测定和理论预测结果的分析比较，发现熔体-结晶相固-液界面能随温度降低呈非线性减小。目前广泛应用的Spaepen固-液界面能模型假设固-液界面是完全光滑的，但实际固-液界面是粗糙的，因而由该模型所预测的材料熔点温度处和过冷状态下熔体-结晶相固-液界面能与相应的实验值和模拟值均不相符。由本文作者等基于界面结构所建立的熔体-结晶相固-液界面能模型能够准确地对金属材料(非小平面生长材料)和小平面生长材料的固-液界面能进行预测，且预测结果与相应的实验值和模拟值高度吻合；同时，考虑合金组元间的混合熵后，利用该模型也可对多元合金的熔体-结晶相固-液界面能进行预测，因而其具有较高的理论与实际应用价值。

尽管如此，已有的这些研究结果也表明，要获得材料的熔体-结晶相固-液界面能的准确值，往往需要大量复杂的实验测试和合理科学的理论模型，因此实际的研究过程仍然面临艰巨的挑战。而计算机模拟作为一种评估物质结构与性能的有效手段，可以对实验过程与结果及相关的理论模型进行全面的预测分析和调控与优化，因而能够显著提高实验测试与理论模型建立的效率与可靠性，进而有助于提高研究结果的准确性，已被广泛应用于材料学的研究中。目前，也已有一些研究者利用计算机模拟开展了有关材料熔体-结晶相固-液界面能的研究[49～53]。综上可以看到，将材料固-液界面能的实验测试与相应的计算机模拟相结合的研究会是该领域今后的一个重要发展方向。

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